2019年中考数学真题试题（含解析）新人教 版新版(1) 15页

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分）‎ ‎1．﹣的绝对值是（　　）‎ A．2　　　　　　B．　　　　　　C．﹣　　　　　　D．﹣2‎ ‎【解答】解：||=． ‎ ‎ 故选B．‎ ‎2．下列图形中是中心对称图形的是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；‎ B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；‎ C．是中心对称图形，还是轴对称图形，故本选项正确；‎ D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．3x+4y=7xy　　　　　　B．（﹣a）3•a2=a5　　　　　　C．（x3y）5=x8y5　　　　　　D．m10÷m7=m3‎ ‎【解答】解：A．3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；‎ B．（﹣a）3•a2=﹣a5，此选项错误；‎ C．（x3y）5=x15y5，此选项错误；‎ D．m10÷m7=m3，此选项正确；‎ 故选D．‎ ‎4．某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（　　）‎ A．5.035×10﹣6　　　　　　B．50.35×10﹣5　　　　　　C．5.035×106　　　　　　D．5.035×10﹣5‎ ‎【解答】解：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6． ‎ ‎ 故选A．‎ ‎5．要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，则这10次测试成绩比较稳定的是（　　）‎ 15‎ A．甲　　　　　　B．乙　　　　　　C．丙　　　　　　D．无法确定 ‎【解答】解：因为3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，所以这10次测试成绩比较稳定的是丙． ‎ ‎ 故选C．‎ ‎6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：‎ 则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）‎ A．1.70，1.75　　　　　　B．1.70，1.70　　　　　　C．1.65，1.75　　　　　　D．1.65，1.70‎ ‎【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；‎ 跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；‎ 故选A．‎ ‎7．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（　　）‎ A．15°　　　　　　B．25°　　　　　　C．30°　　　　　　D．50°‎ ‎【解答】解：如图连接OB，‎ ‎∵OA⊥BC，∠AOC=50°，∴∠AOB=∠AOC=50°，则∠ADB=∠AOB=25°． ‎ ‎ 故选B．‎ ‎8．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（），则的展直长度为（　　）‎ 15‎ A．3π　　　　　　B．6π　　　　　　C．9π　　　　　　D．12π ‎【解答】解：的展直长度为： =6π（m）．‎ 故选B．‎ ‎9．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（　　）‎ A．FA：FB=1：2　　　　　　B．AE：BC=1：2‎ C．BE：CF=1：2　　　　　　D．S△ABE：S△FBC=1：4‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB，∴△DEC∽△AEF，∴ ==．‎ ‎∵E为AD的中点，∴CD=AF，FE=EC，∴FA：FB=1：2，A说法正确，不符合题意；‎ ‎∵FE=EC，FA=AB，∴AE：BC=1：2，B说法正确，不符合题意；‎ ‎∵∠FBC不一定是直角，∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；‎ ‎∵AE∥BC，AE=BC，∴S△ABE：S△FBC=1：4，D说法正确，不符合题意；‎ 故选C．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（　　）‎ A．△ONC≌△OAM 15‎ B．四边形DAMN与△OMN面积相等 C．ON=MN D．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0， +1）‎ ‎【解答】解：∵点M、N都在y=的图象上，∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM．‎ ‎∵四边形ABCO为正方形，∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，∴NC=AM，∴△OCN≌△OAM，∴A正确；‎ ‎∵S△OND=S△OAM=k，而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，∴四边形DAMN与△MON面积相等，∴B正确；‎ ‎∵△OCN≌△OAM，∴ON=OM．‎ ‎∵k的值不能确定，∴∠MON的值不能确定，∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，∴ON≠MN，∴C错误；‎ 作NE⊥OM于E点，如图所示：‎ ‎∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，∴NE=OE，设NE=x，则ON=x，∴OM=x，∴EM=x﹣x=（﹣1）x．在Rt△NEM中，MN=2．‎ ‎∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，∴x2=2+，∴ON2=（x）2=4+2．‎ ‎∵CN=AM，CB=AB，∴BN=BM，∴△BMN为等腰直角三角形，∴BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣．在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），∴OC=+1，∴C点坐标为（0， +1），∴D正确．‎ 故选C．‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．因式分解：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）． ‎ ‎ 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．‎ ‎12．计算：﹣=　　．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣2‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 15‎ ‎13．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　　．‎ ‎【解答】解：如图所示：连接OA．‎ ‎∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎14．若式子有意义，则x的取值范围是　1≤x≤2　．‎ ‎【解答】解：根据二次根式的意义，得，∴1≤x≤2． ‎ ‎ 故答案为：1≤x≤2．‎ ‎15．不等式组的解集是　0＜x≤8　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x＞0，∴不等式组的解集为0＜x≤8． ‎ ‎ 故答案为：0＜x≤8．‎ ‎16．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为　24　．‎ ‎【解答】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10﹣4=6，所以矩形ABCD的面积是4×6=24． ‎ 15‎ ‎ 故答案为：24．‎ ‎17．如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是　65π　．（结果保留π）‎ ‎【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为13，所以侧面积为πrl=π×5×13=65π． ‎ ‎ 故答案为：65π．‎ ‎18．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　或　．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．‎ ‎∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；‎ 15‎ ‎②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，‎ 由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=． ‎ ‎ 故答案为：或．‎ 三、解答题（19小题8分，20小题14分，共22分）‎ ‎19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣）‎ ‎=•‎ ‎=，当a=2+时，原式==+1．‎ ‎20．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．‎ 请你根据图中信息，回答下列问题：‎ ‎（1）本次共调查了　50　名学生．‎ 15‎ ‎（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于　72　度．‎ ‎（3）补全条形统计图（标注频数）．‎ ‎（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为　640　人．‎ ‎（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？‎ ‎【解答】解：（1）14÷28%=50，所以本次共调查了50名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×=72°；‎ ‎（3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16=10（人），补全条形统计图为：‎ ‎（4）2000×=640，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人；‎ 故答案为：50；72；640；‎ ‎（5）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率==．‎ 四、解答题（21小题8分，22小题10分，共18分）‎ ‎21．两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．‎ ‎（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？‎ ‎（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．‎ 15‎ ‎【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，‎ 由图可知，FH=CD=30m．‎ ‎∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；‎ ‎（2）连接BC1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．‎ ‎22．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．‎ ‎（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；‎ ‎（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得： =1.5×，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．‎ 答：第一批悠悠球每套的进价是25元．‎ ‎（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．‎ 答：每套悠悠球的售价至少是35元．‎ 五、解答题（本题14分）‎ ‎23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=3，求⊙O的半径r；‎ ‎（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．‎ 15‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．‎ ‎∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．‎ ‎∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图21∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；‎ ‎（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．‎ ‎∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．‎ ‎∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．‎ ‎∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．‎ 15‎ 六、解答题（本题14分）‎ ‎24．鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；‎ ‎（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？‎ ‎②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？‎ ‎【解答】解：（1）y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700．‎ ‎（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣30）（﹣10x+700）=﹣10（x﹣50）2+4000，∴x=50时，W最大值=4000，∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．‎ ‎（3）①由题意：﹣10（x﹣50）2+4000=3910‎ 解得：x=53或47，∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．‎ ‎②由题意：﹣10（x﹣50）2+4000≥3910，解得：47≤x≤53．‎ ‎∵y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700．‎ ‎　170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．‎ 七、解答题（本题14分）‎ ‎25．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．‎ ‎（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；‎ ‎（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．‎ 15‎ ‎【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．‎ 理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．‎ ‎∵CD=BC，∴CE=CH1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．‎ ‎（2如图2，连接AE，‎ ‎∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上．‎ ‎∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．‎ ‎∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．‎ ‎∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．‎ ‎（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，‎ 在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．‎ 15‎ ‎∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．‎ ‎∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．‎ ‎∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．‎ 八、解答题（本题14分）‎ ‎26．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．‎ ‎（1）求抛物线解析式及对称轴；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．‎ 问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣1，得 解得 ‎∴抛物线解析式为：y=‎ ‎∴抛物线对称轴为直线x=﹣‎ ‎（2）存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ‎∴取点C（0，﹣1）关于直线x=1的对称点C′（2，﹣1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．‎ 15‎ 设过点C′、O直线解析式为：y=kx ‎∴k=﹣‎ ‎∴y=﹣‎ 则P点坐标为（1，﹣）‎ ‎（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ‎∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°‎ ‎∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ‎∴∠CDN=∠CMN ‎∵MN⊥AC ‎∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，﹣ a﹣1）‎ 由△EDN∽△OAC ‎∴ED=2a ‎∴点D坐标为（0，﹣）‎ ‎∵N为DM中点 ‎∴点M坐标为（2a，）‎ 把M代入y=，解得 a=4‎ 则N点坐标为（4，﹣3）‎ 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM 15‎ ‎∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，﹣1）‎ ‎∴N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）‎ 15‎