中考数学试题分类 直线与圆的位置关系 34页

第33章 直线与圆的位置关系 一、选择题 ‎1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 A． 3次 B．5次 C． 6次 D． 7次 ‎ ‎【答案】B ‎2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）‎ A. B. C. 3 D.2‎ ‎【答案】B ‎3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )‎ ‎ A．3 B．‎4 ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）‎ A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)‎ ‎【答案】C ‎5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）‎ A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点(6，1)‎ ‎【答案】C ‎6. （2011山东日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（ ）‎ ‎【答案】C ‎7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．67.5°‎ D C A O B ‎ 第13题图 ‎【答案】D ‎8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是 A． B．‎1 ‎ C．2 D．3 ‎ ‎【答案】C ‎9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接、．若想在上取一点P，使得P与直线BC的距离等于长，判断下列四个作法何者正确？‎ A．作的中垂线，交于P点 ‎ B．作∠ACB的角平分线，交于P点 C．作∠ABC的角平分线，交于D点，过D作直线BC的并行线，交于P点 D．过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交于P点 ‎【答案】Ｄ ‎10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于 A．20° B．30° C．40° D．50°‎ A B D O C ‎【答案】C ‎11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面积为，若点0到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是C ‎ (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 ‎【答案】C ‎12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ） ‎ ‎ A．6л B．5л C．3л D．2л ‎【答案】：D ‎13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．67.5°‎ C D A O P B ‎ 第13题图 ‎【答案】D ‎14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D． 5‎ ‎【答案】B ‎15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）‎ A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 ‎【答案】C ‎16. （2011山东枣庄，7，3分）如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ）‎ O P A A.1 B. C.2 D.4‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °‎ ‎【答案】‎ ‎2. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.‎ ‎【答案】50‎ ‎3. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.用角尺的较短边紧靠，并使较长边与相切于点.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点，较短边.若读得长为，则用含的代数式表示为 . ‎ ‎（第16题）‎ ‎【答案】当时，；‎ 当.‎ ‎4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距‎2cm的两个点在在线上，它们分别以‎2 cm/s和‎1 cm/s的速度在上同时向右平移，当点分别平移到点的位置时，半径为‎1 cm的与半径为的相切，则点平移到点的所用时间为 s. ‎ 第16题图 ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD=，则线段BC的长度等于__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎6. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为 ▲ ．‎ ‎【答案】32‎ ‎7. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=‎4cm，以点C为圆心，以‎3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ．‎ 第13题 ‎【答案】相交 ‎8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °‎ ‎【答案】‎ ‎9. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝‎5cm，将量角器沿DC方向平移‎2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为 cm.（精确到‎0.1cm）‎ ‎ ‎ 图① （第17题） 图②‎ ‎【答案】 24.5‎ ‎10．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．‎ ‎（第11题图）‎ ‎【答案】20°‎ ‎11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半 圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= .‎ ‎【答案】8π ‎12. （2011广东省，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的FM A DO EC O C B 延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= .‎ ‎（1）求证：CD∥BF；‎ ‎（2）求⊙O的半径；‎ ‎（3）求弦CD的长. ‎ ‎【答案】（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF ‎ ‎ ∵AB⊥CD ‎ ‎∴CD∥BF ‎ （2）连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ‎ ‎ ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=‎ ‎ ∴cos∠BAD=‎ ‎ 又∵AD=3 ∴AB=4‎ ‎ ∴⊙O的半径为2‎ F A D E O C B ‎ ‎ ‎（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE= ‎ ‎ ∴ED= ‎ ‎ ∴CD=2ED= ‎2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．‎ ‎（1）求证：CA是圆的切线；‎ ‎（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．‎ ‎（第22题）‎ ‎【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，‎ ‎∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．‎ ‎(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;‎ 在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;‎ ‎∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,‎ ‎∴BC=．即圆的直径为10.‎ ‎3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.‎ ‎(1) 求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连接OC， …………………1分 因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，‎ 所以，有.因为AC平分∠PAE，‎ 所以……………3分 所以 ……4分 又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线. ………………5分 ‎（2）解:过O作，垂足为F，所以，‎ 所以四边形OCDF为矩形，所以 ……………………………7分 因为DC+DA=6，设,则 因为⊙O的直径为10，所以，所以.‎ 在中，由勾股定理知 即化简得，‎ 解得或x=9. ………………9分 由，知，故. ………10分 从而AD=2， …………………11分 因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以…………12分 ‎4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.‎ 求证：（1）△ABC∽△POM;‎ ‎(2)2OA2=OP·BC.‎ ‎（第22题图）‎ ‎【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分 ‎ ∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分 ‎ ∴∠ACB=∠PMO………………3分 ‎ ∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分 ‎ ∴△ABC∽△POM………………5分 ‎(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分 ‎ 又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分 ‎∴2OA2=OP·BC………………8分 ‎5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，‎ ‎(1)求证：△ABE∽△ADB；‎ ‎(2)求AB的长；‎ ‎(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． ‎ 解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，‎ 又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB， ‎ ‎(2) ∵△ABE∽△ADB，∴，‎ ‎∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12‎ ‎∴AB=． ‎ ‎(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：‎ 连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，‎ ‎∴，‎ BF=BO=，‎ ‎∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，‎ ‎∴直线FA与⊙O相切．‎ ‎6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．‎ 求证：（1）∠AOC=2∠ACD；‎ ‎（2）AC2＝AB·AD．‎ ‎【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°， ‎ 即∠ACD+∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，‎ ‎∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；‎ ‎（2）如图，连接BC．‎ ‎∵AB是直径，∴∠ACB=90°．‎ 在Rt△ACD与△RtACD中，‎ ‎∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD． ‎ ‎7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，‎ ‎(1)求CD的长；‎ ‎(2)求BF的长．‎ ‎【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴‎ ‎(2) ∵BF是⊙O 的切线，‎ ‎∴FB⊥AB，‎ ‎∴CE∥FB，‎ ‎∴△ACE∽△AFB，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．‎ ‎（1）求证：CA是圆的切线；‎ ‎（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．‎ ‎（第22题）‎ ‎【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，‎ ‎∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．‎ ‎(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;‎ 在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;‎ ‎∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,‎ ‎∴BC=．即圆的直径为10.‎ ‎9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．‎ ‎（1）求证：OD⊥AC；‎ ‎（2）若AE=8，，求OD的长．‎ ‎【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径 ‎∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，‎ 又∵∠AOD=∠C， ‎ ‎∴∠AOD+∠A=90°，‎ ‎∴∠ADO=90°，‎ ‎∴OD⊥AC. ‎ ‎（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，‎ ‎∴D为AE中点 ，‎ ‎ ∴，‎ 又 ，∴ OD=3.‎ ‎10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，‎ ‎（1）求证：OD∥BE；‎ ‎（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．‎ 第20题 ‎【答案】（1）证明：连接OE，‎ ‎ ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，‎ ‎∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ‎ ‎∴∠AOD=∠EOD=∠AOE， ‎ ‎∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，‎ ‎∴OD∥BE ‎ ‎（2）OF=CD，‎ 理由：连接OC，‎ ‎∵BC、CE是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCB=∠OCE ‎ ‎ ∵AM∥BN，‎ ‎ ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°‎ ‎ 由（1）得∠ADO=∠EDO，‎ ‎ ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°‎ 在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，‎ ‎∴OF=CD． ‎ 第20题 ‎11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P，‎ ‎（1）求∠AOD的度数；‎ ‎（2）求证：PD是半圆O的切线；‎ ‎【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，‎ ‎（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB ‎＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线 ‎12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.‎ ‎（1）求证：△ABC∽ΔOFB；‎ ‎（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；‎ ‎（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.‎ ‎【解】（1）证明：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.‎ 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.‎ ‎∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.‎ ‎∴△ACB∽△OBF.‎ ‎（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，‎ ‎∴△ABD∽△BFO，‎ 当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.‎ ‎∴AD=BO=AB =1.‎ ‎∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.‎ 连接OP，∵DP是半圆O的切线，‎ ‎∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，‎ ‎∴四边形ADPO为正方形.‎ ‎∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.‎ ‎∴BQ=AD=1. ‎ ‎（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.‎ 过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.‎ ‎13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．‎ ‎ （1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ； ‎ ‎ （3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长 ‎_‎ Q ‎_‎ P ‎_‎ O ‎_‎ B ‎_‎ A 图8‎ ‎【答案】（1）证明：如图，连结OP ‎ ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ‎ ∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°‎ ‎ ∴PB是⊙O的切线 ‎ （2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°‎ ‎ ∴△QPB∽QOA ‎∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ ‎ （3）解：cos== ∴AO=12‎ ‎ ∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=‎ ‎ ∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12‎ ‎ ∵AB·PO= OB·BP ∴AB=‎ ‎_‎ Q ‎_‎ P ‎_‎ O ‎_‎ B ‎_‎ A 图8‎ ‎14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.‎ ‎(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.‎ ‎【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：‎ ‎ 如图，连接OD，‎ ‎∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，‎ ‎∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，‎ 即OD⊥BD，‎ ‎∴直线BD与⊙O相切.‎ ‎(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，‎ ‎∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，‎ 又∵OC=OD，‎ ‎∴△DOB是等边三角形，‎ ‎∴OA=OD=CD=5.‎ 又∵∠B=30°，∠ODB=30°，‎ ‎∴OB=2OD=10.‎ ‎∴AB=OA+OB=5+10=15.‎ ‎15. （2011江苏南通，22，8分）（本小题满分8分）‎ 如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.‎ ‎【答案】60°.‎ ‎16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.‎ ‎(1)求证：OB丄OC;‎ ‎(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O1的面积.‎ ‎【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中 ‎∵ ‎∴△AOB≌△AOB（HL）‎ 同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC ‎(2) 过点做O‎1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O‎1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O‎1C =6-x,根据勾股定理可知O‎1G²+GC²=O‎1C²‎ x²+3x²=（6-x）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2‎ ‎17. （2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长 ‎【答案】‎ ‎⑴证明：连接OD ‎∵OA=OD ‎∴∠ADO=∠OAD ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADO+∠BDO=90°‎ ‎∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°‎ ‎∵∠CDA=∠CBD ‎∴∠CDA+∠ADO=90°‎ ‎∴OD⊥CE 即CE为⊙O的切线 ‎18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。‎ （1） 求证：是半圆的切线；‎ （1） 若，，求的长。‎ B DA OA HA CA EA MA FA A ‎27题图 ‎【答案】‎ ‎⑴证明：连接，‎ ‎ ∵是直径 ∴‎ ‎ 有∵于 ∴‎ ‎ ∵ ∴ ‎ ‎ ∵是的角平分线 ‎ ∴ ‎ ‎ 又 ∵为的中点 ‎ ∴ ‎ ‎ ∵于 ‎ ∵ 即 ‎ 又∵是直径 ∴是半圆的切线 ···4分 ‎（2）∵，。‎ 由（1）知，，∴。‎ 在中，于，平分，‎ ‎∴，∴。‎ 由∽，得。‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎19. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO 作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。‎ ‎ (1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；‎ ‎ (2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。‎ y O x A B ‎【答案】‎ 解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，……………(1分)‎ ‎⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 − t，‎ 若直线l与⊙P相交，则……………(3分)‎ 解得： < t < ．………………………(5分)‎ ‎(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t − 4，AC = t．‎ 若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB，‎ ‎∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，‎ ‎∴，∴，解得t = ，……(6分)‎ 此时AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 − 3t = ≠ PC，‎ 故四边形CPBD不可能时菱形．………………(7分)‎ ‎(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)‎ 现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，‎ 若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴，‎ 即：，解得 ‎∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)‎ ‎20．（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．‎ ‎（1）求证：PB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．‎ ‎  ‎ ‎【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎    ∴∠PAO=90°‎ ‎    ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ‎    ∴BC＝CA，PB＝PA ‎    ∴△PBO≌△PAO ‎    ∴∠PBO＝∠PAO＝90°‎ ‎    ∴PB为⊙O的切线 ‎（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°‎ 由（1）知∠BCO＝90°‎ ‎    ∴AD∥OP ‎    ∴△ADE∽△POE ‎    ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ‎ ‎∵tan∠ABE=1/2 ‎ ‎∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ‎    ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝‎2m,EP=‎5m,则PA=‎‎3m ‎    ∵PA=PB∴PB=‎‎3m ‎    ∴sinE=PB/EP=3/5‎ ‎（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，‎ ‎∴PA＝PB＝2t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC ‎    ∴AF=t 进而由勾股定理得PF＝t ‎    ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5‎ ‎21. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．‎ ‎(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；‎ ‎(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．‎ ‎【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：‎ 作直径CE，连结AE．‎ ‎∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，‎ ‎∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，‎ ‎∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，‎ ‎∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．‎ ‎（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，‎ 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，‎ ‎∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，‎ ‎∴∠DOA=60°， ‎ ‎∴在Rt△DCO中， =，‎ ‎∴DC=OC=OA=2．‎ ‎22. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．‎ ‎⑴求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．‎ ‎（第25题图）‎ ‎【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°‎ ‎∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°‎ 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°‎ ‎∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线 ‎⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴．‎ ‎23. （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；‎ ‎（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r. ‎ ‎ ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC. ‎ ‎ ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ‎ ‎∴ = ，即 = . 解得r = ，‎ ‎∴⊙O的半径为. ‎ ‎ (2)四边形OFDE是菱形. ‎ ‎ ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.‎ ‎∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.‎ ‎∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ‎ ‎∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形. ‎ ‎∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.‎ ‎∴四边形OFDE是平行四边形. ‎ ‎∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.‎ ‎24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象是直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线过点C(a,0)且与垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.‎ ‎(1)写出A点的坐标和AB的长;‎ ‎(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线、y轴都相切,求此时a的值.‎ 答案:(1)A(-4,0),AB=5.‎ ‎(2)由题意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.‎ ‎∴∠APQ=∠AOB=90°。‎ ‎∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切。‎ ‎①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得 ‎ ,∴PQ=6,‎ 连接QF，则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得.‎ ‎∴,,∴QC=,a=OQ+QC=.‎ ‎②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得 ‎,∴PQ=.‎ 连接QE，则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，，‎ ‎∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值为和。‎ ‎25. （2011广东湛江27,12分）如图，在中，，点D是AC的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点．‎ ‎（1）求证：直线与相切；‎ ‎（2）若,求的直径．‎ ‎【答案】（1）证明：连接OD，在中，OA=OD，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，所以，即，‎ 所以BD与相切；‎ ‎（2）由于AE为直径，所以,由题意可知,又点D是AC的中点，且，所以可得，即的直径为5.‎ ‎26. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．‎ ‎⑴求证：点D是AB的中点；‎ ‎⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．‎ 第26题图 ‎【答案】（1）证明：连接CD,则CD， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴≌‎ ‎∴AD = BD ， 即点D是AB的中点．‎ 第26题图 ‎（2）DE是⊙O的切线 ． ‎ 理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE；‎ ‎∴DE 即DE是⊙O的切线；‎ ‎（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =， BC = 18，‎ ‎∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2，‎ 在中，DE=．‎ ‎27. （2011河北，25，10分）如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD间的距离为6，点M为AB上一定点.‎ 思考 如图14-1，圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间（包括AB,CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α.‎ 当α= 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 。‎ 探究一 在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N到CD的距离是 ‎ 探究二 将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。‎ ‎（1）如图14-3，当α=60°时，球在旋转过程中，点p到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；‎ ‎（2）如图14-4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围.‎ ‎（参考数据：sin49°=,cos41°=，tan37°= ）‎ ‎【答案】思考 90，2；‎ ‎ 探究一 30，2；‎ ‎ 探究二 ‎（1）由已知得M与P的距离为4，∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。‎ ‎（2）如图，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。‎ 如图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD,α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，由垂径定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。‎