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  • 2021-05-10 发布

中考数学中的最值计算问题

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中考数学中的最值计算问题 在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称之为“最值问题”。多年来,全国各市地初三毕业、升学考数学试题中屡屡出现求最值问题。虽然同学们熟悉这个概念,但一些学生解题时都感到束手无策。‎ 一、有关函数方面的最值问题 在初中阶段,我们要求掌握的有4种不同的函数类型。要掌握和它们有关的最值问题,必先要对它们有所必要的了解。‎ 完成下面的表格:‎ 函数类型 ‎(一般式)‎ 大 致 图 象 函数增减性 正比例函数 ‎___________________‎ 一次函数 ‎___________________‎ 反比例函数 ‎___________________‎ 二次函数 ‎___________________‎ 其对称轴:‎ ‎___________________‎ 二次函数的最值问题:‎ 想一想:函数的增减性与函数的图象有必然的联系:函数递增,则函数的图象斜向______;函数递减,则函数的图象斜向______。反之亦然。(数形结合的数学思想。)‎ 例1、已知正比例函数,当时,函数的取值范围是_____________________,‎ ‎ 即函数有最大值___________,最小值___________。‎ 例2、已知一次函数,当时,函数的取值范围是___________________,‎ 即函数有最大值___________,最小值___________。‎ 例3、已知反比例函数。‎ ‎(1)当时,则函数有最大值________,最小值________; (2)当或时,则函数有最大值________,最小值________。‎ 例4、已知二次函数。 (1)用五点法在右边的直角坐标系内画出草图,并指出对称轴是直线________; (2)当=_______时,则函数有最_____值_______; (3)当时,则函数有最大值________,则函数有最小值______; (4)当时,则函数有最大值_________,最小值_________。‎ 例5、(1)函数的最____值是________;‎ ‎(2)函数的最____值是________。‎ ‎(3)函数的最大值是________,最小值是________。‎ 例6、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次,公司要求电视台每周共播放7集。‎ ‎(1)设一周内甲连续剧播集,甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为万人次,求关于的函数关系式;‎ ‎(2)电视台每周只能为该公司提供不超过300min的播放时间,并且播放甲连续剧每集50min,播放乙连续剧每集35min,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大?并求出这个最大值。‎ 例7‎ ‎、有一种梭子蟹,从海上捕获后不放养最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹‎1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有‎10千克蟹死去,假定死蟹均于当天售出,售价都是每千克20元。‎ ‎⑴设天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于的函数关系式;‎ ‎⑵如果放养天后将活蟹一次性出售,并记‎1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于的函数关系式;‎ ‎⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?‎ 练1:某药制品车间现有A种药剂‎70g,B种药剂‎52g。计划用这两种药剂合成M、N两种规格的药品共80套。已知合成一套M型药品需要A种药剂‎0.6g,B种药剂‎0.9g,可获利45元;合成一套N型药品需要A种药剂‎1.1g,B种药剂‎0.4g,可获利50元。若设合成N型药品套数为,用这批药剂合成两种型号的药品所获的总利润为元。‎ ‎(1)求(元)关于(套)的函数关系式,并求出自变量的取值范围;‎ ‎(2)药制品车间合成这批药品,配制N型药品多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?‎ 练2:在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,如图的设计方案是使AC=8,BC=6。‎ ‎(1)求△ABC中AB边上的高;‎ ‎(2)设DN=,当取何值时,水池DEFN的面积最大?‎ 二、有关两点之间线段最短的最值问题 定理:在同一平面内, _______之间线段最短。‎ 例1、如图,在某个牧场A附近有个草场B,它们的旁边有一条小河。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草,每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时,饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。 ⑴请你设计一条把牛赶回来时的路线画在图上,要求路线最短。‎ ‎(保留作图痕迹) ⑵如果A、B两点到直线的射影分别为M、N,且AM=‎100米,‎ BN=MN=‎300米,求这条路线的长。‎ 练1、⑴如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是__________。‎ ‎⑵如图,在△ABC中,点A、B、C的坐标分别为(,0)、(0,1)和(3,2),则当△ABC的周长最小时,的值为_______。‎ 例2、⑴如图,如果一只蚂蚁从棱长为1的正方体ABCD-A’B’C’D’的点A爬到点C’,问至少要爬多少的路程?‎ ‎⑵如图,如果一只蚂蚁从底面半径为1,高为2的圆柱的底部B点爬到棱CD的中点P,问至少要爬多少的路程?(结果保留π)‎ M A 练2、如图,已知一圆锥的半径为‎3cm,高为cm。如果一只蚂蚁从圆锥的底端A点爬到另一侧母线的中点M,问至少要爬多少的路程?‎ 三、有关圆内以弦为底的三角形的最大面积问题 例1、在⊙O中,AB是⊙O的弦,点P在⊙O上。‎ ‎⑴在⊙O画出点P,要求使△PAB的面积最大。‎ ‎⑵若⊙O的半径为,且AB=4,求出△PAB的面积。‎ 例2、已知:AB是⊙O中一条长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=。问是否存在A、P、B 为顶点的面积最大的三角形,‎ 试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积。‎ ‎【提高训练】‎ ‎1、如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)。‎ ‎(1)若P(,0)是轴上的一个动点,则当=________时,△PAB的周长最短;‎ ‎(2)若C(,0),D(,0)是轴上的两个动点,则当=________时,四边形ABDC的周长最短;‎ A B x y O ‎(1)‎ A B x y O ‎(2)‎ A B x y O ‎(3)‎ ‎(3)设M,N分别为轴和轴上的动点,请问:是否存在这样的点M(,0),N(0,),使四边形ABMN的周长最短?若存在,请写出和的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎2、如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于轴的直线从轴出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线与菱形OABC的两边分别交于点M,N(点M在点N的上方)。‎ ‎(1)求A,B两点的坐标;‎ ‎(2)设OMN的面积为S,直线运动时间为秒(),试求S与的函数表达式;‎ A x y O B C M N l ‎(3)在题(2)的条件下,为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎ ‎