中考数学中的最值计算问题 4页

中考数学中的最值计算问题 在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最值问题”。多年来，全国各市地初三毕业、升学考数学试题中屡屡出现求最值问题。虽然同学们熟悉这个概念，但一些学生解题时都感到束手无策。‎ 一、有关函数方面的最值问题 在初中阶段，我们要求掌握的有4种不同的函数类型。要掌握和它们有关的最值问题，必先要对它们有所必要的了解。‎ 完成下面的表格：‎ 函数类型 ‎（一般式）‎ 大 致 图 象 函数增减性 正比例函数 ‎___________________‎ 一次函数 ‎___________________‎ 反比例函数 ‎___________________‎ 二次函数 ‎___________________‎ 其对称轴：‎ ‎___________________‎ 二次函数的最值问题：‎ 想一想：函数的增减性与函数的图象有必然的联系：函数递增，则函数的图象斜向______；函数递减，则函数的图象斜向______。反之亦然。（数形结合的数学思想。）‎ 例1、已知正比例函数，当时，函数的取值范围是_____________________，‎ ‎ 即函数有最大值___________，最小值___________。‎ 例2、已知一次函数，当时，函数的取值范围是___________________，‎ 即函数有最大值___________，最小值___________。‎ 例3、已知反比例函数。‎ ‎（1）当时，则函数有最大值________，最小值________； （2）当或时，则函数有最大值________，最小值________。‎ 例4、已知二次函数。 （1）用五点法在右边的直角坐标系内画出草图，并指出对称轴是直线________； （2）当＝_______时，则函数有最_____值_______； （3）当时，则函数有最大值________，则函数有最小值______； （4）当时，则函数有最大值_________，最小值_________。‎ 例5、（1）函数的最____值是________；‎ ‎（2）函数的最____值是________。‎ ‎（3）函数的最大值是________，最小值是________。‎ 例6、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。‎ ‎（1）设一周内甲连续剧播集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为万人次，求关于的函数关系式；‎ ‎（2）电视台每周只能为该公司提供不超过300min的播放时间，并且播放甲连续剧每集50min，播放乙连续剧每集35min，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大？并求出这个最大值。‎ 例7‎ ‎、有一种梭子蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹‎1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有‎10千克蟹死去，假定死蟹均于当天售出，售价都是每千克20元。‎ ‎⑴设天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于的函数关系式；‎ ‎⑵如果放养天后将活蟹一次性出售，并记‎1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于的函数关系式；‎ ‎⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售可获最大利润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？‎ 练1：某药制品车间现有A种药剂‎70g，B种药剂‎52g。计划用这两种药剂合成M、N两种规格的药品共80套。已知合成一套M型药品需要A种药剂‎0.6g，B种药剂‎0.9g，可获利45元；合成一套N型药品需要A种药剂‎1.1g，B种药剂‎0.4g，可获利50元。若设合成N型药品套数为，用这批药剂合成两种型号的药品所获的总利润为元。‎ ‎（1）求（元）关于（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；‎ ‎（2）药制品车间合成这批药品，配制N型药品多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？‎ 练2：在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC＝8，BC＝6。‎ ‎（1）求△ABC中AB边上的高；‎ ‎（2）设DN＝，当取何值时，水池DEFN的面积最大？‎ 二、有关两点之间线段最短的最值问题 定理：在同一平面内， _______之间线段最短。‎ 例1、如图，在某个牧场A附近有个草场B，它们的旁边有一条小河。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草，每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。 ⑴请你设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。‎ ‎（保留作图痕迹） ⑵如果A、B两点到直线的射影分别为M、N，且AM＝‎100米，‎ BN＝MN＝‎300米，求这条路线的长。‎ 练1、⑴如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是__________。‎ ‎⑵如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC的周长最小时，的值为_______。‎ 例2、⑴如图，如果一只蚂蚁从棱长为1的正方体ABCD-A’B’C’D’的点A爬到点C’，问至少要爬多少的路程？‎ ‎⑵如图，如果一只蚂蚁从底面半径为1，高为2的圆柱的底部B点爬到棱CD的中点P，问至少要爬多少的路程？（结果保留π）‎ M A 练2、如图，已知一圆锥的半径为‎3cm，高为cm。如果一只蚂蚁从圆锥的底端A点爬到另一侧母线的中点M，问至少要爬多少的路程？‎ 三、有关圆内以弦为底的三角形的最大面积问题 例1、在⊙O中，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上。‎ ‎⑴在⊙O画出点P，要求使△PAB的面积最大。‎ ‎⑵若⊙O的半径为，且AB＝4，求出△PAB的面积。‎ 例2、已知：AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，cos∠APB＝。问是否存在A、P、B 为顶点的面积最大的三角形，‎ 试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积。‎ ‎【提高训练】‎ ‎1、如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。‎ ‎（1）若P（，0）是轴上的一个动点，则当＝________时，△PAB的周长最短；‎ ‎（2）若C（，0），D（，0）是轴上的两个动点，则当＝________时，四边形ABDC的周长最短；‎ A B x y O ‎（1）‎ A B x y O ‎（2）‎ A B x y O ‎（3）‎ ‎（3）设M，N分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（，0），N（0，），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎2、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）。‎ ‎（1）求A，B两点的坐标；‎ ‎（2）设OMN的面积为S，直线运动时间为秒（），试求S与的函数表达式；‎ A x y O B C M N l ‎（3）在题（2）的条件下，为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎ ‎