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- 2021-05-10 发布
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最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练
1如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D。(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
2如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
3如图,一次函数y=- 二分之一x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=-x2
+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
4已知直线y=二分之一x+1与y轴交与点A,与x轴交与点D,抛物线y=二分之一x2+bx+c与直线交与A,E两点,与x轴交与B,C两点,且点B的坐标为【1,0】
【1】求抛物线的解析式;
【2】动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标;
【3】请你在抛物线的对称轴上找一点M,使丨AM-MC丨的值最大,求出点M的坐标。
5如图,直线y= 分别与x轴、y轴交于点C和点D,一组抛物线的顶点A1,A2,A3,…,An,依次是直线CD上的点,这组抛物线与x轴的交点依次是B1,B2,B3,…,Bn-1,Bn,且OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn,点A1坐标(1,1),则点An坐标为(2n-1,n).
6已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,如图矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围
7已知如图,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,过C作CD⊥x轴,垂足为D.
(1)求点A、B的坐标和AD的长;(2)求过B、A、D三点的抛物线的解析式.
8如图,已知动圆A始终经过定点B(0,2),圆心A在抛物线 y= x2上运动,MN为⊙A在x轴上截得的弦(点M在N左侧)
(1)当A(2 √2,a)时,求a的值,并计算此时⊙A的半径与弦MN的长.
(2)当⊙A的圆心A运动时,判断弦MN的长度是否发生变化?若改变,举例说明;若不变,说明理由.(3)连接BM,BN,当△OBM与△OBN相似时,计算点M的坐标
9如图,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为 A. ab=-2B. ab=-3C. ab=-4D. ab=-5
10如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 A. ( √2, √2)B. (2,2)C. ( √2,2)D. (2, √2)
11如图,已知菱形ABCD的边长为2√3,点A在x轴的负半轴上,点B在坐标原点,点D的坐标为(- √3,3),抛物线y=ax2+b.(a≠
0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移,过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF,设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3),是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
12如图,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.且A(3,0),D(-1,0),E(0,3).
(1)求点B的坐标;(2)探究:坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,请直接写出s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围
13已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B,OB=3,tan∠OAB= ,将∠OBA对折,使点O的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交x轴于点C,
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点Q是抛物线上一个动点,使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形,直接写出Q点坐标.
14如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由
.
15已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由
16如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=x2+mx+n的图象经过A,C两点.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)求证:∠BEF=∠AOE;(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
17如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值
17解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,解得。∴抛物线的函数关系式为。
设直线AC的函数关系式为y=kx+n,由直线AC过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,
令x=0,得y=3,即N(0,3)∴N′(6, 3)由得
D(1,4)。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t,则,解得。
∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),①当BD为平行四边形对角线时,由B、C、D、N的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E与点C重合,即E(2,3)。②当BD为平行四边形边时,∵点E在直线AC上,∴设E(x,x+1),则F(x,)。又∵BD=2
∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时,BD=EF。∴,即。
若,解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1)。若,解得,,∴E或E。
综上,满足条件的点E为(2,3)、(0,1)、、。
(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)。
∴。
∴
。
∵,
∴当时,△APC的面积取得最大值,最大值为。
13
解:假设a=-1,b=1时,抛物线m的解析式为:y=-x2
+1.
令x=0,得:y=1.∴C(0,1).
令y=0,得:x=±1.
∴A(-1,0),B(1,0),
∵C与C1关于点B中心对称,
∴抛物线n的解析式为:y=(x-2)2-1=x2-4x+3;
令x=0,得:y=b.∴C(0,b).
令y=0,得:ax2+b=0,∴x=± √-ba,∴A(- √-ba,0),B( √-ba,0),
∴AB=2 √-ba,BC=OC2+OB2=b2 -
b
a
1A1C是矩形,必须满足AB=BC,
∴2
√-ba
=b2
-
b
a
b
a
)=b2-
b
a
,
∴ab=-3.
∴a,b应满足关系式ab=-3.
故选B.
意知:OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2,
故点A1的横坐标为:1=2×1-1,
点A2的横坐标为:3=2×2-1,
点A3的横坐标为:5=2×3-1,
…
依此类推,点An的横坐标为:2n-1,
代入直线y=
1
2
x
+
1
2
中,
得:
1
2
(2n-1)+
1
2
=n-
1
2
+
1
2
=n,
故An(2n-1,n).
解:(1)∵y=-
1
2
x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)…(1分)
将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…(2分)
将x=4,y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2,解得b=
7
2
,
∴抛物线解析式为:y=-x2+
7
2
x+2…(3分)
(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),BE=4-t.
∵tan∠ABO=
OA
OB
=
2
4
=
1
2
,
∴ME=BE•tan∠ABO=(4-t)×
1
2
=2-
1
2
t.
又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=-t2+
7
2
t+2,
∴MN=yN-ME=-t2+
7
2
t+2-(2-
1
2
t)=-t2+4t…(5分)
∴当t=2时,MN有最大值4…(6分)
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.…
(7分)
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,
从而D为(0,6)或D(0,-2)…(8分)
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y=-
1
2
x+6,D2M的方程为y=
3
2
x-2,由两方程联立解得D为(4,4)…(9分)故所求的D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4)