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- 2021-05-10 发布
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教学内容
知识精要
一、圆
1、圆的有关概念与性质
圆的概念:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的内部:圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部:圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
直径与弧:连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的
部分叫圆弧,简称弧。
优弧劣弧:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆
的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。
同心圆与等圆等弧:圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆,能够重合的两个圆叫等
圆,同圆或等圆的半径相等,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆
过三点的圆的作法:利用中垂线找圆心
定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内
接三角形。
三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推理 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推理 2:圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相
等。
推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一
组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推理 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推理 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形
的外接圆
定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线。
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共
点叫切点。
直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则:
直线和圆相交 d<r;直线和圆相切 d=r;直线和圆相离 d>r。
八、切线的判定和性质
切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径
推理 1:经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
推理 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
九、三角形的内切圆
和三角形的三边都相切的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角
形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线
段的长,叫这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角。
十一、弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推理:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
十二、和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项。
推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
十三、圆和圆的位置关系
若连心线长为 d,两圆的半径分别为 R,r,则:
1、两圆外离 d >R+r;
2、两圆外切 d = R+r;
3、两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
4、两圆内切 d = R-r;(R>r)
5、两圆内含 d<R-r。(R>r)
定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
十四、两圆的公切线
和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线
两旁时,叫内公切线, 公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
十五、正多边形和圆
各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。
定理:把圆分成 n(n 3)等分:
⇔ ⇔ ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
≥
(l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形;
(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边
形。
定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。
正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半
径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。
正 n 边形的每个中心角等于
正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n 边形
的中心。
若 n 为偶数,则正 n 边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。
热身练习:
1.如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O,与斜边 AC 交
于 D,E 是 BC 边上的中点,连结 DE.
(1) DE 与半圆 O 相切吗?若相切,请给出证明;若不相
切,请说明理由;
(2) 若 AD、AB 的长是方程 x2-10x+24=0 的两个根,求直角
边 BC 的长.
解:(1)DE 与半圆 O 相切.
证明: 连结 OD、BD ∵AB 是半圆 O 的直径
∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在 Rt△BDC 中,E 是 BC 边上的中点
∴DE=BE∴∠EBD=∠BDE
∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°
∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE 与半圆 O 相切.
(2)解:∵在 Rt△ABC 中,BD⊥AC
∴ Rt△ABD∽Rt△ABC
∴
AB
AC=
AD
AB 即 AB2=AD·AC∴ AC=
AB2
AD
∵ AD、AB 的长是方程 x2-10x+24=0 的两个根
∴ 解方程 x2-10x+24=0 得: x1=4 x2=6
∵ AD