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- 2021-05-10 发布
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精品资料《2012年全国中考数学百卷压轴题分类解析汇编》,在对100套中考数学试卷解析的基础上将押轴题单独汇编构成10个专题。
每条题目给出了:1.原始题目(对照扫描试卷逐条检验,力求无差错);2.完整解答(解答全面,完整绘图,对网上流传的错误答题进行了更正);3.归纳考点;4.详细分析;5.考题出处;6.考题分值。
10个专题为:专题1:动点问题;专题2:函数问题;专题3:面积问题;专题4:三角形四边形存在性问题;专题5:定值问题;专题6:由运动产生的线段和差问题;专题7:几何三大变换相关问题;专题8:实践操作、探究类问题;专题9:几何综合问题;专题10:代数综合问题。
精品打造,助2013届学子步步登高!
专题1:动点问题
1. (2012上海市14分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,∴BD=BC=。
又∵OB=2,∴。
(2)存在,DE是不变的。
如图,连接AB,则。
∵D和E是中点,∴DE=。
(3)∵BD=x,∴。
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF,得,即
,解得EF=x。
∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由OD⊥BC,根据垂径定理可得出BD=BC= ,在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。
(2)连接AB,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长,再由D和E是中点,根据三角形中位线定理可得出DE= 。
(3)由BD=x,可知,由于∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠2+∠3=45°,过D作DF⊥OE,则DF=OF=,EF=x,OE=,即可求得y关于x的函数关系式。
∵,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),
∴。
2. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.
(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)
答:结论一: ;结论二: ;结论三: .
(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),
①求CE的最大值;
②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)
【答案】解:(1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD。
(2)①∵∠B=∠C,∠B=45°,∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD。
∴AD:AC=AE:AD,∴ 。
当AD最小时,AE最小,此时AD⊥BC,AD=BC=1。
∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。
②当AD=AE时,∴∠1=∠AED=45°,∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合,不合题意舍去。
当EA=ED时,如图1,∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时,如图2,
∵△ADE∽△ACD,∴DA:AC=DE:DC。
∴DC=CA=。∴BD=BC-DC=2-。
综上所述,当△ADE是等腰三角形时,BD的长的长为1或2-。
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性质。
【分析】(1)由∠B=∠C,根据等腰三角形的性质可得AB=AC;由∠1=∠C,∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC;又由∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。
(2)①由∠B=∠C,∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形,则,由∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD,则有AD:AC=AE:AD,即,当AD⊥BC,AD最小,此时AE最小,从而由CE=AC-AE得到CE的最大值。
②分当AD=AE,,EA=ED,DA=DE三种情况讨论即可。
3. (2012甘肃兰州12分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。
∵顶点在直线x=上,∴,解得。
∴所求函数关系式为。
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴。
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,;
当x=2时,。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则,解得,。∴直线CD对应的函数关系式为。
当x=时,。∴P()。
(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。
∴,即,得。
设对称轴交x于点F,则。
∵,
,
(0<t<4)。
∵,,0<<4,
∴当时,S取最大值是。此时,点M的坐标为(0,)。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可。
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可。
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可。
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到,从而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可。
4. (2012广东省9分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
【答案】解:(1)在中,
令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9);
令y=0,即,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,0)。
∴AB=9,OC=9。
(2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴,即:。
∴s=m2(0<m<9)。
(3)∵S△AEC=AE•OC=m,S△AED=s=m2,
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+。
∴△CDE的最大面积为,
此时,AE=m=,BE=AB﹣AE=。
又,
过E作EF⊥BC于F,则Rt△BEF∽Rt△BCO,得:,即:。
∴。
∴以E点为圆心,与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理,直线与圆相切的性质。
【分析】(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。
(2)直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围。
(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。
5. (2012贵州毕节16分)如图,直线l1经过点A(-1,0),直线l2经过点B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,),抛物线经过A、B、C三点。
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证:DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处,点P为抛物线上一动点,要使△PCG为等腰三角形,请写出符合条件的点P的坐标,并简述理由。
【答案】解:(1)∵抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,)三点,
∴ ,解得。
∴抛物线的解析式为:.
(2)证明:设直线l1的解析式为y=kx+b,由直线l1经过A(-1,0),C(0,
),得
∴ ,解得,∴直线l1的解析式为:y=-x 。
直线l2经过B(3,0),C(0,)两点,同理可求得直线l2解析式为:y= x 。
∵抛物线,
∴对称轴为x=1,D(1,0),顶点坐标为F(1, )。
点E为x=1与直线l2:y= x的交点,令x=1,得y= ,∴E(1, )。
点G为x=1与直线l1:y=-x 的交点,令x=1,得y= ,∴G(1,)。
∴各点坐标为:D(1,0),E(1, ),F(1,),G(1, ),它们均位于对称轴x=1上。
∴DE=EF=FG=。
(3)如图,过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1,CP1交对称轴于H点,连接CF,PG。
△PCG为等腰三角形,有三种情况:
①当CG=PG时,如图,由抛物线的对称性可知,此时P1满足P1G=CG。
∵C(0,),对称轴x=1,∴P1(2, )。
②当CG=PC时,此时P点在抛物线上,且CP的长度等于CG。
如图,C(1, ),H点在x=1上,∴H(1,)。
在Rt△CHG中,CH=1,HG=|yG-yH|=| -()|= ,
∴由勾股定理得:。∴PC=2.
如图,CP1=2,此时与①中情形重合。
又Rt△OAC中,,∴点A满足PC=2的条件,但点A、C、G在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形。
③当PC=PG时,此时P点位于线段CG的垂直平分线上.
∵l1⊥l2,∴△ECG为直角三角形。
由(2)可知,EF=FG,即F为斜边EG的中点。
∴CF=FG,∴F为满足条件的P点,∴P2(1,)。
又,∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。
又P1C=CG,∴△P1CG为等边三角形。
∴P1点也在CG的垂直平分线上,此种情形与①重合。
综上所述,P点的坐标为P1(2, )或P2(1, )。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)已知A、B、C三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上,只要分别求出其坐标,就可以得到线段DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点,F是抛物线顶点,其坐标易求;E是对称轴与直线l2交点,需要求出l2的解析式,G是对称轴与l1的交点,需要求出l1的解析式,而A、B、C三点坐标已知,所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。
(3)△PCG为等腰三角形,需要分三种情况讨论:CG=PG,CG=PC,PC=PG。
6. (2012贵州遵义12分)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
【答案】解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60°。
∵∠BQD=30°,∴∠QCP=90°。
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∴QC=QB+C=6+x。
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,∴PC=QC,即6﹣x=(6+x),解得x=2。
∴当∠BQD=30°时,AP=2。
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变。理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF。
∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°。
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,∴AP=BQ。
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。
∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ,AP=BQ,∠AEP=∠BFQ=90°,∴△APE≌△BQF(AAS)。
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。
∴DE=EF。
∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=AB。
又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3。
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变。
【考点】动点问题,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质。
【分析】(1)由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=QC,即6﹣x=(6+x),求出x的值即可。
(2)作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四边形PEQF是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变。
7. (2012湖北宜昌12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m)2+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切,其半径为3(1﹣)a.
(1)求点A的坐标和∠ABO的度数;
(2)当点C与点A重合时,求a的值;
(3)点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?
【答案】解:(1)当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣,
∴OA=1,OB=。∴A的坐标是(0,1)。
∴tan∠ABO=。∴∠ABO=30°。
(2)∵△CDE为等边三角形,点A(0,1),∴tan30°=,∴OD=。
∴D的坐标是(﹣,0),E的坐标是(,0),
把点A(0,1),D(﹣,0),E(,0)代入 y=a(x﹣m)2+n,得
,解得。∴a=﹣3。
(3)如图,设切点分别是Q,N,P,连接MQ,MN,MP,ME,过点C作CH⊥x轴,H为垂足,过A作AF⊥CH,F为垂足。
∵△CDE是等边三角形,∠ABO=30°,
∴∠BCE=90°,∠ECN=90°。
∵CE,AB分别与⊙M相切,∴∠MPC=∠CNM=90°。∴四边形MPCN为矩形。
∵MP=MN,∴四边形MPCN为正方形。
∴MP=MN=CP=CN=3(1﹣)a(a<0)。
∵EC和x轴都与⊙M相切,∴EP=EQ。
∵∠NBQ+∠NMQ=180°,∴∠PMQ=60°。∴∠EMQ,=30°。
∴在Rt△MEP中,tan30°=,∴PE=(﹣3)a。
∴CE=CP+PE=3(1﹣)a+(﹣3)a=﹣2a。
∴DH=HE=﹣a,CH=﹣3a,BH=﹣3a。
∴OH=﹣3a﹣,OE=﹣4a﹣。
∴E(﹣4a﹣,0),C(﹣3a﹣,﹣3a)。
设二次函数的解析式为:y=a(x+3a+)2﹣3a,
∵E在该抛物线上,∴a(﹣4a﹣+3a+)2﹣3a=0,
得:a2=1,解之得a1=1,a2=﹣1。
∵a<0,∴a=﹣1。
∴AF=2,CF=2,∴AC=4。
∴点C移动到4秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切。
【考点】动点问题,二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的性质,直线与圆相切的性质。
【分析】(1)已知直线AB的解析式,令解析式的x=0,能得到A点坐标;令y=0,能得到B点坐标;在Rt△OAB中,知道OA、OB的长,用正切函数即可得到∠ABO的值。
(2)当C、A重合时,可知点C的坐标,然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长,即可得到D、E的坐标,利用待定系数即可确定a的值。
(3)作出第一次相切时的示意图,已知的条件只有圆的半径,那么连接圆心与三个切点以及点E,首先能判断出四边形CPMN是正方形,那么CP与⊙M的半径相等,只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;那么可以从PE=EQ,即Rt△MEP入手,首先∠CED=60°,而∠MEP=∠MEQ,易求得这两个角的度数,通过解直角三角形不难得到PE的长,即可求出PE及点C、E的坐标.然后利用C、E的坐标确定a的值,从而可求出AC的长,由此得解。
8. (2012湖南常德10分)已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP: ②OP=ON,且OP⊥ON
(2) 设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。
【答案】(1)证明:如图1,
①∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,DC=BC,∠DCB=∠CBA=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∠DOC=90°,DC∥AB。
∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°。
∴∠BCN+∠CPD=90°,∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。
∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。
∵在△DCP和△CBN中,∠DCP=∠CBN,∠CPD=∠BNC,DC=BC,
∴△DCP≌△CBN(AAS)。∴CP=BN。
②∵在△OBN和△OCP中,OB=OC,∠OCP=∠OBN, CP=BN ,
∴△OBN≌△OCP(SAS)。∴ON=OP,∠BON=∠COP。
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°。
∴ON⊥OP。
(2)解:∵AB=4,四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2。
图1中,,
图2中,。
∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是:
。
【考点】正方形的性质,三角形外角性质,全等三角形的判定和性质,两线垂直的判定,多边形的面积的分解,函数解析式的确定,分段函数,点到直线的距离。
【分析】(1)对于图1,证明线段相等,一般情况下找全等。根据BN,CP的分布情况 可以观察△CNB和△DPC,然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN和△DBP,证明AN=BP,从而有BN=CP。
对于图2,证明如下:
①∵ABCD为正方形,AC,BD为对角线,∴∠DCP=90º。
∵CM⊥DP, ∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。
又∵∠DPB=∠ANC,BD=AC,∴△PDB≌△NCA(ASA)。
∴PB=AN,DP=CN。∴CP=BN。
②∵∠PDB=∠CAN,OD=OC, CP=BN,∴△PDO≌△NCO(SAS)。
∴OP=ON,∠DOP=∠CON。
∵∠DOC=90º,∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90º。∴OP⊥ON。
(2)求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积,则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1中,S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,,;图2中,S四边形OBNP=S△POB+S△PBN,代入求出即可。
9. (2012湖南张家界10分)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧上一动点(不与A.C重合).
(1)求∠APC与∠ACD的度数;
(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
【答案】解:(1)连接AC,如图所示:
∵AB=4,∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2,∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC与圆O相切于点C,∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
(2)连接PB,OP,
∵AB为直径,∠AOC=60°,∴∠COB=120°。
当点P移动到弧CB的中点时,∠COP=∠POB=60°。
∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。
∴四边形AOPC为菱形。
(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC。
当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP与AB都为圆O的直径,∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC与Rt△CPA中,AB=CP,AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)。
综上所述,当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA。
【考点】切线的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,圆周角定理,菱形的判定。
【分析】(1)连接AC,由直径AB=4,得到半径OA=OC=2,又AC=2,得到AC=OC=OA,即△AOC为等边三角形,可得出三个内角都为60°,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,得到∠APC为30°,由CD为圆O的切线,得到OC垂直于CD,可得出∠OCD为直角,用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数。
(2)由∠AOC为60°,AB为圆O的直径,得到∠BOC=120°,再由P为CB 的中点,得到两条弧相等,根据等弧对等角,可得出∠COP=∠BOP=60°,从而得到△COP与△BOP都为等边三角形,可得出OC=OB=PC=PB,即四边形OBPC为菱形。
(3)点P有两个位置使△APC与△ABC全等,其一:P与B重合时,显然两三角形全等;第二:当CP为圆O的直径时,此时两三角形全等。
10. (2012江苏无锡10分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1,连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。
运动ts后,AP=t,AO=t,∴。
又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC。
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=,
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当时,⊙P与边BC有2个公共点。
如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即 =t
∴t=。
∴当1≤t≤时,⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C,即t=2时,Q、B重合,⊙P过点B,
此时,⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述,当t=或1≤t≤或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当时,⊙P与边BC有2个公共点。
【考点】直线与圆的位置关系,菱形的性质,含30°角直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,切线的性质,等边三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论。
(2)分⊙P与BC切于点M,⊙P过点B,⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
11. (2012江苏南通12分)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明
理由.
【答案】解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=BC=6。
∵a=2,∴BP=2t,DQ=t。∴BQ=BD-QD=6-t。
∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:。
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。
∴PB:AB=CM:AC。
∵AB=AC,∴PB=CM。∴PB=PQ。
∴BE=BQ=(6-t)。
∵a=,∴PB=t。
∵AD⊥BC,∴PE∥AD。∴PB:AB=BE:BD,即。
解得,t=。
∴PQ=PB=t=(cm)。
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。
∴PB:AB=CM:AC。
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ。
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。
∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。
∴PB=CQ。
∵PB=at,CQ=BD+QD=6+t,∴PM=CQ=6+t,AP=AB-PB=10-at,且 at=6+t①。
∵PM∥CQ,∴PM:BC=AP:AB,∴,化简得:6at+5t=30②。
把①代入②得,t=。
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上。
【考点】等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,反证法。
【分析】(1)由△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,
即可求得BD与CD的长,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值。
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,由四边形PQCM为平行四边形,易证得PB=PQ,又由平行
线分线段成比例定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。
②用反证法,假设存在点P在∠ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在。
12. (2012江苏泰州12分) 如图,已知一次函数的图象与x轴相交于点A,与反比例函数
的图象相交于B(-1,5)、C(,d)两点.点P(m,n)是一次函数的图象上的动点.
(1)求k、b的值;
(2)设,过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D.试问△PAD的面积是
否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,求实数a的取值
范围.
【答案】解:(1)将点B 的坐标代入,得 ,解得。
∴反比例函数解析式为。
将点C(,d)的坐标代入,得。∴C(,-2)。
∵一次函数的图象经过B(-1,5)、C(,-2)两点,
∴,解得。
(2)存在。
令,即,解得。∴A(,0)。
由题意,点P(m,n)是一次函数的图象上的动点,且
∴点P在线段AB 上运动(不含A、B)。设P()。
∵DP∥x轴,且点D在的图象上,
∴,即D()。
∴△PAD的面积为。
∴S关于n的二次函数的图象开口向下,有最大值。
又∵n=,,得,而。
∴当时,即P()时,△PAD的面积S最大,为。
(3)由已知,P()。
易知m≠n,即,即。
若,则。
由题设,,解出不等式组的解为。
若,则。
由题设,,解出不等式组的解为。
综上所述,数a的取值范围为,。
【考点】反比例函数和一次函数综合问题,曲线上点的坐标与方程的关系,平行的性质,二次函数的性质,不等式组的应用。
【分析】(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系,由B 的坐标求得,从而得到;由点C在上求得,即得点C的坐标;由点B、C在上,得方程组,解出即可求得k、b的值。
(2)求出△PAD的面积S关于n的二次函数(也可求出关于m),应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。
(3)由m≠n得到。分和两种情况求解。
13. (2012江苏常州9分)已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;
(2)若点E与点A重合,则x的值为 ▲ ;
(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)y=-x2+4x。
(2)或。
(3)存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,
∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H=。
∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900,
∴△E D′A∽△D′P H。∴,即,
即,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得。
∵当时,y=,
∴此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当时,y=,
∴此时,点E在边AD上,符合题意。
∴当时,点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。
【分析】(1)∵CM=1,CP=x,DE=y,DP=4-x,且△MCP∽△PDE,
∴,即。∴y=-x2+4x。
(2)当点E与点A重合时,y=2,即2=-x2+4x,x2-4x+2=0。
解得。
(3)过点P作PH⊥AB于点H,则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,可得△E D′A与△D′P H相似,由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
14. (2012江苏徐州8分)如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AD=4cm,AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发,点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动,点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动,点F移动到点C时,两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH,点F出发xs时,正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分,如图2所示。请根据图中信息,解答下列问题:
(1)自变量x的取值范围是 ▲ ;
(2)d= ▲ ,m= ▲ ,n= ▲ ;
(3)F出发多少秒时,正方形EFGH的面积为16cm2?
【答案】解:(1)0≤x≤4。
(2)3,2,25.
(3)过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。
∴EI=DC=3,CI=DE=x。
∵BF=x,∴IF=4-2x。
在Rt△EFI中,。
∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积,
∴。
当y=16时,,
解得,。
∴F出发或秒时,正方形EFGH的面积为16cm2。
【考点】动点问题,矩形的判定和性质,平行线间垂直线段的性质,勾股定理,解一元二次方程。
【分析】(1)自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间,由时间=距离÷速度,即可求。
(2)由图2知,正方形EFGH的面积的最小值是9,而正方形EFGH的面积最小时,根据地两平行线间垂直线段最短的性质,得d=AB=EF=3。
当正方形EFGH的面积最小时,由BF=DE和EF∥AB得,E、F分别为AD、BC的中点,即m=2。
当正方形EFGH的面积最大时,EF等于矩形ABCD的对角线,根据勾股定理,它为5,即n=25。
(3)求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式,即可求得F出发或秒时,正方形EFGH的面积为16cm2。
15. (2012四川乐山13分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
【答案】解:(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,得 x1=3,x2=﹣1。
∵m<n,∴m=﹣1,n=3。∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3)。
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax2+bx。
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为。
(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b。
∴,解得:。
∴直线AB的解析式为。
∴C点坐标为(0,)。
∵直线OB过点O(0,0),B(3,﹣3),∴直线OB的解析式为y=﹣x。
∵△OPC为等腰三角形,∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。
设P(x,﹣x)。
(i)当OC=OP时,,解得(舍去)。
∴P1()。
(ii)当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,∴P2()。
(iii)当OC=PC时,由,解得(舍去)。
∴P3()。
综上所述,P点坐标为P1()或P2()或P3()。
②过点D作DG⊥x轴,垂足为G,交OB于Q,过B作BH⊥x轴,垂足为H.
设Q(x,﹣x),D(x,).
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ(OG+GH)
=
=。
∵0<x<3,∴当时,S取得最大值为,此时D()。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程,等腰三角形的性质,二次函数的最值。
【分析】(1)首先解方程得出A,B两点的坐标,从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2)①首先求出AB的直线解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时,当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,当OC=PC时分别求出x的值即可。
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数,从而得出最值即可。
16. (2012四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A.C.D
均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.
(1)求过A.C.D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A.E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且AB=5,∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=。
在Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3,∴OA=AD﹣OD=2。
∴A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0)。
设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣3),将C(0,4)代入得:
2×(﹣3)a=4,解得a=﹣。
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x﹣3)。
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:。
由(1)得:,则:
,解得:,。
由图可知:当y1<y2时,﹣2<x<5。
(3)∵S△PAE等于AE和AE上高乘积的一半,
∴当在抛物线上A.E两点之间,P到直线AB的距离最大时,S△PAE最大。
若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P。
设直线L:,
当直线L与抛物线有且只有一个交点时,,且△=0。
由化简,得
,
,
解得,b=。
且,解得。
∴直线L:。∴点P()。
由(2)得:E(5,),则直线PE:。
设直线PE与x轴交于点F,则点F(,0),∴AF=OA+OF=。
∴△PAE的最大值:。
综上所述,当P()时,△PAE的面积最大,为。
【考点】二次函数综合题,菱形的性质,锐角三角函数定义,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直线与抛物线的交点,平行线的性质,一元二次方程根的判别式。
【分析】(1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值,可求出OC.OD.OA的长,从而确定A.C.D三点坐标,通过待定系数法可求出抛物线的解析式。
(2)首先由A.B的坐标确定直线AB的解析式,然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点,然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分。
(3)该题的关键点是确定点P的位置:P△AE的面积最大,那么AE上的高最大,即点P离直线AE的距离最远,那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点。根据一元二次方程根的判别式△=0求解即可。
17. (2012四川广元12分)如图,在矩形ABCO中,AO=3,tan∠ACB=,以O为坐标原点,OC为x
轴,OA为y轴建立平面直角坐标系。设D,E分别是线段AC,OC上的动点,它们同时出发,点D以每
秒3个单位的速度从点A向点C运动,点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动,设运动时间为t
秒。
(1)求直线AC的解析式;
(2)用含t的代数式表示点D的坐标;
(3)当t为何值时,△ODE为直角三角形?
(4)在什么条件下,以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?并请选择一种
情况,求出所确定抛物线的解析式。
【答案】解:(1)根据题意,得CO=AB=BC•tan∠ACB=4,
∴A(0,3)、B(4,3)、C(4,0)。
设直线AC的解析式为:y=kx+3,代入C点坐标,得:4k+3=0,k=。
∴直线AC:y=x+3。
(2)分别作DF⊥AO,DH⊥CO,垂足分别为F,H,
则有△ADF∽△DCH∽△ACO。
∴AD:DC:AC=AF:DH:AO=FD:HC:OC,
而AD=3t(其中0≤t≤),OC=AB=4,AC=5,
∴FD=,AF=,DH=,HC=。
∴D(,)。
(3)CE= t,E(t,0),OE=OC-CE=4- t,HE=|CH-CE|=,
则OD2=DH2+OH2=,
DE2=DH2+HE2=。
当△ODE为直角三角形时,有OD2+DE2=OE2,或OD2+OE2=DE2
,或DE2+OE2=OD2,
即①,
或②,
或③,
上述三个方程在0≤t≤内的所有实数解为
。
(4)当DO⊥OE,及DE⊥OE时,即和时,以Rt△ODE的三个顶点不确定对
称轴平行于y轴的抛物线,其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。
∵D(,),E(4-t,0)
∴当时,D(,),E(3,0)。
∵抛物线过O(0,0),∴设所求抛物线为,将点D,E坐标代入,得
,解得。
∴所求抛物线为。
【考点】二次函数综合题,动点问题,矩形的性质,锐角三角函数定义,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】(1)在Rt△AOC中,已知AO的长以及∠ACB的正弦值,能求出OC的长,即可确定点C的坐
标,利用待定系数法能求出直线AC的解析式。
(2)过D作AO、OC的垂线,通过构建相似三角形来求出点D的坐标。
(3)用t表示出OD、DE、OE的长,若△ODE为直角三角形,那么三边符合勾股定理,据此列方
程求出对应的t的值。
(4)根据(3)的结论能得到t的值,△ODE中,当OD⊥x轴或DE垂直x轴时,都不能确定“一
条对称轴平行于y轴的抛物线”,余下的情况都是符合要求的,首先得D、E的坐标,再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
当时,所求抛物线为。
18. (2012四川巴中12分)如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,四边形ABCO
为矩形,AB=16,点D与点A关于y轴对称,tan∠ACB=,点E,F分别是线段AD,AC上的动点(点
E不与点A,D重合),且∠CEF=∠ACB。
(1)求AC的长和点D的坐标;
(2)说明△AEF与△DCE相似;
(3)当△EFC为等腰三角形时,求点E的坐标。
【答案】解:(1)∵四边形ABCO为矩形,∴∠B=90°。
在Rt△ABC中,BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12 ,AC=。
则AO=BC=12。∴ A(-12,0)。
∵点D与点A关于轴对称,∴D(12,0)。
(2)∵点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO。
∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,∴∠CDE=∠CEF。
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质),∴∠AEF=∠DCE。
则在△AEF与△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,
∴△AEF∽△DCE。
(3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况:
①当CE=EF时,∵△AEF∽△DCE,∴△AEF≌△DCE。∴AE=CD=20。
∴OE=AE-OA=20-12=8。∴E(8,0)。
②当EF=FC时,如图所示,过点F作FM⊥CE于M,
则点M为CE中点。
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF。
∵点D与点A关于y轴对称,∴CD=AC=20。
∵△AEF∽△DCE,
∴ ,即 ,解得。
∴OE=AE-OA=,∴E( ,0)。
③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF,
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,∴∠CFE=∠CAO。
即此时F点与A点重合,这与已知条件矛盾。
综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或(,0)。
【考点】坐标与图形性质,矩形的性质,轴对称的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】(1)利用矩形的性质,在Rt△ABC中,利用三角函数求出AC、BC的长度,从而得到A点坐标;
由点D与点A关于y轴对称,进而得到D点的坐标。
(2)欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可,在△AEF与△DCE中,易知
∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,从而问题解决。
(3)当△EFC为等腰三角形时,需要分CE=EF,EF=FC,CE=CF三种情况讨论。
19. (2012山东临沂11分)已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
【答案】(1)证明:∵b=2a,点M是AD的中点,∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°。
∴∠BMC=90°。
(2)解:存在,理由如下:
若∠BMC=90°,则∠AMB=∠DMC=90°。
又∵∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠DMC。
又∵∠A=∠D=90°,∴△ABM∽△DMC。∴。
设AM=x,则,整理得:x2﹣bx+a2=0。
∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2>0。
∴方程有两个不相等的实数根。
又∵两根之积等于a2>0,∴两根同号。
又∵两根之和等于b >0,∴两根为正。符合题意。
∴当b>2a时,存在∠BMC=90°。
(3)解:不成立.理由如下:
若∠BMC=90°,由(2)可知x2﹣bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2<0,∴方程没有实数根。
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立。
【考点】动点问题,矩形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°。
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即
可得方程:x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,结合根与系数的关系可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意。
(3)用反证法,由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况,即可求得答案。
20. (2012山东济宁10分)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4,0)、B(﹣2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;
(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.
【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4,0)、B(﹣2,0)两点
∴,解得。
∴抛物线的解析式为。
(2)设点P运动到点(x,0)时,有BP2=BD•BC,
在中,令x=0时,则y=﹣4,∴点C的坐标为(0,﹣4)。
∵PD∥AC,∴△BPD∽△BAC。∴。
∵,AB=6,BP=x﹣(﹣2)=x+2
∴,即。
∵BP2=BD•BC,∴,解得x1=,x2=﹣2(不合题意,舍去)。
∴点P的坐标是(,0)。
∴当点P运动到(,0)时,BP2=BD•BC。
(3)∵△BPD∽△BAC,∴
∴,
又∵,
∴。
∵<0,∴当x=1时,S△BPC有最大值为3。
∴点P的坐标为(1,0)时,△PDC的面积最大。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组和一元二次方程,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。
【分析】(1)该抛物线的解析式中有两个待定系数,只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可。
(2)首先设出点P的坐标,由PD∥AC得到△BPD∽△BAC,通过比例线段可表示出BD的长;BC的长易得,根据题干给出的条件BP2=BD•BC即可求出点P的坐标。
(3)由于PD∥AC,根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比,可表示出△BPD的面积;以BP为底,OC为高,易表示出△BPC的面积,△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积,通过所列二次函数的性质,即可确定点P的坐标。
21. (2012山东青岛12分)如图,在△ABC中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB
的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿
BA方向匀速运动,速度为2cm
/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t
<4)s.解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)当点Q在B、E之间运动时,设五边形PQBCD的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为
=1∶29?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
∴。
∵点D、E分别是AC、AB的中点,
∴AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC,且DE=BC=4。
∵PQ⊥AB,∴∠PQB=∠C=900。
又∵DE∥BC,∴∠AED=∠B。
∴△PQE∽△ABC。∴。
由题意,得PE=4-t,QE=2t-5,
∴,解得。
∴当时,PQ⊥AB。
(2)过点P作PM⊥AB于点M。
由△PME∽△ABC,得,
∴,即。
∴,
。
∴。
(3)假设存在时刻t使=1∶29,此时,,
∴,即。
解得(舍去)。
当时,PM=,ME=,EQ=5-2×2=1,
MQ=ME+EQ=,。
∵,∴。
当时, PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为=1∶29,此时点E到PQ的距离h。
【考点】动点问题,勾股定理,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,求二次函数关系式。
【分析】(1)由△PQE∽△ABC可列式求解。
(2)由△PME∽△ABC可求得,根据可求关系式。
(3)假设存在,由已知=1∶29可得,即可求出,进一步由求出。
22. (2012山东济南9分)如图,已知双曲线,经过点D(6,1),点C是双曲线第三象限上的动点,过C作CA⊥x轴,过D作DB⊥y轴,垂足分别为A,B,连接AB,BC.
(1)求k的值;
(2)若△BCD的面积为12,求直线CD的解析式;
(3)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
【答案】解:(1)∵双曲线经过点D(6,1),∴,解得k=6。
(2)设点C到BD的距离为h,
∵点D的坐标为(6,1),DB⊥y轴,∴BD=6,∴S△BCD=×6•h=12,解得h=4。
∵点C是双曲线第三象限上的动点,点D的纵坐标为1,∴点C的纵坐标为1-4= -3。
∴,解得x= -2。∴点C的坐标为(-2,-3)。
设直线CD的解析式为y=kx+b,
则,解得。
∴直线CD的解析式为。
(3)AB∥CD。理由如下:
∵CA⊥x轴,DB⊥y轴,点C的坐标为(-2,-3),点D的坐标为(6,1),
∴点A、B的坐标分别为A(-2,0),B(0,1)。
设直线AB的解析式为y=mx+n,
则,解得。
∴直线AB的解析式为。
∵AB、CD的解析式k都等于相等。
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。
【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平行的判定。
【分析】(1)把点D的坐标代入双曲线解析式,进行计算即可得解。
(2)先根据点D的坐标求出BD的长度,再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离,然后求出点C的纵坐标,再代入反比例函数解析式求出点C的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。
(3)根据题意求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出直线AB的解析式,可知与直线
CD的解析式k值相等,所以AB、CD平行。
23. (2012浙江嘉兴14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:四边形ODME是矩形.
【答案】解:(1)①把x=代入 y=x2,得 y=2,∴P(,2),∴OP=。
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴。
②设 Q(n,n2),∵tan∠QOB=tan∠POM,∴.∴。
∴Q()。∴OQ=。
∴当 OQ=OC 时,则C1(0,),C2(0,-)。
当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1)。
(2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2)。设 Q(n,n2),
∵△APO∽△BOQ,∴。∴,得。
∴Q()。
②设直线PO的解析式为:y=kx+b,把P(m,m2)、Q()代入,得:
,解得b=1。∴M(0,1)。
∵,∠QBO=∠MOA=90°,∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB,∴QO∥MA。
同理可证:EM∥OD。
又∵∠EOD=90°,∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值,代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长,通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断:
QO=QC时,Q在线段OC的垂直平分线上,Q、O的纵坐标已知,C点坐标即可确定;
QO=OC时,先求出OQ的长,那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中,已知了一个直角,只需判定该四边形是平行四边形即可,那么可通过证明两组对边平行来得证。
24. (2012浙江绍兴14分)如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线经过A,B两点。
(1)求A点坐标及线段AB的长;
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时,求t的值;
②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。
【答案】解:(1)由抛物线知:当x=0时,y=﹣2,∴A(0,﹣2)。
∵四边形OABC是矩形,∴AB∥x轴,即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时,,解得。∴B(4,﹣2)。
∴AB=4。
(2)①由题意知:A点移动路程为AP=t,Q点移动路程为7(t-1)=7 t -7。
当Q点在OA上时,即,时,
如图1,若PQ⊥AC,则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴,即,解得。
∵,∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时,即,时,
如图2,过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。
若PQ⊥AC,则有Rt△QDP∽Rt△ABC,
∴,即,解得。
∵,∴符合题意。
当Q点在BC上时,即,时,
如图3,若PQ⊥AC,过Q点作QG∥AC,
则QG⊥PG,即∠GQP=90°。
∴∠QPB>90°,这与△QPB的内角和为180°矛盾,
此时PQ不与AC垂直。
综上所述,当时,有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时,如图4,△BPQ∽△BAC,∴,
∴,解得t=2。
即当t=2时,PQ∥AC。此时AP=2,BQ=CQ=1。
∴P(2,﹣2),Q(4,﹣1)。
抛物线对称轴的解析式为x=2,
当H1为对称轴与OP的交点时,有∠H1OQ=∠POQ,
∴当yH<﹣2时,∠HOQ>∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′,连接PP′交OQ于点M,过P′作P′N垂直于对称轴,垂足为N,连接OP′,
在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1。∴OQ=,
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM,
∴PM=。∴PP′=2PM=。
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。
∴,即,解得 ,。
∴P′()。∴直线OP′的解析式为。
∴OP′与NP的交点H2(2,)。
∴当时,∠HOP>∠POQ。
综上所述,当或时,∠HOQ>∠POQ。
【考点】二次函数综合题,曲线图上点的坐标与方程的关系,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,对称的性质。
【分析】(1)已知抛物线的解析式,将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形,那么A、B纵坐标相同,代入该纵坐标可求出B点坐标,则AB长可求。
(2)①Q点的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析,若PQ⊥AC时,很显然前两种情况符合要求,首先确定这三段上t的取值范围,然后通过相似三角形(或构建相似三角形),利用比例线段来求出t的值,然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标,可判定P点在抛物线的对称轴上,若P、H1重合,此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′,OP′与NP的交点H2,亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而题目要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。