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- 2021-05-10 发布
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2015年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题,每小题3分,共36分,每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的)
1.下列图形中具有稳定性的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
考点: 三角形的稳定性.
分析: 直接根据三角形具有稳定性进行解答即可.
解答: 解:∵三角形具有稳定性,
∴A正确,B、C、D错误.
故选A.
点评: 本题考查的是三角形的稳定性,熟知三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定性是解答此题的关键.
2.必然事件的概率是( )
A. ﹣1 B. 0 C. 0.5 D. 1
考点: 概率的意义.
分析: 根据必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件即可解答.
解答: 解:∵必然事件就是一定发生的事件
∴必然事件发生的概率是1.
故选D.
点评: 本题主要考查随机事件的意义;事件分为确定事件和不确定事件(随机事件),确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中:
①必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;
②不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;
③如果A为不确定事件(随机事件),那么0<P(A)<1.
3.化简:=( )
A. ±2 B. ﹣2 C. 2 D. 2
考点: 立方根.
分析: 根据立方根计算即可.
解答: 解:=2.
故选C.
点评: 此题考查立方根,关键是根据立方根化简.
4.北京在今年6月初申办2022年冬季奥运会的陈述中,若申办成功,将带动月3.2亿人参与这项活动.将3.2亿用科学记数法表示为( )
A. 32×107 B. 3.2×108 C. 3.2×109 D. 0.32×1010
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:将3.2亿用科学记数法表示为:3.2×108.
故选:B.
点评: 此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
5.如图是由8个小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
考点: 简单组合体的三视图.
分析: 根据俯视图是从上边看得到的图形,可得答案.
解答: 解:从上边看第一层是三个小正方形,第二层有两个小正方形,第三层一个小正方形,
故选D.
点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.
6.已知函数y=,当x=2时,函数值y为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
考点: 函数值.
分析: 利用已知函数关系式结合x的取值范围,进而将x=2代入求出即可.
解答: 解:∵x≥0时,y=2x+1,
∴当x=2时,y=2×2+1=5.
故选:A.
点评: 此题主要考查了函数值,注意x的取值不同对应函数解析式不同,进而得出是解题关键.
7.一个角的余角是这个角的补角的,则这个角的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
考点: 余角和补角.
分析: 设这个角的度数为x,则它的余角为90°﹣x,补角为180°﹣x,再根据题意列出方程,求出x的值即可.
解答: 解:设这个角的度数为x,则它的余角为90°﹣x,补角为180°﹣x,
依题意得:90°﹣x=(180°﹣x),
解得x=45°.
故选B.
点评: 本题考查的是余角及补角的定义,能根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键.
8.下列命题的逆命题一定成立的是( )
①对顶角相等;
②同位角相等,两直线平行;
③若a=b,则|a|=|b|;
④若x=3,则x2﹣3x=0.
A. ①②③ B. ①④ C. ②④ D. ②
考点: 命题与定理.
专题: 计算题.
分析: 求出各命题的逆命题,判断真假即可.
解答: 解:①对顶角相等,逆命题为:相等的角为对顶角,错误;
②同位角相等,两直线平行,逆命题为:两直线平行,同位角相等,正确;
③若a=b,则|a|=|b|,逆命题为:若|a|=|b|,则a=b,错误;
④若x=3,则x2﹣3x=0,逆命题为:若x2﹣3x=0,则x=3,错误.
故选D.
点评: 此题考查了命题与定理,熟练掌握逆命题的求法是解本题的关键.
9.一组数:8,9,7,10,6,9,9,6,则这组数的中位数与众数的和是( )
A. 16.5 B. 17 C. 17.5 D. 18
考点: 众数;中位数.
分析: 中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);众数是一组数据中出现次数最多的数据.
解答: 解:在这一组数据中9是出现次数最多的,故众数是9;
将这组数据已从小到大的顺序排列,处于中间位置的两个数是8、9,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是8.5;
+9.5=17.5,
故选C.
点评: 本题为统计题,考查众数与中位数的意义.将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数;如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
10.有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处,测得小岛P在南偏东45°方向上,按原方向再航行10海里至C处,测得小岛P在正东方向上,则A,B之间的距离是( )海里.
A. 10 B. 10﹣10 C. 10 D. 10﹣10
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.
分析: 由题意得:∠CAP=30°,∠CBP=45°,BC=10海里,分别在Rt△BCP中和在Rt△APC中求得BC和AC后相减即可求得A、B之间的距离.
解答: 解:由题意得:∠CAP=30°,∠CBP=45°,BC=10海里,
在Rt△BCP中,
∵∠CBP=45°,
∴CP=BC=10海里,
在Rt△APC中,
AC===10海里,
∴AB=AC﹣BC=(10﹣10)海里,
故选D.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形,并选择合适的边角关系求解.
11.化简﹣的结果为( )
A. B. C. D.
考点: 分式的加减法.
分析: 先通分,再把分子相加减即可.
解答: 解:原式=﹣
=
=
=
=.
故选C.
点评: 本题考查的是分式的加减法,熟知异分母分式的加减法法则是解答此题的关键.
12.△ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,则第三条高的长度是( )
A. 4 B. 4或5 C. 5或6 D. 6
考点: 一元一次不等式组的整数解;三角形的面积;三角形三边关系.
专题: 计算题.
分析: 先设长度为4、12的高分别是a、b边上的,边c上的高为h,△ABC的面积是S,根据三角形面积公式,可求a=,b=,c=,结合三角形三边的不等关系,可得关于h的不等式,解即可.
解答: 解:设长度为4、12的高分别是a,b边上的,边c上的高为h,△ABC的面积是S,那么
a=,b=,c=,
又∵a﹣b<c<a+b,
∴﹣<c<+,
即 <<S,
解得3<h<6,
∴h=4或h=5,
故选B.
点评: 主要考查三角形三边关系;利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键;利用三角形三边关系求得第3条高的取值范围是解决本题的难点.
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.计算:|﹣2015|= 2015 .
考点: 绝对值.
分析: 根据负数的绝对值等于它的相反数,即可解答.
解答: 解:|﹣2015|=2015.
故答案为:2015.
点评: 本题考查了绝对值,解决本题的关键是熟记负数的绝对值等于它的相反数.
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BC=9,AC=8,BD=14,则△AOD的周长为 20 .
考点: 平行四边形的性质.
分析: 首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分,求出AD、OA、OD的长度,代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案.
解答: 解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,OA=OC,OB=OD,
∵BC=9,BD=14,AC=8,
∴AD=9,OA=4,OD=7,
∴△AOD的周长为:AD+OA+OD=20.
故答案为:20.
点评: 本题用到的知识点是平行四边形的性质,利用性质(平行四边形的对边相等、对角线互相平分)进行计算是解此题的关键.
15.实数﹣2的整数部分是 3 .
考点: 估算无理数的大小.
分析: 首先得出的取值范围,进而得出﹣2的整数部分.
解答: 解:∵5<<6,
∴﹣2的整数部分是:3.
故答案为:3.
点评: 此题主要考查了估计无理数大小,得出的取值范围是解题关键.
16.如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PO的延长线交⊙O于点B.若∠ABP=33°,则∠P= 24 °.
考点: 切线的性质.
分析: 连接OA,根据切线的性质得出OA⊥AP,利用圆心角和圆周角的关系解答即可.
解答: 解:连接OA,如图:
∵PA是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥AP,
∴∠OAP=90°,
∵∠ABP=33°,
∴∠AOP=66°,
∴∠P=90°﹣66°=24°.
故答案为:24.
点评: 此题考查切线的性质,关键是根据切线的性质得出OA⊥AP,再利用圆心角和圆周角的关系解答.
17.甲、乙两人各射击5次,成绩统计表如下:
环数(甲) 6 7 8 9 10
次数 1 1 1 1 1
环数(乙) 6 7 8 9 10
次数 0 2 2 0 1
那么射击成绩比较稳定的是 乙 (填“甲”或“乙”).
考点: 方差.
分析: 根据平均数和方差的公式求出甲和乙的方差,根据方差的性质比较得到答案.
解答: 解:甲的平均数为:(6+7+8+9+10)=8,
甲的方差为:[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=2,
乙的平均数为:(7×2+8×2+10)=8,
乙的方差为:[(7﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(10﹣8)2]=1.2,
∵甲的方差>乙的方差,
∴射击成绩比较稳定的是乙.
故答案为:乙.
点评: 本题考查的是平均数和方差的计算,掌握S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立是解题的关键.
18.观察下列砌钢管的横截面图:
则第n个图的钢管数是 n2+n (用含n的式子表示)
考点: 规律型:图形的变化类.
专题: 规律型.
分析: 本题可依次解出n=1,2,3,…,钢管的个数.再根据规律以此类推,可得出第n堆的钢管个数.
解答: 解:第一个图中钢管数为1+2=3;
第二个图中钢管数为2+3+4=9;
第三个图中钢管数为3+4+5+6=18;
第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30,
依此类推,第n个图中钢管数为n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+…=n2+n,
故答案为:n2+n.
点评: 本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
三.解答题(共8小题,共66分)
19.计算:|﹣3|+2cos30°+()0﹣()﹣1.
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: 分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
解答: 解:原式=3+2×+1﹣4
=3++1﹣4
=.
点评: 本题考查的是实数的运算,熟知绝对值的性质、0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键.
20.解不等式组,并求其整数解.
考点: 解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.
分析: 先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
解答: 解:
∵解不等式①得:x≥2,
解不等式②得:x<6,
∴不等式组的解集为2≤x<6,
∴不等式组的整数解为2,3,4,5.
点评: 本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是能求出不等式组的解集.
21.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M(1,3),N两点,点N的横坐标为﹣3.
(1)根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为 1或﹣3 ;
(2)求一次函数的解析式.
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: (1)根据图象可知方程=kx+b的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标,结合M、N点的横坐标可得出答案.
(2)首先把点于M(1,3)代入y=,求出m的值,因为点N的横坐标为﹣3,所以可代入反比例函数的解析式求出其纵坐标,再把M,N的坐标代入一次函数的解析式求出k和b的值即可.
解答: 解:(1)根据图象可知方程=kx+b的解即为一次函数图象在反比例函数图象交点的横坐标,
∵点M的横坐标为1,点N的横坐标为﹣3,
∴关于x的方程=kx+b的解为1或﹣3,
故答案为:1或﹣3;
(2)∵反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M(1,3),
∴m=3,
∴y=,
∵点N的横坐标为﹣3,
∴点N的纵坐标为﹣1.,
把M,N的坐标代入y=kx+b得
,
解得:,
∴y=x+2.
点评: 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,解题的关键是先由点的坐标求函数解析式,然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标,体现了数形结合的思想.
22.如图,AB∥DE,AB=DE,BF=EC.
(1)求证:AC∥DF;
(2)若CF=1个单位长度,能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗?若能,请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程;若不能,说明理由.
考点: 全等三角形的判定与性质;几何变换的类型.
专题: 网格型.
分析: (1)首先利用“SAS”证得△ABC≌△DEF,得出∠ACB=∠DFE,推出∠ACF=∠DFC,证得结论即可;
(2)根据平移和旋转描述图形变换过程即可.
解答: 解:(1)∵AB∥DE,
∴∠B=∠E,
∵BF=CE,
∴BF﹣FC=CE﹣FC,
即BC=EF,
∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴∠ACF=∠DFC,
∴AC∥DF;
(2)△ABC先向右平移1个单位长度,再绕点C旋转180°即可得到△DEF.
点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,平移变换的性质,找出三角形全等的条件BC=EF是解题的关键.
23.某班抽查25名学生数学测验成绩(单位:分),频数分布直方图如图:
(1)成绩x在什么范围的人数最多?是多少人?
(2)若用半径为2的扇形图来描述,成绩在60≤x<70的人数对应的扇形面积是多少?
(3)从相成绩在50≤x<60和90≤x<100的学生中任选2人.小李成绩是96分,用树状图或列表法列出所有可能结果,求小李被选中的概率.
考点: 列表法与树状图法;频数(率)分布直方图;扇形统计图.
专题: 计算题.
分析: (1)根据频数分布直方图得到80≤x<90范围的人数最多;
(2)用60≤x<70的人数除以总人数得到该组所占的百分比,然后用圆的面积乘以这个百分比即可得到成绩在60≤x<70的人数对应的扇形面积;
(3)先画出树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出有C的结果数,然后根据概率公式求解.
解答: 解:(1)成绩x在80≤x<90范围的人数最多,有9人;
(2)成绩在60≤x<70的人数对应的扇形面积=×π•22=π;
(3)50≤x<60的两名同学用A、B表示,90≤x<100的两名同学用C、D表示(小李用C表示),
画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中有C的结果数为6,
所以小李被选中的概率=.
点评: 本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了扇形统计图和频率分布直方图.
24.某次知识竞赛有20道必答题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分;3道抢答题,每一题抢答对得10分,抢答错扣20分,抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛,甲队必答题得了170分,乙队必答题只答错了1题.
(1)甲队必答题答对答错各多少题?
(2)抢答赛中,乙队抢答对了第1题,又抢到了第2题,但还没作答时,甲队啦啦队队员小黄说:“我们甲队输了!”小汪说:“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对.
考点: 二元一次方程组的应用.
专题: 应用题.
分析: (1)设甲队必答题答对答错各x道,y道,根据必答题共20道,甲队得分为170分列出方程组,求出方程组的解即可得到结果;
(2)“小黄的话”不对,理由为:根据规则:每一题抢答对得10分,抢答错扣20分,抢答不到不得分也不扣分.
解答: 解:(1)设甲队必答题答对答错各x道,y道,
根据题意得:,
解得:,
则甲队必答题答对答错各18道,2道;
(2)“小黄的话”不对,理由为:乙队若答错了,扣20分.
点评: 此题考查了二元一次方程组的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.
25.已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上.
(1)在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明);
(2)如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC于F.①求证:OD⊥BC;②求EF的长.
考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;作图—复杂作图.
分析: (1)按照作角平分线的方法作出即可;
(2)①先求得AC∥OD,然后根据圆周角定理求得∠ACB=90°,即可证得;②根据勾股定理求得BF,即CF的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得==,即可求得=,继而求得EF的长.
解答: 解:(1)尺规作图如图1所示:
(2)①如图2,∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠D,
∴∠CAD=∠D,
∴AC∥OD,
∴∠ACB=∠OFB,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OFB=90°,
∴OD⊥BC;
②∵AC∥OD,
∴=,即=,
∴OF=2,
∵FD=5﹣2=3,
在RT△OFB中,BF==,
∵OD⊥BC,
∴CF=BF=,
∵AC∥OD,
∴△EFD∽△ECA,
∴==,
∴=,
∴EF=CF=×=.
点评: 本题考查了尺规作图、圆周角定理和勾股定理、平行线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
26.抛物线y=x2+bx+c经过A(0,2),B(3,2)两点,若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动,点E的速度是每秒1个单位长度,点D的速度是每秒2个单位长度.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若点C为抛物线与x轴的交点,是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)问几秒钟时,B、D、E在同一条直线上?
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)把A(0,2),B(3,2)两点代入抛物线y=x2+bx+c即可得到结果;
(2)存在,由已知条件得AB∥x轴,根据平行四边形的性质对边相等列方程即可求得结果;
(3)设t秒钟时,B、D、E在同一条直线上,则OE=t,OD=2t,设直线BD的解析式为:y=kx+b,把B,D,E三点代入,解方程组即可得到答案.
解答: 解:(1)抛物线y=x2+bx+c经过A(0,2),B(3,2)两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣3x+2,
令y=0,则x2﹣3x+2=0,
解得:x1=1,x2=2,
∴抛物线与x轴的交点坐标是(1,0),(2,0);
(2)存在,由已知条件得AB∥x轴,
∴AB∥CD,
∴当AB=CD时,
以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形,
设D(m,0),
当C(1,0)时,则CD=m﹣1,
∴m﹣1=3,
∴m=4,
当C(2,0)时,则CD=m﹣2,
∴m﹣2=3,
∴m=5,
∴D(5,0),
综上所述:当D(4,0)或(5,0)时,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形;
(3)设t秒钟时,B、D、E在同一条直线上,则OE=t,OD=2t,
∴E(0,t),D(2t,0),
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
∴,
解得k=﹣或k=(不合题意舍去),
∴当k=﹣,t=,
∴点D、E运动秒钟时,B、D、E在同一条直线上.
点评: 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,平行四边形的判定和性质,一次函数图象上点的坐标特征,正确的理解题意,把握数量之间的关系是解题的关键.