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- 2021-05-10 发布
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专题训练
(四 边 形)
(120分钟 120分)
一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.(2019·益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
【解析】选D.①将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和为:180°+180°=360°;
②将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和为:180°+360°=540°;
③将矩形沿一组对边剪开,得到两个四边形,两个多边形的内角和为:360°+
360°=720°.
2.(2019·眉山中考)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 ( )
A.14 B.13 C.12 D.10
【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,周长为18,
所以AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
所以CD+AD=9,∠OAE=∠OCF,
在△AEO和△CFO中,
所以△AEO≌△CFO(ASA),
所以OE=OF=1.5,AE=CF,
则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
3.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选C.∵360°÷40°=9,∴这个多边形的边数是9.
4.如图,四边形ABCD,AEFG是正方形,点E,G分别在AB,AD上,连接FC,过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,则BH的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.3
【解析】选C.在正方形ABCD与正方形AEFG中,EF∥AG∥BC,又EH∥FC,∴四边形EFCH是平行四边形,∴HC=EF=1,∴BH=3.
5.(2019·菏泽东明模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( )
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
【解析】选B.因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC,又因为AD=DE,所以DE∥BC,且DE=BC,所以四边形BCED为平行四边形;A.因为AB=BE,DE=AD,所以BD⊥AE,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B.因为对角线互相垂直的平行四边形为菱形,不一定为矩形,故本选项符合题意;C.因为∠ADB=90°,
所以∠EDB=90°,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D.因为CE⊥DE,
所以∠CED=90°,所以▱DBCE为矩形,故本选项不符合题意.
6.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP的度数是
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
【解析】选B.∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=∠BCA=45°,
∵BP=BC,
∴∠BCP=∠BPC=67.5°,
∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=67.5°-45°=22.5°.
7.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若四边形EFGH为菱形,则对角线AC,BD应满足的条件是 ( )
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AC⊥BD且AC=BD
D.不确定
【解析】选B.满足的条件应为:AC=BD.
理由如下:∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=AC;同理EF∥AC且EF=AC,同理可得EH=BD,
则HG∥EF且HG=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形,又AC=BD,所以EF=EH,
∴四边形EFGH为菱形.
8.(2019·胶州市一模)如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AD交AD于点E,则OE等于 ( )
A. B.2 C.2 D.2.5
【解析】选A.作CF⊥AD交AD于点F,如图所示:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,所以∠DCF=30°,所以DF=CD=2,所以CF=DF=2,
因为CF⊥AD,OE⊥AD,所以CF∥OE,因为OA=OC,
所以OE是△ACF的中位线,所以OE=CF=.
9.(2019·兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,
DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
【解析】选A.∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形OCED为平行四边形,
∵ABCD为矩形,∴OC=OD,
∴四边形OCED为菱形,
∴OD=DE=2,∴BD=2OD=4,∴CD=2,
三角形OCD为等边三角形,高为,
所以四边形OCED的面积为2.
10.(2019·淄博临淄模拟)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为 ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】选C.因为四边形AECF是菱形,AB=3,所以假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,因为四边形AECF是菱形,所以∠FCO=∠ECO,因为∠ECO=∠ECB,所以∠ECO=
∠ECB=∠FCO=30°
,2BE=CE,所以CE=2x,所以2x=3-x,解得x=1,所以CE=2,利用勾股定理得出:BC2+BE2=EC2,BC===,
又因为AE=AB-BE=3-1=2,
则菱形的面积是AE·BC=2.
11.如图,已知正五边形ABCDE,AF∥CD,交DB的延长线于点F,则∠DFA等于
A.30° B.36° C.45° D.32°
【解析】选B.在正五边形ABCDE中,∠C=×(5-2)×180°=108°,
∵正五边形ABCDE的边BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
∴∠CDB=(180°-108°)=36°,
∵AF∥CD,
∴∠DFA=∠CDB=36°.
12.(2019·岱岳区模拟)如图,将正方形纸片ABCD沿FH折叠,使点D与AB的中点E重合,则△FAE与△EBG的面积之比为 ( )
A.4∶9 B.2∶3 C.3∶4 D.9∶16
【解析】选D.因为四边形ABCD是正方形,所以设AB=BC=CD=AD=16,因为AE=EB=8,EF=FD,所以设EF=DF=x.则AF=16-x,在Rt△AEF中,因为AE2+AF2=EF2,所以82+(16-x)2=x2,所以x=10,所以AF=16-10=6,因为将正方形纸片ABCD沿FH折叠,使点D与AB的中点E重合,∠A=∠B=∠D=90°,所以∠FEG=90°,所以∠AEF+∠BEG=∠AEF+∠AFE=90°,
所以∠AFE=∠BEG,所以△AFE∽△BEG,所以==.
13.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.若四边形ADEF是菱形,则
△ABC必须满足的条件是 ( )
A.AB⊥AC
B.AB=AC
C.AB=BC
D.AC=BC
【解析】选B.AB=AC,
理由是:∵AB=AC,E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∵D,F分别为AB和AC的中点,
∴DF∥BC,
∴AE⊥DF,
∵D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,
∴EF∥AD,DE∥AF,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∵AE⊥DF,
∴四边形ADEF是菱形,
即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形,选项A,C,D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形.
14.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若BD=6,则四边形CODE的周长是 ( )
A.10 B.12 C.18 D.24
【解析】选B.∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=AC,OD=BD,AC=BD=6,
∴OC=OD=3,∴四边形CODE是菱形,
∴DE=OC=OD=CE=3,
∴四边形CODE的周长=4×3=12.
15.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE是∠DAB的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于 ( )
A.4 B.8 C.6 D.9
【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠EAF=∠AED.
又AE是∠DAB的平分线,
∴∠DAE=∠EAF,∴∠DAE=∠AED,
∴AD=ED.
∵AB∥CD,EF∥AD∥BC,
∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形.
∴四边形ADEF是菱形.
∴AD=AF=9-4=5,AO=AE=4,AE⊥DF.
∴DO==3,
∴DF=2DO=2×3=6.
16.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为 ( )
A.4 B.3 C.2+ D.+1
【解析】选C.过点M作MF⊥AC于点F,如图所示.
∵MC平分∠ACB,四边形ABCD为正方形,
∴∠CAB=45°,FM=BM.
在Rt△AFM中,
∠AFM=90°,∠FAM=45°,AM=2,
∴FM=AM·sin∠FAM=.
∴BM=,∴AB=AM+MB=2+.
17.(2019·绍兴模拟)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P.由两点之间线段最短可知:当E,P,F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.因为四边形ABCD为菱形,周长为12,所以AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,因为AF=2,AE=1,所以DF′=DF=AE=1,所以四边形AEF′D是平行四边形,所以EF′=AD=3.所以EP+FP的最小值为3.
18.如图,菱形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF,EF,若四边形ABCD的面积是40cm2,则△CEF的面积为 ( )
A.5 cm2 B.10 cm2
C.15 cm2 D.20 cm2
【解析】选C.如图,连接AC,分别交EF,BD于点M,O.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO(设为λ).
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF为△ABD的中位线,
∴EF∥BD,EF=BD,AO⊥EF.
∴△ABD∽△AEF,
∴==2,
∴OM=OA=0.5λ,CM=1.5λ,
∴==,
∵S四边形ABCD=40,
∴S△EFC=15(cm2).
19.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为 ( )
A.8 B.8 C.4 D.6
【解析】选D.如图,连接OB,由题意易证△OFC≌△OEA,
∴OF=OE,OC=OA,
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,∠EBO=∠FBO,
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO,
又∵∠BEF=2∠BAC,
即2∠BAC+∠BAC=90°,
解得∠BAC=30°,
∴∠EBO=∠FBO=30°,
∴∠FBC=30°,
∵FC=2,∴BC=2,
∴AC=2BC=4,
∴AB===6.
20.(2019·昆明中考) 如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH,下列结论:
①EG=DF;
②∠AEH+∠ADH=180°;
③△EHF≌△DHC;
④若=,则3S△EDH=13S△DHC,
其中结论正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.由题意得HF=HG,∠HFD=∠HGE,DF=AE=EG,∴△DHF≌△EHG,
∴EG=DF,
∴∠HEG=∠HDF,∴∠HEA+∠ADH=180°,若AE∶AB=2∶3可得④正确;∴正确的结论有4个.
二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
21.(2019·连云港中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥
CD于点F,若∠EAF=56°,则∠B=________°.
【解析】因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEC=∠AFC=90°,
在四边形AECF中,∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°=
124°,
在▱ABCD中,∠B=180°-∠C=180°-124°=56°.
答案:56
22.(2019·临沂兰山模拟)如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为________.
【解析】因为▱ABCD的周长为36,所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,所以OD=OB=BD=6.又因为点E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,DE=CD,所以OE=BC,
所以△DOE的周长=OD+OE+DE
=BD+(BC+CD)=6+9=15,
即△DOE的周长为15.
答案:15
23.(2019·东平县一模)如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB,若NF=NM=2,ME=3,则AN的长度为________.
【解题指南】由△MAE∽△NAF,推出=,列方程即可解决问题.
【解析】设AN=x,因为四边形ABCD是菱形,
所以∠MAE=∠NAF,因为∠AEM=∠AFN=90°,
所以△MAE∽△NAF,
所以=,所以=,所以x=4,所以AN=4.
答案:4
24. 如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),过A,P在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE,EC,当△CDE为等腰三角形时,AP=________.
【解析】连接AE,
∵四边形ABCD,APEF是正方形,
∴A,E,C共线,
①当CD=CE=时,AE=AC-EC=2-,
∴AP=AE=-1;
②当ED=EC时,∠DEC=90°,∠EDC=∠ECD=45°,EC=CD=1,
∴AE=AC-EC=1,
∴AP=AE=;
③当DE=DC时,不符合题意,
∴当△CDE为等腰三角形时,AP=-1或.
答案:-1或
三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
25.(8分)(2019·陕西中考)如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF = DE,连接AF,CE.
求证:AF∥CE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠1=∠2.
又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD.
∴DF=BE.
∴△ADF≌△CBE.
∴∠AFD=∠CEB.
∴AF∥CE.
26.(8分)(2019·长春中考)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.
(1)求证:BD∥EF.
(2)若=,BE=4,求EC的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形,
∴BD∥EF.
(2)∵四边形BEFD是平行四边形,∴DF=BE=4,
∵DF∥EC,∴△DFG∽△CEG,
∴=,∴CE==4×=6.
27.(10分)(2019·济南章丘模拟)如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接BE.
(1)如图①:求证∠AFD=∠EBC.
(2)如图②,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数.
(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)
【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,
所以DC=CB,
在△DCE和△BCE中,
所以△DCE≌△BCE(SAS),所以∠EDC=∠EBC,
因为DC∥AB,所以∠EDC=∠AFD,所以∠AFD=∠EBC.
(2)因为DE=EC,所以∠EDC=∠ECD,
设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°,则∠CBF=2x°,
由BE⊥AF得2x+x=90,解得x=30,
所以∠DAB=∠CBF=60°.
(3)分两种情况:
①如图1,当F在AB延长线上时,
因为∠EBF为钝角,所以只能是BE=BF,设∠BEF=∠BFE=x°,
可通过三角形内角和为180°得90+x+x+x=180,
解得x=30,所以∠EFB=30°;
②如图2,当F在线段AB上时,
因为∠EFB为钝角,所以只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,可证得∠AFD=∠FDC=∠CBE,
得x+2x=90,解得x=30,所以∠EFB=120°,
综上∠EFB=30°或120°.
28.(10分)(2019·兰州中考)阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答:
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题的方法,解决问题.
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
【解析】(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC.∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,
∵G,H分别是CD,AD的中点,
∴GH∥AC,GH=AC,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:
由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,
当AC=BD时,FG=BD,EF=AC,
∴FG=EF,
∴四边形EFGH是菱形.
②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.
29.(12分)如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.
【解析】(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=90°.
又∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠BAG+∠BAE=45°.
∴∠GAE=∠FAE.
在△GAE和△FAE中,
∴△GAE≌△FAE.
②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,
∴AB=AH,GE=EF=5.
设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3.
在Rt△EFC中,由勾股定理得:EC2+FC2=EF2,即(x-2)2+(x-3)2=25.
解得:x=6.
∴AB=6.∴AH=6.
(2)MN2=ND2+BM2.理由如下:如图所示:将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′,连接NM′.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
由旋转的性质可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BM=DM′.
∴∠NDM′=90°.
∴NM′2=ND2+DM′2.
∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠FAM′=45°.
在△AMN和△ANM′中,
∴△AMN≌△ANM′.
∴MN=NM′.
∴MN2=ND2+BM2.