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- 2021-05-10 发布
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2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题25小题,满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名;填写座位号,再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,涉及作图的题目,用2B铅笔画图.答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分选择题(共30分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、下列各数中,最小的数是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.
2、下列立体图形中,是多面体的是( )
3、下列计算中,正确的是( )
A. B. C. D.
4、下列命题中,正确的是( )
A.对顶角相等 B.同位角相等 C.内错角相等 D.同旁内角互补
5、以为解的二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
6、下列各图中,是轴对称图案的是( )
7、二次函数与x轴的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点,再由B点向东南方向走10米到达C点,则正确的是( )
A.∠ABC=22.5° B.∠ABC=45°
C.∠ABC=67.5° D.∠ABC=135°
9、关于x的方程的两根同为负数,则( )
A.且 B.且
C.且 D.且
10、如图,⊙O是△ABC的内切圆,OD⊥AB于点D,交⊙O于点E,∠C=60°,如果⊙O的半径为2,则结论错误的是( )
A. B.
C. D.
第二部分选择题(共120分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11、化简 .
12、方程的解是 .
13、线段AB=4㎝,在线段AB上截取BC=1㎝,则AC= ㎝.
14、若代数式有意义,则实数x的取值范围是
15、已知广州市的土地总面积是7434,人均占有的土地面积S(单位:
人),随全市人口n(单位:人)的变化而变化,则S与n的函数关系式是 .
16、如图,点D是AC的中点,将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AD长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是 ㎝
三、解答题
17、(9分)请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式。
18、(9分)下图是一个立体图形的三视图,请写出这个立体图形的名称,并计算这个立体图形的体积。(结果保留)
19、(10分)甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书,
(1)求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率;
(2)求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率。
20、(10分)某校初三(1)班50名学生参加1分钟跳绳体育考试。1
分钟跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表(60~70表示为大于等于60并且小于70)和扇形统计图。
(1)求m、n的值;
(2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上(含80分)的人数占全班人数的百分比;
(3)根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少?并说明理由。
21、(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.
(1)求证:BF=CE;
(2)若∠C=30°,,求AC.
22、(14分)二次函数图象过A、C、B三点,点A
的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求C的坐标;
(2)求二次函数的解析式,并求出函数最大值。
23、(12分)某博物馆的门票每张10元,一次购买30张到99张门票按8折优惠,一次购买100张以上(含100张)按7折优惠。甲班有56名学生,乙班有54名学生。
(1)若两班学生一起前往参观博物馆,请问购买门票最少共需花费多少元?
(2)当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时,至少要多少人,才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜?
24、(14分)一次函数过点(1,4),且分别与x轴、y轴交于A、B点,点P(a,0)在x轴正半轴上运动,点Q(0,b)在y轴正半轴上运动,且PQ⊥AB
(1)求的值,并在直角坐标系中画出一次函数的图象;
(2)求a、b满足的等量关系式;
(3)若△APQ是等腰三角形,求△APQ的面积。
25、(12分)已知Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,求证:BM=DM且BM⊥DM;
(2)如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角,如图②,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明。
2007年广州市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题3分,满分30分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
C
B
B
D
A
D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题3分,满分18分.
题号
11
12
13
14
15
16
答案
2
x =4
3
2
三、解答题:本大题考查基本知识和基本运算,及数学能力,满分102分.
17.本小题主要考查代数式的基本运算.满分9分.
解:本题共有六种答案,只要给出其中一种答案,均正确.
.
.
.
.
.
.
18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积,考查运算能力.满分9分.
解:该立体图形为圆柱.
因为圆柱的底面半径,高,
所以圆柱的体积(立方单位).
答:所求立体图形的体积为立方单位.
19.本小题主要考查等可能性等基本概念,考查简单事件的概率计算.满分10分.
解法1:(1)甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有:
从树状图可以看出,这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种,
所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率.
(2)甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有:
从树状图可以看出,这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种,
所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率.
解法2:(1)甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB共4种,其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种,
所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率.
(2)甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种,其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB共2种,
所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率.
20.本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力,考查数据分析能力.满分10分.
解:(1) 由扇形统计图知:
初三(1)班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54%,
∴ .
∴ .
∵ ,
∴ .
(2)由频数分布表可知:
初三(1)班1分钟跳绳成绩在80分以上(含80分)的人数为.
∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上(含80分)的人数占全班人数的百分比为.
(3)本题答案和理由不唯一,只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85~100分之间的某一个值或某个范围,理由合理,均正确.
例如:估计平均分为92分,估计方法为:取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30,则该班学生1分钟跳绳的平均分为
(分).
(说明:只要按照在每个分数段中按等距离取值,然后计算加权平均分,均正确.)
又如:估计平均分在90~100分之间,理由是:该班有18个人的成绩在90~100分之间,而且30个人的成绩超过90分.
21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算能力、演绎推理能力和空间观念.满分12分.
(1)证明:
∵ AE、AF是⊙O的切线,
∴ AE=AF.
又∵ AC=AB,
∴ ACAE=ABAF.
∴CE=BF,即BF=CE.
(2)解法1:连结AO、OD,
∵ O是△ABC的内心,
∴ OA平分∠BAC.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆,D是切点,
∴ OD⊥BC.
又∵ AC=AB,
∴ AO⊥BC.
∴ A、O、D三点共线,即AD⊥BC.
∵ CD、CE是⊙O的切线,
∴ CD=CE=.
在Rt△ACD中,由∠C=30°,CD =,得.
解法2:先证 AD⊥BC,CD=CE=(方法同解法1).
设AC=x,在Rt△ACD中,由∠C=30°,得.
∵ ,
∴ .
解之,得(负值舍去).
∴AC的长为4.
22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识,考查数形结合的数学思想,考查计算能力和推理能力.满分14分.
解:(1)∵ A(1,0)、B(4,0),
∴ AO=1, OB=4,即AB= AO+OB=1+4=5.
∴ OC=5,即点C的坐标为(0,5).
(2)解法1:设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ,
C
O
A
B
x
y
由于这个函数的图象过点(0,5),可以得到c=5,又由于该图象过
点(-1,0)、(4,0),则:
解这个方程组,得
∴ 所求的二次函数解析式为.
∵,
∴当时,y有最大值.
解法2:
设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为,
∵ 点C(0,5)在图象上,
∴ ,即.
∴ 所求的二次函数解析式为.
∵ 点A、B的坐标分别为点A、B,
∴ 线段AB的中点坐标为,即抛物线的对称轴为直线.
∵ ,
∴ 当时,y有最大值.
23.本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力,考查分类的数学思想,考查建立不等式(组)模型解决实际问题的能力.满分12分.
解:(1)当两个班分别购买门票时,
甲班购买门票的费用为56×10×0.8=448(元);
乙班购买门票的费用为54×10×0.8=432(元);
甲、乙两班分别购买门票共需花费880元.
当两个班一起购买门票时,
甲、乙两班共需花费(56+54)×10×0.7=770(元).
答:甲、乙两班购买门票最少共需花费770元.
(2)当多于30人且不足100人时,设有x人前往参观,才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜,根据题意,得,
解这个不等式组,得.
答:当多于30人且不足100人时,至少有88人前往参观,才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.
24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识,考查对数形结合思想的理解,考查分类的数学思想,考查运算和推理能力.满分14分.
O
1
x
y
A
B
解:(1)∵ 一次函数y=kx+k的图象经过点(1,4),
∴ 4=k×1+k,即k=2.
∴ y=2x+2.
当x=0时,y=2;当y=0时,x=-1.
即A(-1,0),B(0,2).
如图,直线AB是一次函数y=2x+2的图象.
O
1
x
y
A
B
P
Q
(2)∵ PQ⊥AB,
∴ ∠QPO=90°∠BAO.
又∵∠ABO=90°∠BAO,
∴ ∠ABO=∠QPO.
∴ Rt△ABO∽Rt△QPO.
∴ ,即.
∴ a=2b.
(3)由(2)知a=2b.
∴ AP=AO+OP=1+a=1+2b,
,.
若AP=AQ,即AP 2=AQ 2,则,即,这与矛盾,故舍去;
若AQ=PQ,即AQ 2=PQ 2,则,即,
此时,,,(平方单位).
若AP=PQ,则,即.
此时,.
(平方单位).
∴ △APQ的面积为平方单位或()平方单位.
25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识,考查空间观念、演绎推理能力.满分12分.
(1)证法1:
在Rt△EBC中,M是斜边EC的中点,
∴ .
在Rt△EDC中,M是斜边EC的中点,
∴ .
∴ BM=DM,且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上.
∴ ∠BMD=2∠ACB=90°,即BM⊥DM.
证法2:
证明BM=DM与证法1相同,下面证明BM⊥DM.
∵ DM=MC,
∴ ∠EMD=2∠ECD.
∵ BM=MC,
∴ ∠EMB=2∠ECB.
∴ ∠EMD+∠EMB =2(∠ECD+ECB).
∵ ∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°,
∴ ∠BMD=2∠ACB=90°,即BM⊥DM.
(2)当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时,(1)中的结论成立.
证明如下:
证法1(利用平行四边形和全等三角形):
连结BD,延长DM至点F,使得DM=MF,连结BF、FC,延长ED交AC于点H.
M
D
B
A
C
E
H
F
∵ DM=MF,EM=MC,
∴ 四边形CDEF为平行四边形.
∴ DE∥CF ,ED =CF.
∵ ED= AD,
∴ AD=CF.
∵ DE∥CF,
∴ ∠AHE=∠ACF.
∵ ,,
∴ ∠BAD=∠BCF.
又∵AB= BC,
∴ △ABD≌△CBF.
∴ BD=BF,∠ABD=∠CBF.
∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC,
∴∠DBF=∠ABC =90°.
在Rt△中,由,,得BM=DM且BM⊥DM.
证法2(利用旋转变换):
连结BD,将△ABD绕点B逆时针旋转90°,点A旋转到点C,点D旋转到点,得到△,则且.连结.
∵
M
D
B
A
C
E
∴ .
又∵,
∴ 四边形为平行四边形.
∴ D、M、三点共线,且.
在Rt△中,由,,得BM=DM且BM⊥DM.
证法3(利用旋转变换):
连结BD,将△ABD绕点B逆时针旋转90°,点A旋转到点C,点D旋转到点,得到△,则且.
连结,延长ED交AC于点H.
∵ ∠AHD= 90°-∠DAH= 90°-(45°-∠BAD)= 45°+∠BAD,
,
∵,
M
D
B
A
C
E
H
∴.
∴ .
又∵,
∴ 四边形为平行四边形.
∴ D、M、三点共线,且.
在Rt△中,由,,得BM=DM且BM⊥DM.