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  • 2021-05-10 发布

中考数学复习资料专题8圆

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初三数学辅导班学习资料 圆 学校 姓名 ‎ ‎1.圆有关的概念: (中心对称、轴对称图形)‎ ‎(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点为圆心,定长为半径.‎ ‎ (2)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.‎ ‎ (3)圆周角:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.‎ ‎ (4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.‎ ‎ (5)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.‎ ‎2.圆的有关的性质:(旋转不变性)‎ ‎(1)圆心角、弦和弧三者之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条同一类弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等;(知一得二)‎ ‎(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(此处直径可减弱为过圆心的半径)‎ ‎(3)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数;‎ ‎(4)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ ‎(5)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补. ‎ ‎(6)圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,90.的圆周角所对的弦是直径;‎ ‎(7)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;‎ ‎(8)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径;‎ ‎(9)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段相等,它与圆心的连线平分两切线的夹角,并平分两切点的连线段.‎ ‎(10)公共弦定理:两圆相交,连心线垂直平分公共弦.‎ ‎3.三角形的内心和外心 ‎ (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.‎ ‎ (2)三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.‎ ‎ (3)三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心 ‎4.点与圆的位置关系(3种):点在圆外,圆上,圆内,‎ 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 点在圆外d>r.‎ 点在圆上d=r.‎ 点在圆内d<r.‎ ‎5.直线和圆的位置关系(3种):相交、相切、相离. ‎ 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 直线与圆相交d<r,‎ 直线与圆相切d=r,‎ 直线与圆相离d>r ‎6.圆与圆的位置关系(5种).‎ 设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则 ‎⑴ 两圆外离d>R+r; ‎ ‎⑵ 两圆外切d=R+r;‎ ‎⑶ 两圆相交R-r<d<R+r(R>r)‎ ‎⑷ 两圆内切d=R-r(R>r)‎ ‎⑸ 两圆内含d<R—r(R>r)‎ ‎7.圆有关的计算:‎ ‎(1)弧长计算公式:(R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数,为弧长)‎ ‎(2)扇形面积:或(R为半径,n是扇形所对的圆心角的度数,为扇形的弧长)‎ ‎(3)圆锥: 圆锥的侧面积为S侧=·2πr·l=πrl;全面积为S全=πr2+πrl.‎ ‎8.圆中的多解及常作辅助线 ‎(1)由于点与圆的位置,点在圆上的位置不确定关系而多解 (圆内、圆外、圆上)‎ ‎(2)由于弦所对弧的优劣而多解(一条弦对两条弧) ‎ ‎(3)弦所对的圆周角的位置产生多解(一条弦对两类圆周角)‎ ‎(4)由于两平行弦与圆心的位置而多解 (在圆心同侧或异侧)‎ ‎(5)直线与圆的关系而多解 ‎ ‎(6)圆与圆的关系而多解(相切包括内切、外切) ‎ ‎(7)两圆相交时,两圆心与公共弦的位置而多解(两圆心在公共弦同侧或异侧)‎ ‎9.圆中常作辅助线 ‎(1)证明线段相等作半径 ‎(2)求圆中弦的长度,过圆心做垂线段,利用垂径定理构造直角三角形求解 ‎(3)求角的度数,利用同一类圆周角转化 一、知识点 ‎1、与圆有关的角——圆心角、圆周角,(两者之间的关系 )‎ ‎(1)图中的圆心角 ;圆周角 ; ‎ ‎(2)如图,已知∠AOB=50度,则∠ACB= 度; ‎ ‎(3)在上图中,若AB是圆O的直径,则∠ACB= 度;‎ ‎2、圆的对称性:‎ ‎(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条 的直线;‎ 圆是中心对称图形,对称中心为 .‎ ‎(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.‎ 如图,∵CD是圆O的直径,CD⊥AB于E ‎∴ = , = ‎ ‎3、点和圆的位置关系有三种:点在圆 ,点在圆 ,点在圆 ;‎ 例1:已知圆的半径r等于‎5厘米,点到圆心的距离为d,‎ ‎(1)当d=‎2厘米时,有d r,点在圆 ‎ ‎(2)当d=‎7厘米时,有d r,点在圆 ‎ ‎(3)当d=‎5厘米时,有d r,点在圆 ‎ ‎4、直线和圆的位置关系有三种:相 、相 、相 .‎ 例2:已知圆的半径r等于‎12厘米,圆心到直线l的距离为d,‎ ‎(1)当d=‎10厘米时,有d r,直线l与圆 ‎ ‎(2)当d=‎12厘米时,有d r,直线l与圆 ‎ ‎(3)当d=‎15厘米时,有d r,直线l与圆 ‎ ‎5、圆与圆的位置关系:‎ 例3:已知⊙O1的半径为‎6厘米,⊙O2的半径为‎8厘米,圆心距为 d,‎ ‎ 则:R+r= , R-r= ;‎ ‎(1)当d=‎14厘米时,因为d R+r,则⊙O1和⊙O2位置关系是: ‎ ‎(2)当d=‎2厘米时, 因为d R-r,则⊙O1和⊙O2位置关系是: ‎ ‎(3)当d=‎15厘米时,因为 ,则⊙O1和⊙O2位置关系是: ‎ ‎(4)当d=‎7厘米时, 因为 ,则⊙O1和⊙O2位置关系是: ‎ ‎(5)当d=‎1厘米时, 因为 ,则⊙O1和⊙O2位置关系是: ‎ ‎6、切线性质:‎ 例4:(1)如图,PA是⊙O的切线,点A是切点,则∠PAO= 度 ‎ (2)如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点,则 = ,∠ =∠ ;‎ ‎7、圆中的有关计算 ‎(1)弧长的计算公式:‎ 例5:若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的弧长是多少?‎ 解:因为扇形的弧长= ‎ 所以== (答案保留π)‎ ‎(2)扇形的面积:‎ 例6:①若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的面积为多少?‎ 解:因为扇形的面积S= ‎ 所以S== (答案保留π)‎ ‎②若扇形的弧长为12πcm,半径为6㎝,则这个扇形的面积是多少?‎ ‎ 解:因为扇形的面积S= ‎ 所以S= = ‎ ‎(3)圆锥:‎ 例7:圆锥的母线长为‎5cm,半径为‎4cm,则圆锥的侧面积是多少?‎ 解:∵圆锥的侧面展开图是 形,展开图的弧长等于 ‎ ‎ ∴圆锥的侧面积= ‎ ‎8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点;‎ 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点;‎ 例8:画出下列三角形的外心或内心 ‎ (1)画三角形ABC的内切圆, (2)画出三角形DEF的外接圆,‎ 并标出它的内心; 并标出它的外心 二、练习:‎ ‎(一)填空题 ‎1、如图,弦AB分圆为1:3两段,则的度数= 度,‎ 第1小题 的度数等于 度;∠AOB= 度,∠ACB= 度, ‎ ‎2、如图,已知A、B、C为⊙O上三点,若、、的 度数之比为1∶2∶3,则∠AOB= ,∠AOC= ,‎ 第2小题 ‎ ∠ACB= ,‎ ‎3、如图1-3-2,在⊙O中,弦AB=‎1.8cm,圆周角∠ACB=30○ ,‎ 则 ⊙O的半径等于=_________cm.‎ ‎4、⊙O的半径为5,圆心O到弦AB的距离OD=3,‎ 则AD= ,AB的长为 ;‎ 第4、5小题 ‎5、如图,已知⊙O的半径OA=13㎝,弦AB=24㎝,‎ 则OD= ㎝。‎ ‎6、如图,已知⊙O的直径AB=‎10cm,弦AC=‎8cm, ‎ 则弦心距OD等于 cm.‎ 第6小题 ‎7、已知:⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为4,若⊙O1与⊙O2‎ 外切,则O1O2= 。‎ ‎8、已知:⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为4,若⊙O1与⊙O2内切,则O1O2= 。‎ ‎9、已知:⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为4,若⊙O1与⊙O2相切,则O1O2= 。‎ ‎10、已知:⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为4,若⊙O1与⊙O2相交,则两圆的圆心距 d的取值范围是 ‎ ‎11、已知⊙O1和⊙O2外切,且圆心距为‎10cm,若⊙O1的半径为‎3cm,则⊙O2的半径 为_____ ___cm.‎ ‎12、已知⊙O1和⊙O2内切,且圆心距为‎10cm,若⊙O1的半径为‎3cm,则⊙O2的半径 为______ __cm.‎ ‎13、已知⊙O1和⊙O2相切,且圆心距为‎10cm,若⊙O1的半径为‎3cm,则⊙O2的半径 为______ _cm.‎ ‎14、如图1-3-35是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,‎ 则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm2 (不考虑接缝等因 素,计算结果用π表示).‎ ‎15、如图,两个同心圆的半径分别为2和1,∠AOB=,‎ 则阴影部分的面积是_________‎ ‎16、一个圆锥的母线与高的夹角为30°,那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长 与半径的比是 ‎ ‎(二)选择题 ‎1、如图1-3-7,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°‎ 则∠BOC的大小是( )‎ ‎ A.60○ B.45○ C.30○ D.15○‎ ‎2、如图,AB为⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠BAC=20°,=,‎ 则∠DAC的度数是( ) (A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70°‎ ‎3、如图1-3-16,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交 ⊙O于 点B,PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为( )‎ ‎ ‎ ‎4、PA切⊙O于A,PA = ,∠APO = 30,则PO的为( ) ‎ A B ‎2 C 1 D ‎ ‎5、圆柱的母线长‎5cm,为底面半径为‎1cm,则这个圆拄的侧面积是( )‎ A.‎10cm2 B.10πcm‎2 C.‎5cm2 D.5πcm2‎ ‎6、如图,一个圆柱形笔筒,量得笔筒的高是‎20cm,底面圆的半径为‎5cm,‎ 那么笔筒的侧面积为( )‎ A‎.200cm2 B.100πcm‎2 ‎ C.200πcm2   D.500πcm2‎ ‎7、制作一个底面直径为‎30cm,高‎40cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( ),‎ ‎ A.1425πcm2 B.1650πcm‎2 C.2100πcm2 D.2625πcm2‎ ‎8、已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为( )‎ ‎(A)10π (B)12π (C)15π (D)20π ‎9、如图,圆锥的母线长为‎5cm,高线长为‎4cm,则圆锥的底面积是( )‎ ‎ A.3πcmZ B.9πcmZ C.16πcmZ D.25πc ‎10、如图,若四边形ABCD是半径为‎1cm的⊙O的内接正方形,‎ 则图中四个弓形(即四个阴影部分)的面积和为( ).‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(三)解答题 ‎1、如图,直角三角形ABC是⊙O的内接三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点D,连结CO。请写出六个你认为正确的结论;‎ ‎(不准添加辅助线);‎ 解:(1) ;‎ ‎ (2) ;‎ ‎ (3) ; (4) ;‎ ‎ (5) ; (6) ;‎ ‎2、⊙O和⊙O半径之比为,当OO= ‎21 cm时,两圆外切,当两圆内切时,‎ OO的长度应多少? ‎ ‎ ‎ ‎3、如图,⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB=BC,‎ 求证:△ABD∽△DPC ‎4、如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,‎ 求∠P的度数。‎ ‎5、以点O(3,0)为圆心,5个单位长为半径作圆,并写出圆O与坐标轴的交点坐标;‎ ‎ 解:圆O与x轴的交点坐标是:‎ ‎ ‎ ‎ 圆O与y轴的交点坐标是:‎ ‎ ‎ ‎6、如图,半圆的半径为‎2cm,点C、D三等分半圆,求阴影部分面积 ‎ ‎ ‎ ‎7、如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O相切与点B,弦AC∥OP,PC交BA的延长线于点D,求证:PD是⊙O的切线,‎ A B C D O P ‎8、已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D,连接BC。‎ 求证:(1)BC平分∠PBD;‎ ‎(2)。‎ ‎9、如图,CB、CD是⊙O的切线,切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的 直径BE的延长线交于A点,连OC,ED.探索OC与ED的位置关系,并加以证明;‎ 圆 答案 一、知识点:‎ ‎1、(1)∠AOB ∠ACB (2)25; (3)90;‎ ‎2、(1)直径所在的直线;圆心 (2)AE=BE,弧AC=弧BC;‎ ‎3、内,上,外,例1:(1)<,内;(2),> ,外,(3)=,上;‎ ‎4、交,切,离 例2:(1)<,相交;(2), =,相切,(3)>,相离;‎ ‎5、例3:14,2;(1)=,外切;(2)=,内切;(3)d>R+r,外离;(4)R-r