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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题汇编之25 相似试题及答案

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‎ ‎ ‎2009年中考试题专题之25-相似试题及答案 一、选择题 ‎1.(2009年滨州)如图所示,给出下列条件:‎ ‎①;②;③;④.‎ 其中单独能够判定的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【关键词】三角形相似的判定.‎ ‎【答案】C ‎2.(2009年上海市)如图,已知,那么下列结论正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【关键词】平行线分线段成比例 ‎【答案】A ‎3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 ‎ (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】B ‎4. (2009年安顺)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:‎ ‎(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形 ‎【答案】D ‎ ‎5.(2009重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )‎ A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】B ‎6.(2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )‎ A.只有1个 B.可以有2个 ‎ C.有2个以上但有限 D.有无数个 ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】B ‎7.2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )‎ A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D B C A N M O ‎【关键词】位似 ‎【答案】C ‎ 8.(2009年江苏省)如图,在方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②‎ 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是( )‎ A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格 ‎ ‎ ‎【关键词】平移 ‎【答案】D ‎9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为 A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm ‎【关键词】黄金比 ‎【答案】A ‎10. (2009年娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 ( )‎ A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米 ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】B ‎11.(2009恩施市)如图,在中,是上一点,于,且,则的长为(   )‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎【关键词】解直角三角形、相似 ‎【答案】B ‎12.(2009年甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为(  )‎ A.12m B.10m C.8m D.7m ‎   ‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】A ‎13.(2009年孝感)如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B′点的坐标为 A. B. C. D.‎ ‎【关键词】旋转 ‎【答案】A ‎14.(2009年孝感)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为 A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm ‎【关键词】黄金比 ‎【答案】C ‎ ‎15. (2009年新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )‎ A.‎ ‎【关键词】相似三角形的判定 ‎【答案】A ‎16.(2009年天津市)在和中,,如果的周长是16,面积是12,那么的周长、面积依次为( )‎ A.8,3  B.8,6  C.4,3  D.4,6‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】A ‎17.(2009年牡丹江市)如图, 中,于一定能确定为直角三角形的条件的个数是( )‎ ‎①②③④‎ ‎⑤‎ A.1  B.2 C.3 D.4‎ ‎【关键词】三角形相似的判定和性质 ‎【答案】C ‎18. (2009白银市)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为(  )‎ A.12m B.10m C.8m D.7m ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎【答案】A ‎19. (2009年衢州)在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为 A.9.5 B.10.5‎ C.11 D.15.5‎ ‎【关键词】线段的比和比例线段 ‎【答案】D ‎20.(2009年衢州)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】D ‎21.(2009年舟山)在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为 A.9.5 B.10.5‎ C.11 D.15.5‎ ‎【关键词】线段的比和比例线段 ‎【答案】D ‎22.(2009年舟山)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】D ‎23.(2009年济宁市)如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )‎ ‎ A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2‎ ‎【关键词】相似多边形 ‎【答案】C ‎24. (2009年福州)如图,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( )‎ A.2DE=3MN, B.3DE=2MN, C. 3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F ‎【关键词】位似变换 ‎【答案】B ‎ ‎25.(2009年宜宾)若一个图形的面积为2,那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为( )‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【关键词】相似图形的性质 ‎【答案】A.‎ ‎26. .(2009年广西梧州)如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O, 则等于(  )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】D ‎27.(2009年甘肃定西)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为(  )‎ A.12m B.10m C.8m D.7m ‎      ‎ ‎  ‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】A ‎28. (2009年湖州)如图,在正三角形中,,,分别是,,上的点,,,,则的面积与的面积之比等于( )‎ A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3 ‎ ‎【关键词】等边三角形的性质,相似的性质 ‎【答案】A ‎29.(2009年温州)一张等腰三角形纸片,底边长l5cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )‎ A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 ‎【关键词】等腰三角形性质,三角形相似的性质,梯形中位线 ‎【答案】C ‎30.(2009年兰州)如图,丁轩同学在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,当他向前再步行20m到达点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是 A.24m B.25m ‎ C.28m D.30m ‎【关键词】相似三角形、灯光与影子 ‎【答案】D ‎31.(2009年济宁市)如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )‎ ‎ A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2‎ ‎【关键词】相似多边形 ‎【答案】C ‎32. (09湖南怀化)如图1,、分别是、的中点,则( )‎ A. 1∶2 B.1∶3 ‎ C.1∶4 D. 2∶3 ‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算 ‎【答案】C ‎33. (2009年山西省)如图,是的直径,是的切线,点在上,,则的长为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【关键词】圆周角和圆心角;切线定理;相似三角形有关的计算;相似三角形与圆 ‎【答案】A ‎34.(2009年山西省)如图,在中,的垂直平分线交的延长线于点,则的长为( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质;勾股定理;线段和角的概念、性质 ‎【答案】B ‎35. (2009年枣庄市)如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,‎ 点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC 的中点,则△DEF与△ABC的面积比是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】B ‎36. (2009呼和浩特)如图,AB是的直径,点C在圆上,,则图中与相似的三角形的个数有( )‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 C B D O A E ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】‎ ‎37.(2009年抚顺市)如图所示,已知点分别是中边的中点,相交于点,,则的长为( ) ‎ A F E C B A.4 B.4.5 C.5 D.6‎ G ‎【关键词】中位线 二、填空题 ‎1.(2009年重庆市江津区)锐角△ABC中,BC=6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y >0),当x = ,公共部分面积y最大,y最大值 = ,‎ ‎【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 ‎【答案】‎ ‎2.(2009年滨州)在平面直角坐标系中,顶点的坐标为,若以原点O为位似中心,画的位似图形,使与的相似比等于,则点的坐标为 .‎ ‎【关键词】三角形位似..‎ ‎【答案】(4,6)‎ ‎3.(2009威海)如图,△ABC与△A′B′C ′是位似图形,点O是位似中心,若OA=2A A′,S△ABC=8,则S△A′B′C ′=________.‎ ‎【关键词】位似图形 ‎【答案】18‎ ‎4.(2009年吉林省)如图,的顶点的坐标为(4,0),把沿轴向右平移得到如果那么的长为 .‎ ‎【关键词】平移,平面直角坐标系内的平移 ‎【答案】7‎ ‎5.(2009山西省太原市)如图是一种贝壳的俯视图,点分线段近似于黄金分割.已知=10,则的长约为 .(结果精确到0.1)‎ 解析:本题考查黄金分割的有关知识,由题意知,‎ ‎∴,解得≈6.2,故填6.2..‎ ‎【关键词】黄金分割 ‎【答案】6.2.‎ ‎6.(2009烟台市)如图,与中,交于.给出下列结论:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③;‎ ‎④.‎ 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).‎ ‎【关键词】全等、相似 ‎【答案】①,③,④‎ ‎7.(2009年甘肃庆阳)如图11,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 .‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】(,0) ‎ ‎8.(2009年广西南宁)三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子(如图6所示).现测得,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 .‎ ‎【关键词】投影;相似三角形 ‎【答案】  ‎ ‎9.(2009年孝感)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是 ▲ .‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】144;‎ ‎10.(2009年牡丹江市)如图,中,直线交于点交于点交于点若则 .‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎11. (2009年日照市)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】或2; ‎ ‎12.(2009年重庆)已知与相似且面积比为4∶25,则与的相似比为 .‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】2:5.‎ ‎13.(2009年莆田)如图,两处被池塘隔开,为了测量两处的距离,在外选一适当的点,连接,并分别取线段的中点,测得=20m,则=__________m.‎ ‎【关键词】相似三角形 答案:40‎ ‎14. (2009年牡丹江)如图,中,直线交于点交于点交于点若则 .‎ ‎【关键词】相似三角形的面积比 ‎【答案】‎ ‎15.(2009年凉山州)已知且,则= .‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎16. (2009年宁德市)如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长为 ____.‎ ‎【关键词】位似 ‎【答案】6‎ ‎17.(2009年湖北荆州)如图,已知零件的外径为25,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10,则零件的厚度.‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ ‎18.(2009年新疆乌鲁木齐市)如图,在中,,若,则 .‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】8‎ ‎19. (2009年山西省)如图,与是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 .‎ ‎【关键词】相似,中心投影 ‎【答案】(9,0)‎ ‎20. (2009年黄石市)在□ABCD中,在上,若,则 .‎ ‎【关键词】平行四边形的性质;相似三角形判定和性质 ‎【答案】‎ ‎21.(2009东营)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】或2;‎ 三、解答题 ‎1.(2009年台湾) 某校一年级有64人,分成甲、乙、丙三队,其人数比为4:5:7。若由外校转入1人加入 乙队,则后来乙与丙的人数比为何? (A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7 。‎ ‎【关键词】比例 ‎【答案】A ‎2.(2009年长春)如图,在矩形中,点分别在边上,,,求的长.‎ ‎【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解:∵四边形是矩形,AB=6‎ ‎∴∠A=∠D=90°,DC=AB=6‎ 又∵AE=9‎ ‎∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:BE=‎ ‎∵,‎ ‎∴,即 ‎∴EF=‎ ‎3.(2009年长春)如图,在中,,分别以为边向外作和,使.延长交边于点,点在两点之间,连结.‎ ‎(1)求证:. ‎ ‎(2)当时,求的度数. ‎ ‎【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ ‎(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=DC.‎ 又∵DF=DC,‎ ‎∴AB=DF.‎ 同理EB=AD.‎ 在平行四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC.‎ 又∵∠EBC=∠CDF,‎ ‎∴∠ABE=∠ADF,‎ ‎∴△ABE≌△FDA.(4分)‎ ‎(2)解:∵△ABE≌△FDA,‎ ‎∴∠AEB=∠DAF.‎ ‎∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,‎ ‎∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.‎ ‎∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°.‎ ‎∵∠BAD=32°,‎ ‎∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°,‎ ‎∴∠EBH=58°. ‎ ‎4.(2009年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,‎ 且DM交AC于F,ME交BC于G.‎ ‎(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;‎ ‎(2)连结FG,如果α=45°,AB=,AF=3,求FG的长.‎ ‎【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ ‎(1)证:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)‎ 以下证明△AMF∽△BGM.‎ ‎∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ‎∴△AMF∽△BGM. ‎ ‎(2)解:当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC ‎∵M为AB的中点,∴AM=BM=分 又∵AMF∽△BGM,∴‎ ‎∴ ‎ 又,∴,‎ ‎∴ ‎ ‎5.(2009年郴州市)如图,在ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3,‎ ‎(1)求的值,(2)求BC的长 ‎【关键词】相似 ‎【答案】解:(1)因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎(2)因为,所以 ‎ 所以 ‎ 因为 所以 ‎ 所以 ‎6.(2009年常德市)如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论.‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】‎ ‎△ABE 与△ADC相似.理由如下:‎ 在△ABE与△ADC中 ‎∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90o,‎ ‎∵AD是△ABC的边BC上的高,‎ ‎∴∠ADC=90o, ∴∠ABE=∠ADC.‎ 又∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠BEA=∠DCA.‎ ‎∴△ABE ~△ADC.‎ ‎7.(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当为边中点,时,如图2,求的值;‎ ‎(3)当为边中点,时,请直接写出的值.‎ B B A A C O E D D E C O F 图1‎ 图2‎ F ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎ ‎【答案】解:(1),.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎;‎ B A D E C O F G ‎(2)解法一:作,交的延长线于.‎ ‎,是边的中点,.‎ 由(1)有,,‎ ‎.‎ ‎,,‎ 又,.‎ ‎,.‎ ‎,,,‎ ‎,.‎ B A D E C O F 解法二:于,‎ ‎..‎ 设,则,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 由(1)知,设,,.‎ 在中,.‎ ‎..‎ ‎(3).‎ ‎8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足(如图1所示).‎ ‎(1)当AD=2,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;‎ ‎(2)在图中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示△APQ的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域; ‎ ‎(3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.‎ A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 ‎【答案】(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2,‎ ‎∴=1,∠D=45°‎ ‎∴PQ=PC即PB=PC,‎ 过点P作PE⊥BC,则BE=。‎ 而∠PBC=∠D=45°‎ ‎∴PC=PB=‎ ‎(2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ 设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k ‎∴,‎ ‎=‎ ‎∴‎ 函数定义域为 F E F E A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎(3)答:90°‎ 证明:在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∴Rt△PQF∽Rt△PCE ‎∴∠FPQ=∠EPC ‎∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°‎ ‎8. (2009年陕西省)20.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:‎ 如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).‎ 已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).‎ ‎【关键词】利用相似知识测物高 ‎【答案】解:过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G、H,则EH=AG=CD=1.2,‎ ‎ DH=CE=0.8,DG=CA=30.‎ ‎ ∵EF∥AB,‎ ‎∴.‎ 由题意,知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5.‎ ‎∴,解之,得BG=18.75.‎ ‎∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0.‎ ‎∴楼高AB约为20.0米.‎ ‎9. (2009年安顺)如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。‎ (1) 求抛物线的解析式;‎ (2) 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;‎ (3) ‎△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。‎ ‎【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质 ‎【答案】(1)∵抛物线与轴交于点(0,3),‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意,得,解得 ‎∴抛物线的解析式为 (5′)‎ ‎(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)‎ 设对称轴与x轴的交点为F ‎∴四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎==9 ‎ ‎(3)似 如图,BD=;∴BE=‎ DE= ∴, ‎ 即: ,所以是直角三角形 ‎∴,且,‎ ‎∴∽ ‎ ‎10. (2009山西省太原市)甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高 为 米. ‎ 甲 小华乙 解析:本题考查相似的有关知识,设路灯高为米,由相似得 ‎,解得,所以路灯甲的高为9米,故填9.‎ ‎【关键词】相似三角形的应用 ‎【答案】9.‎ ‎11. (2009年浙江省绍兴市)定义一种变换:平移抛物线得到抛物线,使经过的顶点.设的对称轴分别交于点,点是点关于直线的对称点.‎ ‎(1)如图1,若:,经过变换后,得到:,点的坐标为,则①的值等于______________;‎ ‎②四边形为( )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ‎(2)如图2,若:,经过变换后,点的坐标为,求的面积;‎ ‎(3)如图3,若:,经过变换后,,点是直线上的动点,求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值.‎ ‎【关键词】平移变换 ‎【答案】‎ ‎12.(2009年吉林省)如图,⊙中,弦相交于的中点,连接并延长至点, 使,连接BC、.‎ O F D A E B C ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当时,求的值 ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】(1)证明:‎ 是的中位线,‎ 又 ‎(2)解:由(1)知,‎ 又 ‎.‎ ‎13.(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.‎ ‎(1)四边形OABC的形状是 ,‎ 当时,的值是 ;‎ ‎(2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;‎ ‎②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.‎ ‎(Q)‎ C B A O x P ‎(图3)‎ y Q C B A O x P ‎(图2)‎ y C B A O y x ‎(备用图)‎ ‎(第26题)‎ ‎(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解:(1)矩形(长方形); ‎ ‎.‎ ‎(2)①,,‎ ‎.‎ ‎,即,‎ ‎,.‎ 同理,‎ ‎,即,‎ ‎,. ‎ ‎. ‎ ‎②在和中,‎ ‎.‎ ‎.‎ 设,‎ 在中, ,解得.‎ ‎. ‎ ‎(3)存在这样的点和点,使. ‎ 点的坐标是,. ‎ 对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求.‎ 过点画于,连结,则,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 设,‎ Q C B A O x P y H ‎,‎ ‎,‎ ① 如图1,当点P在点B左侧时, ‎ ‎,‎ 在中,,‎ Q C B A O x P y H 解得,(不符实际,舍去).‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎②如图2,当点P在点B右侧时,‎ ‎,.‎ 在中,,解得.‎ ‎,‎ ‎.‎ 综上可知,存在点,,使.‎ ‎14.(2009年义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。‎ ‎ ‎ ‎(1)当时,折痕EF的长为;当点E与点A重合时,折痕EF的长为;‎ ‎(2)请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围,并求出当时菱形的边长;‎ ‎(3)令,当点E在AD、点F在BC上时,写出与的函数关系式。当取最大值时,判断与是否相似?若相似,求出的值;若不相似,请说明理由。‎ 温馨提示:用草稿纸折折看,或许对你有所帮助哦!‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ 解:(1)3, ‎ ‎(2).‎ D C B A P E F 图1‎ 当时,如图1,连接,‎ 为折痕,,‎ 令为,则,‎ 在中,,‎ ‎,‎ D C F B A P E O 图2‎ H 解得,此时菱形边长为.‎ ‎(3)如图2,过作,‎ 易证,‎ ‎,‎ D C ‎(F)‎ H B A P E O 图3‎ 当与点重合时,如图3,连接,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 显然,函数的值在轴的右侧随的增大而增大,‎ 当时,有最大值.‎ 此时,.‎ 综上所述,当取最大值时,,(不写不扣分).‎ ‎15.(2009恩施市)如图,在中,的面积为25,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作,交于点.设,以为折线将翻折(使落在四边形所在的平面内),所得的与梯形重叠部分的面积记为.‎ ‎(1)用表示的面积;‎ ‎(2)求出时与的函数关系式;‎ ‎(3)求出时与的函数关系式;‎ ‎(4)当取何值时,的值最大?最大值是多少?‎ E D B C A B C A ‎【关键词】相似、二次函数 ‎【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎(3)﹤10时,点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ ‎ ‎(4)在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为: ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为: ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时,y最大为: ‎ ‎16.(2009年甘肃庆阳)如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.‎ ‎△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F.‎ ‎(1)求证:△ACB∽△DCE;(2)求证:EF⊥AB.‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】 ‎ 证明:(1)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又 ∠ACB=∠DCE=90°,‎ ‎∴ △ACB∽△DCE.‎ ‎(2)‎ ‎∵ △ACB∽△DCE,∴ ∠ABC=∠DEC.‎ 又 ∠ABC+∠A =90°,∴ ∠DEC+∠A=90°.‎ ‎∴ ∠EFA=90°. ∴ EF⊥AB. ‎ 7.(2009泰安)将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由他抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OD。‎ (1) 求证:DB∥CF。‎ (1) 当OD=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB。‎ ‎【关键词】相似、切线 ‎【答案】证明:‎ ‎(1)连接OF,如图 ‎∵AB且半圆O于F,‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。‎ ‎∵BC=OD,OD=OF,‎ ‎∴BC=OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形,‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎(2)‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,∠OFB=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A,‎ ‎∴∠OBF>∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=‎ ‎18.(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。‎ (1) 求证:FD2=FB●FC。‎ (2) 若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。‎ ‎【关键词】相似、垂直 ‎【答案】证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点 ‎∴DE=EA ‎∴∠A=∠2 ‎ ‎∵∠1=∠2‎ ‎∴∠1=∠A…‎ ‎∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ‎∴∠FDC=∠FBD ‎∵F是公共角 ‎∴△FBD∽△FDC ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎(2)GD⊥EF 理由如下:‎ ‎∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,‎ ‎∴DG=GC ‎∴∠3=∠4‎ 由(1)得∠4=∠1‎ ‎∴∠3=∠1 ‎ ‎∵∠3+∠5=90°‎ ‎∴∠5+∠1=90°‎ ‎∴DG⊥EF ‎ ‎19、(2009江西)问题背景 在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:‎ 甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.‎ 乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.‎ 丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.‎ 任务要求 ‎(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;‎ ‎(2)如图3,设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段的影长;需要时可采用等式).‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm 图3‎ KE ‎【关键词】相似、光影 ‎【答案】解:(1)由题意可知:‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴DE=1200(cm).‎ 所以,学校旗杆的高度是12m. ‎ ‎(2)解法一:‎ 与①类似得:即 ‎∴GN=208.‎ 在中,根据勾股定理得:‎ ‎∴NH=260. ‎ 设的半径为rcm,连结OM,‎ ‎∵NH切于M,∴‎ 则又 ‎∴∴ ‎ 又.‎ ‎∴解得:r=12.‎ 所以,景灯灯罩的半径是12cm. ‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ 图3‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm KE 解法二:‎ 与①类似得:即 ‎∴GN=208.‎ 设的半径为rcm,连结OM,‎ ‎∵NH切于M,∴ ‎ 则又 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴又. ‎ 在中,根据勾股定理得:‎ 即 解得:(不合题意,舍去)‎ 所以,景灯灯罩的半径是12cm. ‎ ‎20. (2009年湘西自治州如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,‎ 求证:△ADE∽△EFC.‎ ‎【关键词】相似三角形的判定和判定 ‎【答案】证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C ‎ 又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC ‎ ‎∴△ADE∽△EFC ‎ ‎21. (2009年清远)如图,已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点,连结.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】(1)证明:‎ 是直径 是的切线,切点为 ‎(2)‎ ‎22.(2009年清远)如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为.‎ ‎(1)请你用含的代数式表示.‎ ‎(2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少?‎ ‎【关键词】分类讨论思想 ‎【答案】解:(1)‎ ‎(2)‎ 的边上的高为,‎ 当点落在四边形内或边上时,‎ ‎=(0)‎ 当落在四边形外时,如下图,‎ 设的边上的高为,‎ 则 ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述:当时,,取,‎ 当时,,‎ 取,‎ 当时,最大,‎ M N C B E F A A1‎ ‎23. (2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).‎ ‎(1)当为何值时,⊙与相切;‎ ‎(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明:∵,,∴∥. ‎ 当时,.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时,四边形为平行四边形.‎ ‎24.(2009年宜宾)如图,公园内有一个长5米的跷跷板AB,当支点O在距离A端2米时,A端的人可以将B端的人跷高1.5米,那么当支点O在AB的中点时,A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米.‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】1.‎ ‎25.(2009年广西钦州)已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.‎ ‎(1)求证:BC=CD;‎ ‎(2)求证:∠ADE=∠ABD;‎ ‎(3)设AD=2,AE=1,求⊙O直径的长.‎ ‎【关键词】切线长定理、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵∠ABC=90°,‎ ‎∴OB⊥BC.‎ ‎∵OB是⊙O的半径,‎ ‎∴CB为⊙O的切线.‎ 又∵CD切⊙O于点D,‎ ‎∴BC=CD;‎ ‎(2)∵BE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠BDE=90°.‎ ‎∴∠ADE+∠CDB =90°.‎ 又∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠CBD=90°.‎ 由(1)得BC=CD,∴∠CDB =∠CBD.‎ ‎∴∠ADE=∠ABD;‎ ‎(3)由(2)得,∠ADE=∠ABD,∠A=∠A.‎ ‎∴△ADE∽△ABD.‎ ‎∴=.‎ ‎∴=,∴BE=3,‎ ‎∴所求⊙O的直径长为3. ‎ ‎26.(2009年广西钦州)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.‎ ‎(1)填空:点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;‎ ‎(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);‎ ‎(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)(0,-3),b=-,c=-3.‎ ‎(2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0).‎ ‎∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5.‎ 由题意,得△BHP∽△BOC,‎ ‎∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,‎ ‎∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5,‎ ‎∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.‎ ‎∴OH=OB-HB=4-4t.‎ 由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0).‎ ‎∴OQ=4t.‎ ‎①当H在Q、B之间时,‎ QH=OH-OQ ‎=(4-4t)-4t=4-8t.‎ ‎②当H在O、Q之间时,‎ QH=OQ-OH ‎=4t-(4-4t)=8t-4.‎ 综合①,②得QH=|4-8t|;‎ ‎(3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似.‎ ‎①当H在Q、B之间时,QH=4-8t,‎ 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,‎ ‎∴t=.‎ 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,‎ 即t2+2t-1=0.‎ ‎∴t1=-1,t2=--1(舍去).‎ ‎②当H在O、Q之间时,QH=8t-4.‎ 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,‎ ‎∴t=.‎ 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,‎ 即t2-2t+1=0.‎ ‎∴t1=t2=1(舍去).‎ 综上所述,存在的值,t1=-1,t2=,t3=.‎ ‎27.(2009年莆田)已知,如图1,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点作交轴于点,是否存在点使得与相似?若存在,请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 ‎(1)解:方法一,如图1,当时,‎ 当时, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 设直线的解析式为 则   解得 ‎∴直线的解析式为 ‎ 当时,‎ ‎ ‎ 方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 3分 E D C A F B x O y l ‎(图2)‎ G H M ‎ ‎ 解得 ‎(2)证明:方法一:在中,‎ ‎ ‎ 在中,‎ 由(1)得 方法二:由 (1)知 ‎ ‎ 同理:‎ 同理:‎ 即 ‎ ‎(3)存在.‎ 解:如图3,作轴,垂足为点 9分 E D C O F x y 图3‎ M P l Q 又 ‎ ‎ 设,则 ‎①当时,‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎②当时,‎ ‎ ‎ 解得 综上,存在点、使得与相似. 14分 ‎28.(2009年包头)如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)点是的中点,交于点,若,求的值.‎ ‎【关键词】圆、切线 解:‎ ‎(1),‎ 又,‎ ‎.‎ 又是的直径,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 而是的半径,‎ 是的切线.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 又,‎ ‎.)‎ ‎(3)连接,‎ 点是的中点,,,‎ 而,,而,‎ ‎,,,‎ 又是的直径,,‎ ‎.‎ ‎,. ‎ ‎29. (2009肇庆).如图 ,在中,,线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D,交 AC 于 E,连接BE. ‎ ‎(1)求证:∠CBE=36°; ‎ ‎(2)求证:. ‎ ‎【关键词】三角形相似 ‎【答案】证明:(1)∵DE是AB的垂直平分线,∴,‎ ‎∴.∵,∴.∴.(2)由(1)得,在△BCE中,, ‎ ‎∴,∴.在△ABC 与△BEC中,,, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴,即. ‎ 故.‎ ‎30. (2009年南充)如图,半圆的直径,点C在半圆上,.‎ ‎(1)求弦的长;‎ ‎(2)若P为AB的中点,交于点E,求的长.‎ ‎【关键词】圆的性质,三角形相似的性质 ‎【答案】解:是半圆的直径,点在半圆上,‎ ‎.‎ 在中, ‎ ‎(2),‎ ‎.,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎31.(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8,与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1,6)、点D(3,x).过点C作CE上y轴于E,过点D作DF上X轴于F.‎ ‎ (1)求m,n的值;‎ ‎(2)求直线AB的函数解析式;‎ ‎(3)求证:△AEC∽△DFB.‎ ‎【关键词】反比例函数的定义,待定系数法确定一次函数的解析式,相似的判定 ‎【答案】解:(1)由题意得1= ∴m=6‎ ‎ ∴n= ∴n=2‎ ‎ (2)设直线AB的函数解析式为y=kx+b ‎ 由题意得 ‎ 解得 ‎ ∴直线AB的函数解析式为y=-2x+8。‎ ‎ (3)∵y=-2x+8‎ ‎∴A(0,8),B(4,0)‎ ‎∵CE⊥y轴,DF⊥x轴,‎ ‎∴∠AEC=∠DFB=Rt∠‎ ‎∵AE=DF=2,CE=BF=1,‎ ‎∴△AEC≌△DFB。‎ ‎32.(2009年温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连结DE. ’‎ ‎ (1)当BD=3时,求线段DE的长;‎ ‎ (2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.‎ ‎【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定 ‎【答案】解:(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∵DB为直径,‎ ‎∴∠DEB=∠C=90°,‎ 又∵∠B=∠B ,∴△DBE∽△ABC ‎∴ 即 ‎∴DE=。‎ ‎(2)解法一:连结OE,‎ ‎∵EF为半圆O的切线,‎ ‎∴∠DEO+∠DEF=90°,‎ ‎∵∠AEF+∠DEF=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠DEO,‎ ‎∵△DBE∽△ABC,‎ ‎∴∠A=∠EDB,‎ 又∵∠EDO=∠DEO,‎ ‎∴∠AEF=∠A,‎ ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ 解法二:连结OE,‎ ‎∵EF为半圆O的切线,‎ ‎∴∠AEF+∠OEB=90°,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴∠A+∠B=90°,‎ ‎∵OE=OB ‎∴∠OEB=∠B,‎ ‎∴∠AEF=∠A ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ ‎33(2009临沂)如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ ‎【关键词】抛物线的解析式,相似的性质,二次函数的最值问题 ‎【答案】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为.‎ ‎(2)存在.‎ 如图,设点的横坐标为,‎ 则点的纵坐标为,‎ 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),.‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,.‎ 类似地可求出当时,.‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或.‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.‎ 由题意可求得直线的解析式为.‎ 点的坐标为.‎ ‎.‎ ‎.‎ 当时,面积最大.‎ ‎.‎ ‎34.(2009年中山)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,保持和垂直,‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当点运动到什么位置时,求的值.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】(1)在正方形中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,取最大值,最大值为10.‎ ‎(3),‎ 要使,必须有,‎ 由(1)知,‎ ‎,‎ 当点运动到的中点时,,此时.‎ x y A D B O C ‎35.(2009年牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二次方程的两个根,且 ‎ (1)求的值.‎ ‎ (2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?‎ ‎ (3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】三角函数,一次函数,菱形,相似三角形的综合应用 ‎【答案】(1)解得 ‎ ‎ 在中,由勾股定理有 ‎(2)∵点在轴上,‎ 由已知可知D(6,4)‎ 设当时有 解得 同理时,‎ 在中,‎ 在中,‎ ‎(3)满足条件的点有四个 ‎36. (2009年凉山州)如图,在方格纸中 ‎(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使,并求出点坐标;‎ ‎(2)以原点为位似中心,相似比为2,在第一象限内将放大,画出放大后的图形;‎ A B C ‎(3)计算的面积.‎ ‎【关键词】位似、相似比、面积 ‎【答案】(1)画出原点,轴、轴.,‎ ‎(2)画出图形.‎ ‎(3).‎ ‎37. (2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).‎ ‎(1)当为何值时,⊙与相切;‎ ‎(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.‎ ‎·‎ 图1‎ 图2‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明:∵,,∴∥. ‎ 当时,.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时,四边形为平行四边形.‎ ‎38. (2009年宁德市)如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.‎ ‎(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;‎ ‎(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;‎ ‎(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.‎ N M B E C D F G 图(1)‎ ‎【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用 M B E A C N D F G 图(1)‎ H 解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ‎ ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90º ‎∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD ‎∴∠BAE=∠DAG ‎∴△ BAE≌△DAG ‎ ‎(2)∠FCN=45º ‎ 理由是:作FH⊥MN于H ‎ ‎ ∵∠AEF=∠ABE=90º ‎ ∴∠BAE +∠AEB=90º,∠FEH+∠AEB=90º ‎ ∴∠FEH=∠BAE ‎ ‎ 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90º ‎∴△EFH≌△ABE ‎ ‎∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ‎∵∠FHC=90º,∴∠FCH=45º ‎ ‎(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变, ‎ 理由是:作FH⊥MN于H ‎ 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90º 结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG 又∵G在射线CD上 ‎∠GDA=∠EHF=∠EBA=90º ‎ ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ‎ ‎ ∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE,‎ ‎∴== ‎∴在Rt△FEH中,tan∠FCN=== ‎ ‎∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN= ‎39.(2009年潍坊)已知,延长BC到D,使.取的中点,连结交于点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的长.‎ 解:(1)‎ 过点F作,交于点.‎ 为的中点 为的中点,. ‎ 由,得,‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ 又 ‎. ‎ ‎40.(2009年咸宁市)如图,将矩形沿对角线剪开,再把沿方向平移得到.‎ ‎(1)证明;‎ C B A D ‎(2)若,试问当点在线段上的什么位置时,四边形是菱形,并请说明理由.‎ ‎40. (09湖南怀化)如图,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.求证:(1); (2)∽. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明:(1)∵OE=OD,∴△ODE是等腰三角形,‎ 又EC=DC,∴C是底边DE上的中点,‎ ‎∴‎ ‎ (2)∵AB是直径,∴∠ACB=,‎ ‎∴∠B+∠BAC=,‎ 又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,‎ ‎∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB, ‎ ‎∴△ACD∽△CBD. ‎ ‎41.(09湖南怀化)如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.‎ ‎(1)求与轴的另一个交点D的坐标;‎ ‎(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 ‎【答案】解 (1)易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根,‎ 所以,‎ 所 如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则 由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,‎ 所以点D的坐标为(0,1)‎ ‎(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,‎ 所以点的坐标为,即 又,‎ 所以解得 ‎42.(09湖北宜昌)(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)与 是否相等?请你说明理由;‎ ‎(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.‎ 设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 ‎【答案】解:(1)如图; ‎ ‎(2)与不相等.‎ 假设,则由相似三角形的性质,得MN∥DC. ‎ ‎∵∠D=90°,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD.‎ ‎∵据题意得,A与P关于MN对称,∴MN⊥AP.‎ ‎∵据题意,P与D不重合,‎ ‎∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾. ‎ ‎∴假设不成立.‎ ‎∴不成立. ‎ ‎(2) 解法2:与不相等.‎ 理由如下:‎ ‎∵P, A关于MN对称,∴MN垂直平分AP.‎ ‎∴cos∠FAN=. ‎ ‎∵∠D=90°, ∴cos∠PAD=.‎ ‎∵∠FAN=∠PAD,∴=.‎ ‎∵P不与D重合,P在边DC上;∴AD≠AP.‎ ‎∴≠;从而≠. ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线,∴∠AMP=90°,‎ ‎∴∠CMP+∠AMB=90°.‎ ‎∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠CMP=∠BAM.‎ ‎∵MN垂直平分,∴MA=MP,‎ ‎∵∠B=∠C=90°, ∴△ABM≌△MCD. ‎ ‎∴MC=AB=4, 设PD=x,则CP=4-x,‎ ‎∴BM=PC=4-x. (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J.‎ ‎∵AD是⊙O的切线,∴∠JHD=90°.‎ ‎∴矩形HDCJ. (7分)‎ ‎∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC, ‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2,‎ ‎∴OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x). ‎ ‎∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16. ‎ 解得:x=1.即PD=1,PC=3,‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.‎ 由此画图(图形大致能示意即可). ‎ ‎(3)解法2:‎ 连接HO,并延长HO交BC于J点,连接AO. ‎ 由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC,‎ ‎∴OJ⊥MC,∴MJ=JC. ‎ ‎∵AM,AH与⊙O相切于点M,H,‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°,‎ ‎∵OM=OH, AO=AO,‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO. ‎ ‎∴设AM=x,则 AM=AH=x,‎ 由切线性质得,AM⊥PM,‎ ‎∴∠AMP=90°,∴∠BMA+∠CMP=90°.‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMP ,‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°,‎ ‎∵MN为AP的中垂线,∴AM=MP.‎ ‎∴△ABM≌△MCP . ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形,得BJ=AH=x,‎ Rt△ABM中,BM=,‎ ‎∴MJ==JC,(9分)‎ ‎∴AB=MC.∴4=2(),∴ ‎ ‎∴AD=BC==7,‎ ‎∴PC==3. ‎ 由此画图(图形大致能示意即可).‎ ‎43. (2009年湖北荆州)21.(7分)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段 BC上一点(不与B﹑C重合),过N作AB的垂线交AB于M,‎ 交AC的延长线于E,过C点作半圆O的切线交EM于F.‎ ‎⑴求证:△ACO∽△NCF;‎ ‎⑵若NC∶CF=3∶2,求sinB 的值.‎ ‎【关键词】相似三角形综合 ‎【答案】‎ ‎44.(2009年茂名市)如图,在中,点是边上的动点(点与点不重合),过动点作交于点 ‎ (1)若与相似,则是多少度? (2分)‎ ‎ (2)试问:当等于多少时,的面积最大?最大面积是多少? (4分)‎ ‎ (3)若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切,求线段的长.(4分)‎ ‎【关键词】二次函数、圆、相似综合题 ‎【答案】(1)当△ABC 与△DAP 相似时,∠APD的度数是60°或30°.‎ ‎(2)设,∵,,∴, ‎ 又∵,∴,, ‎ ‎∴,而, ‎ ‎∴ ‎ ‎. ‎ ‎∴PC 等于12时,的面积最大,最大面积是. ‎ ‎(3)设以和为直径的圆心分别为、,过 作 于点, ‎ 设的半径为,则.显然,,∴,∴, ‎ ‎∴,‎ ‎, ‎ 又∵和外切,‎ ‎∴. ‎ 在中,有, ‎ ‎∴, ‎ 解得:, ∴.‎ ‎45.(2009年湖北十堰市)如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. ‎ ‎(1) 求证:DE-BF = EF.‎ ‎(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由. ‎ ‎(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).‎ ‎【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似 ‎【答案】(1) 证明:‎ ‎∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG ‎∴ DA=AB, ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°‎ ‎∴ ∠BAF = ∠ADE ‎ ‎∴ △ABF ≌ △DAE ‎ ‎∴ BF = AE , AF = DE ‎ ‎∴ DE-BF = AF-AE = EF ‎ ‎(2)EF = 2FG 理由如下:‎ ‎∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG ‎∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ AF = 2BF , BF = 2 FG ‎ 由(1)知, AE = BF,∴ EF = BF = 2 FG ‎ ‎(3) 如图 ‎ DE + BF = EF ‎ ‎46.(2009年山东青岛市)如图,在梯形ABCD中,,,,,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE.若设运动时间为(s)().解答下列问题:‎ ‎(1)当为何值时,?‎ ‎(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由.‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 ‎【答案】解:(1)∵‎ ‎∴.‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴当. ‎ ‎(2)∵平行且等于,‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 过B作,交于,过作,交于.‎ ‎.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. ‎ ‎(3).‎ 若,‎ 则有,‎ 解得.‎ ‎(4)在和中,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴在运动过程中,五边形的面积不变. ‎ ‎47.(2009年广东省)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点, 当点在上运动时,保持和垂直,‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当点运动到什么位置时,求此时的值.‎ ‎【关键词】‎ 正方形的性质;相似三角形判定和性质;直角梯形;与二次函数有关的面积问题;二次函数的极值问题;相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解:(1)在正方形中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎,‎ 当时,取最大值,最大值为10.‎ ‎(3),‎ 要使,必须有,‎ 由(1)知,‎ ‎,‎ 当点运动到的中点时,,此时.‎ ‎48.(2009年山西省)如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.‎ ‎ (1)求的面积;‎ ‎(2)求矩形的边与的长;‎ ‎(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.‎ A D B E O C F x y y ‎(G)‎ ‎【关键词】一次函数的几何应用;一次函数与二元一次方程;矩形的性质;特殊平行四边形相关的面积问题;相似三角形有关的计算 ‎【答案】(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴‎ 由解得∴点的坐标为 ‎∴‎ ‎ (2)解:∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 ‎∴‎ ‎ (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A D B E O R F x y y M ‎(图3)‎ G C A D B E O C F x y y G ‎(图1)‎ R M A D B E O C F x y y G ‎(图2)‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 ‎ 当时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=,‎ ‎∴‎ 当时,如图3,为三角形面积,‎ ‎49.(2009 黑龙江大兴安岭)已知:在中,,动点绕的顶点逆时针旋转,且,连结.过、的中点、作直线,直线与直线、分别相交于点、.‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(N)‎ ‎(1)如图1,当点旋转到的延长线上时,点恰好与点重合,取的中点,连结、,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论(不需证明).‎ ‎(2)当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.‎ ‎【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题 ‎【答案】图2: ‎ ‎ 图3: ‎ 证明:如图2,取的中点,连结、 ‎ ‎∵是的中点,是的中点,‎ ‎∴,, ‎ ‎∴. ‎ 同理,,,‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴, ‎ ‎∴‎ ‎∴. ‎ ‎ ‎ 证明图3的过程与证明图2过程给分相同. ‎ ‎50. (2009年崇左)如图,中,分别是边的中点,相交于.求证:.‎ B C D G E A ‎【关键词】三角形的相似。利用中点做辅助线可得。连接两中点可利用中位线知识得到其结果。‎ ‎【答案】‎ B C D G E A 证明:连结,‎ 分别是边的中点,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎51. (2009东营)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆. ‎ ‎(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积; ‎ ‎(2)设MN与AB之间的距离为米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数; ‎ ‎(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由. ‎ ‎【关键词】二次函数与面积,相似 ‎【答案】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.‎ 所以,S△EMN= =0.5(平方米).‎ 即△EMN的面积为0.5平方米. ‎ ‎(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,‎ 即0<x≤1时, ‎ ‎△EMN的面积S= = ;‎ ‎②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,‎ 即1<x< 时,‎ 如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,‎ ‎∵ E为AB中点,‎ ‎∴ F为CD中点,GF⊥CD,且FG= .‎ 又∵ MN∥CD,‎ ‎∴ △MNG∽△DCG.‎ ‎∴ ,即 .……4分 故△EMN的面积S= ‎ ‎= ; ‎ 综合可得: ‎ ‎(3)①当MN在矩形区域滑动时, ,所以有 ; ‎ ‎②当MN在三角形区域滑动时,S= .‎ 因而,当 (米)时,S得到最大值,‎ 最大值S= = = (平方米). ∵ ,‎ ‎∴ S有最大值,最大值为 平方米.‎ ‎52.(2009年枣庄市)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):‎ 第一步:作一个正方形ABCD;‎ 第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;‎ 第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;‎ 第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.‎ 请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.‎ A B C D E F M N ‎【关键词】黄金矩形 ‎【答案】证明:在正方形ABCD中,取,‎ ‎∵ N为BC的中点,‎ ‎∴ . ‎ 在中,‎ ‎.‎ 又∵ ,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ 故矩形DCEF为黄金矩形. ‎ ‎53. (2009年厦门市)已知:在中,.‎ ‎(1)设的周长为,,(≤≤).写出关于的函数关系式,并在直角坐标系中画出此函数的图象;‎ ‎(2)如图,是线段上一点,连接,若.求证:.‎ ‎【关键词】一次函数的图象,相似三角形 ‎【答案】(1)解:y=7-2x(2≤x≤3)‎ ‎ 画直角坐标系 ‎ 画线段 ‎(2)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.‎ ‎ ∵ ∠B=∠BAD,∴ ∠BAD=∠C.‎ ‎ 又∵ ∠B=∠B,‎ ‎ ∴.‎ ‎【关键词】三角形三边关系 ‎【答案】B ‎54.(2009年赤峰市)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,已知OA= ,tan∠AOC=1/3,点B的坐标为(m,-2)。‎ ‎ (1)求反比例函数的解析式 ‎ (2)求一次函数的解析式 ‎ (3)在y轴上存在一点P,是的△PDC与△ODC相似,‎ ‎ 请你求出P点的坐标。‎ ‎55.(2009年绵阳市)如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60°,‎ AB与PC交于Q点.‎ Q P C B A O ‎(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)若∠ABP = 15°,△ABC的面积为4,求PC的长.‎ ‎【关键词】圆的性质,相似三角形,三角函数 ‎【答案】(1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°,‎ ‎∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°,‎ ‎∴ △ABC是等边三角形.‎ ‎(2)如图,过B作BD∥PA交PC于D,则 ∠BDP =∠APC = 60°.‎ 又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, .‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD. ∴ .‎ ‎(3)设正△ABC的高为h,则 h = BC· sin 60°.‎ ‎∵ BC · h = 4, 即BC · BC· sin 60° = 4,解得BC = 4.‎ 连接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°,从而得∠OCE = 30°,‎ ‎∴ .‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°.‎ ‎∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°.‎ 如图,作等腰直角△RMN,在直角边RM上取点G,使∠GNM = 15°,则∠RNG = 30°,作GH⊥RN,垂足为H.设GH = 1,则 cos∠GNM = cos15° = MN.‎ ‎∵ 在Rt△GHN中,NH = GN · cos30°,GH = GN · sin30°.‎ 于是 RH = GH,MN = RN · sin45°,∴ cos15° =.‎ 在图中,作OF⊥PC于E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =.‎ ‎56.(2009年梅州市)如图 ,梯形ABCD中,,点在上,连与的延长线交于点G.‎ ‎(1)求证:; ‎ D C F E A B G ‎(2)当点F是BC的中点时,过F作交于点,若,求的长.‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】(1)证明:∵梯形,, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴. ‎ ‎(2) 由(1),‎ 又是的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∴ ‎ 又∵,, ‎ ‎∴,得. ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴.‎ ‎ ‎