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- 2021-05-10 发布
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专题22《直角三角形的存在性》
破解策略
以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示:
直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上,或过A、B且与AB垂直的直线上(A,B两点除外).
解直角三角形的存在性问题时,若没有明确指出直角三角形的直角,就需要进行分类讨论.通常这类问题的解题策略有:
(1)几何法:先分类讨论直角,再画出直角三角形,后计算.
如图,若∠ACB=90°.过点A、B作经过点C的直线的垂线,垂足分别为E、F.则△AEC∽△CFB.从而得到线段间的关系式解决问题.
(2)代数法:先罗列三边长,再分类讨论直角,根据勾股定理列出方程,然后解方程并检验.
有时候将几何法和代数法相结合.可以使得解题又快又好!
例题讲解
例1 如图,抛物线l:y=ax2+2x-3与r轴交于A,B(3,0)两点(点A在点B的左侧).与y轴交于点C(0,3).已知对称轴为x=1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点P是抛物线l上任意一点,点Q在直线x=-3上,问:△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)由题意可得点A的坐标为(1,0).
所以抛物线表达式可变为y=a(x-3)(x+1)=ax2-2ax-3a
由点C的坐标可得-3a=3,a=-1
所以抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)如图,过点P作PM垂直于直线l,垂足为M.过点B作BN垂直于直线PM.垂足为N.
若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,
无论点P在BQ的上方或下方,由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN. 所以PM=BN.
设点P的坐标为(m,H,-m2+2m+3).则PM=|m+3|,BN=|-m2+2m+3|,所以|m+3|=|-m2+2m+3|.解得m1=0,m2=1,m3=,m4=
所以点P的坐标为(0,3),(1,4),(,),(,)
例2 如图,一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=(k>0)的图象相交于A、B两点(点A在点B的右侧),分别交x轴.y轴于点E,F.若点A的坐标为(4,2).问:反比例函数图象的另一支上是否存在一点P.使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由,
解:将点A(4,2)代入反比例函数表达式,得k=8,
所以反比例函数为y=,
联立方程纽组 , 解得,
所以点B的坐标为(1,8).
由题意可得点E.F的坐标分剐为(5,0),(0,10),
以AB为直角迎的直角三角形有两种情况:
如图1,当∠PAB=90°时,
连结OA,则OA==.
而AE==,OE=5,所以OA2+AE2=OE2,
即OA⊥AB.所以A,O,P三点共线.
由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y=x.
联立方程组 解得,
所以点P的坐标为(-4,-2).
②如图2,当∠PBA=90°时,记BP与y轴的交点为G.
易证△FBC∽△FOE,所以,
而FO=10.FE=,FB==
可求得FG=,所以点G的坐标为(0,).由B,G两点的坐标可得直线BP的表达式为y=x+,
联立方程组 解得
所以点P的坐标为(-16,-);
综上可得,满足条件的点P坐标为(-4,-2)或(-16,-).
例3 如图,抛物线C1:y=a(x-2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的横坐标是-1.D是x轴负半轴上的一个动点,将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2.抛物线C2的顶点为Q,与x轴相交于E,F两点(点E在点F的左侧).当以点P,Q,E为顶点的三角形是直角三角形时,求顶点Q的坐标.
解 由题意可得点A(-1,0),P(2,-5),B(5,0).
设点D的坐标为(m,0),则点Q的坐标为(2m-2,5),E的坐标为(2m-5,0),
所以PQ2=(2m-4)2 +102,PE2=(2m-7)2+52,EQ2=32+52=34.
△PQE为直角三角形有三种情况:
①当∠PQE= 90°时,有PE2=PQ2+ EQ2,
即(2m-7)2+52=(2m-4)2+102+34,解得m=-,所以点Q的坐标为(-,5);
②当∠QEP=90°时,有PQ2=PE2 +EQ2,
即(2m-4)2+102=(2m-7)2+52+34,解得m=-,所以点Q的坐标为(-,5);
③当∠QPE= 90°时,有EQ2=PE2 + PQ2,
即(2m-7)2+52+(2m-4)2+102=34,方程无解,所以此种情况不成立,
综上可得,当△PQE为直角三角形时,顶点Q的坐标为(-,5)或(-,5).
例4 如图.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B= 90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,当BE=2时,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.当正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B'EFG的边EF与AC交于点M,连结B′D,B'M,DM.问:是否存在这样的t,使△B'DM是直角三角形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解 存在满足条件的t.理由如下:
如图,过点D作DH⊥ BC于点H,过点M作MN⊥DH于点N,
则BH=AD=2,DH=AB=3.
所以BB′=HE=t,HB′=|t-2|,EC=4-t.
易证△MEC∽△ABC,
可得=,即=,所以ME=2-t.
在Rt△B′ME中,有B′M2=ME2+B′E2=t2-2t+8.
在Rt△DHB′中,有B′D2=DH2+B′H2=t2-4t+13.
在Rt△DMN中,DN=DH-NH=t+1.
则DM2=DN2+MN2=t2+t+1.
①若∠DB'M=90°,则DM2=B'M2+B'D2,
即t2+t+1=(t2-2t+8)+(t2-4t+13),
解得t1=;
②若∠B'MD=90°,则B'D2=B'M2+DM2,
即t2-4t+13=(t2-2t+8)+(t2+t+1),
解得t2=-3+,t3=-3-(舍);
③若∠B'DM=90°,则B'M2=B'D2+DM2,
即t2-2t+8=(t2-4t+13)+(t2+t+1),
此方程无解.
综上所得,当t=或-3+时,△B'DM是直角三角形.
进阶训练
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA =4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x(0<x<4)时,解答下列问题:
(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);
(2)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)N(x,x);
(2)当△OMN是直角三角形时,x的值为2或.
【提示】(1)过点N作NP⊥OA于点P,由△PON∽△AOB即可求得;
(2)分类讨论,通过△OMN和△OAB相似即可列出等式求得x的值.
2.如图,在平面直角坐标xOy中,直线y=kx-3与双曲线y=的两个交点为A,B.其中A(-1,a).若M为x轴上的一个动点,且△AMB为直角三角形,求满足条件的点M的坐标.
解:满足条件的点M的坐标为(-5,0),(5,0),(,0)或(,0).
【提示】先求出点A,B的坐标,再设点M的坐标,从而用待定字母表示AM2,BM2,AB2.然后讨论直角,根据勾股定理列方程即可.
3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的一个动点,当以A,B,M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的表达式.
解:(1)A(﹣4,0),B(2,0);
(2)直线l的表达式为或.
【提示】(2)若△ABM是直角三角形,则点M在以AB为直径的圆上,或过A,B且与AB垂直的直线上(A,B两点除外).由题意可得直线l与以AB为直径的圆相切(如图),点M1,M2,M 3即为满足条件的三个点,此时直线l:;根据对称性,直线l还可以为
4,如图,顶点为P(4,﹣4)的二次函数图象经过原点O(0,0),点A在该图象上, OA交其对称轴l于点M,点M,N关于点P对称,连结AN,ON.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,请回答下列问题:
①证明:∠ANM=∠ONM;
②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标;如果不能,请说明理由.
解:(1);(2)①略;②△ANO 能为直角三角形,符合条件的点A的坐标为
【提示】(2)①过点A作AH⊥l于点H,令l与x轴的交点为D.设点A(m,),则直线AO的表达式为,从而求得点M的坐标为(4,m-8),
N的坐标为(4,﹣m),只需证明tan∠ANH=tan∠OND即可;
②分类讨论:当∠ANO=90°时,∠ANM=∠ONM=45°,点N与点P重合,点M与点D重合,不满足M,N关于点P对称,故此时不存在这样的点A;
当∠NOA=90°时,有,求得满足条件的点A;
当∠NAO=90°时,有,即,解得m=4,此时点A,P重合,不满足题意.
5.抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点为C,点A的坐标为(﹣1,4),其对称轴l上是否存在点M,使线段MA绕点M逆时针旋转90°得到线段MB,且点B恰好落在抛物线上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:存在,点M的坐标为(1,2)或(1,5).
【提示】如图,连结AC,则AC⊥l,作BD⊥l于点D,则△MCA≌△BDM,从而MD=AC=2,BD=MC.无论点A,B在l同侧还是异侧,设点M(1,m),都可得B(m-3,m-2),代入抛物线表达式即可求得m=2或5,从而点M的坐标为(1,2)或(1,5).