北京中考三角形中考压轴题汇编 46页

‎ 三角形模拟训练 ‎22．如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°， 矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.‎ ‎（1）若C、D恰好是边AO、OB的中点，求矩形CDEF的面积；‎ ‎（2）若，求矩形CDEF面积的最大值.‎ ‎22．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.‎ ‎（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则=_______；‎ ‎（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 .‎ 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以AC边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.‎ ‎22．阅读：如图1，在和中，, ,、、、 四点都在直线上，点与点重合.‎ 连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：（）.‎ 图1‎ 图2‎ 证明过程如下: ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 即.‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ 解决下列问题：‎ ‎（1）现将△沿直线向右平移，设,且.如图2,当时, _______.利用此图,仿照上述方法,证明不等式：（）.‎ ‎（2）用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.‎ ‎22. 阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．‎ 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．‎ 请你参考小明同学的思路，解决下列问题：‎ ‎(1) 图2中∠BPC的度数为 ；‎ ‎(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ．‎ ‎22、在△ABC中，BC=a，BC边上的高h=‎‎2a ‎，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示．‎ 请你解决如下问题：‎ 已知：如图2，在△A′B′C′中，B′C′=a，B′C′边上的高h=a．请你设计两种不同的分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．‎ ‎22．我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．‎ ‎ （1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；‎ ‎ （2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；‎ 图图2‎ ‎ （3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎22．如图1，若将△AOB绕点O逆时针旋转180°得到△COD，则△AOB≌△COD ‎．此时，我们称△AOB与△COD为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC是锐角三角形且AC＞AB，点E为AC中点，F为BC上一点且BF≠FC（F不与B，C重合），沿EF将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．‎ ‎ （1）在图3中将△ABC沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；‎ ‎（2）在图4中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；‎ ‎（3）在图5中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成四个小三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）． ‎ ‎22．阅读下列材料:‎ 将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）‎ 请你参考以上做法解决以下问题：‎ ‎（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；‎ ‎（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明. ‎ ‎ ‎ ‎22． 现场学习题 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．‎ 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．‎ ‎(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．________‎ 思维拓展：‎ ‎(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC，并求出它的面积是： ．‎ 探索创新：‎ ‎(3)若△ABC三边的长分别为、、 ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．‎ ‎22．如图，一个横截面为Rt△ABC的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=‎‎1米 ‎，师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线m上），再按顺时针方向绕点B翻转到△B的位置（B在m上），最后沿射线B的方向平移到△的位置，其平移距离为线段AC的长度（此时，恰好靠在墙边）．‎ ‎（1）直接写出AB、AC的长；‎ ‎（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，‎ 并求出该路径的长度．‎ ‎22．（本小题满分分）‎ 如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）.将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M,且点M与B、C不重合.‎ ‎（1）请判断线段CD与OM的位置关系,其位置关系 是 ；‎ ‎（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长： ；α的取值范围是 ‎ ‎22．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．‎ ‎（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：      ，      ；‎ ‎（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形；‎ ‎（3）如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．写出线段的数量关系为      ．‎ 图1 图2‎ ‎22．（1）如图1，把边长是3的等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到图2，再把图2中图形各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个新图形，则这个新图形的周长是 ；‎ ‎（2）如图3，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图4，请把图4中的图形剪拼成正方形，并在图4中画出剪裁线，在图5中画出剪拼后的正方形．‎ 图3 图4 图5‎ ‎22．‎ ‎（1）已知：如图1，在四边形中，是上一点， 若，则= ；‎ 若，请直接写出与 间的关系式： ；‎ 图1 图2‎ ‎（2）如图2，△、△、△都是等边三角形，且、、在同一直线上，、、、也在同一直线上，试利用（1）中的结论得△的面积为 ．‎ 图① 图② 图③‎ ‎ 图②‎ ‎22．生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）．‎ ‎ ‎ ‎（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是 ； ‎ ‎（2）若原长方形纸条（图①）宽为‎2cm，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角 ‎22．在边长为1的正方形网格中，正方形与正方形的位置如图所示．‎ ‎（1）请你按下列要求画图：‎ ‎① 联结交于点；‎ ‎② 在上取一点，联结，，使△与△相似；‎ ‎（2）若是线段上一点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则的值为_____________．‎ ‎22．已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m＝AB＋BC＋CD＋DA，探索m的取值范围．‎ ‎（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m＝________．‎ ‎（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，‎ 从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是__________．‎ ‎22．（本小题满分5分）已知菱形纸片ABCD的边长为，∠A=60°，E为边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F．将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点处，过点作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H,再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点处， 与H分别交与于点M、N．若点在△EF的内部或边上，此时我们称四边形（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．‎ ‎ ‎ 图1 图2 备用图 ‎（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形的面积；‎ ‎（2）实验探究：设AE的长为，若重叠四边形存在．试用含的代数式表示重叠四边形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．‎ 解：（1）重叠四边形的面积为 ；‎ ‎（2）用含的代数式表示重叠四边形的面积为______________；‎ 的取值范围为_____________．‎ ‎22．阅读下列材料：‎ 小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连结AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．‎ 小明的做法是：‎ 先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是；‎ 然后取n=3，如图3，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是，即请你参考小明的做法，解决下列问题：‎ ‎（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；‎ 图11‎ 图2‎ 图1‎ 图3‎ 图4‎ 图5‎ ‎（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．‎ ‎22. 在我们学过的四边形中，有些图形具有如下特征：四边形中，，且． 请借助网格画出四边形所有可能的形状.‎ ‎22．（本小题满分5分）‎ 小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．‎ 他先进行了如下部分操作，如图1所示：‎ ‎①取△ABC的边AB、AC的中点D、E，联结DE；‎ ‎ ②过点A作AF⊥DE于点F；‎ ‎（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC拼接成面积与它相等的矩形．‎ ‎（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．‎ ‎（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．‎ ‎22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为‎10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为‎15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.‎ 图1‎ ‎（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；‎ ‎（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.‎ ‎ 图2‎ ‎22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的 甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图①‎ 所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图②所示.‎ ‎（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；‎ y（千元）‎ y（千元）‎ ‎（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？‎ 图① 图②‎ ‎22．阅读下面材料：‎ 如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．‎ 小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：‎ 如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，联结EF，则△OEF为所求的三角形．‎ 请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：‎ 如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；‎ ‎（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′ 转移到同一三角形中．‎ ‎（简要叙述画法）‎ ‎（2）联结AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、‎ ‎△CA′O的面积分别为S1、S2、S3，‎ 则S1+S2+S3 （填“>”或“<”或“=” ） ． ‎ 图2‎ 如图4‎ 图3‎ ‎22．阅读并操作：‎ ‎ 如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，‎ 对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).‎ ‎ ‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎ 请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.‎ ‎（1）新图形为平行四边形； （2）新图形为等腰梯形. ‎ ‎ ‎ ‎22．请阅读下面材料，完成下列问题：‎ ‎ （1）如图1，在⊙O中，AB是直径，于点E，，．计算CE的长度（用、的代数式表示）；‎ ‎（2）如图2，请你在边长分别为、（）的矩形的边上找一点，使得线段，保留作图痕迹；‎ ‎（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.‎ ‎ ‎ ‎ （第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）‎ ‎22．在正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②‎ 联结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这三个直角三角形的斜边长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. ‎ 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.‎ ‎（1）请你帮小萍求出x的值.‎ ‎(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：‎ 如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）‎ 图2‎ ‎22． 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17，它们有下面的规律：‎ ‎ 1+3=22 ；‎ ‎ 1+3+5=32 ；‎ ‎ 1+3+5+7=42 ；‎ 图1‎ ‎1+3+5+7+9=52 ；……‎ ‎ ‎ ‎（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11‎ ‎+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；‎ ‎（2）请你按照上述规律，计算第条黑折线与第条黑折线所围成的图形面积；‎ ‎（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形.‎ ‎1+8=32 ；‎ ‎1+8+16=52 ；‎ ‎1+8+16+24=72 ；‎ ‎1+8+16+24+32=92 . ‎ ‎22．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长 .‎ 第22题图 ‎22. 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．‎ 小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．‎ ‎（1）请你将的面积直接填写在横线上__________________；‎ 思维拓展：‎ ‎（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；‎ 探索创新：‎ ‎（3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．‎ ‎22．‎ 小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：‎ ‎①作点A关于直线l的对称点A′. ‎ ‎②连结A′B，交直线l于点P.‎ 则点P为所求.‎ 请你参考小明的作法解决下列问题：‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小.‎ 图1‎ ‎①在图1中作出点P.（三角板、刻度尺作图，保留作图 痕迹，不写作法） ‎ A B D C G ‎②请直接写出△PDE周长的最小值 .‎ 图2‎ ‎（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值 . ‎ ‎22. 如图1，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成（1）一个等腰梯形；（2）一个正方形．请在图2和图3中分别画出拼接后的这两个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合．‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ ‎22．如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．‎ ‎（1）若沿着AC剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图2中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的面积；‎ ‎（2）若沿着BD剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图3中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的周长；‎ ‎（3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出你所拼成的平行四边形．‎ ‎（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）‎ ‎22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.‎ ‎（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是等边三角形PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时, 顶点P第一次回到原来的起始位置.‎ ‎22.阅读下面材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF．‎ 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．‎ 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 ．‎ 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：‎ ‎（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），‎ ‎∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，‎ DE=4，则BE= ．‎ ‎（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一 动点，且点A（，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，‎ 则y= ．‎ ‎22.阅读下列材料：‎ 在图1—图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．‎ F 图1‎ A B C E D H G ‎（2b＜a）‎ 小明的做法：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．‎ 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针 旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，‎ 由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB 绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的 四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用 SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．‎ 进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．‎ 解决下列问题：‎ ‎（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）‎ 图3‎ F A B C D E 图4‎ F A B C D E 图2‎ F A B C ‎(E)‎ D ‎（2b＝a）‎ ‎（a＜2b＜2a）‎ ‎（b＝a）‎ ‎（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．‎ ‎22．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD 和AE在同一直线上．‎ 操作示例 当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．‎ 思考发现 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．‎ 实践探究 ‎（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）‎ 图3‎ F A B C D E 图 4‎ F A B C D E 图2‎ F A B C ‎(E)‎ D ‎2b＝a a＜2b＜‎‎2a b＝a F 图1‎ A B C E D H G ‎2b＜a ‎（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．‎ 联想拓展 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要 ‎22．认真阅读下列问题，并加以解决：‎ 问题1：如图1，△ABC是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC补成一个矩形．要求：使△ABC的两个顶点 ‎ 成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ 问题2：如图2，△ABC是锐角三角形，且满足BC＞AC＞AB，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合 ‎ 要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；‎ 问题3：如果△ABC是钝角三角形，且三边仍然满足BC＞AC＞AB，现将它补成矩形．要求：△ABC有两个 顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．‎ ‎22. 猜想、探究题：‎ ‎（1）观察与发现 小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．你认为是什么形状的三角形？‎ A C D B 图①‎ A C D B 图②‎ F E ‎（2）实践与运用 将矩形纸片（AB＜CD）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．‎ 猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．‎ ‎22．认真阅读下列问题，并加以解决：‎ 问题1：如图1，△ABC是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC补成一个矩形．要求：使△ABC的两个顶点 ‎ 成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；‎ ‎ ‎ 问题2：如图2，△ABC是锐角三角形，且满足BC＞AC＞AB，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合 ‎ 要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；‎ 问题3：如果△ABC是钝角三角形，且三边仍然满足BC＞AC＞AB，现将它补成矩形．要求：△ABC有两个 顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系 是 （填写“相等”或“不相等”）．‎ ‎22．如图（1），凸四边形，如果点满足 ‎，且，‎ 则称点为四边形的一个半等角点．‎ ‎（1）在图（2）正方形内画一个半等角点，且满足；‎ ‎（2）在图（3）四边形中画出一个半等角点，‎ 保留画图痕迹（不需写出画法）．‎ ‎22．将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．‎ 小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE 、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． ‎ ‎（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；‎ ‎（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4）， 矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为(5,8)，直线PM的解析式为，则所有满足条件的k的值为 ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ ‎ ‎ ‎[来源:Z§xx§k.Com]‎ 图4 备用 ‎22. 猜想、探究题：‎ ‎（1）观察与发现 A C D B 图①‎ A C D B 图②‎ F E 小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．你认为是什么形状的三角形？‎ ‎（2）实践与运用 将矩形纸片（AB＜CD）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．‎ 猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．‎ ‎22． 在长方形中画出5条线，把它分成的块数与画线的方式有直接关系.按如图1的方式画线，可以把它分成10块.‎ ‎(1)请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最少（重合的线只看做一条），最少可分成 块；‎ ‎（2）请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最多，最多可分成 块.‎ ‎(画出图形不写画法和理由)‎ ‎22．一种电讯信号转发装置的发射直径为‎31km．现要求：在一边长为‎30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：新课标第一网 ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；‎ ‎（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．‎ 图1‎ A B C D 图2‎ A B C D 图2‎ A B C D 图1‎ A B C D ‎22. 和点在平面直角坐标系中的位置如图所示：‎ ‎（1）将向右平移4个单位 得到，则点的坐标是 ( ），‎ 点的坐标是 ( ) ；‎ ‎（2）将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．‎ ‎22. 如图8-1、9-1，现将二张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合．‎ 分别在图8-1、图9-1中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，按所采裁图形的实际大小，在图8-2中拼成正方形，在图9-2中拼成一个角是的三角形．‎ 要求：‎ ‎（1）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎（2）所拼出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.‎ ‎22．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）www.zk5u.com中考资源网和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时（如图1）www.zk5u.com中考资源网,易证:AF+BF=2CE.‎ ‎（1）当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时,上述结论是否仍然成立? 若成立,请给予证明，若不成立,也请说明理由；‎ ‎（2）当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.‎ N C A B F ‎(E)‎ 图1‎ M N A C B E F 图2‎ M N A C B E F 图3‎ M ‎22．一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：‎ 请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积.‎ 要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶 ‎ 点与B点重合；‎ ‎（2）写出画图步骤；‎ ‎（3）写出所画的平行四边形的名称.‎ ‎22．阅读下列材料：‎ 小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形. ‎ ‎ 他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形. ‎ 喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.‎ 他的做法是：‎ 如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论： ‎ 当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．‎ 请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．‎ ‎ 22．将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三 角形（不能有重叠和缝隙）．‎ 小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、 F，并沿直线PE 、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． ‎ ‎（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；‎ ‎（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4）， 矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为(5,8)，直线PM的解析式为，则所有满足条件的k的值为 ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ ‎ ‎ 图4 ‎ ‎ 22. 如图①，将一张直角三角形纸片折叠，使点与点重合，这时为折痕，为等腰三角形；再继续将纸片沿的对称轴折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.‎ 图① 图② 图③ ‎ ‎（1）如图②，在正方形网格中，能否仿照前面的方法把折叠成“叠加矩形”，如果能，请在图②中画出折痕及叠加矩形；‎ ‎（2）如图③，在正方形网格中，以给定的为一边，画出一个斜，使其顶点 在格点上，且折成的“叠加矩形”为正方形；‎ ‎（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？‎ ‎ 22 如图：正方形ABCD的边长为‎6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且∠ECP=45°。则PE的长是 cm． △PEC的面积是 cm.‎ ‎22．（本题满分4分）‎ ‎（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.‎ ‎（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积. ‎ ‎（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积. ‎ ‎ ‎ 从上面计算中你能得到什么结论. ‎ 结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关， 与无关.‎ ‎（没写结论也不扣分）‎ ‎22．（1）观察与发现 小明将三角形纸片ABC（AB>AC），沿过点A的直线折叠，便得AC落在AB边上，折痕为AD，展开 ‎ 纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF ‎ ‎（如图②），小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．‎ ‎（2）实践与运用 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③），再 ‎ 沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④），再展开纸片（如图 ‎⑤）求图中∠α的大小．‎ ‎22 如图：正方形ABCD的边长为‎6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且∠ECP=45°。则PE的长是 cm． △PEC的面积是 cm.‎ ‎22. 如图①，将一张直角三角形纸片折叠，使点与点重合，这时为折痕，为等腰三角形；再继续将纸片沿的对称轴折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.‎ 图① 图② 图③ ‎ ‎（1）如图②，在正方形网格中，能否仿照前面的方法把折叠成“叠加矩形”，如果能，请在图②中画出折痕及叠加矩形；‎ ‎（2）如图③，在正方形网格中，以给定的为一边，画出一个斜，使其顶点在格点上，且折成的“叠加矩形”为正方形；‎ ‎（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？‎ ‎22．如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：‎ ‎（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；‎ ‎（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；‎ ‎（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是 ．‎ ‎22．阅读材料：‎ ‎ （1）操作发现:‎ ‎ 如图，矩形中，是的中点，将△沿折叠后得到，且点 在矩形内部．小明将延长交于点，‎ ‎ 认为，你同意吗？说明理由．‎ ‎（2）问题解决:‎ ‎ 保持（1）中的条件不变，若，求的值；‎ ‎（3）类比探求:‎ 第22题图 ‎ 保持（1）中条件不变，若，求的值．‎ ‎22．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．‎ ‎ 　　若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．‎ ‎ 解决问题：‎ ‎（1）计算：{3，1}+{1，-2}；‎ ‎ （2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”‎ ‎{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”‎ ‎{3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.‎ ‎②证明四边形OABC是平行四边形.‎ ‎（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头 y O 图2‎ Q（5, 5）‎ P（2, 3）‎ y O 图1‎ ‎1‎ ‎1‎ x x Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．‎ ‎22．已知正方形纸片ABCD的边长为2．[来源:Z|xx|k.Com]‎ 操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．‎ 探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；‎ ‎（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？‎ ‎22．请阅读下列材料：‎ 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．‎ 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x >0）. 依题意，割补前后图形面积相等, 有, 解得．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．‎ 请你参考小东同学的做法，解决如下问题：‎ ‎（1） 如图4，是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图4上画出分割线，在图4的右侧画出拼成的正方形简图）；‎ ‎（2）如图5，是由边长分别为和的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图5上画出分割线，在图5的右侧画出拼成的正方形简图）.‎ ‎22． 如图，将正方形沿图中虚线（其）剪成① ② ③ ④ 四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．‎ ‎（1）画出拼成的矩形的简图；‎ ‎（2）求的值． ‎ ‎22. （本题满分4分）阅读下面材料：‎ 小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD的长.‎ 小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及 OE，在Rt△AOF中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解决此题。‎ 请你回答图2中线段AD的长 .‎ 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：‎ 如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6,且∠BAC=30°,‎ 则线段AD的长 .‎ ‎22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：‎ ‎ （1）如图，中，，，‎ ‎，把绕点旋转，并拼 第22题图1‎ 接成一个正方形,请你在图中完成这个作图；‎ ‎ ‎ ‎ （2）如图，中，，，请你设计一种与(1)不同方法，‎ ‎ 将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得 ‎ 到的正方形；‎ ‎ （3）设计一种方法把图中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形. ‎ 第22题图2‎ 第22题图3‎ ‎　‎ ‎22．（本小题满分5分）‎ 定义为一次函数的特征数．‎ ‎（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；‎ ‎（2）设点分别为抛物线与轴、轴的交点，其中，且的面积为4，为坐标原点，求图象过、两点的一次函数的特征数．‎ ‎22．（本小题满分5分）‎ 如图，矩形纸片ABCD中，厘米，厘米，点E在AD上，且AE=‎6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：‎ 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图①）；‎ 步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图②）．‎ 图① 图② 图③‎ ‎（I）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“>”、“=”、“<”）；‎ ‎（II）如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：‎ ‎（i）当点P在A点时，PT与MN交于点，点的坐标是（ ， ）；‎ ‎（ii）当PA=‎6厘米时，PT与MN交于点，点的坐标是（ ， ）；‎ ‎（iii）当PA=厘米时，在图③中用尺规作出MN（不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与MN交于点，点的坐标是（ ， ）．‎ 备用图 备用图 三角形压轴证明题 ‎1．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．‎ ‎（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．‎ ‎2‎ ‎．我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．‎ 已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．‎ ‎（1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；‎ ‎（2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．‎ ‎3．已知：如图，△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．‎ ‎（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，请你猜想OM与AD的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；‎ ‎（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．‎ ‎①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；‎ ‎②求证：OM⊥AD．‎ ‎4. 如图，已知的面积为.现将沿直线向右平移个单位到的位置. ‎ ‎（1）当时，求所扫过的面积；‎ D F E C B A ‎（2）连结、，设，当是以为一腰的等腰三角形时，求的值.‎ ‎5．请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．‎ 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长． ‎6．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．‎ ‎（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：‎ ‎①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；‎ ‎②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是 ；‎ ‎（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．‎ ‎7．如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P．‎ ‎（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎8．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．‎ ‎（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；‎ ‎（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．‎ ‎9. 在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．‎ ‎（1）如图1，若点在线段上运动，交于．‎ A B D C E 第25题图1‎ ‎①求证：；‎ ‎②当是等腰三角形时，求的长．‎ ‎（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的 反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；‎ C D B A E C A B D E 第25题图2‎ 第25题图3‎ ‎②如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．‎ ‎10．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC= °（直接写出结论，不需证明）．‎ ‎（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．‎ ‎11．在中，AC=BC，，点D为AC的中点．‎ ‎（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．‎ ‎（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．‎ ‎[来源:学#科#网][来源:Zxxk.Com]‎ ‎12． 已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．‎ ‎（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，‎ 求tan∠BCP的值．‎ ‎13． 如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连结BD．‎ ‎（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当= 时，‎ ‎△BDP的面积最大；‎ ‎（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上何处时，‎ ‎△BDP的面积最大？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.‎ ‎（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；‎ ‎（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.‎ 图1 图2 图3‎ ‎15．已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R.‎ ‎（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，‎ 求证QE=EF；‎ ‎（2）当点P在BC上运动时，求PQ+PR为定值.‎ ‎16.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:‎ ‎（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；‎ ‎（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；‎ ‎（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎17. （本题满分6分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．‎ ‎（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；‎ ‎（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．‎ ① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ‎ ② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；‎ ③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．‎ ‎ 图a 图b ‎18.在中，，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.‎ ‎(1)若，，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出的度数；‎ ‎(2)若，，求的度数。‎ ‎24．已知在△ABC和△DBE中，AB＝AC，DB＝DE，且∠BAC＝∠BDE．‎ ‎（1）如图1，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则线段CE与AD之间的数量关系是 ；‎ ‎（2）如图2，若∠BAC＝∠BDE＝120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之 间的数量关系是__________________；‎ ‎（3）如图3，若∠BAC＝∠BDE＝，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含的式子表示），并证明你的结论．‎ ‎19．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝‎ AC，且∠A＝36°．‎ ‎ （1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎ （2）△BCD是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；‎ ‎ （3）设，试求k的值；‎ ‎ （4）如图2，在△A1B‎1C1中，已知A1B1＝A‎1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．‎ ‎ 图1 图2‎ 图1‎ ‎20．（本小题满分7分）‎ 已知：等边三角形ABC （1） 如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．‎ 试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；‎ 图2‎ ‎（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．‎ ‎ 求证：PA+PD+PC＞BD ‎ ‎ ‎20． ‎ 已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，‎ 射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+‎ ‎∠MON=180°.‎ ‎（1）利用图1，求证：PA=PB；‎ ‎（2）如图2，若点是与的交点，当 图1‎ 时，求PB与PC的比值；‎ ‎（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON于点，且满足且，‎ 请借助图3补全图形，并求的长.‎ ‎ ‎ 图2‎ ‎21．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.‎ ‎ （1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；‎ ‎ （2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.‎ 图②‎ ‎ 图①‎ ‎ ‎22．已知，以AC为边在外作等腰，其中AC=AD.‎ ‎（1）如图1，若，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则 ‎ ‎°；‎ ‎（2）如图2，若，是等边三角形， AB=3，BC=4. 求BD的长；‎ ‎ （3）如图3，若为锐角，作于H，当时，‎ 是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.‎ ‎23．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎9cm，BC＝‎12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝‎6cm，DF＝‎8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．‎ ‎ 现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以‎1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以‎2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．‎ ‎（1）当t＝2时，PH= cm ，DG = cm；‎ ‎（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；‎ ‎（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；‎ ‎（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．‎ ‎24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.‎ ‎（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；‎ ‎（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．‎ 求证：BE-DE=2CF；‎ ‎（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．‎ ‎25．在△ABC中，点P为BC的中点．‎ ‎（1）如图1，求证：AP＜（AB+BC）；‎ ‎（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．‎ ‎①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；‎ ‎②请在图3中证明：BC≥DE．‎