中考圆的易错题好题整理 41页

‎ 圆的易错题好题整理 ‎2018年1月23日制作 ‎ ‎ 知识点一 圆的有关性质 例题1 （2015 黔南州 难度★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　）‎ A．∠A=∠D B．= C．∠ACB=90° D．∠COB=3∠D 思路方法：根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．‎ 解析：‎ A、∠A=∠D，正确；B、，正确；‎ C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；‎ 故选：D 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．‎ 例题2 （2015 黔西南州 难度★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　 　．‎ 思路方法：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．‎ 解析：‎ 连接OC，如图所示：‎ ‎∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，‎ ‎∴CE=CD=2，∠OEC=90°，‎ 设OC=OA=x，则OE=x﹣1，‎ 根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，‎ 即22+（x﹣1）2=x2，‎ 解得：x=；‎ 故答案为：．‎ 点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ 练习1‎ ‎1.（2015 珠海 难度★）‎ 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）‎ A．25° B．30° C．40° D．50°‎ ‎2.（2015 黄冈中学自主招生 难度★★★）‎ 将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）‎ A．3 B．8 C． D．2‎ ‎3.（2015 通辽 难度★）‎ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为　　　．‎ ‎4.（2013 株洲 难度★★）‎ 如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是　　　度．‎ ‎5.（2014 衡阳 难度★★★）‎ 如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为　　　　　　．‎ 知识点二 与圆的位置关系 例题1 （2014 德州 难度★★★）‎ 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．‎ ‎（1）求AC、AD的长；‎ ‎（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ 思路方法：（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD；（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．‎ 解析：‎ ‎（1）①如图，连接BD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=90°，‎ 在Rt△ABC中，‎ AC===5（cm），‎ ‎②∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴Rt△ABD是直角等腰三角形，‎ ‎∴AD=AB=×10=5cm；‎ ‎（2）直线PC与⊙O相切，‎ 理由：连接OC，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠CAO=∠OCA，‎ ‎∵PC=PE，‎ ‎∴∠PCE=∠PEC，‎ ‎∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACE=∠ECB，‎ ‎∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，‎ 即OC⊥PC，‎ ‎∴直线PC与⊙O相切．‎ 点评：本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．‎ 例题2 （2014 长沙 难度★★★★）‎ 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．‎ 思路方法：（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：连接OD，‎ ‎∵D是BC的中点，OA=OB，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DE是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE⊥AC；‎ ‎（2）解法1：连接AD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠DCE 在△ADE和△CDE中，‎ ‎∴△CDE∽△DAE，‎ ‎∴，‎ 设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，‎ ‎∴，整理得：x2﹣3x+1=0，‎ 解得：x=，‎ ‎∴tan∠ACB=或．‎ ‎（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）‎ 解法2：连OD，过点O作AC的垂线，垂足为F，‎ ‎∴OF2+AF2=OA2，‎ ‎∵AC=AF+FE+CE，且AC=AB=3DE，OB=OD=EF，‎ ‎∴，‎ ‎∴=或，‎ ‎∴tan∠ACB=或．‎ 点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．‎ 练习2‎ ‎1. （2015 衢州 难度★★★）‎ 如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）‎ A．3 B．4 C． D．‎ ‎2.（2015 镇江 难度★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=　　　　　　°．‎ ‎3.（2013秋 延庆县校级期末 难度★★★）‎ 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．‎ ‎（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．‎ ‎4.（2015 辽阳 难度★★★）‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：直线FG是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．‎ ‎5.（2014 涪城区校级自主招生 难度★★★★）‎ 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：AC与⊙O相切；‎ ‎（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．‎ 知识点三 弧长、扇形面积 例题1 （2014 牡丹江 难度★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=（　　）‎ A．π B．2π C． D．π 思路方法：求出CE=DE，OE=BE=1，得出S△BED=S△OEC，所以S阴影=S扇形BOC．‎ 解析：‎ 如图，CD⊥AB，交AB于点E，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴CE=DE=CD=，‎ 又∵∠CDB=30°‎ ‎∴∠COE=60°，‎ ‎∴OE=1，OC=2，‎ ‎∴BE=1，‎ ‎∴S△BED=S△OEC，‎ ‎∴S阴影=S扇形BOC==．‎ 故选：D．‎ 点评：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，图形的转化是解答本题的关键．‎ 例题2 （2014 锦州 难度★★★）‎ 如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是　 　．‎ 思路方法：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．‎ 解析：‎ 扇形的弧长是：=，‎ 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，‎ 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，‎ ‎∴=2r，‎ 即：R=4r，‎ r与R之间的关系是R=4r．‎ 故答案为：R=4r．‎ 点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ 练习3‎ ‎1.（2014 杭州 难度★★）‎ 已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（　　）‎ A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2‎ ‎2.（2015 包头 难度★★★）‎ 如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎3.（2015 盐城 难度★）‎ 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为　　　　　　．‎ ‎4.（2015 湖北 难度★★★）‎ 如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎5.（2014 佛山 难度★★★★）‎ 如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是　　　　．‎ 知识点四 多边形和圆 例题1 （2015 宁夏 难度★★）‎ 如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　　　　　．‎ 思路方法：先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．‎ 解析：‎ 连接OE，由正六边形是轴对称图形知：‎ 在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．‎ ‎∴GE=，OG=．‎ ‎∴，，，，，．‎ 故答案为：（，﹣）‎ 点评：本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．‎ 例题2 （2015 金华 难度★★★★★）‎ 如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ 思路方法：首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．‎ 解析：‎ 如图，连接AC、BD、OF，，‎ 设⊙O的半径是r，‎ 则OF=r，‎ ‎∵AO是∠EAF的平分线，‎ ‎∴∠OAF=60°÷2=30°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴∠OFA=∠OAF=30°，‎ ‎∴COF=30°+30°=60°，‎ ‎∴FI=r•sin60°=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∵AO=2OI，‎ ‎∴OI=，CI=r﹣=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 即则的值是．故选：C．‎ 点评：此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．‎ 练习4‎ ‎1.（2014 南开区二模 难度★★）‎ 若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（　　）‎ A．6，3 B．6，3 C．3，6 D．6，3‎ ‎2.（2014 通辽模拟 难度★★）‎ 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是　　　　　　度．‎ ‎3.（2015 宝应县二模 难度★★）‎ 如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为　　　　cm．‎ ‎4．（2015 深圳校级模拟 难度★★★）‎ 如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为　　　　　　．‎ ‎5.（2014 延庆县一模 难度★★★★）‎ 如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为　　　　　　；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为　　　　　　．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）‎ 实战演练 ‎1．（2014 益阳 难度★）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）‎ A．1 B．1或5 C．3 D．5‎ ‎2．（2014 天津 难度★）‎ 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎3．（2015 珠海 难度★）‎ 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）‎ A．25° B．30° C．40° D．50°‎ ‎4．（2015 诸城市二模 难度★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎5．（2014 无锡 难度★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎6．（2015 齐齐哈尔 难度★★★）‎ 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）‎ A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5‎ ‎7．（2015 梧州 难度★★★）‎ 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（　　）‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎8．（2015•宣城模拟 难度★★★）‎ 如图，等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB=AC，tanB=，则AB为（　　）‎ A．cm B．cm C．2cm D．2cm ‎9．（2015 海曙区模拟 难度★★★）‎ 如图，平面直角坐标系中，已知P（6，8），M为OP中点，以P为圆心，6为半径作⊙P，则下列判断正确的有（　　）‎ ‎①点O在⊙P外；②点M在⊙P上；③x轴与⊙P相离；④y轴与⊙P相切．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．（2014 连云港 难度★★★）‎ 如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（　　）‎ ‎①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．‎ A．①③ B．①④ C．②④ D．③④‎ ‎11．（2014 长春二模 难度★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）‎ A．70° B．60° C．50° D．40°‎ ‎12．（2015 常德 难度★★★）‎ 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）‎ A．50° B．80° C．100° D．130°‎ ‎13．（2015 黄石校级模拟 难度★★★★）‎ 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（　　）‎ A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm ‎14．（2015 大庆模拟 难度★★★★）‎ 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）‎ A． cm B．9 cm C．cm D．cm ‎15．（2014 武汉 难度★★★★★）‎ 如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．（2015 海淀区一模 难度★）‎ 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为　　　　　　．‎ ‎17．（2015 淄博 难度★）‎ 如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=　　　　　　度．‎ ‎18．（2015 徐汇区二模 难度★★）‎ 如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为　　　　　　．‎ ‎19．（2015 恩施州 难度★★）‎ 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　　．‎ ‎20．（2014 西宁 难度★★）‎ ‎⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　　　　　　．‎ ‎21．（2014 重庆 难度★★）‎ 如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=　　　　　　．‎ ‎22．（2014 资阳 难度★★）‎ 已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是　　　　　　．‎ ‎23．（2015 贵阳 难度★★★）‎ 小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是　　　　　　．‎ ‎24．（2015 阜宁县二模 难度★★★）‎ 如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB=　　　　　　．‎ ‎25．（2015 牡丹江二模 难度★★★）‎ 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为　　　　　　．‎ ‎26．（2014 绍兴 难度★★★）‎ 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　　　　．‎ ‎27．（2015 永州 难度★★★）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　　　　　　．‎ ‎28．（2015 贺州 难度★★★）‎ 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是　　　　　　（结果保留π）．‎ ‎29．（2014 苏州 难度★★★★）‎ 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　　　　．‎ ‎30．（2015 宁夏 难度★）‎ 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．‎ ‎　‎ ‎31．（2015 南开区一模 难度★）‎ 已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．‎ ‎（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；‎ ‎（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．‎ ‎　‎ ‎32．（2014秋 安庆期末 难度★★）‎ 已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．‎ 求证：CF平分∠BCD．‎ ‎33．（2014 南通 难度★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．‎ ‎（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；‎ ‎（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．‎ ‎34．（2014 汕头 难度★★★）‎ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．‎ ‎（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）‎ ‎（2）求证：OD=OE；‎ ‎（3）求证：PF是⊙O的切线．‎ ‎35．（2014 丹徒区二模 难度★★★）‎ 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．‎ ‎（1）求证：MN是半圆的切线；‎ ‎（2）求证：FD=FG．‎ ‎（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．‎ ‎　‎ ‎36．（2015 滨州 难度★★★）‎ 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．‎ ‎（1）求的长．‎ ‎（2）求弦BD的长．‎ ‎37．（2014 潍坊 难度★★★）‎ 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．‎ ‎（1）求证：OD∥BE；‎ ‎（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．‎ ‎　‎ ‎38．（2014 扬州 难度★★★）‎ 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．‎ ‎（1）求证：DE∥BC；‎ ‎（2）若AF=CE，求线段BC的长度．‎ ‎　‎ ‎39．（2015 济南校级二模 难度★★★）‎ 如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）‎ ‎　‎ ‎40．（2015 崇安区二模 难度★★★）‎ 如图，点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是一平行四边形．‎ ‎（1）求∠AOC的度数； ‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．‎ ‎41．（2015 柳州 难度★★★）‎ 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．‎ ‎42．（2015 呼伦贝尔 难度★★★）‎ 如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若PC=2，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎43．（2015 铁岭 难度★★★）‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．‎ ‎　‎ ‎44．（2015 杭州模拟 难度★★★）‎ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．‎ ‎（1）当β=36°时，求α的度数；‎ ‎（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．‎ ‎（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．‎ ‎　‎ ‎45．（2015 松江区二模 难度★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．‎ ‎（1）若BE=8，求⊙O的半径；‎ ‎（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．‎ ‎46．（2014秋 龙江县校级月考 难度★★★）‎ 如图，△ABC中，AC=AB，以AB为直径作半圆O，交AC于点E，交BC于点D．‎ ‎（1）如图1，求证：CD=BD；‎ ‎（2）如图2，连接CO交半圆O于点F，若AB=10，AE=8，求CF的长．‎ ‎47．（2015 周村区一模 难度★★★）‎ 如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．‎ ‎　‎ ‎48．（2014 厦门 难度★★★★）‎ 已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．‎ ‎（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．‎ ‎49．（2014 呼和浩特 难度★★★★）‎ 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．‎ ‎（1）求证：∠ACM=∠ABC；‎ ‎（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．‎ ‎　‎ ‎50．（2015 黄陂区校级模拟 难度★★★★）‎ 如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．‎ ‎（1）求证：∠ACF=∠ADB；‎ ‎（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；‎ ‎（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎51．（2015 海宁市模拟 难度★★★★★）‎ 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．‎ ‎（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD=120°，则∠OBA+∠ODA=　　　　　　°．‎ ‎（2）若四边形OBCD为平行四边形．‎ ‎①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；‎ ‎②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．‎ ‎　‎ ‎52．（2015 杭州模拟 难度★★★★★）‎ 已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．‎ ‎（1）∠E的度数为　　　　　　；‎ ‎（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；‎ ‎（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．‎ 答案 练习1‎ ‎1. D 2. A 3. 4. 48 5. ‎ 练习2‎ ‎1. D 2. 112.5 ‎ ‎3.解：（1）连接OC，‎ ‎∵直线l与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥CD；‎ 又∵AD⊥CD，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACO；‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴∠ACO=∠CAO，‎ ‎∴∠DAC=∠CAO，‎ 即AC平分∠DAB；‎ ‎（2）如图②，连接BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∴∠BAF=90°﹣∠B，‎ ‎∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，‎ 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，‎ ‎∴∠AEF+∠B=180°，‎ ‎∴∠BAF=∠DAE．‎ ‎4．（1）证明：如图1，连接OD，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠C=∠ABC，‎ ‎∵OD=OB，‎ ‎∴∠ABC=∠ODB，‎ ‎∴∠ODB=∠C，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODG=∠DGC，‎ ‎∵DG⊥AC，‎ ‎∴∠DGC=90°，‎ ‎∴∠ODG=90°，‎ ‎∴OD⊥FG，‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴直线FG是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：如图2，‎ ‎∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴OA=OD=10÷2=5，‎ 由（1），可得 OD⊥FG，OD∥AC，‎ ‎∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，‎ 在△ODF和△AGF中，‎ ‎∴△ODF∽△AGF，‎ ‎∴，‎ ‎∵cosA=，‎ ‎∴cos∠DOF=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AF=AO+OF=5，‎ ‎∴，‎ 解得AG=7，‎ ‎∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，‎ 即CG的长是3．‎ ‎5．（1）证明：连接OE，‎ ‎∵AB=BC且D是AC中点，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵BE平分∠ABD，‎ ‎∴∠ABE=∠DBE，‎ ‎∵OB=OE ‎∴∠OBE=∠OEB，‎ ‎∴∠OEB=∠DBE，‎ ‎∴OE∥BD，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∵OE为⊙O半径，‎ ‎∴AC与⊙O相切．‎ ‎（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，‎ ‎∴BC=10，‎ ‎∴AB=BC=10，‎ 设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠C=∠A，‎ ‎∴sinA=sinC=，‎ ‎∵AC与⊙O相切于点E，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∴sinA===，‎ ‎∴r=，‎ 答：⊙O的半径是．‎ 练习3‎ ‎1. B 2. A 3. 4. 5. ‎ 练习4‎ ‎1. B 2. 45 3. 18 4. 5. ‎ 实战演练 ‎1-5 BCDBA 6-10 ABDCD 11-15 DDDCB 16. 或 17. 28 18. 19. 20. 4 21. 8 22. 外离 23. 24. 25. ‎ ‎26. 5 27. 28. 29. 2 ‎ ‎30．（1）证明：连接OB，如图所示：‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠C+∠BAC=90°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠BAC=∠OBA，‎ ‎∵∠PBA=∠C，‎ ‎∴∠PBA+∠OBA=90°，‎ 即PB⊥OB，‎ ‎∴PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵⊙O的半径为2，‎ ‎∴OB=2，AC=4，‎ ‎∵OP∥BC，‎ ‎∴∠C=∠BOP，‎ 又∵∠ABC=∠PBO=90°，‎ ‎∴△ABC∽△PBO，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴BC=2．‎ ‎31．解：（1）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵直线CD与⊙O相切于点C，‎ ‎∴∠ACD=∠B，‎ 又∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠CDA=90°=∠ACB，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2=AB•AD=10×2=20，‎ ‎∴AC=2；‎ ‎（2）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AGB=90°，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠CDA=90°=∠AGB，‎ 又∵∠ACD=∠B，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴．‎ ‎32．证明：连接AD，‎ ‎∵CA=CD，‎ ‎∴∠D=∠CAD．‎ ‎∵∠D=∠CFA，‎ ‎∴∠CAD=∠CFA．‎ ‎∵∠CFA=∠B+∠FCB，‎ ‎∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．‎ ‎∵CA=CB，‎ ‎∴∠CAF=∠B，‎ ‎∴∠FAD=∠FCB，‎ ‎∵∠FAD=∠FCD，‎ ‎∴∠FCB=∠FCD，‎ ‎∴CF平分∠BCD．‎ ‎33. 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，‎ ‎∴CE=DE=8，‎ 设OB=x，‎ 又∵BE=4，‎ ‎∴x2=（x﹣4）2+82，‎ 解得：x=10，‎ ‎∴⊙O的直径是20．‎ ‎（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，‎ ‎∴∠D=∠BOD，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴∠D=30°．‎ ‎34．（1）解：∵AC=12，‎ ‎∴CO=6，‎ ‎∴==2π；‎ 答：劣弧PC的长为：2π．‎ ‎（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，‎ ‎∠PEA=90°，∠ADO=90°‎ 在△ADO和△PEO中，‎ ‎，‎ ‎∴△POE≌△AOD（AAS），‎ ‎∴OD=EO；‎ ‎（3）证明：如图，连接AP，PC，‎ ‎∵OA=OP，‎ ‎∴∠OAP=∠OPA，‎ 由（2）得OD=EO，‎ ‎∴∠ODE=∠OED，‎ 又∵∠AOP=∠EOD，‎ ‎∴∠OPA=∠ODE，‎ ‎∴AP∥DF，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴∠PQE=90°‎ ‎∴PC⊥EF，‎ 又∵DP∥BF，‎ ‎∴∠ODE=∠EFC，‎ ‎∵∠OED=∠CEF，‎ ‎∴∠CEF=∠EFC，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴PC为EF的中垂线，‎ ‎∴∠EPQ=∠QPF，‎ ‎∵△CEP∽△CAP ‎∴∠EPQ=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠EAP，‎ ‎∴∠QPF=∠OPA，‎ ‎∵∠OPA+∠OPC=90°，‎ ‎∴∠QPF+∠OPC=90°，‎ ‎∴OP⊥PF，‎ ‎∴PF是⊙O的切线．‎ ‎35．解：（1）如右图所示，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAB+∠ABC=90°，‎ ‎∵∠MAC=∠ABC，‎ ‎∴∠CAB+∠MAC=90°，‎ 即∠MAB=90°，‎ ‎∴MN是半圆的切线．‎ ‎（2）证明：∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠EDB+∠ABD=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CBG+∠BGC=90°‎ ‎∵D是弧AC的中点，‎ ‎∴∠CBD=∠ABD，‎ ‎∴∠EDB=∠BGC，‎ ‎∵∠DGF=∠BGC，‎ ‎∴∠EDB=∠DGF，‎ ‎∴DF=FG．‎ ‎（3）如图，连接AD、OD，‎ ‎∵DF=FG，‎ ‎∴∠DGF=∠FDG，‎ ‎∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠ADF，‎ ‎∴AF=DF=GF，‎ ‎∴S△ADG=2S△DGF=9，‎ ‎∵△BCG∽△ADG，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，‎ ‎∴S△BCG=16．‎ 答：△BCG的面积是16．‎ ‎36．解：（1）如图，连接OC，OD，，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=90°，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，‎ ‎∴的长=．‎ ‎（2）∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD，‎ ‎∴∠AOD=∠BOD，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD=45°，‎ 在Rt△ABD中，‎ BD=AB×sin45°=10×．‎ ‎37．（1）证明：如图，连接OE，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥CD，‎ 在Rt△OAD和Rt△OED，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）‎ ‎∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，‎ 在⊙O中，∠ABE=∠AOE，‎ ‎∴∠AOD=∠ABE，‎ ‎∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．‎ ‎（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，‎ ‎∴∠COE=∠COB=∠BOE，‎ ‎∵∠DOE+∠COE=90°，‎ ‎∴△COD是直角三角形，‎ ‎∵S△DEO=S△DAO，S△OCE=S△COB，‎ ‎∴S梯形ABCD=2（S△DOE+S△COE）=2S△COD=OC•OD=48，‎ 即xy=48，‎ 又∵x+y=14，‎ ‎∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=142﹣2×48=100，‎ 在Rt△COD中，‎ CD====10，‎ ‎∴CD=10．‎ ‎38．解：（1）证明：连接OD、OE，‎ ‎∵AD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，‎ 又∵弧DE的长度为4π，‎ ‎∴，‎ ‎∴n=60，‎ ‎∴△ODE是等边三角形，‎ ‎∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，‎ ‎∴∠B=∠EDA，‎ ‎∴DE∥BC．‎ ‎（2）连接FD，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠DEF=∠C=90°，‎ ‎∴FD是⊙0的直径，‎ 由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，‎ ‎∴EF=，‎ 又∵∠EDA=30°，DE=12，‎ ‎∴AE=，‎ 又∵AF=CE，∴AE=CF，‎ ‎∴CA=AE+EF+CF=20，‎ 又∵，‎ ‎∴BC=60．‎ ‎39．解：连接OC，‎ ‎∵AB与圆O相切，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，‎ 在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，‎ ‎∴OC=OA=2，∠AOC=60°，‎ ‎∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，‎ 则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．‎ 故图中阴影部分的面积为4﹣．‎ ‎40．解：（1）如图，连结OB，‎ ‎∵四边形OABC是一平行四边形，‎ ‎∴AB=OC，‎ ‎∵OA=OB=OC，‎ ‎∴AB=OA=OB，即△OAB是等边三角形，‎ ‎∴∠AOB=60°，同理∠BOC=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°；‎ ‎（2）S阴影=扇形OAB的面积﹣三角形OAB的面积 ‎=π×32﹣×32‎ ‎=．‎ ‎41．证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，‎ ‎∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，‎ ‎∴∠DAC=∠ABC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACB，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴AB=AC；‎ ‎（2）作AF⊥CD于F，‎ ‎∵四边形ABCE是圆内接四边形，‎ ‎∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，‎ ‎∴∠AEH=∠AEF，‎ 在△AEH和△AEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEH≌△AEF，‎ ‎∴EH=EF，‎ ‎∴CE+EH=CF，‎ 在△ABH和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABH≌△ACF，‎ ‎∴BH=CF=CE+EH．‎ ‎42．证明：（1）如图1，连接OB．‎ ‎∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，‎ ‎∴∠OBA=∠OAC=90°，‎ ‎∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，‎ ‎∵OP=OB，‎ ‎∴∠OBP=∠OPB，‎ ‎∵∠OPB=∠APC，‎ ‎∴∠ACP=∠ABC，‎ ‎∴AB=AC；‎ ‎（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，‎ 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，‎ 则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，‎ AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，‎ ‎∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，‎ 解得：r=3，‎ ‎∴AB=AC=4，‎ ‎∵PD是直径，‎ ‎∴∠PBD=90°=∠PAC，‎ 又∵∠DPB=∠CPA，‎ ‎∴△DPB∽△CPA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PB=．‎ ‎∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．‎ ‎43．解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴∠ODB=90°，‎ 在△BOD和△EOA中，‎ ‎，‎ ‎∴△BOD≌△EOA，‎ ‎∴∠OAE=∠ODB=90°，‎ ‎∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，‎ ‎∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，‎ 则阴影部分的面积=×4×4﹣=8﹣．‎ ‎44．解：（1）连接OB，则OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∵∠C=36°，‎ ‎∴∠AOB=72°，‎ ‎∵∠OAB=（180°﹣∠AOB）=54°，‎ 即β=54°． ‎ ‎（2）α与β之间的关系是α+β=90°；‎ 证明：∵∠OBA=∠OAB=α，‎ ‎∴∠AOB=180°﹣2α，‎ ‎∵∠AOB=2∠β，‎ ‎∴180°﹣2α=2∠β，‎ ‎∴α+β=90°． ‎ ‎（3）∵点C平分优弧AB ‎∴AC=BC 又∵BC2=3OA2，‎ ‎∴AC=BC=OA，‎ 过O作OE⊥AC于E，连接OC，‎ 由垂径定理可知AE=OA，‎ ‎∴∠AOE=60°，∠OAE=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC为正三角形，‎ 则α=∠CAB﹣∠CAO=30°．‎ ‎45．解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，‎ ‎∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，‎ 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，‎ x2=（x﹣8）2+122，‎ 解得：x=13．‎ ‎（2）∵OM=OB，‎ ‎∴∠M=∠B，‎ ‎∴∠DOE=2∠M，‎ 又∠M=∠D，‎ ‎∴∠D=30°，‎ 在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，‎ ‎∴OE=4．‎ ‎46．（1）证明：连接AD，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴CD=BD；‎ ‎（2）解：延长CD交⊙O于点F，‎ 根据切割线定理，‎ CE•CA=CF•CH，‎ ‎2×10=CF•（CF+10）‎ 解得：CF=3﹣5，CF=﹣3﹣5（舍去）‎ ‎47．证明：连接AC，‎ ‎∵∠AOB=90°，C、D是的三等分点，‎ ‎∴∠AOC=∠COD=30°，‎ ‎∴AC=CD，又OA=OC，‎ ‎∴∠ACE=75°，‎ ‎∵∠AOB=90°，OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=45°，‎ ‎∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，‎ ‎∴∠ACE=∠AEC，‎ ‎∴AE=AC，‎ ‎∴AE=CD．‎ ‎48．解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，‎ ‎∴AC、BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD；‎ ‎（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．‎ ‎∵DF是直径，‎ ‎∴∠DCF=∠DBF=90°，‎ ‎∴FB⊥DB，‎ 又∵AC⊥BD，‎ ‎∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，‎ ‎∵∠FCA+∠ACD=90°‎ ‎∴∠BDC=∠FCA=∠BAC ‎∴等腰梯形ACFB ‎∴CF=AB．‎ 根据勾股定理，得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∴OD=，即⊙O的半径为．‎ ‎49．（1）证明：如图，连接OC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ABC+∠BAC=90°，‎ 又∵CM是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CM，‎ ‎∴∠ACM+∠ACO=90°，‎ ‎∵CO=AO，‎ ‎∴∠BAC=∠ACO，‎ ‎∴∠ACM=∠ABC；‎ ‎（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠OAC=∠CAD，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∴∠OCA=∠CAD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ 又∵OC⊥CE，‎ ‎∴AD⊥CE，‎ ‎∴△AEC是直角三角形，‎ ‎∴△AEC的外接圆的直径是AC，‎ 又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，‎ ‎∴△ABC∽△CDE，‎ ‎∴=，‎ ‎⊙O的半径为3，‎ ‎∴AB=6，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC2=12，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴AC==2，‎ ‎∴△AEC的外接圆的半径为．‎ ‎50．（1）证明：连接AB，‎ ‎∵OP⊥BC，‎ ‎∴BO=CO，‎ ‎∴AB=AC，‎ 又∵AC=AD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ 又∵∠ABD=∠ACF，‎ ‎∴∠ACF=∠ADB． ‎ ‎（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，‎ 则AN=m，‎ ‎∴∠ANB=∠AMC=90°，‎ 在△ABN和△ACM中 ‎，‎ ‎∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）‎ ‎∴BN=CM，AN=AM，‎ 又∵∠ANF=∠AMF=90°，‎ 在Rt△AFN和Rt△AFM中 ‎，‎ ‎∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），‎ ‎∴NF=MF，‎ ‎∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF，‎ ‎=BN+CM=2BN=n，‎ ‎∴BN=，‎ ‎∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，‎ 在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，‎ ‎∴CD=． ‎ ‎（3）解：的值不发生变化，‎ 过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q， ‎ ‎∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，‎ ‎∴∠OAC=∠ADH，‎ 在△DHA和△AOC中 ‎，‎ ‎∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），‎ ‎∴DH=AO，AH=OC，‎ 又∵BO=OC，‎ ‎∴HO=AH+AO=OB+DH，‎ 而DH=OQ，HO=DQ，‎ ‎∴DQ=OB+OQ=BQ，‎ ‎∴∠DBQ=45°，‎ 又∵DH∥BC，‎ ‎∴∠HDE=45°，‎ ‎∴△DHE为等腰直角三角形，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=．‎ ‎51．解：（1）如图1，连接BD，，‎ ‎∵∠BOD=120°，‎ ‎∴∠BAD=120°÷2=60°，‎ ‎∴∠0BD+∠ODB=180°﹣∠BOD=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD ‎=180°﹣60°﹣60°‎ ‎=120°﹣60°‎ ‎=60°‎ ‎（2）①如图2，‎ ‎∵四边形OBCD为平行四边形，‎ ‎∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，‎ 又∵∠BAD+∠BCD=180°，，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，‎ ‎∴∠OBC=∠ODC=180°﹣120°=60°，‎ 又∵∠ABC+∠ADC=180°，‎ ‎∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠OBC+∠ODC）‎ ‎=180°﹣（60°+60°）‎ ‎=180°﹣120°‎ ‎=60°‎ ‎②如图3，‎ ‎∵四边形OBCD为平行四边形，‎ ‎∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，‎ 又∵∠BAD+∠BCD=180°，，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，‎ ‎∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，‎ ‎∵OA=OD，OA=OB，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，‎ ‎∴∠OBA=∠ODA+60°．‎ 故答案为：60．‎ ‎52．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，‎ ‎∵OD=OC=CD=2‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°‎ ‎∴∠DBC=30°‎ ‎∴∠EBD=30°‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB=90°‎ ‎∴∠E=90°﹣300=600‎ ‎∠E的度数为600；‎ ‎（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．‎ ‎∵OD=OC=CD=2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ ‎∴∠DAC=30°，‎ ‎∴∠EBD=30°，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠E=90°﹣30°=60°，‎ ‎（3）如图3，连结OD，OC，‎ ‎∵OD=OC=CD=2，‎ ‎∴△DOC为等边三角形，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BED=60°，‎ ‎∴∠AEC=60°．‎