2020中考数学高分一轮复习教材同步复习第五章四边形课时20矩形与菱形真题在线 4页

第一部分　第五章　课时20‎ ‎ 命题点一　矩形的性质 ‎1．(2018·遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为(　C　)‎ A．10　　　　 B．12‎ C．16　 　　 D．18‎ ‎2．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．‎ ‎(1)求证：CP＝AQ；‎ ‎(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，‎ AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，‎ ‎∴∠E＝∠F.‎ ‎∵BE＝DF，∴AE＝CF.‎ 在△CFP和△AEQ中， ‎∴△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ.‎ ‎(2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.‎ ‎∵∠AEF＝45°，‎ ‎∴△BEP，△AEQ是等腰直角三角形，‎ ‎∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝BP＝，‎ ‎∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3，‎ ‎∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2.‎ ‎∵CP＝AQ，AD＝BC，‎ ‎∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，‎ 4‎ ‎∴矩形ABCD的面积为AB·AD＝2×4＝8.‎ ‎ 命题点二　菱形的性质及判定 ‎3．(2016·遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　C　)‎ A．AB＝AD　　 B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC ‎4．(2018·遵义)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B，D重合)，折痕为EF. 若DG＝2，BG＝6，则BE的长为__2.8__.‎ ‎【解析】如答图，过E作EH⊥BD于H，‎ 第4题答图 由折叠的性质可知，EG＝EA，‎ 由题意得，BD＝DG＋BG＝8.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴AB＝BD＝8.‎ 设BE＝x，则EG＝AE＝8－x，‎ 在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，‎ 在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2，‎ 即(8－x)2＝(x)2＋(6－x)2，‎ 解得x＝2.8，即BE＝2.8.‎ ‎5．(2017·遵义)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO 4‎ 并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.‎ ‎ (1)求证：四边形ACBP是菱形；‎ ‎(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．‎ ‎(1)证明：连接AO，BO，如答图．‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，‎ ‎∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，‎ ‎∴∠AOP＝60°.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，‎ ‎∴∠AOP＝∠CAO＋∠ACO，‎ ‎∴∠ACO＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP.‎ 同理可证BC＝PB，∴AC＝BC＝BP＝AP，‎ ‎∴四边形ACBP是菱形．‎ ‎(2)解：连接AB交PC于D，如答图．‎ 答图 ‎∵AD⊥PC，OA＝1，‎ ‎∠AOP＝60°，‎ ‎∴AD＝OA＝，‎ ‎∴PO＝2OA＝2，‎ ‎∴PC＝PO＋OC＝3，AB＝2AD＝，‎ ‎∴S菱形ACBP＝AB·PC＝.‎ ‎6．(2015·遵义)在Rt△ABC中，∠BAC＝ 90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.‎ 4‎ ‎(1)求证：△AEF≌△DEB；‎ ‎(2)求证：四边形ADCF是菱形；‎ ‎(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．‎ ‎(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ‎ ‎∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AE＝DE, BD＝CD.‎ 在△AEF和△DEB中，‎ ‎∴△AEF≌△DEB(AAS)．‎ ‎(2)证明：由(1)知△AEF≌△DEB，则AF＝DB.‎ ‎∵DB＝DC, ∴AF＝CD.‎ ‎∵AF∥BC, ∴四边形ADCF是平行四边形．‎ ‎∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，‎ ‎∴AD＝DC＝BC, ∴四边形ADCF是菱形．‎ ‎(3)解：连接DF. ∵AF∥BD, AF＝BD, ‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5.‎ ‎∵四边形ADCF是菱形，‎ ‎∴S菱形ADCF＝AC·DF＝×4×5＝10.‎ 4‎