2012北京市西城区中考二模数学试题含答案 15页

北京市西城区 2013 年初三二模试卷 数 学 2013. 6 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 的倒数是 A． B．3 C． D． 2．下列运算中正确的是 A． B． C． D． 3．若一个多边形的内角和是 720°，则这个多边形的边数是 A．5 B．6 C．7 D．8 4．若 ，则 的值为 A．8 B．6 C．5 D．9 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A B C D 6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是 A．中位数是 6 B．众数是 3 C．平均数是 4 D．方差是 1.6 7．如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30 °后得到正方形 EFCG， EF 交 AD 于点 H，则四边形 DHFC 的面积为 A． B． C． 9 D． 8．如图，点 A，B，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着 A，B，C 三点所在的平 面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是 A B C D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．函数 中，自变量 的取值范围是 ． 10．若把代数式 化为 的形式，其中 ， 为常数，则 = ． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点 D，E 分别是 AB， 3− 3 1 3 1− 3− 2aaa =+ 22 aaa =⋅ 2 2 2( ) =ab a b 532 )( aa = 3 2 0− + − =x y xy 3 33 36 3 2 = +y x x 1782 +− xx khx +− 2)( h k +h k AC 的中点．若点 F 在线段 DE 上，且∠AFC=90°， 则∠FAE 的度数为 °． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在第一象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1 是△OAB 的内切圆，且 P1 的坐标为(3,1)． (1) OA 的长为 ，OB 的长为 ； (2) 点 C 在 OA 的延长线上，CD∥AB 交 x 轴于点 D．将⊙P1 沿水平方向向右平移 2 个单位得到⊙P2， 将 ⊙P2 沿 水 平 方 向 向 右 平 移 2 个 单 位 得 到 ⊙P3 ， 按 照 同 样 的 方 法 继 续 操 作 ， 依 次 得 到 ⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn 均在△OCD 的内部，且⊙Pn 恰好与 CD 相切，则此时 OD 的长为 ．（用含 n 的式子表示） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： ． 14．如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D，E 在直线 AB 的同侧， ∠ECA=∠DCB，∠D=∠E． 求证：AD=BE． 15．已知 ，求代数式 的值． 16．已知关于 的一元二次方程 有实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 当 为负整数时，求方程的两个根． 17．列方程（组）解应用题： 水上公园的游船有两种类型，一种有 4 个座位，另一种有 6 个座位．这两种游船的收费标准是： 一条 4 座游船每小时的租金为 60 元，一条 6 座游船每小时的租金为 100 元．某公司组织 38 名员工到 水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且 1 小时共花费租金 600 元，求该公司分别租用 4 座游船 和 6 座游船的数量． 18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一 种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 1 01( ) 27 (5 ) 6tan604 − °− + − π + 2 3 1 0x x+ − = ( 2)( 3) (2 1)(2 1) 4x x x x x− − − + − − x 01172 =−++ mxx m m 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 请根据以上信息回答下列问题： (1) 参加问卷调查的学生共有 人； (2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度； (3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的 学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为 ． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象与 轴交于点 A( ,0)， 与 轴交于点 B，且与正比例函数 的图象的交点为 C( ,4) ． (1) 求一次函数 的解析式； (2) 若点 D 在第二象限，△DAB 是以 AB 为直角边的 等腰直角三角形，直接写出点 D 的坐标． 20．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC= 6 3 ． (1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长． 21．如图，以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O， ⊙O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E． (1) 求证：DE⊥AC； (2) 连结 OC 交 DE 于点 F，若 ，求 的值． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，点 经过变换 得到点 ，该变换记作 ，其中 y kx b= + x 3− y 4 3y x= m y kx b= + 3sin 4 ∠ =ABC OF FC ( , )P x y τ ( , )P x y′ ′ ′ ),(),( yxyx ′′=τ 为常数 ．例如，当 ，且 时， ． (1) 当 ，且 时， = ； (2) 若 ，则 = ， = ； (3) 设点 是直线 上的任意一点，点 经过变换 得到点 ．若点 与点 重合， 求 和 的值． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．在平面直角坐标系 xOy 中， A，B 两点在函数 的图象上， 其中 ．AC⊥ 轴于点 C，BD⊥ 轴于点 D，且 AC=1． (1) 若 =2，则 AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图 1，若点 B 的横坐标为 ，且 ，当 AO=AB 时，求 的值； (3) 如图 2，OC=4，BE⊥ 轴于点 E，函数 的图象分别与线段 BE， BD 交于点 M，N，其中 ．将△OMN 的面积记为 ，△BMN 的面积记为 ，若 ，求 与 的函数关系式以及 的最大值． 24．在△ABC 中，AB=AC，AD，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，且 AD 与 CE 交于点 M．点 N 在射线 AD 上， 且 NA=NC．过点 N 作 NF⊥CE 于点 G，且与 AC 交于点 F，再过点 F 作 FH∥CE，且与 AB 交于点 H．    −=′ +=′ byaxy byaxx , ( ,a b ) 1a = 1b = )5,1()3,2( −=−τ 1a = 2b = − (0,1)τ (1, 2) (0, 2)τ = − a b ( , )P x y 2y x= P τ ( , )P x y′ ′ ′ P ′P a b 1 1 : ( 0)kC y x x = > 1 0k > y x 1k 1k 1 1k > 1k y 2 2 : ( 0)kC y x x = > 2 10 k k< < 1S 2S 1 2S S S= − S 2k S 图 2图 1 (1) 如图 1，当∠BAC=60°时，点 M，N，G 重合． ①请根据题目要求在图 1 中补全图形； ②连结 EF，HM，则 EF 与 HM 的数量关系是__________； (2) 如图 2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH； (3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC 为“黄金三角形”，此时 ．若 EH=4， 直接写出 GM 的长． 5 1 2 BC AC −= 图 1 图 2 备用图 25．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 和抛物线 W 交于 A，B 两点，其中点 A 是抛物线 W 的顶 点．当点 A 在直线 上运动时，抛物线 W 随点 A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段 AB 的长 度保持不变． 应用上面的结论，解决下列问题： 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ．点 A 是直线 上的一个动点，且点 A 的横坐标为 ．以 A 为顶点的抛物线 与直线 的另一个交点为点 B． (1) 当 时，求抛物线 的解析式和 AB 的长； (2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时，直接写出此时点 A 的坐标； (3) 过点 A 作垂直于 轴的直线交直线 于点 C．以 C 为顶点的抛物线 与 直线 的另一个交点为点 D． ①当 AC⊥BD 时，求 的值； ②若以 A，B，C，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 的取值范围． l l 1 : 2l y x= − 1l t 2 1 :C y x bx c= − + + 1l 0t = 1C y 2 1: 2 l y x= 2 2 :C y x mx n= + + 2l t t 图 1 图 2 备用图 北京市西城区 2013 年初三二模 数学试卷参考答案及评分标准 2013.6 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B A B D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9 10 11 12 5 2n+3 阅卷说明：第 12 题第一、第二个空各 1 分，第三个空 2 分. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式= ……………………………………………… 4 分 = ． ……………………………………………… 5 分 14．证明：∵点 C 是线段 AB 的中点， ∴AC=BC. …………………………1 分 ∵∠ECA=∠DCB， ∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD， 即∠ACD=∠BCE. …………………2 分 在△ACD 和△BCE 中， ∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分 ∴AD=BE . ……………………………………………… 5 分 15．解： …………………………………………… 2 分 . …………………………………………………… 3 分 ∵ ， 即 ， ……………………………………………4 分 ∴原式 . ……………………………… 5 分 16．解：(1) ∵关于 的一元二次方程 有实数根， ∴ . ….….…..…..…………..……………………1 分 ∴ . …..….….…..…………..……………………2 分 2x ≠ − 5 64 4 4 3 3 1 6 3− + + × 5 3 3+ , , , D E ACD BCE AC BC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ( 2)( 3) (2 1)(2 1) 4x x x x x− − − + − − 2 25 6 (4 1) 4x x x x= − + − − − 23 9 7x x= − − + 2 3 1 0x x+ − = 2 3 1x x+ = 23( 3 ) 7x x= − + + 3 1 7 4= − × + = x 2 7 11 0+ + − =x x m 27 4(11 ) 0∆ = − − ≥m 5 4 ≥ −m E D C BA (2) ∵ 为负整数， ∴ . .….……..…..…………..…………………… 3 分 此时方程为 . .…….…..…………………4 分 解得 x1= 3，x2= 4. .…….…..…………………5 分 17．解：设租用 4 座游船 条，租用 6 座游船 条. .….…..…..…………………… 1 分 依题意得 ….………..……………………3 分 解得 ..…………..……………………4 分 答：该公司租用 4 座游船 5 条，6 座游船 3 条. .….….…..…..…………………5 分 18．解：(1) 80； ……………………………………………………………………1 分 (2) 54； ……………………………………………………………………3 分 (3) 3 20 ． …………………………………………………………………… 5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：(1)∵点 C( ,4)在直线 上， ∴ ，解得 . ……………… 1 分 ∵点 A( ,0)与 C(3,4)在直线 上， ∴ ……………… 2 分 解得 ∴一次函数的解析式为 . ……………………………………… 3 分 (2) 点 D 的坐标为( , )或( , ). ……………………………………… 5 分 阅卷说明：两个点的坐标各 1 分. 20．解：(1)在 Rt△BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= 6 3 ， ∴ . m 1= −m 2 7 12 0+ + =x x x y 4 6 38, 60 100 600. x y x y + = + =    5, 3. x y = =    m 4 3y x= 44 3 m= 3m = 3− ( 0)y kx b k= + ≠ 0 3 , 4 3 . k b k b = − +  = + 2 ,3 2. k b  =  = 2 23y x= + 2− 5 5− 3 2 6 3 = CD D2 D1 y= 4 3x A B C y=kx+b O x y -3 4 E A B C D _ _ ∴CD= 6. …………………………………… 1 分 ∴由勾股定理得 BD= BC2 + CD2= 10 . ……… 2 分 (2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 交 BA 延长线于点 E . ∵∠BAD=135°， ∴∠EAD=∠ADE=45°. ∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3 分 设 AE=ED= x ，则 AD= 2x . ∵DE2+BE2=BD2， ∴x2+(x+2)2=( 10)2. ………………………………………………… 4 分 解得 x1= 3(舍)，x2=1 . ∴AD= 2x = 2. ………………………………………………………… 5 分 21．(1)证明：连接 OD . ∵DE 是⊙O 的切线， ∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1 分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴O 是 AB 的中点. 又∵D 是 BC 的中点， . ∴OD∥AC . ∴∠DEC=∠ODE= 90° . ∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2 分 (2)连接 AD . ∵OD∥AC， ∴ . …………………………………………………………………… 3 分 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D 为 BC 的中点， ∴AB=AC. ∵sin∠ABC= AD AB = ， 故设 AD=3x , 则 AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4 分 ∵DE⊥AC， ∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED. ∴ . ∴ . ∴ . EC OD FC OF = 3 4 =AD AC AE AD ACAEAD ⋅=2 9 4 =AE x F E D CB O A _ ∴ . ∴ . ………………………………………………………………… 5 分 22．解：(1) = ； ……………………………………… 1 分 (2) = ， = ； ……………………………………… 3 分 (3) ∵点 经过变换 得到的对应点 与点 重合， ∴ . ∵点 在直线 上， ∴ . ∴ ……………………………………… 4 分 即 ∵ 为任意的实数， ∴ 解得 ∴ ， . ……………………………………… 5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：(1) AO 的长为 ，△BOD 的面积为 1； ………………………… 2 分 (2) ∵A，B 两点在函数 的图象上， ∴点 A，B 的坐标分别为 ， . ………………… 3 分 ∵AO=AB， 由勾股定理得 ， ， ∴ . 解得 或 . …………………………………………… 4 分 ∵ ， 7 4 =EC x 8 7 = =OF OD FC EC (0,1)τ ( 2, 2)− a 1− b 1 2 ( , )P x y τ ( , )P x y′ ′ ′ P ( , ) ( , )τ =x y x y ( , )P x y 2y x= ( , 2 ) ( , 2 )τ =x x x x 2 , 2 2 . x ax bx x ax bx = + = −    (1 2 ) 0, (2 2 ) 0. a b x a b x − − = − + =    x 1 2 0, 2 2 0. a b a b − − = − + =    3 , 2 1 . 4 a b = = −     3 2 a = 1 4 b = − 5 1 1 : ( 0)kC y x x = > 1(1, )k 1( ,1)k 2 2 11+=AO k 2 2 2 1 1(1 ) ( 1)= − −+AB k k 2 2 2 1 1 11 (1 ) ( 1)+ = − −+k k k 1 2 3k = + 1 2 3k = − 1 1k > ∴ . ………………… 5 分 (3) ∵OC=4， ∴点 A 的坐标为 . ∴ . 设点 B 的坐标为 ， ∵BE⊥ 轴于点 E，BD⊥ 轴于点 D， ∴四边形 ODBE 为矩形，且 ， 点 M 的纵坐标为 ，点 N 的横坐标为 . ∵点 M，N 在函数 的图象上， ∴点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 . ∴ . ∴ . ∴ . ∴ ， ………………………… 6 分 其中 . ∵ ，而 ， ∴当 时， 的最大值为 1. …………………………………… 7 分 24．解：(1)补全图形见图 1， ………1 分 1 2 3k = + (1, 4) 1 4k = 4( , )m m y x =4ODBES四边形 4 m m 2 2 : ( 0)kC y x x = > 2 4( , ) 4 mk m 2( , )km m 2= 2 =OME OND kS S∆ ∆ 2 2 2 1 1 4= ( )( 2 2 4 )mk kS BM BN m m m ⋅ = − − 2 2(4 ) 8 k−= 1 2=S S S− 2 2 2=(4 )k S S− − − 2 2=4 2k S− − 2 22 2 2 2 (4 ) 14 2 8 4 kS k k k −= − − × = − + 20 4k< < 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 1 4 4 S k k k= − + = − − + 1 0 4 − < 2 2k = S y= k2 x y= k1 x AC E M N B D y xO A B C D E M F H 图 1 EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM ； ………2 分 (2)连接 MF（如图 2）. ∵AD，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB， 且∠BAC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4. ∵AB=AC， ∴AD⊥BC. ∵NG⊥EC， ∴∠MDC =∠NGM =90°. ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°. ∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∵NA=NC，∠2=60°， ∴△ANC 是等边三角形. ∴AN=AC. 在△AFN 和△AMC 中， ∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3 分 ∴AF=AM. ∴△AMF 是等边三角形. ∴AF=FM，∠7=60°. ∴∠7=∠1. ∴FM∥AE. ∵FH∥CE， ∴四边形 FHEM 是平行四边形. ……………………………………… 4 分 ∴EH=FM. ∴AF=EH. …………………………………………… 5 分 (3) GM 的长为 . …………………………………………… 7 分 25．解：(1) ∵点 A 在直线 上，且点 A 的横坐标为 0， ∴点 A 的坐标为 . 5 3, , 2 2, ∠ = ∠  = ∠ = ∠ AN AC 5 1− 1 : 2l y x= − (0, 2)− 7 6 5 4 3 21 N G A B CD E H F M 图 2 ∴抛物线 的解析式为 . …………………………… 1 分 ∵点 B 在直线 上， ∴设点 B 的坐标为 . ∵点 B 在抛物线 : 上， ∴ . 解得 或 . ∵点 A 与点 B 不重合， ∴点 B 的坐标为 . …………………………… 2 分 ∴由勾股定理得 AB= . …………………… 3 分 (2) 点 A 的坐标为 . …………………………… 4 分 (3) ①方法一：设 AC，BD 交于点 E，直线 分别与 轴、 轴交于点 P 和 Q（如图 1）.则点 P 和点 Q 的坐标分别为 ， . ∴OP=OQ=2. ∴∠OPQ =45°. ∵AC⊥ 轴， ∴AC∥ 轴. ∴∠EAB =∠OPQ =45°. ∵∠DEA =∠AEB=90°，AB = ， ∴EA=EB =1. ∵点 A 在直线 上，且点 A 的横坐标为 ， ∴点 A 的坐标为 . ∴点 B 的坐标为 . ∵AC∥ 轴， ∴点 C 的纵坐标为 . ∵点 C 在直线 上， ∴点 C 的坐标为 . ∴抛物线 的解析式为 . ∵BD⊥AC， ∴点 D 的横坐标为 . ∵点 D 在直线 上， ∴点 D 的坐标为 . …………………………………………… 5 分 1C 2 2y x= − − 1 : 2l y x= − ( , 2)x x − 1C 2 2y x= − − 22 2x x− = − − 0x = 1x = − ( 1, 3)− − 2 2(0 1) ( 2 3) 2+ + − + = (1, 1)− 1 : 2l y x= − x y (2,0) (0, 2)− y x 2 1 : 2l y x= − t ( , 2)t t − ( 1, 3)t t− − x 2t − 2 1: 2 l y x= (2 4, 2)t t− − 2C 2[ (2 4)] ( 2)y x t t= − − + − 1t − 2 1: 2 l y x= 1( 1, ) 2 tt −− Q P l1 l2 DC A y= x2+bx+c B y xO y=x2+mx+n E 图 1 ∵点 D 在抛物线 ： 上， ∴ . 解得 或 . ∵当 时，点 C 与点 D 重合， ∴ . …………………………………………… 6 分 方法二：设直线 与 轴交于点 P，过点 A 作 轴的平行线，过点 B 作 轴的平行 线，交于点 N.（如图 2） 则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB. 在△ABN 中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物线 随顶点 A 平移的过程中， AB 的长度不变，∠ABN 的大小不变， ∴BN 和 AN 的长度也不变，即点 A 与点 B 的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变. 同理，点 C 与点 D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变. 由(1)知当点 A 的坐标为 时，点 B 的坐标为 ， ∴当点 A 的坐标为 时，点 B 的坐标为 . ∵AC∥ 轴， ∴点 C 的纵坐标为 . ∵点 C 在直线 上， ∴点 C 的坐标为 . 令 ，则点 C 的坐标为 . ∴抛物线 的解析式为 . ∵点 D 在直线 上， ∴设点 D 的坐标为 . ∵点 D 在抛物线 ： 上， ∴ . 解得 或 . ∵点 C 与点 D 不重合， ∴点 D 的坐标为 . ∴当点 C 的坐标为 时，点 D 的坐标为 . 2C 2[ (2 4)] ( 2)y x t t= − − + − 21 [( 1) (2 4)] ( 2) 2 t t t t − = − − − + − 5 2 t = 3t = 3t = 5 2 t = 1 : 2l y x= − x y x 1C (0, 2)− ( 1, 3)− − ( , 2)t t − ( 1, 3)t t− − x 2t − 2 1: 2 l y x= (2 4, 2)t t− − 2t = (0,0) 2C 2y x= 2 1: 2 l y x= ( , ) 2 xx 2C 2y x= 2 2 x x= 1 2 x = 0x = 1 1( , ) 2 4 (0,0) 1 1( , ) 2 4 y= x2+bx+c NO x y B A l1 P 图 2 ∴当点 C 的坐标为 时，点 D 的坐标为 . …… 5 分 ∵BD⊥AC， ∴ . ∴ . …………………………………………… 6 分 ② 的取值范围是 或 . ………………………………… 8 分 说明：设直线 与 交于点 M.随着点 A 从左向右运动，从点 D 与点 M 重合，到点 B 与点 M 重合的过程中，以 A，B，C，D 为顶点构成的图形不是凸四边形. (2 4, 2)t t− − 7 7(2 , ) 2 4 t t− − 71 2 2 t t− = − 5 2 t = t 15 4 t 1l 2l l1 DC A B y xO M l2 l1 DC A B y xO M l2