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- 2021-05-10 发布
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2017中考专题复习——圆
题型一、勾股定理在圆中的应用
1、(2012成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:KE=GE;
(2)若=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3) 在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
2、(2014•孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.
3、(2015•黄陂区校级模拟)如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
4、(2013•成都模拟)已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.
(1)求证:AM•MB=EM•MC;
(2)求sin∠EOB的值;
(3)若P是直径AB延长线上的点,且BP=12,求证:直线PE是⊙O的切线.
5、(2012•杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2.
(1)求∠COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
6、(2011•潍坊)如图,AB是半径O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.
(1)求证:△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.
专题二、三角函数在圆中的应用
1、(2014成都)如图,在⊙的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,=,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设,,求与之间的函数关系式.(不要求写出的取值范围)
,
2、(2012•襄阳)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
3、(2014•武侯区校级自主招生)如图,⊙O与直线PC相切于点C,直径AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F.
(1)求证:PF2=EF•FD;
(2)当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=时,求PF的长;
(3)在(2)条件下,连接BD,判断△ADB是什么三角形?并证明你的结论.
4、(2014•盘锦)如图,△ABC中,∠C=90°,点G是线段AC上的一动点(点G不与A、C重合),以AG为直径的⊙O交AB于点D,直线EF垂直平分BD,垂足为F,EF交BC于点E,连结DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的长;
(3)若cosA=,AB=8,直接写出线段BE的取值范围.
专题三、相似三角形与圆的综合应用
1、(2010)已知:如图,内接于,为直径,弦于,是的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、.
(1)求证:是的外心;
(2)若,求的长;
(3)求证:.
2、(2014•镇江)如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.
(1)求证:EA是⊙O的切线;
(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;
(3)已知AF=4,CF=2.在(2)条件下,求AE的长.
3、(2013•桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:点D在⊙O上;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
4、(2012•泰州)如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5.OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.
5、(2012•德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:AE•FD=AF•EC;
(2)求证:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
6、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与三角形的三边切于点D,E,F,连接AD与内切圆相交于点P,连接PC,PE,PF,FD,ED,且PC⊥PF。
(1) 求证:△PFD∽△PDC;
(2)
7、(2012•十堰)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值.
8、(2004•武汉)已知:如图,直线y=kx+3(k>0)交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于E、F两点,交直线AB于C点,连接BE、CE,∠CBD的平分线交CE于I点.
(1)求证:BE=IE;
(2)若AI⊥CE,设Q为弧BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,求AT•AG的值;
(3)设P为线段AB上的一个动点(异于A、B),连接PD交y轴于M点,过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N.设⊙O1的半径为R,当时,给出下列两个结论:①MN的长度不变;②的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值.
专题四、圆中的面积问题
1、(2013)如图,⊙的半径,四边形内接圆⊙,于点,为延长线上的一点,且.
(1)试判断与⊙的位置关系,并说明理由:
(2)若,,求的长;
(3)在(2)的条件下,求四边形的面积.
2、(2013•钦州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
3、如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC : CA=4 : 3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.
A
O
B
P
D
C
4、(四川省成都市2009)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG.
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:AE=BF;
A
C
B
F
D
E
O
G
(3)若OG·DE=3(2-),求⊙O的面积.
5、如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧 上的任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
C
P
D
O
B
A
E
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若=,求△ABC的周长.
6、如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心,顺次连接A、O1、B、O2.
(1)求证:四边形AO1BO2是菱形;
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D,求证:CE=2O2D;
(3)在(2)的条件下,若△AO2D的面积为1,求△BO2D的面积.
专题五、中点在圆中的应用
1、(2011)已知:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥ A C,垂足为K。过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
(1)求证:AE=CK;
(2)如果AB=,AD= (为大于零的常数),求BK的长:
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.
2、(2014•长沙)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
3、(2014•广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.
(1)求证:E是AC的中点;
(2)若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长.
4、(2010•苏州)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.O是CD边的中点,以O为圆心,OC长为半径作圆,交BC边于点E.过E作EH⊥AB,垂足为H.已知⊙O与AB边相切,切点为F.
(1)求证:OE∥AB;
(2)求证:EH=AB;
(3)若,求的值.
5、011•广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.
6、(2011•金华)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
/2015中考圆答案
1、(略)
2、(2014•孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.
解答:
解:(1)∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD.
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD.
∴∠ACO=∠DAC.
又∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB.
(2)∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF,
∴△PCF是等腰三角形.
(3)连接AE.
∵CE平分∠ACB,
∴=,
∴.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,.
∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴.
又∵tan∠ABC=,
∴,
∴.
设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
∵PC2+OC2=OP2,
∴(4k)2+72=(3k+7)2,
∴k=6 (k=0不合题意,舍去).
∴PC=4k=4×6=24.
3、(2015•黄陂区校级模拟)如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
解答:
(1)证明:连接AB,
∵OP⊥BC,
∴BO=CO,
∴AB=AC,
又∵AC=AD,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
又∵∠ABD=∠ACF,
∴∠ACF=∠ADB.
(2)解:过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M,过点A作AN⊥BF于N,连接AF,
则AN=m,
∴∠ANB=∠AMC=90°,
在△ABN和△ACM中
,
∴Rt△ABN≌Rt△ACM(AAS)
∴BN=CM,AN=AM,
又∵∠ANF=∠AMF=90°,
在Rt△AFN和Rt△AFM中
,
∴Rt△AFN≌Rt△AFM(HL),
∴NF=MF,
∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF,
=BN+CM=2BN=n,
∴BN=,
∴在Rt△ABN中,AB2=BN2+AN2=m2+=m2+,
在Rt△ACD中,CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+,
∴CD=.
(3)解:的值不发生变化,
过点D作DH⊥AO于N,过点D作DQ⊥BC于Q,
∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°,
∴∠OAC=∠ADH,
在△DHA和△AOC中
,
∴Rt△DHA≌Rt△AOC(AAS),
∴DH=AO,AH=OC,
又∵BO=OC,
∴HO=AH+AO=OB+DH,
而DH=OQ,HO=DQ,
∴DQ=OB+OQ=BQ,
∴∠DBQ=45°,
又∵DH∥BC,
∴∠HDE=45°,
∴△DHE为等腰直角三角形,
∴=,
∴=.
4、(2013•成都模拟)已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.
(1)求证:AM•MB=EM•MC;
(2)求sin∠EOB的值;
(3)若P是直径AB延长线上的点,且BP=12,求证:直线PE是⊙O的切线.
解答:
解:(1)连接AE,BC,
∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角,
∴∠AEC=∠MBC,又∠AME=∠BMC(对顶角相等),
∴△AME∽△CMB,
∴AM:CM=EM:MB,即AM•MB=EM•MC;
(2)如图,∵DC为⊙O的直径,
∴DE⊥EC,
∵DC=8,DE=,
∴EC===7,
设EM=x,由于M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
∴AM•MB=x•(7﹣x),即6×2=x(7﹣x),
整理得:x2﹣7x+12=0,
解得:x1=3,x2=4,
∵EM>MC,∴EM=4,
∵OE=EM=4,
∴△OEM为等腰三角形,
过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=OM=1,
∴EF===,
∴sin∠EOB=;
(3)在Rt△EFP中,EF=,PF=FB+BP=3+12=15,
根据勾股定理得:EP===4,
又OE=4,OP=OB+BP=4+12=16,
∴OE2+EP2=16+240=256,OP2=256,
∴OE2+EP2=OP2,
∴∠OEP=90°,
则EP为圆O的切线.
5、(2012•杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2.
(1)求∠COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
解答:
解:(1)∵AE切⊙O于点E,
∴AE⊥CE,又OB⊥AT,
∴∠AEC=∠CBO=90°,
又∠BCO=∠ACE,
∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,
∴∠COB=∠A=30°;
(2)∵AE=3,∠A=30°,
∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3,
∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2,
∴MB=MN=,
连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,
∴OB==,
在△COB中,∠BOC=30°,
∵cos∠BOC=cos30°==,
∴BO=OC,
∴OC=OB=,
又OC+EC=OM=R,
∴R=+3,
整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,
解得:R=﹣23(舍去)或R=5,
则R=5;
(3)以EF为斜边,有两种情况,以EF为直角边,有四种情况,所以六种,
画直径FG,连接EG,延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示:
∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,
∴FD=5,
则C△EFD=5+10+5=15+5,
由(2)可得C△COB=3+,
∴C△EFD:C△COB=(15+5):(3+)=5:1.
∵EF=5,直径FG=10,可得出∠FGE=30°,
∴EG=5,
则C△EFG=5+10+5=15+5,
∴C△EFG:C△COB=(15+5):(3+)=5:1.
6、(2011•潍坊)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.
(1)求证:△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.
.
解答:
(1)证明:∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即:AC⊥BC,
又OE⊥BC,
∴OE∥AC,
∴∠BAC=∠FOB,
∵BN是半圆的切线,
∴∠BCA=∠FBO=90°,
∴△ABC∽△OFB.
(2)解:由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,
∵AM、BN是⊙O的切线,
∴∠DAB=∠OBF=90°,
∴△ABD∽△BFO,
∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO,
∴AD=OB=1,
∵DP切圆O,DA切圆O,
∴DP=DA,
∵△ABD≌△BFO,
∴DA=BO=PO=DP,
又∵∠DAO=∠DPO=90°,
∴四边形AOPD是正方形,
∴DQ∥AB,
∴四边形ABQD是矩形,
∴BQ=AD=1;
(3)证明:由(2)知,△ABD∽△BFO,
∴=,
∴BF===,
∵DP是半圆O的切线,射线AM、BN为半圆O的切线,
∴AD=DP,QB=QP,
过Q点作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,
DQ2=QK2+DK2,
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22.
∴BQ=,
∴BF=2BQ,
∴Q为BF的中点.
专题二、三角函数在圆中的应用
1、(2014成都)如图,在圆O的内接ΔABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交圆O于另一点D,垂足为E,P为弧上异于A、C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB与点C。
(1)求证:ΔPAC∽ΔPDF;
(2)若AB=5,=,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式。(不要求写出x的取值范围)
解:(1)同弧所对的圆周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF;
(2)=且AB为直径;∴ΔAPB为等腰直角三角形;
又∵AB=5,AC=2BC;∴;
∴由射影定理可得DE=CE=2,BE=1,AE=4;
又∵∠APB=∠AEF=90°;∴∠AFE=∠ABP=45°;∴FE=AE=4;
由(1)的相似可得,即,∴。
(3)如图,过点G作GH┴PB于点H,
∵;
∴;
又∵=;∴∠HPG=∠CAB;
∴
∴y与x之间的函数关系式为.
2、(2012•襄阳)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
解答:
解:(1)连接OB,
∵PB是⊙O的切线,
∴∠PBO=90°,
∵OA=OB,BA⊥PO于D,
∴AD=BD,∠POA=∠POB,
又∵PO=PO,
∴△PAO≌△PBO(SAS),
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴OA⊥PA,
∴直线PA为⊙O的切线.
(2)EF2=4OD•OP.
证明:∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°,
∴∠OAD=∠OPA,
∴△OAD∽△OPA,
∴=,即OA2=OD•OP,
又∵EF=2OA,
∴EF2=4OD•OP.
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,
∴OD=BC=3(三角形中位线定理),
设AD=x,
∵tan∠F=,
∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3,
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,
解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去),
∴AD=4,OA=2x﹣3=5,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ABC=90°,
又∵AC=2OA=10,BC=6,
∴cos∠ACB==.
∵OA2=OD•OP,
∴3(PE+5)=25,
∴PE=.
3、(2014•武侯区校级自主招生)如图,⊙O与直线PC相切于点C,直径AB∥PC,PA交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE交PC于F.
(1)求证:PF2=EF•FD;
(2)当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=时,求PF的长;
(3)在(2)条件下,连接BD,判断△ADB是什么三角形?并证明你的结论.
Rt△.
解答:
解:(1)∵AB∥PC,
∴∠BPC=∠ABE=∠ADE.
又∵∠PFE=∠DFP,△PFE∽△DFP,
∴PF:EF=DF:PF,PF2=EF•FD.
(2)连接AE,
∵AB为直径,
∴AE⊥BP.
∵tan∠APB==,tan∠ABE==,
令AE=a,PE=2a,BE=3a,AP=a=,
∴a==AE,PE=,BE=.
∵PC为切线,
∴PC2=PE•PB=4.
∴PC=2.
∵FC2=FE•FD=PF2∴PF=FC==1,
∴PF=1.
(3)△ADB为等腰直角三角形.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°.
∵PE•PB=PA•PD,
∴PD=2BD===AD.
∴△ADB为等腰Rt△.
4、(2014•盘锦)如图,△ABC中,∠C=90°,点G是线段AC上的一动点(点G不与A、C重合),以AG为直径的⊙O交AB于点D,直线EF垂直平分BD,垂足为F,EF交BC于点E,连结DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若cosA=,AB=8,AG=2,求BE的长;
(3)若cosA=,AB=8,直接写出线段BE的取值范围.
解答:
(1)证明:连接OD,如图,
∵△ABC中,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵直线EF垂直平分BD,
∴ED=EB,
∴∠B=∠EDB,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∴∠ODA+∠EDB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:连接GD,
∵AG为直径,
∴∠ADG=90°,
∵cosA=,
∴∠A=60°,
∴∠AGD=30°,
∴AD=AG=,
∵AB=8,
∴BD=AB﹣AD=8﹣=7,
∵直线EF垂直平分BD,
∴BF=BD=,
在Rt△BEF中,∠B=30°,
∴EF=BF=,
∴BE=2EF=7;
(3)解:∵cosA=,
∴∠A=60°,
∴∠B=30°,
∴AC=AB=4,
由(2)得AD=AG,
BF=(AB﹣AD)=4﹣AG,
在Rt△BEF中,∠B=30°,
∴EF=BF,
∴BE=2EF=BF=(4﹣AG)=8﹣AG,
∵0<AG<AC,即0<AG<4,
∴6<BE<8.
专题三、相似三角形与圆的综合应用
1、(略)
2、(2014•镇江)如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.
(1)求证:EA是⊙O的切线;
(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;
(3)已知AF=4,CF=2.在(2)条件下,求AE的长.
解答:
(1)证明:如图1,连接CD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°,
∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,
∴EA是⊙O的切线.
(2)证明:如图2,连接BC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点,
∴在RT△EAF中,AB=BF,
∴∠BAC=∠AFE,
∴△EAF∽△CBA.
(3)解:∵△EAF∽△CBA,
∴=,
∵AF=4,CF=2.
∴AC=6,EF=2AB,
∴=,解得AB=2.
∴EF=4,
∴AE===4,
3、(2013•桂林)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:点D在⊙O上;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
解答:
(1)证明:连接OD,
∵△ADE是直角三角形,OA=OE,
∴OD=OA=OE,
∴点D在⊙O上;
(2)证明:∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠CAD=∠DAB,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(3)解:在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,
∴根据勾股定理得:AB=10,
设OD=OA=OE=x,则OB=10﹣x,
∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,
∴==,即=,
解得:x=,
∴OD=,BE=10﹣2x=10﹣=,
∵=,即=,
∴BD=5,
过E作EH⊥BD,
∵EH∥OD,
∴△BEH∽△BOD,
∴=,即=,
∴EH=,
∴S△BDE=BD•EH=.
4、(2012•泰州)如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5.OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=2,求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.
解答:
解:(1)AB=AC,理由如下:
连接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,
设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5﹣r,
则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,
AC2=PC2﹣PA2=﹣(5﹣r)2,
∴52﹣r2=﹣(5﹣r)2,
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直径,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,
∴=,
∴=,
解得:PB=.
∴⊙O的半径为3,线段PB的长为;
(3)作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,则可以推出OE=AC=AB=
又∵圆O与直线MN有交点,
∴OE=≤r,
≤2r,
25﹣r2≤4r2,
r2≥5,
∴r≥,
又∵圆O与直线相离,
∴r<5,
即≤r<5.
5、(2012•德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:AE•FD=AF•EC;
(2)求证:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
解答:
(1)证明:∵BD是⊙O的切线,
∴∠DBA=90°,
∵CH⊥AB,
∴CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,
∴=,
∴AE•FD=AF•EC.
(2)证明:连接OC,BC,
∵CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,
∴=,=,
∴==,
∵CE=EH(E为CH中点),
∴BF=DF,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠DCB=90°,
∵BF=DF,
∴CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
即CF=BF.
(3)解:∵BF=CF=DF(已证),EF=BF=2,
∴EF=FC,
∴∠FCE=∠FEC,
∵∠AHE=∠CHG=90°,
∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°,
∵∠AEH=∠CEF,
∴∠G=∠FAG,
∴AF=FG,
∵FB⊥AG,
∴AB=BG,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBC=∠CAB,
∵OC=OA,CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC,
∴∠FCB=∠CAB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠FCB+∠BCO=90°,
即OC⊥CG,
∴CG是⊙O切线,
∵GBA是⊙O割线,AB=BG(已证),
FB=FE=2,
∴由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2,
在Rt△BFG中,由勾股定理得:BG2=FG2﹣BF2,
∴FG2﹣4FG﹣12=0,
解得:FG=6,FG=﹣2(舍去),
由勾股定理得:
AB=BG==4,
∴⊙O的半径是2.
6、(略)
7、(略)
8、(2004•武汉)已知:如图,直线y=kx+3(k>0)交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作⊙A交x轴于另一点D,交y轴于E、F两点,交直线AB于C点,连接BE、CE,∠CBD的平分线交CE于I点.
(1)求证:BE=IE;
(2)若AI⊥CE,设Q为弧BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,求AT•AG的值;
(3)设P为线段AB上的一个动点(异于A、B),连接PD交y轴于M点,过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N.设⊙O1的半径为R,当时,给出下列两个结论:①MN的长度不变;②的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值.
解答:
(1)证明:∵AE⊥BD,
∴弧BE=弧DE.
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠5=∠2+∠3,∠IBE=∠1+∠4,
∴∠5=∠IBE.
∴BE=IE.
(2)解:连接QC、TB,
则∠6+∠CBQ=90°,
又∠7+∠8=90°,而∠6=∠7,
∴∠CBQ=∠8=∠9.
∴△ABG∽△ATB.
∴AB2=AG•AT.
∵AI⊥CE,
∴I为CE的中点.
∴AE=AC,IE=IC.
∴△BEO∽△CBE.
∴OE:OB=BE:CE=1:2.
设⊙A的半径为R,
由AB2﹣OA2=BO2,OE=R﹣3,
得R2﹣32=4(R﹣3)2
解得R=5,或R=3(不合题意,舍去).
∴AT•AG=AB2=25.
(方法二提示:可连接AD、CD证△BAG∽△TAD)
(3)解:②的值不变.
证明:作O1K⊥MN于K,连接O1N、PN、BM,
则MN=2NK,且∠N O1K=∠1,
∴==2sin∠NO1K=2sin∠1
由直线y=x+3得OB=OD=4,OM⊥BD,
∴∠2=∠3.
又∠2=∠4+∠5,∠3=∠1+∠6,
∵∠5=∠6,
∴∠1=∠4=∠NO1K,=2sin∠4=2×=.
所以的值不变,其值为.
专题四、圆中的面积问题
1、(1)如图,连接DO并延长交圆于点E,连接AE
∵DE是直径,∴∠DAE=90°,
∴∠E+∠ADE=90°
∵∠PDA=∠ADB=∠E
∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO
∴PD与圆O相切于点D
(2) ∵tan∠ADB=
∴可设AH=3k,则DH=4k
∵
∴PA=
∴PH=
∴∠P=30°,∠PDH=60°
∴∠BDE=30°
连接BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50
∴BD=DE·cos30°=
(3)由(2)知,BH=-4k,∴HC=(-4k)
又∵
∴
解得k=
∴AC=
∴S=
28.(1)
(2)M的坐标是(1-,--2)、(1+,-2)、(4,-1)、(2,-3)、(-2,-7)
(3)的最大值是/
2、(2013•钦州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
解答:
解:(1)∵AB与圆O相切,
∴OD⊥AB,
在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==,
∴OD=3;
(2)连接OE,
∵AE=OD=3,AE∥OD,
∴四边形AEOD为平行四边形,
∴AD∥EO,
∵DA⊥AE,
∴OE⊥AC,
又∵OE为圆的半径,
∴AE为圆O的切线;
(3)∵OD∥AC,
∴=,即=,
∴AC=7.5,
∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×4.5﹣
=3+﹣
=.
3略
4略
5略
6略
专题五、中点在圆中的应用、
1、略
2、(2014•长沙)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
解答:
(1)证明:连接OD,
∵D是BC的中点,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC;
(2)解:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AC,
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°,
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中,
∴△CDE∽△DAE,
∴,
设tan∠ACB=x,CE=a,则DE=ax,AC=3ax,AE=3ax﹣a,
∴,整理得:x2﹣3x+1=0,
解得:x=,
∴tan∠ACB=或.
(可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况)
3、014•广安)如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作Rt△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.
(1)求证:E是AC的中点;
(2)若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长.
解答:
(1)证明:连AD,如图
∵AB为⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线,
又∵DE与⊙O相切,
∴ED=EA,
∴∠EAD=∠EDA,
而∠C=90°﹣∠EAD,∠CDE=90°﹣∠EDA,
∴∠C=∠CDE,
∴ED=EC,
∴EA=EC,
即E为AC的中点;
(2)解:由(1)知,E为AC的中点,则AC=2AE=6.
∵cos∠ACB=,
设AC=2x,BC=3x,
根据勾股定理,得AB==(3x)2﹣(2x)2=x,
∴sin∠ACB=.
连接AD,则∠ADC=90°,
∴∠ACB+∠CAD=90°,
∵∠CAD+∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠ACB,
在Rt△ACD中,AD=AC•sin∠ACB=6×=.
在Rt△ADF中,DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=×=,
∴DG=2DF=.
4略
5、(2011•广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.
解答:
(1)证明:∵AB是直径,
∴∠BCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,
∴B、C、E三点共线;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图1,
∵CB=CA,CD=CE,
∴Rt△BCD≌Rt△ACE,
∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BF⊥AE,
又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,
∴ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM;
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,
∴MN=OM;
(3)成立.
理由如下:如图2,连接BD1,AE1,ON1,
∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1,
∴∠BCD1=∠ACE1,
又∵CB=CA,CD1=CE1,
∴△BCD1≌△ACE1,
与(2)同理可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,
从而有M1N1=OM1.
6、
14.(2011•金华)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
解答:
解:(1)连接BC,
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的长=;(4分)
(2)①若D在第一象限,
连接OD,
∵OA是⊙C直径,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE==,
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴,即,
∴EF=3;(4分)
②若D在第二象限,
连接OD,
∵OA是⊙C直径,
∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE==,
∴AE=AO+OE=10+6=16,
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴,即=,
∴EF=12;
∴EF=3或12;
(3)设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,
当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC
中点,即OE=,
∴E1(,0);
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5﹣x,AE=10﹣x,
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
∴,即,解得:,
∴E2(,0);
②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连接BE,
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,
∴,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,
∴,
而AD=2BE,
∴,
即,解得,<0(舍去),
∴E3(,0);
③当交点E在点O的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
连接BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,
∴△CEF∽△AED,
∴,
而AD=2BE,
∴,
∴,
解得x1=,x2=,
∵点E在x轴负半轴上,
∴E4(,0),
综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,
此时点E坐标为:E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).(4分)