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  • 2021-05-10 发布

山东省潍坊市中考数学试卷解析

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‎2016年山东省潍坊市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题3分 ‎1.计算:20•2﹣3=(  )‎ A.﹣B. C.0 D.8‎ ‎2.下列科学计算器的按键中,其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.如图,几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.近日,记者从潍坊市统计局获悉,2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元,将1256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位)(  )‎ A.1.2×1011B.1.3×1011C.1.26×1011D.0.13×1012‎ ‎5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+的结果是(  )‎ A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b ‎6.关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于(  )‎ A.15° B.30° C.45° D.60°‎ ‎7.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是(  )‎ A.a2﹣1 B.a2+a C.a2+a﹣2 D.(a+2)2﹣2(a+2)+1‎ ‎9.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是(  )‎ A.10 B.8C.4D.2‎ ‎10.若关于x的方程+=3的解为正数,则m的取值范围是(  )‎ A.m<B.m<且m≠C.m>﹣D.m>﹣且m≠﹣‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是(  )‎ A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣‎ ‎12.运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是(  )‎ A.x≥11 B.11≤x<23 C.11<x≤23 D.x≤23‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分 ‎13.计算:(+)=      .‎ ‎14.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项,则m+n=      .‎ ‎15.超市决定招聘广告策划人员一名,某应聘者三项素质测试的成绩如表:‎ 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩(分数)‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎92‎ 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5:3:2的比例计入总成绩,则该应聘者的总成绩是      分.‎ ‎16.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过(3,﹣1),则当1<y<3时,自变量x的取值范围是      .‎ ‎17.已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是      .‎ ‎18.在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1,使得点A1、A2、A3、…在直线l上,点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共7小题,共66分 ‎19.关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是,求另一个根及m的值.‎ ‎20.今年5月,某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估,将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级,绘制了如图尚不完整的统计图表.‎ 评估成绩n(分)‎ 评定等级 频数 ‎90≤n≤100‎ A ‎2‎ ‎80≤n<90‎ B ‎70≤n<80‎ C ‎15‎ n<70‎ D ‎6‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)在扇形统计图中,求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示)‎ ‎(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A等级的概率.‎ ‎21.正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:‎ ‎(1)四边形EBFD是矩形;‎ ‎(2)DG=BE.‎ ‎22.如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)‎ ‎23.旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.‎ ‎(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)‎ ‎(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?‎ ‎24.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.‎ ‎(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;‎ ‎(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向.‎ ‎25.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题3分 ‎1.计算:20•2﹣3=(  )‎ A.﹣B. C.0 D.8‎ ‎【考点】负整数指数幂;零指数幂.‎ ‎【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案.‎ ‎【解答】解:20•2﹣3=1×=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.下列科学计算器的按键中,其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】中心对称图形;轴对称图形.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.如图,几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到,又实际存在的,又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可.‎ ‎【解答】解:图中几何体的俯视图是C选项中的图形.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.近日,记者从潍坊市统计局获悉,2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元,将1256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位)(  )‎ A.1.2×1011B.1.3×1011C.1.26×1011D.0.13×1012‎ ‎【考点】科学记数法与有效数字.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+的结果是(  )‎ A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b ‎【考点】二次根式的性质与化简;实数与数轴.‎ ‎【分析】直接利用数轴上a,b的位置,进而得出a<0,a﹣b<0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.‎ ‎【解答】解:如图所示:a<0,a﹣b<0,‎ 则|a|+‎ ‎=﹣a﹣(a﹣b)‎ ‎=﹣2a+b.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于(  )‎ A.15° B.30° C.45° D.60°‎ ‎【考点】根的判别式;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】由方程有两个相等的实数根,结合根的判别式可得出sinα=,再由α为锐角,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0,‎ 解得:sinα=,‎ ‎∵α为锐角,‎ ‎∴α=30°.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】轨迹;直角三角形斜边上的中线.‎ ‎【分析】先连接OP,易知OP是Rt△AOB斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得OP=AB,由于木杆不管如何滑动,长度都不变,那么OP就是一个定值,那么P点就在以O为圆心的圆弧上.‎ ‎【解答】解:如右图,‎ 连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,‎ 所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是(  )‎ A.a2﹣1 B.a2+a C.a2+a﹣2 D.(a+2)2﹣2(a+2)+1‎ ‎【考点】因式分解的意义.‎ ‎【分析】先把各个多项式分解因式,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:∵a2﹣1=(a+1)(a﹣1),‎ a2+a=a(a+1),‎ a2+a﹣2=(a+2)(a﹣1),‎ ‎(a+2)2﹣2(a+2)+1=(a+2﹣1)2=(a+1)2,‎ ‎∴结果中不含有因式a+1的是选项C;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是(  )‎ A.10 B.8C.4D.2‎ ‎【考点】切线的性质;坐标与图形性质.‎ ‎【分析】如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H,先证明四边形OAMH是矩形,根据垂径定理求出HB,在RT△AOM中求出OM即可.‎ ‎【解答】解:如图连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H.‎ ‎∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),‎ ‎∴AM⊥OA,OA=8,‎ ‎∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°,‎ ‎∴四边形OAMH是矩形,‎ ‎∴AM=OH,‎ ‎∵MH⊥BC,‎ ‎∴HC=HB=6,‎ ‎∴OH=AM=10,‎ 在RT△AOM中,OM===2.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.若关于x的方程+=3的解为正数,则m的取值范围是(  )‎ A.m<B.m<且m≠C.m>﹣D.m>﹣且m≠﹣‎ ‎【考点】分式方程的解.‎ ‎【分析】直接解分式方程,再利用解为正数列不等式,解不等式得出x的取值范围,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:去分母得:x+m﹣3m=3x﹣9,‎ 整理得:2x=﹣2m+9,‎ 解得:x=,‎ ‎∵关于x的方程+=3的解为正数,‎ ‎∴﹣2m+9>0,‎ 级的:m<,‎ 当x=3时,x==3,‎ 解得:m=,‎ 故m的取值范围是:m<且m≠.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是(  )‎ A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣‎ ‎【考点】扇形面积的计算;含30度角的直角三角形.‎ ‎【分析】连接连接OD、CD,根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)计算即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图连接OD、CD.‎ ‎∵AC是直径,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠A=60°,‎ ‎∵OC=OD,‎ ‎∴△OCD是等边三角形,‎ ‎∵BC是切线.‎ ‎∴∠ACB=90°,∵BC=2,‎ ‎∴AB=4,AC=6,‎ ‎∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)‎ ‎=×6×2﹣×3×﹣(﹣×32)‎ ‎=﹣π.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是(  )‎ A.x≥11 B.11≤x<23 C.11<x≤23 D.x≤23‎ ‎【考点】一元一次不等式组的应用.‎ ‎【分析】根据运算程序,前两次运算结果小于等于95,第三次运算结果大于95列出不等式组,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:由题意得,,‎ 解不等式①得,x≤47,‎ 解不等式②得,x≤23,‎ 解不等式③得,x>11,‎ 所以,x的取值范围是11<x≤23.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分 ‎13.计算:(+)= 12 .‎ ‎【考点】二次根式的混合运算.‎ ‎【分析】先把化简,再本括号内合并,然后进行二次根式的乘法运算.‎ ‎【解答】解:原式=•(+3)‎ ‎=×4‎ ‎=12.‎ 故答案为12.‎ ‎ ‎ ‎14.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项,则m+n=  .‎ ‎【考点】同类项.‎ ‎【分析】直接利用同类项的定义得出关于m,n的等式,进而求出答案.‎ ‎【解答】解:∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项,‎ ‎∴,‎ 解得:‎ 则m+n=+=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.超市决定招聘广告策划人员一名,某应聘者三项素质测试的成绩如表:‎ 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩(分数)‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎92‎ 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5:3:2的比例计入总成绩,则该应聘者的总成绩是 77.4 分.‎ ‎【考点】加权平均数.‎ ‎【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得.‎ ‎【解答】解:根据题意,该应聘者的总成绩是:70×+80×+92×=77.4(分),‎ 故答案为:77.4.‎ ‎ ‎ ‎16.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过(3,﹣1),则当1<y<3时,自变量x的取值范围是 ﹣3<x<﹣1 .‎ ‎【考点】反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】根据反比例函数过点(3,﹣1)结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值,根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增,分别代入y=1、y=3求出x值,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过(3,﹣1),‎ ‎∴k=3×(﹣1)=﹣3,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=.‎ ‎∵反比例函数y=中k=﹣3,‎ ‎∴该反比例函数的图象经过第二、四象限,且在每个象限内均单增.‎ 当y=1时,x==﹣3;‎ 当y=3时,x==﹣1.‎ ‎∴1<y<3时,自变量x的取值范围是﹣3<x<﹣1.‎ 故答案为:﹣3<x<﹣1.‎ ‎ ‎ ‎17.已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 .‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题.‎ ‎【分析】过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,解直角三角形即可得到结论.‎ ‎【解答】解:过M作MN′⊥OB于N′,交OC于P,‎ 则MN′的长度等于PM+PN的最小值,‎ 即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,‎ ‎∵∠ON′M=90°,OM=4,‎ ‎∴MN′=OM•sin60°=2,‎ ‎∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2.‎ ‎ ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1,使得点A1、A2、A3、…在直线l上,点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是 (2n﹣1,2n﹣1) .‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质.‎ ‎【分析】先求出B1、B2、B3的坐标,探究规律后即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵y=x﹣1与x轴交于点A1,‎ ‎∴A1点坐标(1,0),‎ ‎∵四边形A1B1C1O是正方形,‎ ‎∴B1坐标(1,1),‎ ‎∵C1A2∥x轴,‎ ‎∴A2坐标(2,1),‎ ‎∵四边形A2B2C2C1是正方形,‎ ‎∴B2坐标(2,3),‎ ‎∵C2A3∥x轴,‎ ‎∴A3坐标(4,3),‎ ‎∵四边形A3B3C3C2是正方形,‎ ‎∴B3(4,7),‎ ‎∵B1(20,21﹣1),B2(21,22﹣1),B3(22,23﹣1),…,‎ ‎∴Bn坐标(2n﹣1,2n﹣1).‎ 故答案为(2n﹣1,2n﹣1).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共7小题,共66分 ‎19.关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是,求另一个根及m的值.‎ ‎【考点】根与系数的关系.‎ ‎【分析】由于x=是方程的一个根,直接把它代入方程即可求出m的值,然后由根与系数的关系来求方程的另一根.‎ ‎【解答】解:设方程的另一根为t.‎ 依题意得:3×()2+m﹣8=0,‎ 解得m=10.‎ 又t=﹣,‎ 所以t=﹣4.‎ 综上所述,另一个根是﹣4,m的值为10.‎ ‎ ‎ ‎20.今年5月,某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估,将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级,绘制了如图尚不完整的统计图表.‎ 评估成绩n(分)‎ 评定等级 频数 ‎90≤n≤100‎ A ‎2‎ ‎80≤n<90‎ B ‎70≤n<80‎ C ‎15‎ n<70‎ D ‎6‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)在扇形统计图中,求B等级所在扇形的圆心角的大小;(结果用度、分、秒表示)‎ ‎(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A等级的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)由C等级频数为15,占60%,即可求得m的值;‎ ‎(2)首先求得B等级的频数,继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小;‎ ‎(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵C等级频数为15,占60%,‎ ‎∴m=15÷60%=25;‎ ‎(2)∵B等级频数为:25﹣2﹣15﹣6=2,‎ ‎∴B等级所在扇形的圆心角的大小为:×360°=28.8°=28°48′;‎ ‎(3)评估成绩不少于80分的连锁店中,有两家等级为A,有两家等级为B,画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,其中至少有一家是A等级的有10种情况,‎ ‎∴其中至少有一家是A等级的概率为: =.‎ ‎ ‎ ‎21.正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:‎ ‎(1)四边形EBFD是矩形;‎ ‎(2)DG=BE.‎ ‎【考点】正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.‎ ‎【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,∠EDF=90°,进而得出答案;‎ ‎(2)直接利用正方形的性质的度数是90°,进而得出BE=DF,则BE=DG.‎ ‎【解答】证明:(1)∵正方形ABCD内接于⊙O,‎ ‎∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,‎ 又∵DF∥BE,‎ ‎∴∠EDF+∠BED=180°,‎ ‎∴∠EDF=90°,‎ ‎∴四边形EBFD是矩形;‎ ‎(2))∵正方形ABCD内接于⊙O,‎ ‎∴的度数是90°,‎ ‎∴∠AFD=45°,‎ 又∵∠GDF=90°,‎ ‎∴∠DGF=∠DFC=45°,‎ ‎∴DG=DF,‎ 又∵在矩形EBFD中,BE=DF,‎ ‎∴BE=DG.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长,根据正切的定义求出EF,得到BE的长,根据正切的定义解答即可.‎ ‎【解答】解:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,‎ ‎∵∠BCD=150°,‎ ‎∴∠DCF=30°,又CD=4,‎ ‎∴DF=2,CF==2,‎ 由题意得∠E=30°,‎ ‎∴EF==2,‎ ‎∴BE=BC+CF+EF=6+4,‎ ‎∴AB=BE×tanE=(6+4)×=(2+4)米,‎ 答:电线杆的高度为(2+4)米.‎ ‎ ‎ ‎23.旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.‎ ‎(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)‎ ‎(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费,根据不等关系:净收入为正,列出不等式求解即可;‎ ‎(2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,‎ 由50x﹣1100>0,‎ 解得x>22,‎ 又∵x是5的倍数,‎ ‎∴每辆车的日租金至少应为25元;‎ ‎(2)设每辆车的净收入为y元,‎ 当0<x≤100时,y1=50x﹣1100,‎ ‎∵y1随x的增大而增大,‎ ‎∴当x=100时,y1的最大值为50×100﹣1100=3900;‎ 当x>100时,‎ y2=(50﹣)x﹣1100‎ ‎=﹣x2+70x﹣1100‎ ‎=﹣(x﹣175)2+5025,‎ 当x=175时,y2的最大值为5025,‎ ‎5025>3900,‎ 故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多是5025元.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.‎ ‎(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;‎ ‎(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向.‎ ‎【考点】旋转的性质;菱形的性质.‎ ‎【分析】(1)连接BD,证明△ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;‎ ‎(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,连接BD,交AC于O,‎ 在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴AE=EB,‎ ‎∵AB∥DC,‎ ‎∴==,‎ 同理, =,‎ ‎∴MN=AC;‎ ‎(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,‎ ‎∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,‎ ‎∴∠EDF=60°,‎ 当∠EDF顺时针旋转时,‎ 由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,‎ DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,‎ 在△DEG和△DFP中,‎ ‎,‎ ‎∴△DEG≌△DFP,‎ ‎∴DG=DP,‎ ‎∴△DGP为等边三角形,‎ ‎∴△DGP的面积=DG2=3,‎ 解得,DG=2,‎ 则cos∠EDG==,‎ ‎∴∠EDG=60°,‎ ‎∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于3,‎ 同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于3,‎ 综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于3.‎ ‎ ‎ ‎25.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;‎ ‎(2)设点P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函数关系式,求出极值即可;‎ ‎(3)先判断出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A(0,1).B(﹣9,10)在抛物线上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1,‎ ‎(2)∵AC∥x轴,A(0,1)‎ ‎∴x2+2x+1=1,‎ ‎∴x1=6,x2=0,‎ ‎∴点C的坐标(﹣6,1),‎ ‎∵点A(0,1).B(﹣9,10),‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,‎ 设点P(m, m2+2m+1)‎ ‎∴E(m,﹣m+1)‎ ‎∴PE=﹣m+1﹣(m2+2m+1)=﹣m2﹣3m,‎ ‎∵AC⊥EP,AC=6,‎ ‎∴S四边形AECP ‎=S△AEC+S△APC ‎=AC×EF+AC×PF ‎=AC×(EF+PF)‎ ‎=AC×PE ‎=×6×(﹣m2﹣3m)‎ ‎=﹣m2﹣9m ‎=﹣(m+)2+,‎ ‎∵﹣6<m<0‎ ‎∴当m=﹣时,四边形AECP的面积的最大值是,‎ 此时点P(﹣,﹣).‎ ‎(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2﹣2,‎ ‎∴P(﹣3,﹣2),‎ ‎∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,‎ ‎∴PF=CF,‎ ‎∴∠PCF=45°‎ 同理可得:∠EAF=45°,‎ ‎∴∠PCF=∠EAF,‎ ‎∴在直线AC上存在满足条件的Q,‎ 设Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3‎ ‎∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,‎ ‎①当△CPQ∽△ABC时,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=﹣4,‎ ‎∴Q(﹣4,1)‎ ‎②当△CQP∽△ABC时,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=3,‎ ‎∴Q(3,1).‎ ‎ ‎ ‎2016年7月11日