山东省潍坊市中考数学试卷解析 22页

‎2016年山东省潍坊市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 ‎1．计算：20•2﹣3=（　　）‎ A．﹣B． C．0 D．8‎ ‎2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（　　）‎ A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012‎ ‎5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b ‎6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）‎ A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（　　）‎ A．10 B．8C．4D．2‎ ‎10．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣‎ ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣‎ ‎12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 ‎13．计算：（+）=　　　　　　．‎ ‎14．若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=　　　　　　．‎ ‎15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：‎ 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数）‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎92‎ 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　　　　　　分．‎ ‎16．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　　　　　　．‎ ‎18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共66分 ‎19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．‎ ‎20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．‎ 评估成绩n（分）‎ 评定等级 频数 ‎90≤n≤100‎ A ‎2‎ ‎80≤n＜90‎ B ‎70≤n＜80‎ C ‎15‎ n＜70‎ D ‎6‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）‎ ‎（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．‎ ‎21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：‎ ‎（1）四边形EBFD是矩形；‎ ‎（2）DG=BE．‎ ‎22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）‎ ‎23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．‎ ‎（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）‎ ‎（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？‎ ‎24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．‎ ‎（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；‎ ‎（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．‎ ‎25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 ‎1．计算：20•2﹣3=（　　）‎ A．﹣B． C．0 D．8‎ ‎【考点】负整数指数幂；零指数幂．‎ ‎【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．‎ ‎【解答】解：20•2﹣3=1×=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．‎ ‎【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（　　）‎ A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012‎ ‎【考点】科学记数法与有效数字．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b ‎【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．‎ ‎【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，‎ 则|a|+‎ ‎=﹣a﹣（a﹣b）‎ ‎=﹣2a+b．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0，‎ 解得：sinα=，‎ ‎∵α为锐角，‎ ‎∴α=30°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．‎ ‎【解答】解：如右图，‎ 连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，‎ 所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）‎ A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1‎ ‎【考点】因式分解的意义．‎ ‎【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），‎ a2+a=a（a+1），‎ a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），‎ ‎（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，‎ ‎∴结果中不含有因式a+1的是选项C；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（　　）‎ A．10 B．8C．4D．2‎ ‎【考点】切线的性质；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．‎ ‎【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．‎ ‎∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），‎ ‎∴AM⊥OA，OA=8，‎ ‎∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，‎ ‎∴四边形OAMH是矩形，‎ ‎∴AM=OH，‎ ‎∵MH⊥BC，‎ ‎∴HC=HB=6，‎ ‎∴OH=AM=10，‎ 在RT△AOM中，OM===2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣‎ ‎【考点】分式方程的解．‎ ‎【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，‎ 整理得：2x=﹣2m+9，‎ 解得：x=，‎ ‎∵关于x的方程+=3的解为正数，‎ ‎∴﹣2m+9＞0，‎ 级的：m＜，‎ 当x=3时，x==3，‎ 解得：m=，‎ 故m的取值范围是：m＜且m≠．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣‎ ‎【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．‎ ‎【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图连接OD、CD．‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴△OCD是等边三角形，‎ ‎∵BC是切线．‎ ‎∴∠ACB=90°，∵BC=2，‎ ‎∴AB=4，AC=6，‎ ‎∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）‎ ‎=×6×2﹣×3×﹣（﹣×32）‎ ‎=﹣π．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23‎ ‎【考点】一元一次不等式组的应用．‎ ‎【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，，‎ 解不等式①得，x≤47，‎ 解不等式②得，x≤23，‎ 解不等式③得，x＞11，‎ 所以，x的取值范围是11＜x≤23．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 ‎13．计算：（+）=　12　．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．‎ ‎【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．‎ ‎【解答】解：原式=•（+3）‎ ‎=×4‎ ‎=12．‎ 故答案为12．‎ ‎　‎ ‎14．若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=　　．‎ ‎【考点】同类项．‎ ‎【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．‎ ‎【解答】解：∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ 则m+n=+=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：‎ 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数）‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎92‎ 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　77.4　分．‎ ‎【考点】加权平均数．‎ ‎【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．‎ ‎【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+92×=77.4（分），‎ 故答案为：77.4．‎ ‎　‎ ‎16．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是　﹣3＜x＜﹣1　．‎ ‎【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），‎ ‎∴k=3×（﹣1）=﹣3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎∵反比例函数y=中k=﹣3，‎ ‎∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增．‎ 当y=1时，x==﹣3；‎ 当y=3时，x==﹣1．‎ ‎∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．‎ 故答案为：﹣3＜x＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　2　．‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题．‎ ‎【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，‎ 则MN′的长度等于PM+PN的最小值，‎ 即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，‎ ‎∵∠ON′M=90°，OM=4，‎ ‎∴MN′=OM•sin60°=2，‎ ‎∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　．‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．‎ ‎【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，‎ ‎∴A1点坐标（1，0），‎ ‎∵四边形A1B1C1O是正方形，‎ ‎∴B1坐标（1，1），‎ ‎∵C1A2∥x轴，‎ ‎∴A2坐标（2，1），‎ ‎∵四边形A2B2C2C1是正方形，‎ ‎∴B2坐标（2，3），‎ ‎∵C2A3∥x轴，‎ ‎∴A3坐标（4，3），‎ ‎∵四边形A3B3C3C2是正方形，‎ ‎∴B3（4，7），‎ ‎∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，‎ ‎∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．‎ 故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共66分 ‎19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．‎ ‎【解答】解：设方程的另一根为t．‎ 依题意得：3×（）2+m﹣8=0，‎ 解得m=10．‎ 又t=﹣，‎ 所以t=﹣4．‎ 综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．‎ ‎　‎ ‎20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．‎ 评估成绩n（分）‎ 评定等级 频数 ‎90≤n≤100‎ A ‎2‎ ‎80≤n＜90‎ B ‎70≤n＜80‎ C ‎15‎ n＜70‎ D ‎6‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）‎ ‎（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；‎ ‎（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，‎ ‎∴m=15÷60%=25；‎ ‎（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，‎ ‎∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°=28.8°=28°48′；‎ ‎（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，‎ ‎∴其中至少有一家是A等级的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：‎ ‎（1）四边形EBFD是矩形；‎ ‎（2）DG=BE．‎ ‎【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；‎ ‎（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，‎ 又∵DF∥BE，‎ ‎∴∠EDF+∠BED=180°，‎ ‎∴∠EDF=90°，‎ ‎∴四边形EBFD是矩形；‎ ‎（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴的度数是90°，‎ ‎∴∠AFD=45°，‎ 又∵∠GDF=90°，‎ ‎∴∠DGF=∠DFC=45°，‎ ‎∴DG=DF，‎ 又∵在矩形EBFD中，BE=DF，‎ ‎∴BE=DG．‎ ‎　‎ ‎22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．‎ ‎【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，‎ ‎∵∠BCD=150°，‎ ‎∴∠DCF=30°，又CD=4，‎ ‎∴DF=2，CF==2，‎ 由题意得∠E=30°，‎ ‎∴EF==2，‎ ‎∴BE=BC+CF+EF=6+4，‎ ‎∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，‎ 答：电线杆的高度为（2+4）米．‎ ‎　‎ ‎23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．‎ ‎（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）‎ ‎（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；‎ ‎（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，‎ 由50x﹣1100＞0，‎ 解得x＞22，‎ 又∵x是5的倍数，‎ ‎∴每辆车的日租金至少应为25元；‎ ‎（2）设每辆车的净收入为y元，‎ 当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，‎ ‎∵y1随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；‎ 当x＞100时，‎ y2=（50﹣）x﹣1100‎ ‎=﹣x2+70x﹣1100‎ ‎=﹣（x﹣175）2+5025，‎ 当x=175时，y2的最大值为5025，‎ ‎5025＞3900，‎ 故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．‎ ‎（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；‎ ‎（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．‎ ‎【考点】旋转的性质；菱形的性质．‎ ‎【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；‎ ‎（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，‎ 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴AE=EB，‎ ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴==，‎ 同理， =，‎ ‎∴MN=AC；‎ ‎（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，‎ ‎∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，‎ ‎∴∠EDF=60°，‎ 当∠EDF顺时针旋转时，‎ 由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，‎ DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，‎ 在△DEG和△DFP中，‎ ‎，‎ ‎∴△DEG≌△DFP，‎ ‎∴DG=DP，‎ ‎∴△DGP为等边三角形，‎ ‎∴△DGP的面积=DG2=3，‎ 解得，DG=2，‎ 则cos∠EDG==，‎ ‎∴∠EDG=60°，‎ ‎∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，‎ 同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，‎ 综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；‎ ‎（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，‎ ‎（2）∵AC∥x轴，A（0，1）‎ ‎∴x2+2x+1=1，‎ ‎∴x1=6，x2=0，‎ ‎∴点C的坐标（﹣6，1），‎ ‎∵点A（0，1）．B（﹣9，10），‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，‎ 设点P（m， m2+2m+1）‎ ‎∴E（m，﹣m+1）‎ ‎∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，‎ ‎∵AC⊥EP，AC=6，‎ ‎∴S四边形AECP ‎=S△AEC+S△APC ‎=AC×EF+AC×PF ‎=AC×（EF+PF）‎ ‎=AC×PE ‎=×6×（﹣m2﹣3m）‎ ‎=﹣m2﹣9m ‎=﹣（m+）2+，‎ ‎∵﹣6＜m＜0‎ ‎∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，‎ 此时点P（﹣，﹣）．‎ ‎（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，‎ ‎∴P（﹣3，﹣2），‎ ‎∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，‎ ‎∴PF=CF，‎ ‎∴∠PCF=45°‎ 同理可得：∠EAF=45°，‎ ‎∴∠PCF=∠EAF，‎ ‎∴在直线AC上存在满足条件的Q，‎ 设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3‎ ‎∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，‎ ‎①当△CPQ∽△ABC时，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=﹣4，‎ ‎∴Q（﹣4，1）‎ ‎②当△CQP∽△ABC时，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=3，‎ ‎∴Q（3，1）．‎ ‎　‎ ‎2016年7月11日