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  • 2021-05-10 发布

北京市中考数学试卷含答案解析

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2016 年北京市中考数学试卷   一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 1.(3 分)如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB 的度数为(  ) A.45° B.55° C.125°D.135° 2.(3 分)神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约 28000 公里, 将 28000 用科学记数法表示应为(  ) A.2.8×103B.28×103 C.2.8×104D.0.28×105 3.(3 分)实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是(  ) A.a>﹣2 B.a<﹣3 C.a>﹣b D.a<﹣b 4.(3 分)内角和为 540°的多边形是(  ) A. B. C. D. 5.(3 分)如图是某个几何体的三视图,该几何体是(  ) A.圆锥 B.三棱锥 C.圆柱 D.三棱柱 6.(3 分)如果 a+b=2,那么代数(a﹣ )• 的值是(  ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣ 7.(3 分)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中, 不是轴对称的是(  ) A. B. C. D. 8.(3 分)在 1﹣7 月份,某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示,则出售 该种水果每斤利润最大的月份是(  ) A.3 月份 B.4 月份 C.5 月份 D.6 月份 9.(3 分)如图,直线 m⊥n,在某平面直角坐标系中,x 轴∥m,y 轴∥n,点 A 的坐标为(﹣4,2),点 B 的坐标为(2,﹣4),则坐标原点为(  ) A.O1 B.O2 C.O3 D.O4 10.(3 分)为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价.水 价分档递增,计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%,15%和 5%,为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市 5 万户居民家庭 上一年的年用水量(单位:m3),绘制了统计图.如图所示,下面四个推断合理 的是(  ) ①年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费; ②年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价交费; ③该市居民家庭年用水量的中位数在 150﹣180 之间; ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④   二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.(3 分)如果分式 有意义,那么 x 的取值范围是   . 12 .( 3 分 ) 如 图 中 的 四 边 形 均 为 矩 形 , 根 据 图 形 , 写 出 一 个 正 确 的 等 式   . 13.(3 分)林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种 幼树在移植过程中的一组数据: 移植的棵 数 n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵 数 m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为   . 14.(3 分)如图,小军、小珠之间的距离为 2.7m,他们在同一盏路灯下的影长 分别为 1.8m,1.5m,已知小军、小珠的身高分别为 1.8m,1.5m,则路灯的高为    m. 15.(3 分)百子回归图是由 1,2,3…,100 无重复排列而成的正方形数表,它 是一部数化的澳门简史,如:中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最 后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,…,同时它也是十阶幻方,其每行 10 个 数之和,每列 10 个数之和,每条对角线 10 个数之和均相等,则这个和 为   . 16.(3 分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程: 已知:直线 l 和 l 外一点 P.(如图 1) 求作:直线 l 的垂线,使它经过点 P. 作法:如图 2 (1)在直线 l 上任取两点 A,B; (2)分别以点 A,B 为圆心,AP,BP 长为半径作弧,两弧相交于点 Q; (3)作直线 PQ. 所以直线 PQ 就是所求的垂线. 请回答:该作图的依据是   .   三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分),解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.(5 分)计算:(3﹣π)0+4sin45°﹣ +|1﹣ |. 18.(5 分)解不等式组: . 19.(5 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AE 平分∠BAD,交 DC 的延长线 于点 E.求证:DA=DE. 20.(5 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数 根. (1)求 m 的取值范围; (2)写出一个满足条件的 m 的值,并求此时方程的根. 21.(5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(﹣6,0)的直线 l1 与直 线 l2:y=2x 相交于点 B(m,4). (1)求直线 l1 的表达式; (2)过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 l1,l2 的交点分别为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时,写出 n 的取值范围. 22.(5 分)调查作业:了解你所在小区家庭 5 月份用气量情况: 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有 300 户家庭,每户家 庭人数在 2﹣5 之间,这 300 户家庭的平均人数均为 3.4. 小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查,将 收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表 1,表 2 和表 3. 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题: 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭 5 月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处. 23.(5 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连接 BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求 BN 的长. 24.(5 分)阅读下列材料: 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位, 深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市 文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长 的支柱产业. 2011 年,北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元,占地区生产总值的 12.2%.2012 年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值 2189.2 亿元,占地区生产总值的 12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零 售业的第三大支柱产业.2013 年,北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元,比 上年增长 9.1%,文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014 年, 北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元,占地区生产总值的 13.1%,创历史 新高,2015 年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值 3072.3 亿 元,占地区生产总值的 13.4%. 根据以上材料解答下列问题: (1)用折线图将 2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在 图中标明相应数据; (2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估 2016 年北京市文化创意产业实现增 加值约   亿元,你的预估理由   . 25.(5 分)如图,AB 为⊙O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交 于 点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 CD,若 OA=AE=a,写出求四边形 ACDE 面积的思路. 26.(5 分)已知 y 是 x 的函数,自变量 x 的取值范围 x>0,下表是 y 与 x 的几 组对应值: x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律,对 该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表格中各对对应值为坐标的 点,根据描出的点,画出该函数的图象; (2)根据画出的函数图象,写出: ①x=4 对应的函数值 y 约为   ; ②该函数的一条性质:   . 27.(7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m=1 时,求线段 AB 上整点的个数; ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点,结合函数的图象,求 m 的取值范围. 28.(7 分)在等边△ABC 中, (1)如图 1,P,Q 是 BC 边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧, 且 AP=AQ,点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM. ①依题意将图 2 补全; ②小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PA=PM,小 茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法 1:要证明 PA=PM,只需证△APM 是等边三角形; 想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证明 PA=PM,只需证△ANP≌△ PCM; 想法 3:将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,只需证 PA=CK,PM=CK… 请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可). 29.(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为 (x2,y2),且 x1≠x2,y1≠y2,若 P,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边 均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点 P,Q 的“相关矩形”,如图为点 P,Q 的“相 关矩形”示意图. (1)已知点 A 的坐标为(1,0), ①若点 B 的坐标为(3,1),求点 A,B 的“相关矩形”的面积; ②点 C 在直线 x=3 上,若点 A,C 的“相关矩形”为正方形,求直线 AC 的表达式; (2)⊙O 的半径为 ,点 M 的坐标为(m,3),若在⊙O 上存在一点 N,使得 点 M,N 的“相关矩形”为正方形,求 m 的取值范围.   2016 年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析   一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 1.(3 分)如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB 的度数为(  ) A.45° B.55° C.125°D.135° 【分析】由图形可直接得出. 【解答】解:由图形所示,∠AOB 的度数为 55°, 故选 B. 【点评】本题主要考查了角的度量,量角器的使用方法,正确使用量角器是解题 的关键.   2.(3 分)神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约 28000 公里, 将 28000 用科学记数法表示应为(  ) A.2.8×103B.28×103 C.2.8×104D.0.28×105 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式.其中 1≤|a|<10,n 为整数, 确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数 点移动的位数相同.当原数绝对值>10 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时, n 是负数. 【解答】解:28000=1.1×104. 故选:C. 【点评】此题考查科学记数 n 法的表示方法,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.   3.(3 分)实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是(  ) A.a>﹣2 B.a<﹣3 C.a>﹣b D.a<﹣b 【分析】利用数轴上 a,b 所在的位置,进而得出 a 以及﹣b 的取值范围,进而 比较得出答案. 【解答】解:A、如图所示:﹣3<a<﹣2,故此选项错误; B、如图所示:﹣3<a<﹣2,故此选项错误; C、如图所示:1<b<2,则﹣2<﹣b<﹣1,故 a<﹣b,故此选项错误; D、由选项 C 可得,此选项正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确得出 a 以及﹣b 的取值范围是解题关 键.   4.(3 分)内角和为 540°的多边形是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列式进行计算即可求解. 【解答】解:设多边形的边数是 n,则 (n﹣2)•180°=540°, 解得 n=5. 故选:C. 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.   5.(3 分)如图是某个几何体的三视图,该几何体是(  ) A.圆锥 B.三棱锥 C.圆柱 D.三棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形 状. 【解答】解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可 判断出这个几何体应该是三棱柱. 故选 D 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象 能力方面的考查.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看, 所得到的图形.   6.(3 分)如果 a+b=2,那么代数(a﹣ )• 的值是(  ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣ 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简 结果,把已知等式代入计算即可求出值. 【解答】解:∵a+b=2, ∴原式= • =a+b=2 故选:A. 【点评】此题考查了分式的化简求值,将原式进行正确的化简是解本题的关 键.   7.(3 分)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中, 不是轴对称的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分折叠后可重合.   8.(3 分)在 1﹣7 月份,某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示,则出售 该种水果每斤利润最大的月份是(  ) A.3 月份 B.4 月份 C.5 月份 D.6 月份 【分析】根据图象中的信息即可得到结论. 【解答】解:由图象中的信息可知,3 月份的利润=7.5﹣5=2.5 元, 4 月份的利润=6﹣3=3 元, 5 月份的利润=4.5﹣2=2.5 元, 6 月份的利润=3﹣1.2=1.8 元, 故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份, 故选 B. 【点评】本题考查了象形统计图,有理数大小的比较,正确的把握图象中的信息, 理解利润=售价﹣进价是解题的关键.   9.(3 分)如图,直线 m⊥n,在某平面直角坐标系中,x 轴∥m,y 轴∥n,点 A 的坐标为(﹣4,2),点 B 的坐标为(2,﹣4),则坐标原点为(  ) A.O1 B.O2 C.O3 D.O4 【分析】先根据点 A、B 的坐标求得直线 AB 的解析式,再判断直线 AB 在坐标平 面内的位置,最后得出原点的位置. 【解答】解:设过 A、B 的直线解析式为 y=kx+b, ∵点 A 的坐标为(﹣4,2),点 B 的坐标为(2,﹣4), ∴ , 解得 , ∴直线 AB 为 y=﹣x﹣2, ∴直线 AB 经过第二、三、四象限, 如图,由 A、B 的坐标可知,沿 CD 方向为 x 轴正方向,沿 CE 方向为 y 轴正方向, 故将点 A 沿着 CD 方向平移 4 个单位,再沿着 EC 方向平移 2 个单位,即可到达 原点位置,则原点为点 O1. 故选:A. 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质,解决问题的关键是掌握待定系数法以 及一次函数图象与系数的关系.在一次函数 y=kx+b 中,k 决定了直线的方向,b 决定了直线与 y 轴的交点位置.   10.(3 分)为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价.水 价分档递增,计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%,15%和 5%,为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市 5 万户居民家庭 上一年的年用水量(单位:m3),绘制了统计图.如图所示,下面四个推断合理 的是(  ) ①年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费; ②年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价交费; ③该市居民家庭年用水量的中位数在 150﹣180 之间; ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【分析】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案. 【解答】解:①由条形统计图可得:年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭一共 有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万), ×100%=80%,故年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费, 正确; ②∵年用水量超过 240m3 的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.35(万), ∴ ×100%=7%≠5%,故年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价 交费,故此选项错误; ③∵5 万个数数据的中间是第 25000 和 25001 的平均数, ∴该市居民家庭年用水量的中位数在 120﹣150 之间,故此选项错误; ④由①得,该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180,正确, 故选:B. 【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数的定义,正确利用条形统计 图获取正确信息是解题关键.   二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.(3 分)如果分式 有意义,那么 x 的取值范围是 x≠1 . 【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案. 【解答】解:由题意,得 x﹣1≠0, 解得 x≠1, 故答案为:x≠1. 【点评】本题考查了分式有意义的条件,利用分母不为零得出不等式是解题关键.   12.(3 分)如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式  am+bm+cm=m(a+b+c) . 【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可. 【解答】解:由题意可得:am+bm+cm=m(a+b+c). 故答案为:am+bm+cm=m(a+b+c). 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确利用矩形面积求出是解题 关键.   13.(3 分)林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种 幼树在移植过程中的一组数据: 移植的棵 数 n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵 数 m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频 率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.881 . 【分析】概率是大量重复实验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值, 即次数越多的频率越接近于概率. 【解答】解:概率是大量重复实验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计 值,即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.881. 故答案为:0.881; 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概 率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.   14.(3 分)如图,小军、小珠之间的距离为 2.7m,他们在同一盏路灯下的影长 分别为 1.8m,1.5m,已知小军、小珠的身高分别为 1.8m,1.5m,则路灯的高为  3 m. 【分析】根据 CD∥AB∥MN,得到△ABE∽△CDE,△ABF∽△MNF,根据相似三 角形的性质可知 , ,即可得到结论. 【解答】解:如图,∵CD∥AB∥MN, ∴△ABE∽△CDE,△ABF∽△MNF, ∴ , , 即 , , 解得:AB=3m. 答:路灯的高为 3m. 【点评】本题考查了中心投影,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键.   15.(3 分)百子回归图是由 1,2,3…,100 无重复排列而成的正方形数表,它 是一部数化的澳门简史,如:中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最 后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,…,同时它也是十阶幻方,其每行 10 个 数之和,每列 10 个数之和,每条对角线 10 个数之和均相等,则这个和为  505 . 【分析】根据已知得:百子回归图是由 1,2,3…,100 无重复排列而成,先计 算总和;又因为一共有 10 行,且每行 10 个数之和均相等,所以每行 10 个数之 和=总和÷10. 【解答】解:1~100 的总和为: =5050, 一共有 10 行,且每行 10 个数之和均相等,所以每行 10 个数之和为:5050÷ 10=505, 故答案为:505. 【点评】本题是数字变化类的规律题,是常考题型;一般思路为:按所描述的规 律从 1 开始计算,从计算的过程中慢慢发现规律,总结出与每一次计算都符合的 规律,就是最后的答案;此题非常简单,跟百子碑简介没关系,只考虑行、列就 可以,同时,也可以利用列来计算.   16.(3 分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程: 已知:直线 l 和 l 外一点 P.(如图 1) 求作:直线 l 的垂线,使它经过点 P. 作法:如图 2 (1)在直线 l 上任取两点 A,B; (2)分别以点 A,B 为圆心,AP,BP 长为半径作弧,两弧相交于点 Q; (3)作直线 PQ. 所以直线 PQ 就是所求的垂线. 请回答:该作图的依据是 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线 上(A、B 都在线段 PQ 的垂直平分线上) . 【分析】只要证明直线 AB 是线段 PQ 的垂直平分线即可. 【解答】解:到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B 都 在线段 PQ 的垂直平分线上), 理由:如图,∵PA=AQ,PB=QB, ∴点 A、点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上, ∴直线 AB 垂直平分线段 PQ, ∴PQ⊥AB. 【点评】本题考查作图﹣基本作图,解题的关键是理解到线段两个端点的距离相 等的点在线段的垂直平分线上,属于中考常考题型.   三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分),解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.(5 分)计算:(3﹣π)0+4sin45°﹣ +|1﹣ |. 【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次 计算,求出算式(3﹣π)0+4sin45°﹣ +|1﹣ |的值是多少即可. 【解答】解:(3﹣π)0+4sin45°﹣ +|1﹣ | =1+4× ﹣2 ﹣1 =1 ﹣2 + ﹣1 = 【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明 确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开 方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左 到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用. (2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:① a0=1(a≠0);②00≠1. (3)此题还考查了特殊角的三角函数值,要牢记 30°、45°、60°角的各种三角函 数值.   18.(5 分)解不等式组: . 【分析】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集,再根据口诀:大小小大 中间找可得不等式组的解集. 【解答】解:解不等式 2x+5>3(x﹣1),得:x<8, 解不等式 4x> ,得:x>1, ∴不等式组的解集为:1<x<8. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础, 熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键.   19.(5 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AE 平分∠BAD,交 DC 的延长线 于点 E.求证:DA=DE. 【分析】由平行四边形的性质得出 AB∥CD,得出内错角相等∠E=∠BAE,再由 角平分线证出∠E=∠DAE,即可得出结论. 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠E=∠BAE, ∵AE 平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠E=∠DAE, ∴DA=DE. 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定;熟 练掌握平行四边形的性质,证出∠E=∠DAE 是解决问题的关键.   20.(5 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数 根. (1)求 m 的取值范围; (2)写出一个满足条件的 m 的值,并求此时方程的根. 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0,代入数据即可得出 关于 m 的一元一次不等式,解不等式即可得出结论; (2)结合(1)结论,令 m=1,将 m=1 代入原方程,利用因式分解法解方程即 可得出结论. 【解答】解:(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2﹣1=0 有两个不相 等的实数根, ∴△=(2m+1)2﹣4×1×(m2﹣1)=4m+5>0, 解得:m>﹣ . (2)m=1,此时原方程为 x2+3x=0, 即 x(x+3)=0, 解得:x1=0,x2=﹣3. 【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二 次方程,解题的关键是:(1)根据根的个数结合根的判别式得出关于 m 的一元 一次不等式;(2)选取 m 的值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目 时,根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键.   21.(5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(﹣6,0)的直线 l1 与直 线 l2:y=2x 相交于点 B(m,4). (1)求直线 l1 的表达式; (2)过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 l1,l2 的交点分别为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时,写出 n 的取值范围. 【分析】(1)先求出点 B 坐标,再利用待定系数法即可解决问题. (2)由图象可知直线 l1 在直线 l2 上方即可,由此即可写出 n 的范围. 【解答】解:(1)∵点 B 在直线 l2 上, ∴4=2m, ∴m=2,点 B(2,4) 设直线 l1 的表达式为 y=kx+b, 由题意 ,解得 , ∴直线 l1 的表达式为 y= x+3. (2)由图象可知 n<2. 【点评】本题考查两条直线平行、相交问题,解题的关键是灵活应用待定系数法, 学会利用图象根据条件确定自变量取值范围.   22.(5 分)调查作业:了解你所在小区家庭 5 月份用气量情况: 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有 300 户家庭,每户家 庭人数在 2﹣5 之间,这 300 户家庭的平均人数均为 3.4. 小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查,将 收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表 1,表 2 和表 3. 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位:m3) 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题: 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭 5 月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处. 【分析】首先根据题意分析家庭平均人数,进而利用加权平均数求出答案,再利 用已知这 300 户家庭的平均人数均为 3.4 分析即可. 【解答】解:小天调查的人数太少,小东抽样的调查数据中,家庭人数的平均值 为: (2×3+3×11+4)÷15=2.87, 远远偏离了平均人数的 3.4,所以他的数据抽样有明显的问题, 小芸抽样的调查数据中,家庭人数的平均值为:(2×2+3×7+4×4+5×2)÷ 15=3.4, 说明小芸抽样数据质量较好,因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区 家庭 5 月份用气量情况. 【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性以及加权平均数,正确理解抽样调查 的随机性是解题关键.   23.(5 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连接 BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求 BN 的长. 【分析】(1)根据三角形中位线定理得 MN= AD,根据直角三角形斜边中线定 理得 BM= AC,由此即可证明. (2)首先证明∠BMN=90°,根据 BN2=BM2+MN2 即可解决问题. 【解答】(1)证明:在△CAD 中,∵M、N 分别是 AC、CD 的中点, ∴MN∥AD,MN= AD, 在 RT△ABC 中,∵M 是 AC 中点, ∴BM= AC, ∵AC=AD, ∴MN=BM. (2)解:∵∠BAD=60°,AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=30°, 由(1)可知,BM= AC=AM=MC, ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°, ∵MN∥AD, ∴∠NMC=∠DAC=30°, ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°, ∴BN2=BM2+MN2, 由(1)可知 MN=BM= AC=1, ∴BN= 【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知 识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.   24.(5 分)阅读下列材料: 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位, 深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市 文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长 的支柱产业. 2011 年,北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元,占地区生产总值的 12.2%.2012 年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值 2189.2 亿元,占地区生产总值的 12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零 售业的第三大支柱产业.2013 年,北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元,比 上年增长 9.1%,文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014 年, 北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元,占地区生产总值的 13.1%,创历史 新高,2015 年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值 3072.3 亿 元,占地区生产总值的 13.4%. 根据以上材料解答下列问题: (1)用折线图将 2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在 图中标明相应数据; (2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估 2016 年北京市文化创意产业实现增 加值约 3471.7 亿元,你的预估理由 用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的 增长率 . 【分析】(1)画出 2011﹣2015 的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可. (2)设 2013 到 2015 的平均增长率为 x,列出方程求出 x,用近 3 年的平均增长 率估计 2016 年的增长率即可解决问题. 【解答】解:(1)2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值如图所示, (2)设 2013 到 2015 的平均增长率为 x, 则 2406.7(1+x)2=3072.3, 解得 x≈13%, 用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的增长率, ∴2016 年的增长率为 3072.3×(1+13%)≈3471.7 亿元. 故答案分别为 3471.7,用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的增长率. 【点评】本题考查折线图、样本估计总体的思想,解题的关键是用近 3 年的平均 增长率估计 2016 年的增长率,属于中考常考题型.   25.(5 分)如图,AB 为⊙O 的直径,F 为弦 AC 的中点,连接 OF 并延长交 于 点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接 CD,若 OA=AE=a,写出求四边形 ACDE 面积的思路. 【分析】(1)欲证明 AC∥DE,只要证明 AC⊥OD,ED⊥OD 即可. (2)作 DM⊥OA 于 M,连接 CD,CO,AD,首先证明四边形 ACDE 是平行四边 形,根据 S 平行四边形 ACDE=AE•DM,只要求出 DM 即可. 【解答】(1)证明:∵ED 与⊙O 相切于 D, ∴OD⊥DE, ∵F 为弦 AC 中点, ∴OD⊥AC, ∴AC∥DE. (2)解:作 DM⊥OA 于 M,连接 CD,CO,AD. 首先证明四边形 ACDE 是平行四边形,根据 S 平行四边形 ACDE=AE•DM,只要求出 DM 即可.(方法二:证明△ADE 的面积等于四边形 ACDE 的面积的一半) ∵AC∥DE,AE=AO, ∴OF=DF, ∵AF⊥DO, ∴AD=AO, ∴AD=AO=OD, ∴△ADO 是等边三角形,同理△CDO 也是等边三角形, ∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DO=a, ∴AO∥CD,又 AE=CD, ∴四边形 ACDE 是平行四边形,易知 DM= a, ∴平行四边形 ACDE 面积= a2. 【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识,解题的关 键是学会添加常用辅助线,利用特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.   26.(5 分)已知 y 是 x 的函数,自变量 x 的取值范围 x>0,下表是 y 与 x 的几 组对应值: x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律,对 该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表格中各对对应值为坐标的 点,根据描出的点,画出该函数的图象; (2)根据画出的函数图象,写出: ①x=4 对应的函数值 y 约为 2 ; ②该函数的一条性质: 该函数有最大值 . 【分析】(1)按照自变量由小到大,利用平滑的曲线连结各点即可; (2)①在所画的函数图象上找出自变量为 4 所对应的函数值即可; ②利用函数图象有最高点求解. 【解答】解:(1)如图, (2)①x=4 对应的函数值 y 约为 2.0; ②该函数有最大值. 故答案为 2,该函数有最大值. 【点评】本题考查了函数的定义:对于函数概念的理解:①有两个变量;②一个 变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确 定的值,函数值有且只有一个值与之对应.   27.(7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m=1 时,求线段 AB 上整点的个数; ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点,结合函数的图象,求 m 的取值范围. 【分析】(1)利用配方法即可解决问题. (2)①m=1 代入抛物线解析式,求出 A、B 两点坐标即可解决问题. ②根据题意判断出点 A 的位置,利用待定系数法确定 m 的范围. 【解答】解:(1)∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(x﹣1)2﹣1, ∴抛物线顶点坐标(1,﹣1). (2)①∵m=1, ∴抛物线为 y=x2﹣2x, 令 y=0,得 x=0 或 2,不妨设 A(0,0),B(2,0), ∴线段 AB 上整点的个数为 3 个. ②如图所示,抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边 界)恰有 6 个整点, ∴点 A 在(﹣1,0)与(﹣2,0)之间(包括(﹣1,0)), 当抛物线经过(﹣1,0)时,m= , 当抛物线经过点(﹣2,0)时,m= , ∴m 的取值范围为 <m≤ . 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知 识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型.   28.(7 分)在等边△ABC 中, (1)如图 1,P,Q 是 BC 边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧, 且 AP=AQ,点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,连接 AM,PM. ①依题意将图 2 补全; ②小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PA=PM,小 茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法 1:要证明 PA=PM,只需证△APM 是等边三角形; 想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证明 PA=PM,只需证△ANP≌△ PCM; 想法 3:将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM,只需证 PA=CK,PM=CK… 请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可). 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠ APB=∠AQC,根据三角形外角的性质即可得到结论; (2)如图 2 根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠ APB=∠AQC,由点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M,得到 AQ=AM,∠OAC=∠MAC, 等量代换得到∠MAC=∠BAP,推出△APM 是等边三角形,根据等边三角形的性 质即可得到结论. 【解答】解:(1)∵AP=AQ, ∴∠APQ=∠AQP, ∴∠APB=∠AQC, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°, ∴∠BAP=∠CAQ=20°, ∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°; (2)如图 2,∵AP=AQ, ∴∠APQ=∠AQP, ∴∠APB=∠AQC, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°, ∴∠BAP=∠CAQ,(将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到线段 BK,要证 PA=PM, 只需证 PA=CK,PM=CK… 请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM) ∵点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M, ∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC, ∴∠MAC=∠BAP, ∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°, ∴∠PAM=60°, ∵AP=AQ, ∴AP=AM, ∴△APM 是等边三角形, ∴AP=PM.证明△ABP≌△ACM≌△BCK 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外 角的性质,轴对称的性质,熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键.   29.(8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为 (x2,y2),且 x1≠x2,y1≠y2,若 P,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边 均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点 P,Q 的“相关矩形”,如图为点 P,Q 的“相 关矩形”示意图. (1)已知点 A 的坐标为(1,0), ①若点 B 的坐标为(3,1),求点 A,B 的“相关矩形”的面积; ②点 C 在直线 x=3 上,若点 A,C 的“相关矩形”为正方形,求直线 AC 的表达式; (2)⊙O 的半径为 ,点 M 的坐标为(m,3),若在⊙O 上存在一点 N,使得 点 M,N 的“相关矩形”为正方形,求 m 的取值范围. 【分析】(1)①由相关矩形的定义可知:要求 A 与 B 的相关矩形面积,则 AB 必 为对角线,利用 A、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度,进而可求出 该矩形的面积; ②由定义可知,AC 必为正方形的对角线,所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45,设直 线 AC 的解析式为;y=kx+b,由此可知 k=±1,再(1,0)代入 y=kx+b,即可求 出 b 的值; (2)由定义可知,MN 必为相关矩形的对角线,若该相关矩形的为正方形,即 直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°,由因为点 N 在圆 O 上,所以该直线 MN 与圆 O 一 定要有交点,由此可以求出 m 的范围. 【解答】解:(1)①∵A(1,0),B(3,1) 由定义可知:点 A,B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1, ∴点 A,B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2; ②由定义可知:AC 是点 A,C 的“相关矩形”的对角线, 又∵点 A,C 的“相关矩形”为正方形 ∴直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°, 设直线 AC 的解析为:y=x+m 或 y=﹣x+n 把(1,0)分别 y=x+m, ∴m=﹣1, ∴直线 AC 的解析为:y=x﹣1, 把(1,0)代入 y=﹣x+n, ∴n=1, ∴y=﹣x+1, 综上所述,若点 A,C 的“相关矩形”为正方形,直线 AC 的表达式为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1; (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b, ∵点 M,N 的“相关矩形”为正方形, ∴由定义可知:直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°, ∴k=±1, ∵点 N 在⊙O 上, ∴当直线 MN 与⊙O 有交点时,点 M,N 的“相关矩形”为正方形, 当 k=1 时, 作⊙O 的切线 AD 和 BC,且与直线 MN 平行, 其中 A、C 为⊙O 的切点,直线 AD 与 y 轴交于点 D,直线 BC 与 y 轴交于点 B, 连接 OA,OC, 把 M(m,3)代入 y=x+b, ∴b=3﹣m, ∴直线 MN 的解析式为:y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°,∠OAD=90°, ∴OD= OA=2, ∴D(0,2) 同理可得:B(0,﹣2), ∴令 x=0 代入 y=x+3﹣m, ∴y=3﹣m, ∴﹣2≤3﹣m≤2, ∴1≤m≤5, 当 k=﹣1 时,把 M(m,3)代入 y=﹣x+b, ∴b=3+m, ∴直线 MN 的解析式为:y=﹣x+3+m, 同理可得:﹣2≤3+m≤2, ∴﹣5≤m≤﹣1; 综上所述,当点 M,N 的“相关矩形”为正方形时,m 的取值范围是:1≤m≤5 或 ﹣5≤m≤﹣1 【点评】本题考查新定义问题,涉及圆的切线性质,矩形的性质,正方形的性质, 解答本题需要我们理解相关矩形的定义,对学生的综合能力要求较高,一定要注 意将新旧知识贯穿起来.