初中数学天津市河东区中考数学模拟试卷人教 25页

天津市河东区2016年中考数学模拟试卷（解析版）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共12题，共计36分）‎ ‎1．下列运算：sin30°=， =2，π0=π，2﹣2=﹣4，其中运算结果正确的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】根据特殊角三角函数值，可判断第一个；‎ 根据算术平方根，可判断第二个；‎ 根据非零的零次幂，可判断第三个；‎ 根据负整数指数幂，可判断第四个．‎ ‎【解答】解：sin30°=，‎ ‎=2，‎ π0=1，‎ ‎2﹣2=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（　　）‎ A．45° B．60° C．75° D．90°‎ ‎【分析】首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可．‎ ‎【解答】解：180°×‎ ‎=‎ ‎=75°‎ 即∠C等于75°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．‎ ‎　‎ ‎3．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（　　）‎ A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 ‎【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．‎ ‎【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，‎ ‎∵△=42﹣4×4×1=0，‎ ‎∴方程有两个相等的实数根．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是（　　）‎ A．邻边不等的平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 ‎【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC、BD，‎ ‎∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，‎ ‎∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），‎ ‎∵矩形ABCD的对角线AC=BD，‎ ‎∴EF=GH=FG=EH，‎ ‎∴四边形EFGH是菱形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（　　）‎ A．2=1 C．2=19‎ ‎【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．‎ ‎【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，‎ 配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．‎ 依据图中信息，得出下列结论：‎ ‎（1）接受这次调查的家长人数为200人 ‎（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°‎ ‎（3）表示“无所谓”的家长人数为40人 ‎（4）随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是．‎ 其中正确的结论个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】（1）根据表示赞同的人数是50，所占的百分比是25%即可求得总人数；‎ ‎（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；‎ ‎（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；‎ ‎（4）求得表示很赞同的人数，然后利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）接受这次调查的家长人数为：50÷25%=200（人），故命题正确；‎ ‎（2）“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小是：360×=162°，故命题正确；‎ ‎（3）表示“无所谓”的家长人数为200×20%=40（人），故命题正确；‎ ‎（4）表示很赞同的人数是：200﹣50﹣40﹣90=20（人），‎ 则随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是=，故命题正确．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．总体数目=部分数目÷相应百分比．‎ ‎　‎ ‎7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（　　）‎ A． B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2‎ ‎【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．‎ ‎【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，‎ ‎∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，‎ ‎∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据一次函数的图象性质得到y=﹣x+1经过第一、二、四象限；根据反比例函数的图象性质得到y=﹣分布在第二、四象限，然后对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：函数y=﹣x+1经过第一、二、四象限，函数y=﹣分布在第二、四象限．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=（k≠0）的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的图象．‎ ‎　‎ ‎9．如图，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H．若AB=8cm，l要与⊙O相切，则l应沿OC所在直线向下平移（　　）‎ A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm ‎【分析】连接OB，根据已知条件可以推出HB=4cm，所以OH=3cm，HC=2cm，所以l应沿OC所在直线向下平移2cm．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∴OB=5cm，‎ ‎∵直线l⊙O相交于A、B两点，且与AB⊥OC，AB=8cm，‎ ‎∴HB=4cm，‎ ‎∴OH=3cm，‎ ‎∴HC=2cm．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、切线性质，解题的关键在于求HC和OH的长度．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（　　）‎ A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB=A′B′=OC′，从而得出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．‎ ‎【解答】解：连接OC、OC′，如图，‎ ‎∵∠AOB=90°，C为AB中点，‎ ‎∴OC=AB=A′B′=OC′，‎ ‎∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，‎ ‎∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（　　）‎ A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变 ‎【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到；设B（﹣m，），A（n，），得到BM=，AN=，OM=m，ON=n，进而得到mn=，mn=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，‎ ‎∴∠BOM=∠OAN，‎ ‎∵∠BMO=∠ANO=90°，‎ ‎∴△BOM∽△OAN，‎ ‎∴；‎ 设B（﹣m，），A（n，），‎ 则BM=，AN=，OM=m，ON=n，‎ ‎∴mn=，mn=；‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴tan∠OAB=①；‎ ‎∵△BOM∽△OAN，‎ ‎∴===②，‎ 由①②知tan∠OAB=为定值，‎ ‎∴∠OAB的大小不变，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．‎ ‎　‎ ‎12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：‎ ‎①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，‎ ‎∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；‎ ‎∵当x=﹣3时，y＜0，‎ ‎∴9a﹣3b+c＜0，‎ 即9a+c＜3b，（故②错误）；‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c=0，‎ 而b=﹣4a，‎ ‎∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，‎ ‎∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；‎ ‎∵对称轴为直线x=2，‎ ‎∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，‎ 当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共6题，共计18分）‎ ‎13．计算（+）（﹣）的结果为　﹣1　．‎ ‎【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．‎ ‎【解答】解：（ +）（﹣）‎ ‎=‎ ‎=2﹣3‎ ‎=﹣1‎ ‎∴（+）（﹣）的结果为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．‎ ‎（2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎14．因式分解：4m2﹣16=　4（m+2）（m﹣2）　．‎ ‎【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【解答】解：4m2﹣16，‎ ‎=4（m2﹣4），‎ ‎=4（m+2）（m﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎15．用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为　　．‎ ‎【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432；‎ ‎∴排出的数是偶数的概率为： =．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　（10，3）　．‎ ‎【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．‎ ‎【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），‎ ‎∴AD=BC=10，DC=AB=8，‎ ‎∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，‎ ‎∴AD=AF=10，DE=EF，‎ 在Rt△AOF中，OF==6，‎ ‎∴FC=10﹣6=4，‎ 设EC=x，则DE=EF=8﹣x，‎ 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，‎ 即EC的长为3．‎ ‎∴点E的坐标为（10，3），‎ 故答案为：（10，3）．‎ ‎【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．‎ ‎　‎ ‎17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=　60　°．‎ ‎【分析】利用四边形OABC为平行四边形，可得∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得∠D+∠B=180°．利用同弧所对的圆周角和圆心角可得∠D=∠AOC，求出∠D=60°，进而即可得出．‎ ‎【解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，‎ ‎∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．‎ ‎∵四边形ABCD是圆的内接四边形，‎ ‎∴∠D+∠B=180°．‎ 又∠D=∠AOC，‎ ‎∴3∠D=180°，‎ 解得∠D=60°．‎ ‎∴∠OAB=∠OCB=180°﹣∠B=60°．‎ ‎∴∠OAD+∠OCD=360°﹣（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°﹣（60°+120°+60°+60°）=60°．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1．‎ ‎（1）平行四边形ABCD的面积为　6　；‎ ‎（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积．（尺规作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来．‎ ‎【分析】（1）平行四边形ABCD的面积=矩形的面积﹣2个直角三角形的面积，即可得出结果；‎ ‎（2）由正方形的面积和相交弦定理得出正方形的边长，画出图形即可．‎ ‎【解答】解（1）平行四边形ABCD的面积=4×2﹣2××1×2=6；‎ 故答案为：6‎ ‎（2）①作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F；‎ ‎②延长AD至G，使DG=DF；‎ ‎③以AG为直径作半圆；‎ ‎④延长FD交半圆于H，则DH即为所求的正方形边长；‎ ‎⑤以DH为边长作正方形DHMN；如图所示 ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、作图﹣复杂作图、相交弦定理；作出正方形的边长是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 三、综合题（共7题，共计66分）‎ ‎19．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵由①得：，‎ 由②得：x≤1，‎ ‎∴不等式组的解集为：，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．‎ ‎　‎ ‎20．商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？‎ ‎【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出顾客购买商品的价格不超过30元的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 共有9种等可能的结果数，其中顾客购买商品的价格不超过30元的结果数为3，‎ 所以顾客购买商品的价格不超过30元的概率==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．‎ ‎　‎ ‎21．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出5件．‎ ‎（1）请确定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？‎ ‎（2）若要使每周的销售利润不低于7680元，请确定销售单价x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即y=（x﹣40）[300﹣5（x﹣60）]，再把解析式整理为一般式，然后根据二次函数的性质确定销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．‎ ‎（2）由函数值求出自变量的两个值，再根据二次不等式的解集即可求得x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得y=（x﹣40）[300﹣5（x﹣60）]‎ ‎=﹣5（x2﹣160x+4800）‎ ‎=﹣5（x﹣80）2+8000，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴当x=80时，y的值最大=8000，即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大；‎ ‎（2）当y=7680时，﹣5（x﹣80）2+8000=7680，‎ 整理得：（x﹣80）2=64，‎ ‎∴x﹣80=±8，‎ ‎∴x1=88，x2=72，‎ ‎∴72≤x≤88．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎22．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．‎ ‎（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．‎ ‎【解答】证明：（1）如图1，连接FO，‎ ‎∵F为BC的中点，AO=CO，‎ ‎∴OF∥AB，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴CE⊥AE，‎ ‎∵OF∥AB，‎ ‎∴OF⊥CE，‎ ‎∴OF所在直线垂直平分CE，‎ ‎∴FC=FE，OE=OC，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ 即：∠0CE+∠FCE=90°，‎ ‎∴∠0EC+∠FEC=90°，‎ 即：∠FEO=90°，‎ ‎∴FE为⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴AO=CO=EO=3，‎ ‎∵∠EAC=60°，OA=OE，‎ ‎∴∠EOA=60°，‎ ‎∴∠COD=∠EOA=60°，‎ ‎∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，‎ ‎∴CD=，‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，‎ CD=，AC=6，‎ ‎∴AD=．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．‎ ‎【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE═==x，在Rt△ABC中，得到=，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．‎ ‎【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，‎ ‎∴四边形ABEF为矩形，‎ ‎∴AF=BE，EF=AB=2‎ 设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵=，AB=2，‎ ‎∴BC=2，‎ 在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，‎ ‎∴AF===（x﹣2），‎ ‎∵AF=BE=BC+CE．‎ ‎∴（x﹣2）=2+x，‎ 解得x=6．‎ 答：树DE的高度为6米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（1）操作发现：‎ 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．‎ ‎（2）问题解决：‎ 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；‎ ‎（3）类比探求：‎ 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．‎ ‎【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；‎ ‎（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；‎ ‎（3）方法同（2）．‎ ‎【解答】解：（1）同意，连接EF，‎ 则根据翻折不变性得，‎ ‎∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，‎ 在Rt△EGF和Rt△EDF中，‎ ‎∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），‎ ‎∴GF=DF；‎ ‎（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ‎∵DC=2DF，‎ ‎∴CF=x，DC=AB=BG=2x，‎ ‎∴BF=BG+GF=3x；‎ 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2‎ ‎∴y=2x，‎ ‎∴；‎ ‎（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ‎∵DC=nDF，‎ ‎∴BF=BG+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2‎ ‎∴y=2x，‎ ‎∴或．‎ ‎【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．‎ ‎　‎ ‎25．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．‎ ‎（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．‎ ‎（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．‎ ‎（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．‎ ‎【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．‎ 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3．‎ 则点B（1，4）．‎ ‎（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．‎ 在Rt△AOE中，OA=OE=3，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，AE==3．‎ 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径．‎ 在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，‎ ‎∴∠BAE=∠CBE．‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．‎ ‎∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线．‎ ‎（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；‎ ‎①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；‎ 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．‎ ‎②DE为短直角边时，P2在x轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；‎ 而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9‎ 即：P2（9，0）；‎ ‎③DE为长直角边时，点P3在y轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；‎ 综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．‎ ‎（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ 将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．‎ ‎∴y=﹣2x+6．‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．‎ 情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．‎ 则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHG∽△FHM，得，即．‎ 解得HK=2t．‎ ‎∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t2t=﹣t2+3t．‎ 情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．‎ 由△IQA∽△IPF，得．即，‎ 解得IQ=2（3﹣t）．‎ ‎∵AQ=VQ=3﹣t，‎ ‎∴S阴=IVAQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．‎ 综上所述：s=．‎ ‎【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．‎ ‎　‎