- 1.18 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第四讲 旋转专题
例题1. 点在同一直线上,点在直线的同侧,直线交于点.
(1)如图①,若,则________;如图②,若,则________;
(2)如图③,若,则________(用含的式子表示);
(3)将图③中的绕点旋转(点不与点重合),得图④或图⑤.在图④中,与的数量关系是________;在图⑤中,与的数量关系是________.
请你任选其中一个结论证明.
思路点拨 从特殊到一般,在动态的旋转过程中,有两组不变的关系:∽,
∽,这是解本例的关键.
例2.如图1,是等腰直角三角形,四边形是正方形,、分别在、边上,此时,成立.
(1)当正方形绕点逆时针旋转()时,如图2,成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形绕点逆时针旋转时,如图3,延长交于点.
①求证:;
②当,时,求线段的长.
例3. 在正方形的边上任取一点,作交于点,取的中点,连接,如图①,易证且.
(1)将绕点逆时针旋转,如图②,则线段和有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.
(2)将绕点逆时针旋转,如图③,则线段和有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.
例4. 如图①,在等边中,点是边的中点,点是线段上的动点(点与点不重合),连接.将绕点按顺时针方向旋转角(),得到,连接,射线分别交射线、射线于点.
(1)如图①,当时,在角变化过程中,与始终存在________关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;
(2)如图②,设.当时,有角变化过程中,是否存在与全等?若存在,求出与之间的数量关系;若不存在,请说明理.
(3)如图③,当时,点与点重合.已知,设,的面积为,求关于的函数关系式.
例5. 将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,点D与边AB的中点重合,将△DEF绕着点D旋转.
(1)如图1,如果∠EDF的边DE经过点C,另一边DF与边AC交于点G,求GC的长;
(2)如图2,如果∠EDF的边DF、DE分别交边BC于点M、N,设CN=x、BM=y,求y关于x的函数解析式,并求它的定义域;
(3)如图3,如果∠EDF的边DF、DE分别交边AC于点M、N,如果△DMN是等腰三角形,求AN的值.
例6. 已知,直角三角形ABC中,∠C=90°,点D、E分别是边AC、AB的中点,BC=6.
(1)如图1,动点P从点E出发,沿直线DE方向向右运动,则当EP= 时,四边形BCDP是矩形;
(2)将点B绕点E逆时针旋转.
①如图2,旋转到点F处,连接AF、BF、EF.设∠BEF=α°,求证:△ABF是直角三角形;
②如图3,旋转到点G处,连接DG、EG.已知∠BEG=90°,求△DEG的面积.
例7.如图1,点O为正方形ABCD的中心.
(1)将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°,点E的对应点为点F,连结EF,AE,BF,请依题意补全图1;
(2)根据图1中补全的图形,猜想并证明AE与BF的关系;
(3)如图2,点G是OA中点,△EGF是等腰直角三角形,H是EF的中点,∠EGF=90°,AB=22,GE=2,△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度,请直接写出旋转过程中BH的最大值.
例8. 如图1,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D是△ABC内部一点,∠ADC=135°,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE.
(1)①依题意补全图形;②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系,并直接写出答案.
(2)在(1)的条件下,连接BE,过点C作CM⊥DE,请判断线段CM,AE和BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图2,在正方形ABCD中,AB=2,如果PD=1,∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
例9.如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)
(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD ∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是 ;
(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:BD﹣CD=3AD;
(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).
例10.已知:点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合),连接AD.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE,BD⊥CE.
(2)如图2,当点D在线段BC延长线上时,探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系,写出结论并说明理由;
(3)若BD=3CD,直接写出∠BAD的度数.
例11.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.
(1)直接写出∠NDE的度数;
(2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=6+22,其他条件不变,求线段AM的长.
例12.已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF,H为AF的中点,连EH,正方形EBGF绕点B旋转.
(1)如图1,当F点落在BC上时,求证:EH=12FC;
(2)如图2,当点E落在BC上时,连BH,若AB=5,BG=2,求BH的长;
(3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时,求EHCF的值.
例13.已知正方形和等腰,,,按图甲放置,使点在上,取 的中点,连接.
⑴ 探索的数量关系和位置关系,并说明理由;
⑵ 将图甲中绕点顺时针旋转得图乙,连接,取的中点,问⑴中的结论是否成立?并说明理由;
⑶ 将图甲中绕点转动任意角度(旋转角在到之间)得图丙,连接,取的中点,问⑴中的结论是否成立,请说明理由.
例14.如图,△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′(使∠BCE′<180°),连接AD′、BE′,设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E.
(1)若△ABC为等边三角形,则AD'BE'的值为1,求∠AFB的度数;
(2)若△ABC满足∠ACB=60°,AC=3,BC=2,
①求AD'BE'的值和∠AFB的度数;
②若E为BC的中点,求△OBC面积的最大值.
例15.已知,在中,.过点的直线从与边重合的位置开始绕点按顺时针方向旋转角,直线交边于点(点不与点、点重合),的边始终在直线上(点在点的上方),且,连接.
(1)当时,
①如图a,当时,的度数为___________;
②如图b,当时,①中的结论是否发生变化?说明理由;
(2)如图c,当时,请直接写出与之间的数量关系,不必证明.
例16.两个大小相同且含30°角的三角板和如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中绕点逆时针旋转30°得到图②,点、分别是、与的交点,点是与的交点.
(1)不添加辅助线,写出图②中所有与全等的三角形;
(2)将图②中的绕点逆时针旋转45°得,点、、对应点分别为、、,如图③.探究线段与之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在(2)的条件下,若与交于点,求证:.
例17.如图1,在中,点为边中点,直线绕顶点旋转,若点,在直线的异侧,⊥直线于点.⊥直线于点,连接,.
(1)延长交于点(如图2).
①求证:;
②求证:;
(2)若直线绕点旋转到图3的位置时,点,在直线的同侧,其它条件不变,此时还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线绕点旋转到与边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形的形状及此时还成立吗?不必说明理由.
例18.已知是等腰直角三角形,,是边上一动点(、两点除外),将绕点按逆时针方向旋转角得到,其中点是点的对应点,点是点的对应点.
(1)如图1,当时,是边上一点,且,连接.求证:;
(2)如图2,当时,与相交于点.
①当点与点、不重合时,连接,求的度数;
②设为边的中点,当从变化到时,求点运动的路径长.
例19.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当∠EAF被对角线AC平分时,求a、b的值;
(2)当△AEF是直角三角形时,求a、b的值;
(3)如图3,探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由.
例20. 已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明).
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
例21. 在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB;
(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF).
例22. 在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,BD为斜边AC上的中线,将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点F.BE与FC相交于点H.
(1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系: ;
(2)如图2,M、N分别为EF、BC的中点.求证:MN=;
(3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关系: .
例23.如图1,在菱形ABCD中,AC=6,BD=6,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别于边BC,CD相交于E,F,连接EF与AC相交于点G.
①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中是否存在线段EF最短,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
例24.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于 ,线段CE1的长等于 ;(直接填写结果)
(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;
(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)
例25.在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°.
(1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;
(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).
①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长;
③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD=3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD=m•BP时,请直接写出PE与PF的数量关系.
例26.如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是 ;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
例27. 如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°.
(1)请直接写出线段PG与PC的位置关系及的值.
(2)若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变,如图2.那么你在(1)中得到的结论是否发生变化?若没变化,直接写出结论,若有变化,写出变化的结果.
(3)在图1中,若∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请直接写出的值(用含α的式子表示).
例28.如图①所示,在和中,AB=AC,AD=AE,,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;
(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.
例29.如图1,和都是等腰直角三角形,,点在线段上,点在线段上.
(1)请直接写出线段与线段的关系:_____________;
(2)如图2,将图1中的绕点顺时针旋转角(),
①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
②当时,探究在旋转的过程中,是否存在这样的角,使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角的度数;若不存在,请说明理由.
例30.如图,在中,.将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上,以点为旋转中心,转动三角板并使三角板的两直角边分别与相交于点,连,交于点.
(1)求证:;
(2)设线段的长为,的面积为,求与的函数关系式;
(3)当三角板旋转到时,求的长.
例31. 如图①,中,,于点,点在上,且,连结.
(1)求证:;
(2)将绕点旋转,得到(点,分别与点,对应),连接.
①如图②,当点落在上时,(不与重合),若,,求的长;
②如图③,当是由绕点逆时针旋转得到时,设射线与相交于点,连接,试探究线段与之间满足的等量关系,并说明理由.
例32. 如图1,在四边形中,点、分别是、的中点,过点作的垂线,过点作的垂线,两垂线交于点,连接、、、,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)如图2,若、所在直线互相垂直,求的值.
例33. 已知是等腰直角三角形,,,,,连接,点是的中点.
(1)如图1,若点在边上,连接,当时,求的长;
(2)如图2,若点在的内部,连接,点是中点,连接,,求证:;
(3)如图3,将图2中的绕点逆时针旋转,使,连接,点是中点,连接,探索的值并直接写出结果.
例34. 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
例35. 如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
例36. 如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF,BD之间的位置关系为 ,数量关系为 .
②当点D在线段BC的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C,F重合除外)画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
例37. 已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD= ;
(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD= ;
(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
例38. 在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD’E’(使∠BCE′<180°),连接AD′、BE′,设直线BE′与AC交于点O.
(1)如图1,当AC=BC时,AD′:BE′的值为 ;
(2)如图2,当AC=5,BC=4时,求AD′:BE′的值;
(3)在(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.
例39. 将绕点按逆时针方向旋转度,并使各边长变为原来的倍,得,即如图①,.我们将这种变换记为[,].
(1) 如图①,对作变换[60°,]得,则_ ;直线与直线所夹的锐角为 _ 度.
(2) 如图②,中,,对作变换[,]得,使点,,在同一直线上,且四边形为矩形,求和的值。
(3) 如图③,中,,,对作变换[,]得,使点,,在同一直线上,且四边形为平行四边形,求和的值。
例40. 已知:将一副三角板(和)如图①摆放,点、、、在一条直线上,
且是的中点,将绕点顺时针方向旋转角),在旋转过程中,直线
,相交与点,直线、相交与点,分别过点、作直线的垂线,垂足
为、。
(1)当时(如图②),求证:;
(2)当时(如图③),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论并说明理由;
(3)当0°<时(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由
例41. 已知:如图①,在面积为3的正方形中,、分别是和边上的两点,
垂足为点,且.
(1)求证: ;
(2)求出和重叠部分()的面积
(3)现将绕点顺时针方向旋转到(如图②),使点落在边上的点处,
问在旋转前后与重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由。
例42. 在中,的两边交边于两点,将
绕点旋转.
⑴ 画出绕点顺时针旋转后的;
⑵ 在⑴中,若,求证:;
⑶ 在⑵的条件下,若,直接写出的长.
例43. 如图1,将矩形绕点顺时针旋转至矩形,使点正好落在上的
点处,连.
⑴ 注证:;
⑵ 如图2,连交于,点为的中点,连,试探究与的数量
关系,并证明你的结论;
⑶ 若,直接写出的长 .
例44. 如图,四边形是正方形,是等边三角形,为对角线(不含点)上任意一 点,
将绕点逆时针旋转得到,连接、、.
⑴ 求证:;
⑵ ①当点在何处时,的值最小;
②当点在何处时,的值最小,并说明理由;
⑶ 当的最小值为时,求正方形的边长.
E
A D
B C
N
M
例45. 已知:,以为一边作正方形,使两点落在直线AB的两侧.
⑴ 如图,当时,求及的长;
⑵ 当变化,且其它条件不变时,求的最大值,及相应的大小.
例46.如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=23,D、E两点分别在AC、BC上,且DE∥AB,CD=22.将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD′E′(如图②,点D′、E′分别与点D、E对应),点E′在AB上,D′E′与AC相交于点M.
(1)求∠ACE′的度数;
(2)求证:四边形ABCD′是梯形;
(3)求△AD′M的面积.