中考培优班复习——圆的综合应用 3页

中考培优班复习——圆的综合应用 ‎【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．‎ ‎【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.‎ ‎（1）求证：为的切线；‎ ‎（2）若，，求的半径. ‎ ‎【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 ‎ 在⊙上，且 ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，，‎ 求⊙的半径长.‎ ‎【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.‎ ‎（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.‎ 发散思考 ‎【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.‎ ‎【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交 ‎ ⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.‎ ‎（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.‎ ‎【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径. ‎ ‎【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，‎ D为上一点， CE⊥AD于E.‎ ‎ 求证：AE= BD +DE．‎ ‎【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。‎ ‎【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．‎ （1） 求证：DE是⊙O的切线；‎ （2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．‎ ‎【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。‎