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  • 2021-05-10 发布

2016年昆明中考数学试卷及解析

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‎2016年云南省昆明市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题:每小题3分,共18分 ‎1.﹣4的相反数为      .‎ ‎2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为      .‎ ‎3.计算:﹣=      .‎ ‎4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为      .‎ ‎5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是      .‎ ‎6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为      .‎ ‎ ‎ 二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎7.下面所给几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表:‎ 人数(人)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 分数(分)‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是(  )‎ A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85‎ ‎9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是(  )‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 ‎10.不等式组的解集为(  )‎ A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2‎ ‎11.下列运算正确的是(  )‎ A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2‎ ‎12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是(  )‎ A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π ‎13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是(  )‎ A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣=‎ ‎14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:‎ ‎①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎ 三、综合题:共9题,满分70分 ‎15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°.‎ ‎16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE.‎ ‎17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)‎ ‎(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;‎ ‎(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;‎ ‎(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.‎ ‎18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图;‎ ‎(1)这次抽样调查的样本容量是      ,并补全条形图;‎ ‎(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为      ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为      °;‎ ‎(3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数.‎ ‎19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.‎ ‎(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果;‎ ‎(2)求出两个数字之和能被3整除的概率.‎ ‎20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ ‎21.(列方程(组)及不等式解应用题)‎ 春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.‎ ‎(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?‎ ‎(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)‎ ‎23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;‎ ‎(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题:每小题3分,共18分 ‎1.﹣4的相反数为 4 .‎ ‎【考点】相反数.‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0即可求解.‎ ‎【解答】解:﹣4的相反数是4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为 6.73×104 .‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于67300有5位,所以可以确定n=5﹣1=4.‎ ‎【解答】解:67300=6.73×104,‎ 故答案为:6.73×104.‎ ‎ ‎ ‎3.计算:﹣=  .‎ ‎【考点】分式的加减法.‎ ‎【分析】同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;再分解因式约分计算即可求解.‎ ‎【解答】解:﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 40° .‎ ‎【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.‎ ‎【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°,由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°,再由平行线的性质即可求得结论.‎ ‎【解答】解:∵DE=DF,∠F=20°,‎ ‎∴∠E=∠F=20°,‎ ‎∴∠CDF=∠E+∠F=40°,‎ ‎∵AB∥CE,‎ ‎∴∠B=∠CDF=40°,‎ 故答案为:40°.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 24 .‎ ‎【考点】中点四边形;矩形的性质.‎ ‎【分析】先根据E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF,AE=BE=DG=CG,故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,‎ ‎∴AH=DH=BF=CF=8,AE=BE=DG=CG=3.‎ 在△AEH与△DGH中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△AEH≌△DGH(SAS).‎ 同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,‎ ‎∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 ﹣ .‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义;平行线分线段成比例.‎ ‎【分析】先设点B坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例定理,求得梯形BDCE的上下底边长与高,再根据四边形BDCE的面积求得ab的值,最后计算k的值.‎ ‎【解答】解:设点B坐标为(a,b),则DO=﹣a,BD=b ‎∵AC⊥x轴,BD⊥x轴 ‎∴BD∥AC ‎∵OC=CD ‎∴CE=BD=b,CD=DO=a ‎∵四边形BDCE的面积为2‎ ‎∴(BD+CE)×CD=2,即(b+b)×(﹣a)=2‎ ‎∴ab=﹣‎ 将B(a,b)代入反比例函数y=(k≠0),得 k=ab=﹣‎ 故答案为:﹣‎ ‎ ‎ 二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎7.下面所给几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单几何体的三视图.‎ ‎【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案.‎ ‎【解答】解:由几何体可得:圆锥的俯视图是圆,且有圆心.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表:‎ 人数(人)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 分数(分)‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是(  )‎ A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85‎ ‎【考点】众数;中位数.‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案.‎ ‎【解答】解:在这一组数据中90是出现次数最多的,故众数是90;‎ 排序后处于中间位置的那个数是90,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是90;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是(  )‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 ‎【考点】根的判别式.‎ ‎【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出△=0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根.‎ ‎【解答】解:在方程x2﹣4x+4=0中,‎ ‎△=(﹣4)2﹣4×1×4=0,‎ ‎∴该方程有两个相等的实数根.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.不等式组的解集为(  )‎ A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2‎ ‎【考点】解一元一次不等式组.‎ ‎【分析】先求出每个不等式的解集,再根据口诀:大小小大中间找确定不等式组的解集即可.‎ ‎【解答】解:解不等式x﹣3<1,得:x<4,‎ 解不等式3x+2≤4x,得:x≥2,‎ ‎∴不等式组的解集为:2≤x<4,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.下列运算正确的是(  )‎ A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2‎ ‎【考点】同底数幂的乘法;算术平方根;立方根;完全平方公式.‎ ‎【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项.‎ ‎【解答】解:A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误;‎ B、a2•a4=a6,故错误;‎ C、=3,故错误;‎ D、=﹣2,故正确,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是(  )‎ A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π ‎【考点】弧长的计算;切线的性质.‎ ‎【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A;根据等边三角形的判定定理判断B;根据垂径定理判断C;利用弧长公式计算出的长判断D.‎ ‎【解答】解:∵AB为⊙O的直径,EF切⊙O于点B,‎ ‎∴AB⊥EF,又AB⊥CD,‎ ‎∴EF∥CD,A正确;‎ ‎∵AB⊥弦CD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠COB=2∠A=60°,又OC=OD,‎ ‎∴△COB是等边三角形,B正确;‎ ‎∵AB⊥弦CD,‎ ‎∴CG=DG,C正确;‎ 的长为: =π,D错误,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是(  )‎ A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣=‎ ‎【考点】由实际问题抽象出分式方程.‎ ‎【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,可以列出相应的方程,从而可以得到哪个选项是正确的.‎ ‎【解答】解:由题意可得,‎ ‎﹣=,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:‎ ‎①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF;‎ ‎②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°;‎ ‎③同②证明△EHF≌△DHC即可;‎ ‎④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2.‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,‎ ‎∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形,‎ ‎∴GF=FC,‎ ‎∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,‎ ‎∴EG=DF,故①正确;‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),‎ ‎∴∠HEF=∠HDC,‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;‎ ‎③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;‎ ‎④∵=,‎ ‎∴AE=2BE,‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=GH,∠FHG=90°,‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,‎ 在△EGH和△DFH中,,‎ ‎∴△EGH≌△DFH(SAS),‎ ‎∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形,‎ 过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:‎ 设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,‎ 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,‎ ‎∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 三、综合题:共9题,满分70分 ‎15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎20160﹣|﹣|++2sin45°‎ ‎=1﹣+(3﹣1)﹣1+2×‎ ‎=1﹣+3+‎ ‎=4.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE.‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE,即可得出答案.‎ ‎【解答】证明:∵FC∥AB,‎ ‎∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,‎ 在△ADE和△CFE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADE≌△CFE(AAS),‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)‎ ‎(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;‎ ‎(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;‎ ‎(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.‎ ‎【考点】作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换.‎ ‎【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置,然后顺次连接即可;‎ ‎(2))找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置,然后顺次连接即可;‎ ‎(3)找出A的对称点A′,连接BA′,与x轴交点即为P.‎ ‎【解答】解:(1)如图1所示:‎ ‎(2)如图2所示:‎ ‎(3)找出A的对称点A′(﹣3,﹣4),‎ 连接BA′,与x轴交点即为P;‎ 如图3所示:点P坐标为(2,0).‎ ‎ ‎ ‎18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图;‎ ‎(1)这次抽样调查的样本容量是 50 ,并补全条形图;‎ ‎(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为 8% ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为 28.8 °;‎ ‎(3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数.‎ ‎【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量;求出B等级的人数即可全条形图;‎ ‎(2)用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比;求出C等级所占的百分比,即可求出C等级所对应的圆心角;‎ ‎(3)由扇形统计图可知A等级所占的百分比,进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50人,所以B等级的人数=50﹣16﹣10﹣4=20人,‎ 故答案为:50;‎ 补全条形图如图所示:‎ ‎(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比=×100%=8%;‎ 在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°,‎ 故答案为:8%,28.8;‎ ‎(3)该校九年级学生有1500人,估计其中A等级的学生人数=1500×32%=480人.‎ ‎ ‎ ‎19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.‎ ‎(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果;‎ ‎(2)求出两个数字之和能被3整除的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;概率公式.‎ ‎【分析】先根据题意画树状图,再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率.‎ ‎【解答】解:(1)树状图如下:‎ ‎(2)∵共6种情况,两个数字之和能被3整除的情况数有2种,‎ ‎∴两个数字之和能被3整除的概率为,‎ 即P(两个数字之和能被3整除)=.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度;通过解直角△DCE得到CE的长度,则BC=BE﹣CE.‎ ‎【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.‎ 则DE=BF=CH=10m,‎ 在直角△ADF中,∵AF=80m﹣10m=70m,∠ADF=45°,‎ ‎∴DF=AF=70m.‎ 在直角△CDE中,∵DE=10m,∠DCE=30°,‎ ‎∴CE===10(m),‎ ‎∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7(m).‎ 答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7m.‎ ‎ ‎ ‎21.(列方程(组)及不等式解应用题)‎ 春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.‎ ‎(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?‎ ‎(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.‎ ‎【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用.‎ ‎【分析】(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元,根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出两种商品的单价;‎ ‎(2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件,根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式,解不等式可得出m的取值范围,再设卖完A、B两种商品商场的利润为w,根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上,根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题.‎ ‎【解答】解:(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元,‎ 依题意得:,解得:,‎ 答:甲种商品每件的进价为30元,乙种商品每件的进价为70元.‎ ‎(2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件,‎ 由已知得:m≥4,‎ 解得:m≥80.‎ 设卖完A、B两种商品商场的利润为w,‎ 则w=(40﹣30)m+(90﹣70)=﹣10m+2000,‎ ‎∴当m=80时,w取最大值,最大利润为1200元.‎ 故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件,最大利润为1200元.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)‎ ‎【考点】切线的判定;平行四边形的性质;扇形面积的计算.‎ ‎【分析】(1)欲证明CF是⊙O的切线,只要证明∠CDO=90°,只要证明△COD≌△COA即可.‎ ‎(2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形,∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°,推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD即可解决问题.‎ ‎【解答】(1)证明:如图连接OD.‎ ‎∵四边形OBEC是平行四边形,‎ ‎∴OC∥BE,‎ ‎∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB,‎ ‎∴∠DOC=∠AOC,‎ 在△COD和△COA中,‎ ‎,‎ ‎∴△COD≌△COA,‎ ‎∴∠CAO=∠CDO=90°,‎ ‎∴CF⊥OD,‎ ‎∴CF是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵∠F=30°,∠ODF=90°,‎ ‎∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°,‎ ‎∵OD=OB,‎ ‎∴△OBD是等边三角形,‎ ‎∴∠DBO=60°,‎ ‎∵∠DBO=∠F+∠FDB,‎ ‎∴∠FDB=∠EDC=30°,‎ ‎∵EC∥OB,‎ ‎∴∠E=180°﹣∠OBD=120°,‎ ‎∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°,‎ ‎∴EC=ED=BO=DB,‎ ‎∵EB=4,‎ ‎∴OB=OD═OA=2,‎ 在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°,‎ ‎∴AC=OA•tan60°=2,‎ ‎∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣.‎ ‎ ‎ ‎23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;‎ ‎(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;‎ ‎(3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍.‎ ‎【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),‎ 设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),‎ 把C(0,4)代入:4=﹣2a,‎ a=﹣2,‎ ‎∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4;‎ ‎(2)如图1,设点P(m,﹣2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,‎ ‎∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣2m2+2m+4+4)+(﹣2m2+2m+4)(2﹣m),‎ S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,‎ ‎∵﹣2<0,‎ ‎∴S有最大值,则S大=6;‎ ‎(3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,‎ 理由是:‎ 设直线BC的解析式为:y=kx+b,‎ 把B(2,0)、C(0,4)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4,‎ 设M(a,﹣2a+4),‎ 过A作AE⊥BC,垂足为E,‎ 则AE的解析式为:y=x+,‎ 则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),‎ 设Q(﹣x,0)(x>0),‎ ‎∵AE∥QM,‎ ‎∴△ABE∽△QBM,‎ ‎∴①,‎ 由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣2a+4﹣4)2]②,‎ 由①②得:a1=4(舍),a2=,‎ 当a=时,x=,‎ ‎∴Q(﹣,0).‎