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- 2021-05-10 发布
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2016年云南省昆明市中考数学试卷
一、填空题:每小题3分,共18分
1.﹣4的相反数为 .
2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为 .
3.计算:﹣= .
4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 .
5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 .
6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 .
二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)
7.下面所给几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表:
人数(人)
1
3
4
1
分数(分)
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( )
A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85
9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
10.不等式组的解集为( )
A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2
11.下列运算正确的是( )
A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2
12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是( )
A.EF∥CD B.△COB是等边三角形
C.CG=DG D.的长为π
13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是( )
A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣=
14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:
①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、综合题:共9题,满分70分
15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°.
16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB
求证:AE=CE.
17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图;
(1)这次抽样调查的样本容量是 ,并补全条形图;
(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为 ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为 °;
(3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数.
19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.
(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果;
(2)求出两个数字之和能被3整除的概率.
20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
21.(列方程(组)及不等式解应用题)
春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2016年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:每小题3分,共18分
1.﹣4的相反数为 4 .
【考点】相反数.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0即可求解.
【解答】解:﹣4的相反数是4.
故答案为:4.
2.昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人,将数据67300用科学记数法表示为 6.73×104 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于67300有5位,所以可以确定n=5﹣1=4.
【解答】解:67300=6.73×104,
故答案为:6.73×104.
3.计算:﹣= .
【考点】分式的加减法.
【分析】同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;再分解因式约分计算即可求解.
【解答】解:﹣
=
=
=.
故答案为:.
4.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 40° .
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°,由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°,再由平行线的性质即可求得结论.
【解答】解:∵DE=DF,∠F=20°,
∴∠E=∠F=20°,
∴∠CDF=∠E+∠F=40°,
∵AB∥CE,
∴∠B=∠CDF=40°,
故答案为:40°.
5.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 24 .
【考点】中点四边形;矩形的性质.
【分析】先根据E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF,AE=BE=DG=CG,故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论.
【解答】解:∵E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,
∴AH=DH=BF=CF=8,AE=BE=DG=CG=3.
在△AEH与△DGH中,
∵,
∴△AEH≌△DGH(SAS).
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,
∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24.
故答案为:24.
6.如图,反比例函数y=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为 ﹣ .
【考点】反比例函数系数k的几何意义;平行线分线段成比例.
【分析】先设点B坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例定理,求得梯形BDCE的上下底边长与高,再根据四边形BDCE的面积求得ab的值,最后计算k的值.
【解答】解:设点B坐标为(a,b),则DO=﹣a,BD=b
∵AC⊥x轴,BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC=CD
∴CE=BD=b,CD=DO=a
∵四边形BDCE的面积为2
∴(BD+CE)×CD=2,即(b+b)×(﹣a)=2
∴ab=﹣
将B(a,b)代入反比例函数y=(k≠0),得
k=ab=﹣
故答案为:﹣
二、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)
7.下面所给几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案.
【解答】解:由几何体可得:圆锥的俯视图是圆,且有圆心.
故选:B.
8.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”,他们的得分情况如表:
人数(人)
1
3
4
1
分数(分)
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( )
A.90,90 B.90,85 C.90,87.5 D.85,85
【考点】众数;中位数.
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案.
【解答】解:在这一组数据中90是出现次数最多的,故众数是90;
排序后处于中间位置的那个数是90,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是90;
故选:A.
9.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
【考点】根的判别式.
【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出△=0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根.
【解答】解:在方程x2﹣4x+4=0中,
△=(﹣4)2﹣4×1×4=0,
∴该方程有两个相等的实数根.
故选B.
10.不等式组的解集为( )
A.x≤2 B.x<4 C.2≤x<4 D.x≥2
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】先求出每个不等式的解集,再根据口诀:大小小大中间找确定不等式组的解集即可.
【解答】解:解不等式x﹣3<1,得:x<4,
解不等式3x+2≤4x,得:x≥2,
∴不等式组的解集为:2≤x<4,
故选:C.
11.下列运算正确的是( )
A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8C. =±3 D. =﹣2
【考点】同底数幂的乘法;算术平方根;立方根;完全平方公式.
【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项.
【解答】解:A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误;
B、a2•a4=a6,故错误;
C、=3,故错误;
D、=﹣2,故正确,
故选D.
12.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是( )
A.EF∥CD B.△COB是等边三角形
C.CG=DG D.的长为π
【考点】弧长的计算;切线的性质.
【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A;根据等边三角形的判定定理判断B;根据垂径定理判断C;利用弧长公式计算出的长判断D.
【解答】解:∵AB为⊙O的直径,EF切⊙O于点B,
∴AB⊥EF,又AB⊥CD,
∴EF∥CD,A正确;
∵AB⊥弦CD,
∴=,
∴∠COB=2∠A=60°,又OC=OD,
∴△COB是等边三角形,B正确;
∵AB⊥弦CD,
∴CG=DG,C正确;
的长为: =π,D错误,
故选:D.
13.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时,则所列方程正确的是( )
A.﹣=20 B.﹣=20 C.﹣=D.﹣=
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,可以列出相应的方程,从而可以得到哪个选项是正确的.
【解答】解:由题意可得,
﹣=,
故选C.
14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:
①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF;
②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°;
③同②证明△EHF≌△DHC即可;
④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2.
【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,
∴△CFG为等腰直角三角形,
∴GF=FC,
∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,
∴EG=DF,故①正确;
②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中,,
∴△EHF≌△DHC(SAS),
∴∠HEF=∠HDC,
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;
③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中,,
∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;
④∵=,
∴AE=2BE,
∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,
∴FH=GH,∠FHG=90°,
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,
在△EGH和△DFH中,,
∴△EGH≌△DFH(SAS),
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形,
过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:
设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,
则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,
∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;
故选:D.
三、综合题:共9题,满分70分
15.计算:20160﹣|﹣|++2sin45°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可.
【解答】解:
20160﹣|﹣|++2sin45°
=1﹣+(3﹣1)﹣1+2×
=1﹣+3+
=4.
16.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB
求证:AE=CE.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE,即可得出答案.
【解答】证明:∵FC∥AB,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,
在△ADE和△CFE中,
,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AE=CE.
17.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
【考点】作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换.
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置,然后顺次连接即可;
(2))找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置,然后顺次连接即可;
(3)找出A的对称点A′,连接BA′,与x轴交点即为P.
【解答】解:(1)如图1所示:
(2)如图2所示:
(3)找出A的对称点A′(﹣3,﹣4),
连接BA′,与x轴交点即为P;
如图3所示:点P坐标为(2,0).
18.某中学为了了解九年级学生体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图;
(1)这次抽样调查的样本容量是 50 ,并补全条形图;
(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为 8% ,在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为 28.8 °;
(3)该校九年级学生有1500人,请你估计其中A等级的学生人数.
【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量;求出B等级的人数即可全条形图;
(2)用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比;求出C等级所占的百分比,即可求出C等级所对应的圆心角;
(3)由扇形统计图可知A等级所占的百分比,进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数.
【解答】解:
(1)由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50人,所以B等级的人数=50﹣16﹣10﹣4=20人,
故答案为:50;
补全条形图如图所示:
(2)D等级学生人数占被调查人数的百分比=×100%=8%;
在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°,
故答案为:8%,28.8;
(3)该校九年级学生有1500人,估计其中A等级的学生人数=1500×32%=480人.
19.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.
(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果;
(2)求出两个数字之和能被3整除的概率.
【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【分析】先根据题意画树状图,再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率.
【解答】解:(1)树状图如下:
(2)∵共6种情况,两个数字之和能被3整除的情况数有2种,
∴两个数字之和能被3整除的概率为,
即P(两个数字之和能被3整除)=.
20.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度;通过解直角△DCE得到CE的长度,则BC=BE﹣CE.
【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.
则DE=BF=CH=10m,
在直角△ADF中,∵AF=80m﹣10m=70m,∠ADF=45°,
∴DF=AF=70m.
在直角△CDE中,∵DE=10m,∠DCE=30°,
∴CE===10(m),
∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7(m).
答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7m.
21.(列方程(组)及不等式解应用题)
春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元,根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出两种商品的单价;
(2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件,根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式,解不等式可得出m的取值范围,再设卖完A、B两种商品商场的利润为w,根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上,根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设甲种商品每件的进价为x元,乙种商品每件的进价为y元,
依题意得:,解得:,
答:甲种商品每件的进价为30元,乙种商品每件的进价为70元.
(2)设该商场购进甲种商品m件,则购进乙种商品件,
由已知得:m≥4,
解得:m≥80.
设卖完A、B两种商品商场的利润为w,
则w=(40﹣30)m+(90﹣70)=﹣10m+2000,
∴当m=80时,w取最大值,最大利润为1200元.
故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件,最大利润为1200元.
22.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
【考点】切线的判定;平行四边形的性质;扇形面积的计算.
【分析】(1)欲证明CF是⊙O的切线,只要证明∠CDO=90°,只要证明△COD≌△COA即可.
(2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形,∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°,推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图连接OD.
∵四边形OBEC是平行四边形,
∴OC∥BE,
∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠DOC=∠AOC,
在△COD和△COA中,
,
∴△COD≌△COA,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴CF⊥OD,
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:∵∠F=30°,∠ODF=90°,
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°,
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=60°,
∵∠DBO=∠F+∠FDB,
∴∠FDB=∠EDC=30°,
∵EC∥OB,
∴∠E=180°﹣∠OBD=120°,
∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°,
∴EC=ED=BO=DB,
∵EB=4,
∴OB=OD═OA=2,
在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°,
∴AC=OA•tan60°=2,
∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×2﹣=2﹣.
23.如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;
(3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍.
【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
把C(0,4)代入:4=﹣2a,
a=﹣2,
∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),
∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4;
(2)如图1,设点P(m,﹣2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,
∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣2m2+2m+4+4)+(﹣2m2+2m+4)(2﹣m),
S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,
∵﹣2<0,
∴S有最大值,则S大=6;
(3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,
理由是:
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(2,0)、C(0,4)代入得:,
解得:,
∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4,
设M(a,﹣2a+4),
过A作AE⊥BC,垂足为E,
则AE的解析式为:y=x+,
则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),
设Q(﹣x,0)(x>0),
∵AE∥QM,
∴△ABE∽△QBM,
∴①,
由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣2a+4﹣4)2]②,
由①②得:a1=4(舍),a2=,
当a=时,x=,
∴Q(﹣,0).