2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第八单元 四边形 第28课时 矩形、菱形、正方形 6页

第28课时　矩形、菱形、正方形 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题4分，共24分)‎ ‎1．[2016·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是 (D)‎ A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 图28－1‎ ‎2．[2016·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是‎24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是 (B)‎ A．‎6 m B．‎‎6 m C．‎3 m D．‎‎3 m ‎【解析】　易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝‎6 m.‎ ‎3．[2016·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是 (D)‎ A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD ‎ ‎ 图28－2 　　　　　图28－3‎ ‎4．[2017·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 (C)‎ A．45° B．55°‎ C．60° D．75°‎ ‎【解析】　∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD，‎ 又∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，‎ ‎∴AB＝AE，‎ ‎∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，‎ 6‎ ‎∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，‎ 又∵∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.‎ 图28－4‎ ‎5．[2016·临沂]如图28－4，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 (B)‎ A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE ‎【解析】　因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD綊BC，因为DE＝AD，所以DE綊BC 所以四边形EDBC为平行四边形，‎ A．假若AB＝BE，因为AB＝BE，AD＝DE，BD＝BD，所以△ADB≌△EDB，所以∠BDE＝90°，所以四边形EDBC为矩形；‎ B．假若BE⊥DC，可得四边形EDBC为菱形；‎ C．假若∠ADB＝90°，所以∠EDB＝90°，所以四边形EDBC为矩形；‎ D．假若CE⊥DE，所以∠DEC＝90°，所以四边形EDBC为矩形，故选B.‎ 图28－5‎ ‎6．[2016·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你认为其中错误的是 (B)‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【解析】　此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.‎ 二、填空题(每题4分，共20分)‎ ‎7．[2016·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为‎6 cm和‎8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.‎ 图28－6‎ ‎8．[2017·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．‎ ‎9．[2016·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝__22.5__度．‎ ‎10．[2017·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 6‎ 成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．‎ ‎11．[2017·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．‎ 图28－7‎ 第11题答图 ‎【解析】　如答图，连结BD，DE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴点B与点D关于直线AC对称，‎ ‎∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，‎ ‎∵DE＝BQ＋QE＝5，‎ ‎∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.‎ 三、解答题(共20分)‎ 图28－8‎ ‎12．(10分)[2016·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.‎ ‎(1)求证：AE＝DF；‎ ‎(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．‎ 证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∴AE＝DF；‎ ‎(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：‎ ‎∵DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，‎ ‎∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，‎ ‎∴AF＝DF，‎ 图28－9‎ ‎∴平行四边形AEDF为菱形．‎ ‎13．(10分)[2016·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.‎ ‎(1)求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎(2)连结DE，线段DE与AB 6‎ 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．‎ 解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AD⊥BC，BD＝CD.‎ ‎∵AE∥BC，CE⊥AE，‎ ‎∴四边形ADCE是矩形，‎ ‎∴AD＝CE.‎ 第13题答图 在Rt△ABD与Rt△CAE中，‎ ‎∴△ABD≌△CAE(HL)；‎ ‎(2)DE∥AB，DE＝AB.证明如下：‎ 如答图所示，‎ ‎∵四边形ADCE是矩形，‎ ‎∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥AB，DE＝AB.‎ ‎(20分)‎ 图28－10‎ ‎14．(10分)[2017·扬州]如图28－10，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.‎ ‎(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．‎ 解：(1)DE⊥FG，理由如下：‎ 由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，‎ ‎∴∠BDE＋∠BED＝90°.‎ ‎∴∠GFE＋∠BED＝90°，‎ ‎∴∠FHE＝90°，‎ 即DE⊥FG；‎ ‎(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，‎ ‎∴CB∥GE，CB＝GE.‎ ‎∴四边形CBEG是平行四边形．‎ ‎∵∠ABC＝∠GEF＝90°，‎ ‎∴四边形CBEG是矩形．‎ ‎∵BC＝BE，‎ ‎∴四边形CBEG是正方形．‎ 6‎ ‎15．(10分)[2016·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.‎ ‎(1)求证：四边形EGFH是矩形；‎ ‎(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．‎ 小明的证明思路 由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．‎ 图28－11‎ 解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.‎ ‎∴∠FEH＝∠BEF，‎ ‎∵FH平分∠DFE，‎ ‎∴∠EFH＝∠DFE，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF＋∠DFE＝180°，‎ ‎∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，‎ 又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，‎ ‎∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，‎ 同理可证，∠EGF＝90°，‎ ‎∵EG平分∠AEF，‎ 6‎ ‎∴∠FEG＝∠AEF，‎ ‎∵EH平分∠BEF，‎ ‎∴∠FEH＝∠BEF，‎ ‎∵点A，E，B在同一条直线上．‎ ‎∴∠AEB＝180°，‎ 即∠AEF＋∠BEF＝180°.‎ ‎∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，‎ 即∠GEH＝90°.‎ ‎∴四边形EGFH是矩形；‎ ‎(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.‎ ‎(16分)‎ ‎16．(6分)[2016·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是 (D)‎ A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 ‎17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B‎1C1D1；顺次连结四边形A1B‎1C1D1各边中点，可得四边形A2B‎2C2D2；顺次连结四边形A2B‎2C2D2各边中点，可得四边形A3B‎3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B‎2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 ‎016C2 016D2 016的周长是____．‎ 图28－12‎ 6‎