中考初中数学压轴题有答案 70页

‎2015年1中考初中数学压轴题（有答案）‎ ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标；‎ ‎（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；‎ ‎（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）‎ ‎（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　_________　°；‎ ‎（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；‎ ‎（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．‎ ‎（1）若直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎①求∠CFE的度数；‎ ‎②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；‎ ‎（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．‎ ‎（1）当圆C经过点A时，求CP的长；‎ ‎（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；‎ ‎（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．‎ ‎（1）写出∠AMB的度数；‎ ‎（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．‎ ‎①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；‎ ‎②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）‎ ‎（1）【理解与应用】‎ 如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　_________　．‎ ‎（2）【类比与推理】‎ 如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；‎ ‎（3）【拓展与延伸】‎ 如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；‎ ‎（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；‎ ‎（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•陕西）问题探究 ‎（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；‎ 问题解决 ‎（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．‎ ‎（1）求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎（2）若AB=5，=，求PD的长；‎ ‎（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）‎ ‎　‎ ‎11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：‎ 方案一：直接锯一个半径最大的圆；‎ 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；‎ 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；‎ 方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．‎ ‎（1）写出方案一中圆的半径；‎ ‎（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？‎ ‎（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．‎ ‎①求y关于x的函数解析式；‎ ‎②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．‎ ‎（1）试说明四边形EFCG是矩形；‎ ‎（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，‎ ‎①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；‎ ‎②求点G移动路线的长．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：AC与⊙O相切；‎ ‎（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h ‎（1）理解与应用 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在 三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．‎ ‎（2）类比与推理 边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于　_________　；‎ ‎（3）拓展与延伸 若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•灌南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．‎ ‎　‎ ‎17．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．‎ ‎（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．‎ ‎（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？‎ ‎　‎ ‎18．（2014•江西模拟）如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．‎ ‎（1）当n=136时，α=　_________　，求出α与n的关系式；‎ ‎（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；‎ ‎（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）‎ ‎（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．‎ ‎（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；‎ ‎（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；‎ ‎（3）当t＞8时，是否存在t使得=？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．‎ ‎　‎ ‎21．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．‎ ‎（1）求证：DP∥AB；‎ ‎（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．‎ ‎　‎ ‎22．（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．‎ ‎（1）求证：DF⊥AF．‎ ‎（2）求OG的长．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．‎ ‎（1）求证：PC=PG；‎ ‎（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．‎ ‎（1）求证：点P是线段AC的中点；‎ ‎（2）求sin∠PMC的值．‎ ‎　‎ ‎25．（2013•兰州）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎26．（2013•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）求tan∠ABE的值；‎ ‎（3）若OA=2，求线段AP的长．‎ ‎　‎ ‎27．（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎　‎ ‎28．（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙0的切线．‎ ‎（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．‎ ‎　‎ ‎29．（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．‎ ‎（1）求证：ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）‎ ‎　‎ ‎30．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标；‎ ‎（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；‎ ‎（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．‎ ‎（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．‎ ‎（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．‎ 解答：‎ 解：（1）连接PA，如图1所示．‎ ‎∵PO⊥AD，‎ ‎∴AO=DO．‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴OA=．‎ ‎∵点P坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴OP=1．‎ ‎∴PA==2．‎ ‎∴BP=CP=2．‎ ‎∴B（﹣3，0），C（1，0）．‎ ‎（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．‎ 如图2所示，线段MB、MC即为所求作．‎ 四边形ACMB是矩形．‎ 理由如下：‎ ‎∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，‎ ‎∴四边形ACMB是平行四边形．‎ ‎∵BC是⊙P的直径，‎ ‎∴∠CAB=90°．‎ ‎∴平行四边形ACMB是矩形．‎ 过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．‎ 在△MHP和△AOP中，‎ ‎∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，‎ ‎∴△MHP≌△AOP．‎ ‎∴MH=OA=，PH=PO=1．‎ ‎∴OH=2．‎ ‎∴点M的坐标为（﹣2，）．‎ ‎（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．‎ ‎∵四边形ACMB是矩形，‎ ‎∴∠BMC=90°．‎ ‎∵EG⊥BO，‎ ‎∴∠BGE=90°．‎ ‎∴∠BMC=∠BGE=90°．‎ ‎∵点Q是BE的中点，‎ ‎∴QM=QE=QB=QG．‎ ‎∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．‎ ‎∴∠MQG=2∠MBG．‎ ‎∵∠COA=90°，OC=1，OA=，‎ ‎∴tan∠OCA==．‎ ‎∴∠OCA=60°．‎ ‎∴∠MBC=∠BCA=60°．‎ ‎∴∠MQG=120°．‎ ‎∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）‎ ‎（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　105　°；‎ ‎（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；‎ ‎（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；‎ ‎（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；‎ ‎（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，‎ ‎∴∠OAD=45°，‎ ‎∵AB=4cm，AD=4cm，‎ ‎∴CD=4cm，‎ ‎∴tan∠DAC===，‎ ‎∴∠DAC=60°，‎ ‎∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，‎ 故答案为：105；‎ ‎（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，‎ 连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，‎ 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，‎ ‎∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，‎ 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，‎ ‎∴A1E==，‎ ‎∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，‎ ‎∴t﹣2=，‎ ‎∴t=+2，‎ ‎∴OO1=3t=2+6；‎ ‎（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，‎ 如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，‎ 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，‎ ‎∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，‎ 由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，‎ ‎∴∠O2A2F=60°，‎ 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，‎ ‎∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，‎ ‎∴4t1+﹣3t1=2，‎ ‎∴t1=2﹣，‎ ‎②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，‎ 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，‎ 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，‎ ‎∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），‎ 解得：t2=2+2，‎ 综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．‎ ‎（1）若直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎①求∠CFE的度数；‎ ‎②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；‎ ‎（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，‎ ‎（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，‎ ‎（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出点P的坐标，再求出OP所在的直线解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）①如图，‎ ‎∵∠COE=90°‎ ‎∴∠CFE=∠COE=45°，（圆周角定理）‎ ‎②方法一：‎ 如图，作OM⊥AB点M，连接OF，‎ ‎∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，‎ ‎∴OM所在的直线函数式为：y=x，‎ ‎∴交点M（b，b）‎ ‎∴OM2=（b）2+（b）2，‎ ‎∵OF=4，‎ ‎∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，‎ ‎∵FM=FG，‎ ‎∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），‎ ‎∵直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎∴4≤b＜5，‎ ‎∴FG2=64×（1﹣b2） （4≤b＜5）‎ 方法二：‎ ‎①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，‎ ‎∵直线的函数式为：y=﹣x+b，‎ ‎∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（b，0），‎ ‎∴AB==b，‎ ‎∴sin∠BAO===，‎ ‎∴sin∠MAO===，‎ ‎∴OM=b，‎ ‎∴在RT△OMF中，‎ FM==‎ ‎∵FG=2FM，‎ ‎∴FG2=4FM2=4（42﹣b2）=64﹣﹣b2=64×（1﹣b2），‎ ‎∵直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎∴4≤b＜5，‎ ‎∴FG2=64×（1﹣b2） （4≤b＜5）‎ ‎（2）如图，‎ 当b=5时，直线与圆相切，‎ ‎∵在直角坐标系中，∠COE=90°，‎ ‎∴∠CPE=∠ODC=45°，‎ ‎∴存在点P，使∠CPE=45°，‎ 连接OP，‎ ‎∵P是切点，‎ ‎∴OP⊥AB，‎ ‎∴△APO∽△AOB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OP=r=4，OB=5，AO=，‎ ‎∴=即AP=，‎ ‎∵AB===，‎ 作PM⊥AO交AO于点M，设P的坐标为（x，y），‎ ‎∵△AMP∽△AOB，‎ ‎∴=‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴x=OM===‎ ‎∴点P的坐标为（，）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，利用三角形相似求出点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．‎ ‎（1）当圆C经过点A时，求CP的长；‎ ‎（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；‎ ‎（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；‎ ‎（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；‎ ‎（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，‎ 当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，‎ ‎∴BH=AB•cosB=4，‎ ‎∴AH=3，CH=4，‎ ‎∴AC==5，‎ ‎∴此时CP=r=5；‎ ‎（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，‎ ‎∵CE=CP，‎ ‎∴四边形APCE是菱形，‎ 连接AC、EP，则AC⊥EP，‎ ‎∴AM=CM=，‎ 由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，‎ ‎∴CP=CE==，‎ ‎∴EF=2=；‎ ‎（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，‎ ‎∵=cosB，AB=5，‎ ‎∴BQ=4，AN=QC=BC﹣BQ=4．‎ ‎∵cosB=，‎ ‎∴∠B＜45°，‎ ‎∵∠BCG＜90°，‎ ‎∴∠BGC＞45°，‎ ‎∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，‎ 又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，‎ ‎∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．‎ 即∠AEG≠∠GAE ‎∴只能∠AGE=∠AEG，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△GAE∽△GBC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，‎ ‎∴CE===．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．‎ ‎（1）写出∠AMB的度数；‎ ‎（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．‎ ‎①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；‎ ‎②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；‎ ‎（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；‎ ‎②由OD=2，Q的纵坐标为t，即可得S=，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，‎ ‎∵点M（，），‎ ‎∴OH=MH=，‎ ‎∴∠MOD=45°，‎ ‎∵∠AOD=90°，‎ ‎∴∠AOM=45°，‎ ‎∵OM=AM，‎ ‎∴∠OAM=∠AOM=45°，‎ ‎∴∠AMO=90°，‎ ‎∴∠AMB=90°；‎ ‎（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，‎ ‎∴OM==2，OD=2OH=2，‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，‎ ‎∴OQ=5，‎ ‎∵∠OQE=90°，∠POE=45°，‎ ‎∴OE=5，‎ ‎∴E点坐标为（5，0）‎ ‎②∵OD=2，Q的纵坐标为t，‎ ‎∴S=．‎ 如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，‎ ‎∵OP=4，OP•OQ=20，‎ ‎∴OQ=5，‎ ‎∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，‎ ‎∴t=QF=，‎ 此时S=；‎ 如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，‎ ‎∴OP=2，‎ ‎∵OP•OQ=20，‎ ‎∴t=OQ=5，‎ 此时S=；‎ ‎∴S的取值范围为5≤S≤10．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）‎ ‎（1）【理解与应用】‎ 如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　　．‎ ‎（2）【类比与推理】‎ 如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；‎ ‎（3）【拓展与延伸】‎ 如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．‎ ‎（2）易证：OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．‎ ‎（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．‎ 解答：‎ 解：（1）如图2，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．‎ ‎∵AB=BC=2，‎ ‎∴AC=2．‎ ‎∴OA=．‎ ‎∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，‎ ‎∴PE+PF=OA=．‎ ‎（2）如图3，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．‎ ‎∵AB=4，AD=3，‎ ‎∴BD=5．‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=．‎ ‎∵PE∥OB，PF∥AO，‎ ‎∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．‎ ‎∴，．‎ ‎∴==1．‎ ‎∴+=1．‎ ‎∴EP+FP=．‎ ‎∴PE+PF的值为．‎ ‎（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．‎ 理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4‎ ‎∵DG与⊙O相切，‎ ‎∴∠GDA=∠ABD．‎ ‎∵∠ADG=30°，‎ ‎∴∠ABD=30°．‎ ‎∴∠AOD=2∠ABD=60°．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴△AOD是等边三角形．‎ ‎∴AD=OA=4．‎ 同理可得：BC=4．‎ ‎∵PE∥BC，PF∥AD，‎ ‎∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．‎ ‎∴，．‎ ‎∴==1．‎ ‎∴=1．‎ ‎∴PE+PF=4．‎ ‎∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题；存在型；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．‎ ‎（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．‎ ‎（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．‎ ‎∵PH∥OA，‎ ‎∴△CHP∽△COA．‎ ‎∴==．‎ ‎∵点P是AC中点，‎ ‎∴CP=CA．‎ ‎∴HP=OA，CH=CO．‎ ‎∵A（3，0）、C（0，4），‎ ‎∴OA=3，OC=4．‎ ‎∴HP=，CH=2．‎ ‎∴OH=2．‎ ‎∵PH∥OA，∠COA=90°，‎ ‎∴∠CHP=∠COA=90°．‎ ‎∴点P的坐标为（，2）．‎ 设直线DP的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线DP的解析式为y=x﹣5．‎ ‎（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，‎ ‎∵△DOM∽△ABC，‎ ‎∴=．‎ ‎∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），‎ ‎∴BC=3，AB=4，OD=5．‎ ‎∴=．‎ ‎∴OM=．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）‎ ‎②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，‎ ‎∵△DOM∽△CBA，‎ ‎∴=．‎ ‎∵BC=3，AB=4，OD=5，‎ ‎∴=．‎ ‎∴OM=．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ 综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．‎ ‎（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，‎ ‎∴AC=5．‎ ‎∴PE=PF=AC=．‎ ‎∵DE、DF都与⊙P相切，‎ ‎∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．‎ ‎∴S△PED=S△PFD．‎ ‎∴S四边形DEPF=2S△PED ‎=2×PE•DE ‎=PE•DE ‎=DE．‎ ‎∵∠DEP=90°，‎ ‎∴DE2=DP2﹣PE2．‎ ‎=DP2﹣．‎ 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：‎ 当DP⊥AC时，DP最短，‎ 此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．‎ ‎∵DP⊥AC，‎ ‎∴∠DPC=90°．‎ ‎∴∠AOC=∠DPC．‎ ‎∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，‎ ‎∴△AOC∽△DPC．‎ ‎∴=．‎ ‎∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，‎ ‎∴=．‎ ‎∴DP=．‎ ‎∴DE2=DP2﹣‎ ‎=（）2﹣‎ ‎=．‎ ‎∴DE=，‎ ‎∴S四边形DEPF=DE ‎=．‎ ‎∴四边形DEPF面积的最小值为．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；‎ ‎（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；‎ ‎（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；‎ ‎（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，‎ ‎（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．‎ 解答：‎ 证明：（1）如图，连接PM，PN，‎ ‎∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，‎ ‎∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，‎ ‎∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，‎ ‎∵PE⊥PF，‎ ‎∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，‎ 在△PMF和△PNE中，‎ ‎，‎ ‎∴△PMF≌△PNE（ASA），‎ ‎∴PE=PF；‎ ‎（2）解：分两种情况：‎ ‎①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，‎ 由（1）得△PMF≌△PNE，‎ ‎∴NE=MF=t，PM=PN=1，‎ ‎∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，‎ ‎∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，‎ ‎∴b=2+a，‎ ‎②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，‎ 同理可证△PMF≌△PNE，‎ ‎∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，‎ ‎∴b+a=1+t+1﹣t=2，‎ ‎∴b=2﹣a．‎ 综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2﹣a；‎ ‎（3）存在；‎ ‎①如图3，当1＜t＜2时，‎ ‎∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），‎ ‎∴F′（1﹣t，0）‎ ‎∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，‎ ‎∴Q（1﹣t，0）‎ ‎∴OQ=1﹣t，‎ 由（1）得△PMF≌△PNE ‎ ‎∴NE=MF=t，‎ ‎∴OE=t﹣1‎ 当△OEQ∽△MPF ‎∴=‎ ‎∴=，‎ 解得，t=，‎ 当△OEQ∽△MFP时，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ 解得，t=，‎ ‎②如图4，当t＞2时，‎ ‎∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，‎ ‎∴F′（1﹣t，0）‎ ‎∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，‎ ‎∴Q（1﹣t，0）‎ ‎∴OQ=t﹣1，‎ 由（1）得△PMF≌△PNE ‎ ‎∴NE=MF=t，‎ ‎∴OE=t﹣1‎ 当△OEQ∽△MPF ‎∴=‎ ‎∴=，‎ 无解，‎ 当△OEQ∽△MFP时，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ 解得，t=2+，t=2﹣（舍去）‎ 所以当t=，t=，t=2+时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．‎ 点评：‎ 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•陕西）问题探究 ‎（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；‎ 问题解决 ‎（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；存在型．‎ 分析：‎ ‎（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．‎ ‎（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．‎ ‎（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．‎ 解答：‎ 解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，‎ 则PA=PD．‎ ‎∴△PAD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=DC，∠B=∠C=90°．‎ ‎∵PA=PD，AB=DC，‎ ‎∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．‎ ‎∴BP=CP．‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴BP=CP=2．‎ ‎②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，‎ 则DA=DP′．‎ ‎∴△P′AD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．‎ ‎∵AB=3，BC=4，‎ ‎∴DC=3，DP′=4．‎ ‎∴CP′==．‎ ‎∴BP′=4﹣．‎ ‎③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，‎ 则AD=AP″．‎ ‎∴△P″AD是等腰三角形．‎ 同理可得：BP″=．‎ 综上所述：在等腰三角形△ADP中，‎ 若PA=PD，则BP=2；‎ 若DP=DA，则BP=4﹣；‎ 若AP=AD，则BP=．‎ ‎（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，EF=BC．‎ ‎∵BC=12，‎ ‎∴EF=6．‎ 以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．‎ ‎∵AD⊥BC，AD=6，‎ ‎∴EF与BC之间的距离为3．‎ ‎∴OQ=3‎ ‎∴OQ=OE=3．‎ ‎∴⊙O与BC相切，切点为Q．‎ ‎∵EF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠EQF=90°．‎ 过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．‎ ‎∵EG⊥BC，OQ⊥BC，‎ ‎∴EG∥OQ．‎ ‎∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，‎ ‎∴四边形OEGQ是正方形．‎ ‎∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．‎ ‎∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，‎ ‎∴BG=．‎ ‎∴BQ=GQ+BG=3+．‎ ‎∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．‎ ‎（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．‎ 理由如下：‎ 以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，‎ 作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．‎ 设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，‎ 过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．‎ 则⊙O是△ABG的外接圆，‎ ‎∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，‎ ‎∴AP=PB=AB．‎ ‎∵AB=270，‎ ‎∴AP=135．‎ ‎∵ED=285，‎ ‎∴OH=285﹣135=150．‎ ‎∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，‎ ‎∴∠BAK=∠GAK=30°．‎ ‎∴OP=AP•tan30°‎ ‎=135×‎ ‎=45．‎ ‎∴OA=2OP=90．‎ ‎∴OH＜OA．‎ ‎∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．‎ ‎∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．‎ ‎∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，‎ ‎∴HM=‎ ‎=‎ ‎=30．‎ ‎∵AE=400，OP=45，‎ ‎∴DH=400﹣45．‎ 若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．‎ ‎∵400﹣45+30＞340，‎ ‎∴DM＞CD．‎ ‎∴点M不在线段CD上，应舍去．‎ 若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．‎ ‎∵400﹣45﹣30＜340，‎ ‎∴DM＜CD．‎ ‎∴点M在线段CD上．‎ 综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，‎ 此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．‎ 点评：‎ 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．‎ ‎（1）求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎（2）若AB=5，=，求PD的长；‎ ‎（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．‎ ‎（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．‎ ‎（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵，‎ ‎∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC．‎ 在△PAC和△PDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△PAC∽△PDF．‎ ‎（2）解：如图1，连接PO，则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵AC=2BC，‎ ‎∴AB2=BC2+AC2=5BC2，‎ ‎∵AB=5，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴CE=AC•sin∠BAC=AC•=2•=2，‎ ‎ AE=AC•cos∠BAC=AC•=2•=4，‎ ‎∵△AEF为等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=AE=4，‎ ‎∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．‎ ‎∵△APO为等腰直角三角形，AO=•AB=，‎ ‎∴AP=．‎ ‎∵△PDF∽△PAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴PD=．‎ ‎（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，‎ ‎∵HC⊥CB，GH⊥GB，‎ ‎∴C、G都在以HB为直径的圆上，‎ ‎∴∠HBG=∠ACQ，‎ ‎∵C、D关于AB对称，G在AB上，‎ ‎∴Q、P关于AB对称，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠PCA=∠ACQ，‎ ‎∴∠HBG=∠PCA．‎ ‎∵△PAC∽△PDF，‎ ‎∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，‎ ‎∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．‎ ‎∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG==，‎ ‎∴y==x．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：‎ 方案一：直接锯一个半径最大的圆；‎ 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；‎ 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；‎ 方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．‎ ‎（1）写出方案一中圆的半径；‎ ‎（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？‎ ‎（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．‎ ‎①求y关于x的函数解析式；‎ ‎②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．‎ ‎（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．‎ ‎（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．‎ ‎②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．‎ 解答：‎ 解：（1）方案一中的最大半径为1．‎ 分析如下：‎ 因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1；‎ ‎（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．‎ 方案二：‎ 设半径为r，‎ 在Rt△O1O2E中，‎ ‎∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO2﹣CO1=3﹣2r，‎ ‎∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，‎ 解得 r=．‎ 方案三：‎ 设半径为r，‎ 在△AOM和△OFN中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOM∽△OFN，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得 r=．‎ 比较知，方案三半径较大；‎ ‎（3）‎ ‎①∵EC=x，‎ ‎∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．‎ 类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．‎ a．当3﹣x＜2+x时，即当1＞x＞时，y=（3﹣x）；‎ b．当3﹣x=2+x时，即当x=时，y=（3﹣）=；‎ c．当3﹣x＞2+x时，即当0＜x＜时，y=（2+x）．‎ ‎②当x＞时，y=（3﹣x）＜（3﹣）=；‎ 当x=时，y=（3﹣）=；‎ 当x＜时，y=（2+x）＜（2+）=，‎ ‎∴方案四中，当x=时，y最大为．‎ ‎∵1＜＜＜，‎ ‎∴方案四时可取的圆桌面积最大．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．‎ ‎（1）试说明四边形EFCG是矩形；‎ ‎（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，‎ ‎①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；‎ ‎②求点G移动路线的长．‎ 考点：‎ 圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；存在型．‎ 分析：‎ ‎（1）只要证到三个内角等于90°即可．‎ ‎（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形EFCG=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形EFCG的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：如图1，‎ ‎∵CE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠CFE=∠CGE=90°．‎ ‎∵EG⊥EF，‎ ‎∴∠FEG=90°．‎ ‎∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．‎ ‎∴四边形EFCG是矩形．‎ ‎（2）①存在．‎ 连接OD，如图2①，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠ADC=90°．‎ ‎∵点O是CE的中点，‎ ‎∴OD=OC．‎ ‎∴点D在⊙O上．‎ ‎∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，‎ ‎∴△CFE∽△DAB．‎ ‎∴=（）2．‎ ‎∵AD=4，AB=3，‎ ‎∴BD=5，‎ S△CFE=（）2•S△DAB ‎=××3×4‎ ‎=．‎ ‎∴S矩形EFCG=2S△CFE ‎=．‎ ‎∵四边形EFCG是矩形，‎ ‎∴FC∥EG．‎ ‎∴∠FCE=∠CEG．‎ ‎∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，‎ ‎∴∠GDC=∠FDE．‎ ‎∵∠FDE+∠CDB=90°，‎ ‎∴∠GDC+∠CDB=90°．‎ ‎∴∠GDB=90°‎ Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．‎ 此时，CF=CB=4．‎ Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，‎ 如图2②所示，‎ 此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．‎ Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，‎ 如图2③所示．‎ S△BCD=BC•CD=BD•CF ‎∴4×3=5×CF ‎∴CF=．‎ ‎∴≤CF≤4．‎ ‎∵S矩形EFCG=，‎ ‎∴×（）2≤S矩形EFCG≤×42．‎ ‎∴≤S矩形EFCG≤12．‎ ‎∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．‎ ‎②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，‎ ‎∴点G的移动路线是线段DG″．‎ ‎∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，‎ ‎∴△DCG″∽△DAB．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴DG″=．‎ ‎∴点G移动路线的长为．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：AC与⊙O相切；‎ ‎（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．‎ 考点：‎ 切线的判定与性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；‎ ‎（2）根据sinC=求出AB=BC=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，得出sinA=sinC=，根据OE⊥AC，得出sinA===，即可求出半径．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OE，‎ ‎∵AB=BC且D是AC中点，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵BE平分∠ABD，‎ ‎∴∠ABE=∠DBE，‎ ‎∵OB=OE ‎∴∠OBE=∠OEB，‎ ‎∴∠OEB=∠DBE，‎ ‎∴OE∥BD，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∵OE为⊙O半径，‎ ‎∴AC与⊙O相切．‎ ‎（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，‎ ‎∴BC=10，‎ ‎∴AB=BC=10，‎ 设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠C=∠A，‎ ‎∴sinA=sinC=，‎ ‎∵AC与⊙O相切于点E，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∴sinA===，‎ ‎∴r=，‎ 答：⊙O的半径是．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h ‎（1）理解与应用 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在 三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．‎ ‎（2）类比与推理 边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于　4　；‎ ‎（3）拓展与延伸 若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．‎ 考点：‎ 正多边形和圆；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）由条件可以求出边长为2的等边三角形的高为，连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，而这几个三角形的底相等，故化简后可得出高的关系．‎ ‎（2）如图正方形过正方形内的任一点P向四边做垂线就可以求出到正方形四边的距离和为正方形边长的2倍，从而得出结论．‎ ‎（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长2为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n个三角形，以边长为底，以r1、r2、…、rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1+r2+…+rn为定值．‎ 解答：‎ 解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ ‎∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得 ‎∴AD=‎ ‎∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC．‎ ‎∴AB•r1+BC•r2+AC•r3=BC×AD，‎ ‎∵BC=AC=AB，‎ ‎∴r1+r2+r3=AD．‎ ‎∴r1+r2+r3=‎ ‎（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．‎ ‎∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，‎ ‎∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，‎ ‎∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，‎ ‎∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．‎ 故答案为4．‎ ‎（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，‎ ‎∴S正n边形=×2n×r．r=，‎ ‎∵S正n边形=×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，‎ ‎∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn=×n，‎ ‎∴r1+r2+…+rn=nr=（为定值）．‎ 点评：‎ 本题主要考查 了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质及利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；压轴题．‎ 分析：‎ 要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，AD，求证∠ODE=90°即可．‎ 解答：‎ 证明：连接AD、DO；‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°．‎ ‎∵E是AC的中点，‎ ‎∴DE=AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），‎ ‎∴∠EAD=∠EDA．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠ADO，‎ ‎∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90°．‎ ‎∴OD⊥DE．‎ DE是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•灌南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由半径OA=OC，根据等边对等角得到∠OCA=∠OAC，又根据三角形的内角和定理得到三角形AOC三个内角和等于180°，等量代换得∠AOC+2∠OCA=180°，在等式两边同时2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD与∠OCA相加为90°，可得∠DCO为90°，又OC为半径，根据切线的性质可得CD为圆O的切线；‎ ‎（2）过A作AE垂直于OC，交OC于点E，再由（1）得到DC与CO垂直，且AD垂直于CD，根据垂直定义得到四边形ADCE三个角为直角，可得此四边形为矩形，根据矩形的对边相等可得AD=CE，由AD的长得到CE的长，再由直径AB的长求出半径OA的长，在直角三角形AOE中，由OA及OE的长，利用勾股定理求出AE的长，由AE及CE的长，利用勾股定理即可求出AC的长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠OAC，‎ ‎∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，‎ ‎∴∠AOC+2∠OCA=180°，‎ ‎∴∠AOC+∠OCA=90°，‎ ‎∵∠ACD=∠AOC，‎ ‎∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，‎ 又∵OC是半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线； …（3分）‎ ‎（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，‎ 由（1）得∠DCO=90°，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠D=90°，‎ ‎∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，‎ ‎∴CE=AD=2，…（4分）‎ ‎∵AB是直径，且AB=10，‎ ‎∴OA=OC=5，‎ ‎∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，‎ ‎∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，‎ 根据勾股定理得：AE==4，…（5分）‎ ‎∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，‎ 根据勾股定理得：AC==2．…（6分）‎ 点评：‎ 此题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及切线的判定与性质，利用了转化的思想，证明切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．‎ ‎　‎ ‎17．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．‎ ‎（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．‎ ‎（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）通过相似三角形△BDE∽△BAC的对应边成比例得到=，把相关线段的长度代入并整理得到y=5﹣x（0＜x≤）；‎ ‎（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD．通过相似三角形△BFD∽△BGA的对应边成比例得到=．DF=6﹣BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相关线段的长度代入便可以求得BD的长度；‎ ‎（3）分类讨论：⊙D与⊙E相外切和内切两种情况．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如图2，当⊙D与⊙E相外切时．AE+CD=DE=BD；如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD﹣AE=DE=BD．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，‎ ‎∴△BDE∽△BAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，‎ ‎∴=，即y=5﹣x．‎ ‎∵0＜x≤6，且0≤y≤5，‎ ‎∴0＜x≤．‎ 综上所述，y关于x的函数关系式及其定义域为：y=5﹣x（0＜x≤）；‎ ‎（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD，则DF=DC，∠BFD=90°．‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA=90°．‎ ‎∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，‎ ‎∴△BFD∽△BGA，‎ ‎∴=．‎ 又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC ‎∴BG=BC=3，AG===4，‎ ‎∴=，解得BD=；‎ ‎（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，‎ ‎∴=，即==1，‎ ‎∴BD=DE．‎ 如图2，当⊙D与⊙E相外切时．‎ AE+CD=DE=BD，‎ ‎∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5﹣x，‎ ‎∴5﹣x+6﹣x=x，‎ 解得，x=，符合0＜x≤，‎ ‎∴BD的长度为．‎ 如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD﹣AE=DE=BD，‎ ‎∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是y=5﹣x，‎ ‎∴6﹣x﹣5+x=x，‎ 解得，x=，符合0＜x≤，‎ ‎∴BD的长度为．‎ 综上所述，BD的长度是或．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的综合题．其中涉及到了相切两圆的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征．遇到动点问题，需要对动点的位置进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•江西模拟）如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．‎ ‎（1）当n=136时，α=　22°　，求出α与n的关系式；‎ ‎（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；‎ ‎（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）‎ ‎（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；圆周角定理；切线长定理；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由∠AOP=136°可求出∠POB，进而求出∠PAB，用同样的方法就可求出α与n的关系．‎ ‎（2）运用切线长定理即可解决问题．‎ ‎（3）先考虑各种临界位置下α的值，就能得出点F分别在线段CD上、CD的延长线上、DC的延长线上时对应α的取值范围．‎ ‎（4）分点E在线段BC上和点E在线段BC的延长线上两种情况进行讨论，利用等边三角形和直角三角形的有关性质即可解决问题．‎ 解答：‎ 解：（1）连接OP，如图1，‎ 由题可知：∠AOP=136°．‎ ‎∴∠POB=44°．‎ ‎∴∠PAB=22°．‎ ‎∵∠AOP=n°，‎ ‎∴∠POB=180°﹣n°．‎ ‎∴∠PAB=α=∠POB=（180°﹣n°）=90°﹣n°．‎ 故答案为：22°，‎ α与n的关系式α=90°﹣n°．‎ ‎（2）EB=EP．‎ 理由如下：‎ 如图1，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴EB与半圆O相切．‎ 又∵EP与半圆O相切，‎ ‎∴由切线长定理得：EB=EP．‎ ‎（3）①如图2，此时点F与点D重合，连接DO．‎ 由切线长定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．‎ ‎∴DO⊥AP．‎ ‎∴∠DAP=90°﹣∠ADO=∠DOA．‎ ‎∵∠DAO=90°，AD=3，A0=2，‎ ‎∴tan∠DOA===1.5．‎ ‎∵tan56.3°≈1.5，‎ ‎∴∠DOA=56.3°．‎ ‎∴∠DAP=∠DOA=56.3°．‎ ‎∴α=90°﹣56.3°=33.7°．‎ ‎②如图3，当∠POB=90°时，显然过点P的切线与CD平行，‎ 此时，α=45°．‎ ‎③如图4，此时点E与点C重合．同①可得：α=56.3°．‎ 结合以上临界位置可得：‎ 当点F在线段CD上时，0°＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；‎ 当点F在线段CD的延长线上时，33.7°＜α＜45°；‎ 当点F在线段DC的延长线上时，45°＜α＜56.3°．‎ ‎（4）存在△ABP与△CEF相似的情况．‎ ‎①当点E在BC上时，如图5所示，‎ 若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠CEF．‎ ‎∵EF与半圆O相切，‎ ‎∴∠OPE=90°．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴∠OPE=∠ABC=90°‎ ‎∵OP=OB，‎ ‎∴∠OPB=∠OBP．‎ ‎∴∠EPB=∠EBP．‎ ‎∴∠CEF=2∠EBP．‎ ‎∴∠ABP=2∠EBP．‎ ‎∵∠ABP+∠EBP=90°，‎ ‎∴∠ABP=60°．‎ ‎∴∠AOP=2∠ABP=120°．‎ ‎∴n=120°．‎ 此时，∠PAB=∠EPB=∠EBP=30°．‎ 过点E作EH⊥BP，垂足为H．‎ ‎∵EP=EB，EH⊥BP ‎∴PH=BH=PB=×2=1．‎ ‎∴cos∠HBE===．‎ ‎∴BE=．‎ ‎∴CE=3﹣．‎ ‎∵∠CEF=∠ABP=60°，‎ ‎∴∠CFE=30°，‎ ‎∴EF=2CE=6﹣．‎ ‎②当点E在BC的延长线上时，如图6所示，‎ 若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠EFC．‎ ‎∴∠E=90°﹣∠EFC=90°﹣∠ABP=∠EBP．‎ ‎∵EB=EP，‎ ‎∴∠EPB=∠EBP．‎ ‎∴∠EPB=∠EBP=∠E．‎ ‎∴△EPB是等边三角形．‎ ‎∴∠EPB=∠EBP=60°．‎ ‎∴∠OPB=∠OBP=30°．‎ ‎∴∠AOP=60°．‎ ‎∴n=60°．‎ ‎∵AB=4，∠PBA=30°，‎ ‎∴AP=2，PB=2．‎ ‎∴EB=PB=2．‎ ‎∴EC=2﹣3．‎ ‎∵∠EFC=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴EF=2EC=4﹣6．‎ 综上所述：△ABP与△CEF相似时，n=60°，EF=4﹣6或n=120°，EF=6﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、圆周角定理、切线长定理、锐角三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，考查了用临界值法求α 的范围，综合性比较强 ‎　‎ ‎19．（2014•广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．‎ ‎（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；‎ ‎（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；‎ ‎（3）当t＞8时，是否存在t使得=？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 圆的综合题；二次函数的性质；二次函数的最值；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OM，如图1，易证△AMO∽△ABC，从而得到AM=OM=4．当t=4时，AP=4=AM，从而可以证到△MAE≌△PAE，则有EM=EP，∠AEM=∠AEP，从而有∠MEF=∠PEF，就可证到△MEF≌△PEF．‎ ‎（2）连接DG，如图2，由勾股定理可求出AG=8．易证四边形ACGD是平行四边形，从而可求出DH=HC=4，AH=GH=4．由AP=t，AQ=t，AD=8，AH=4可推出△PAQ∽△DAH，从而有∠AQP=∠AHD，则有PQ∥DC．‎ ‎（3）过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．由条件可得到8＜t≤16．易证△HTQ∽△HCG，从而有HT=﹣4，QT=t﹣8．进而可得到PT==．根据勾股定理可得PQ2=（t﹣）2+．利用二次函数的性质，由8＜t≤16可得≤PQ≤8．由EF=8得EF2+16=64+16．若=，可得PQ=4+，从而得到11＜PQ＜16．与“≤PQ≤8”矛盾，故当t＞8时，不存在t使得=．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：连接OM，如图1，‎ 当t=4时，AP=1×4=4．‎ ‎∵EF为直径的半圆切AB于M，‎ ‎∴OM⊥AB，即∠AMO=90°．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，AO=AC．‎ ‎∴∠AMO=∠ABC．‎ ‎∴OM∥BC．‎ ‎∴△AMO∽△ABC．‎ ‎∴==．‎ ‎∴AM=AB=4，OM=BC=4．‎ ‎∴AM=AP．‎ 在△MAE和△PAE中，‎ ‎．‎ ‎∴△MAE≌△PAE．‎ ‎∴EM=EP，∠AEM=∠AEP．‎ ‎∴∠MEF=∠PEF．‎ 在△MEF和△PEF中，‎ ‎．‎ ‎∴△MEF≌△PEF．‎ ‎（2）当0≤t≤8时，PQ∥CD．‎ 证明：∵AP=t≤8，‎ ‎∴点P在线段AD上，如图2．‎ 连接DG，‎ ‎∵AB=8，BG=16，∠ABG=90°，‎ ‎∴AG==8．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，C为BG的中点，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC=CG．‎ ‎∴AD∥CG，AD=CG．‎ ‎∴四边形ACGD是平行四边形．‎ ‎∴DH=HC=DC=4，AH=GH=AG=4．‎ ‎∵AP=t，AQ=t，AD=8，AH=4，‎ ‎∴==．‎ ‎∵∠PAQ=∠DAH，‎ ‎∴△PAQ∽△DAH．‎ ‎∴∠AQP=∠AHD．‎ ‎∴PQ∥DC．‎ ‎（3）当t＞8时，不存在t使得=．‎ 理由如下：‎ ‎∵点P到达终点所用时间为=24秒，点Q到达终点所用时间为=16秒，‎ ‎∴8＜t≤16．‎ 此时点P在DC上，点Q在HG上．‎ 过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．‎ ‎∴∠HTQ=90°=∠HCG．‎ ‎∴QT∥CG．‎ ‎∴△HTQ∽△HCG．‎ ‎∴==．‎ ‎∵HC=4，CG=8，HG=4，HQ=t﹣4，‎ ‎∴HT=﹣4，QT=t﹣8．‎ ‎∴DT=DH+HT=4+﹣4=．‎ ‎∵DP=t﹣8，‎ ‎∴PT==．‎ ‎∴PQ2=PT2+QT2=（8﹣）2+（t﹣8）2‎ ‎=t2﹣24t+128‎ ‎=（t﹣）2+．‎ ‎∵8＜t≤16，‎ ‎∴当t=时，PQ2取最小值，最小值为．‎ 此时PQ=．‎ 当t=8时，PQ2=16，则PQ=4；‎ 当t=16时，PQ2=64，则PQ=8．‎ ‎∴≤PQ≤8．‎ ‎∵EF=20M=8，‎ ‎∴EF2+16=64+16．‎ 若=，‎ 则PQ=×（64+16）=4+．‎ ‎∵2＜＜3，∴8＜4＜12．‎ ‎∵3＜＜4，‎ ‎∴11＜4+＜16．‎ ‎∴11＜PQ＜16．‎ 与“≤PQ≤8”矛盾，‎ 所以当t＞8时，不存在t使得=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数的最值、平行线的判定、勾股定理等知识，综合性非常强，难度比较大，而根据t的范围利用二次函数的性质确定PQ的范围是解决第（3）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．‎ 考点：‎ 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切线的性质得出OC⊥CD ‎，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；‎ ‎（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到，求出AO=，即⊙O的半径为；解法二：如图2②，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到，求出AB=，则⊙O的半径为．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠ACO=∠CAO．‎ ‎∵CD切⊙O于C，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ 又∵AD⊥CD，‎ ‎∴AD∥CO，‎ ‎∴∠DAC=∠ACO，‎ ‎∴∠DAC=∠CAO，‎ 即AC平分∠BAD；‎ ‎（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．‎ 在Rt△ADC中，AD===3，‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴AE=AC=．‎ ‎∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，‎ ‎∴△AEO∽△ADC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AO=，即⊙O的半径为．‎ 解法二：如图2②，连接BC．‎ 在Rt△ADC中，AD===3．‎ ‎∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，‎ ‎∴△ABC∽△ACD，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴=，‎ 即⊙O的半径为．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．‎ ‎（1）求证：DP∥AB；‎ ‎（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．‎ 考点：‎ 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由 ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；‎ ‎（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4，则CD=7，易证得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OD，如图，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=45°，‎ ‎∴∠DAB=∠ABD=45°，‎ ‎∴△DAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴DO⊥AB，‎ ‎∵PD为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥PD，‎ ‎∴DP∥AB；‎ ‎（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，‎ ‎∵△DAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴AD===5，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴△ACE为等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=CE===3，‎ 在Rt△AED中，DE===4，‎ ‎∴CD=CE+DE=3+4=7，‎ ‎∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，‎ ‎∴△PDA∽△PCD，‎ ‎∴===，‎ ‎∴PA=PD，PC=PD，‎ 而PC=PA+AC，‎ ‎∴PD+6=PD，‎ ‎∴PD=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎22．（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．‎ ‎（1）求证：DF⊥AF．‎ ‎（2）求OG的长．‎ 考点：‎ 切线的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，根据，可得∠CAD=∠DAB=30°，从而可得AF∥DO，则∠AFD=90°；‎ ‎（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．‎ 解答：‎ 解：（1）连接OD，则OD⊥EF，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠CAD=∠DAB=30°，‎ ‎∵AO=DO，‎ ‎∴∠OAD=∠ADO，‎ ‎∴∠FAD=∠ADO，‎ ‎∴AF∥DO，‎ ‎∴DF⊥AF．‎ ‎（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，‎ ‎∴BD=5，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OG垂直平分AD，‎ ‎∴OG是△ABD的中位线，‎ ‎∴OG=BD=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．‎ ‎（1）求证：PC=PG；‎ ‎（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．‎ 考点：‎ 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，‎ 于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；‎ ‎（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO•BF，把BG用CG代换得到CG2=BO•BF；‎ ‎（3）解：连结OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OC，如图，‎ ‎∵PC为⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PC，‎ ‎∴∠OCG+∠PCG=90°，‎ ‎∵ED⊥AB，‎ ‎∴∠B+∠BGF=90°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠OCG，‎ ‎∴∠PCG=∠BGF，‎ 而∠BGF=∠PGC，‎ ‎∴∠PGC=∠PCG，‎ ‎∴PC=PG；‎ ‎（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：‎ 连结OG，如图，‎ ‎∵点G是BC的中点，‎ ‎∴OG⊥BC，BG=CG，‎ ‎∴∠OGB=90°，‎ ‎∵∠OBG=∠GBF，‎ ‎∴Rt△BOG∽Rt△BGF，‎ ‎∴BG：BF=BO：BG，‎ ‎∴BG2=BO•BF，‎ ‎∴CG2=BO•BF；‎ ‎（3）解：连结OE，如图，‎ 由（2）得OG⊥BC，‎ ‎∴OG=，‎ 在Rt△OBG中，OB=5，‎ ‎∴BG==2，‎ 由（2）得BG2=BO•BF，‎ ‎∴BF==4，‎ ‎∴OF=1，‎ 在Rt△OEF中，EF==2，‎ ‎∵AB⊥ED，‎ ‎∴EF=DF，‎ ‎∴DE=2EF=4．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理以及推论、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．‎ ‎（1）求证：点P是线段AC的中点；‎ ‎（2）求sin∠PMC的值．‎ 考点：‎ 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OM，根据切线的性质得OM⊥MP，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC；‎ ‎（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到sin∠C==，于是得到sin∠PMC的值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OM，如图，‎ ‎∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，‎ ‎∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，‎ ‎∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，‎ 而∠2=∠B，‎ ‎∴∠1=∠C，‎ ‎∴PC=PM，‎ ‎∴PA=PC，‎ ‎∴点P是线段AC的中点；‎ ‎（2）解：由（1）∠PMC=∠C，‎ 在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，‎ ‎∴BC==5，‎ ‎∴sin∠C==，‎ 即sin∠PMC=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了切线长定理、勾股定理以及解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎25．（2013•兰州）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．‎ 考点：‎ 切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA．‎ ‎∵∠OAD=∠DAE，‎ ‎∴∠ODA=∠DAE．‎ ‎∴DO∥MN．‎ ‎∵DE⊥MN，‎ ‎∴∠ODE=∠DEM=90°．‎ 即OD⊥DE．‎ ‎∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，‎ ‎∴．‎ 连接CD．‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC=∠AED=90°．‎ ‎∵∠CAD=∠DAE，‎ ‎∴△ACD∽△ADE．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 则AC=15（cm）．‎ ‎∴⊙O的半径是7.5cm．‎ 点评：‎ 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．‎ ‎　‎ ‎26．（2013•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）求tan∠ABE的值；‎ ‎（3）若OA=2，求线段AP的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，‎ 这样根据切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；‎ ‎（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接AD、OD，如图，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AD垂直平分BC，即DC=DB，‎ ‎∴OD为△BAC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ 而DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，‎ ‎∴四边形OAED为矩形，‎ 而OD=OA，‎ ‎∴四边形OAED为正方形，‎ ‎∴AE=AO，‎ ‎∴tan∠ABE==；‎ ‎（3）解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∴∠ABF+∠FAB=90°，‎ 而∠EAP+∠FAB=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠ABF，‎ ‎∴tan∠EAP=tan∠ABE=，‎ 在Rt△EAP中，AE=2，‎ ‎∵tan∠EAP==，‎ ‎∴EP=1，‎ ‎∴AP==．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎27．（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．‎ 考点：‎ 切线的判定；扇形面积的计算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；‎ ‎（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABD=90°，‎ ‎∵∠DBC=∠BAC，‎ ‎∴∠DBC+∠ABD=90°，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴BC是⊙O切线；‎ ‎（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠BOD=2∠A=60°，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴OB=BD=OD=2，‎ ‎∴BM=DM=1，‎ 由勾股定理得：OM=，‎ ‎∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．‎ ‎　‎ ‎28．（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙0的切线．‎ ‎（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；‎ ‎（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，‎ 得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD，如图，‎ ‎∵AB为⊙0的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AD平分BC，即DB=DC，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴EF是⊙0的切线；‎ ‎（2）解：∵∠DAC=∠DAB，‎ ‎∴∠ADE=∠ABD，‎ 在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，‎ ‎∴AD=8，‎ 在Rt△ADE中，sin∠ADE==，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∵OD∥AE，‎ ‎∴△FDO∽△FEA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BF=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎29．（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．‎ ‎（1）求证：ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）‎ 考点：‎ 切线的判定；扇形面积的计算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，‎ ‎∵⊙A与OM相切于点B，‎ ‎∴AB⊥OM，‎ ‎∵OC平分∠MON，‎ ‎∴AF=AB=2，‎ ‎∴ON是⊙A的切线；‎ ‎（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，‎ ‎∴∠OEB=30°，‎ ‎∴AF⊥ON，‎ ‎∴∠FAE=60°，‎ 在Rt△AEF中，tan∠FAE=，‎ ‎∴EF=AF•tan60°=2，‎ ‎∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．‎ 考点：‎ 切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．‎ ‎（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，‎ ‎∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，‎ ‎∴△ADC∽△BAC，‎ ‎∴∠BAC=∠ADC=90°，‎ ‎∴BA⊥AC，‎ ‎∴AC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵BD=5，CD=4，‎ ‎∴BC=9，‎ ‎∵△ADC∽△BAC（已证），‎ ‎∴=，即AC2=BC×CD=36，‎ 解得：AC=6，‎ 在Rt△ACD中，AD==2，‎ ‎∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，‎ ‎∴CA=CF=6，‎ ‎∴DF=CA﹣CD=2，‎ 在Rt△AFD中，AF==2．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．‎ ‎　‎