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- 2021-05-10 发布
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2020年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2020•荆州)有理数﹣2的相反数是( )
A.2 B.12 C.﹣2 D.-12
2.(3分)(2020•荆州)下列四个几何体中,俯视图与其它三个不同的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)(2020•荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( )
A. B.
C. D.
4.(3分)(2020•荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠CAB=30°,则∠ACB的度数是( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
5.(3分)(2020•荆州)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为( )
第27页(共27页)
A.102x-10x=20 B.10x-102x=20
C.10x-102x=13 D.102x-10x=13
6.(3分)(2020•荆州)若x为实数,在“(3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+,﹣,×,÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则x不可能是( )
A.3+1 B.3-1 C.23 D.1-3
7.(3分)(2020•荆州)如图,点E在菱形ABCD的AB边上,点F在BC边的延长线上,连接CE,DF,对于下列条件:①BE=CF;②CE⊥AB,DF⊥BC;③CE=DF;④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加,不能确定△BCE≌△CDF的是( )
A.① B.② C.③ D.④
8.(3分)(2020•荆州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为( )
A.(3,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(2,3)
9.(3分)(2020•荆州)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例4*3=(4+3)(4﹣3)﹣1=7﹣1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
10.(3分)(2020•荆州)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,⊙O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为( )
第27页(共27页)
A.55 B.255 C.12 D.32
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2020•荆州)若a=(π﹣2020)0,b=﹣(12)﹣1,c=|﹣3|,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”号连接)
12.(3分)(2020•荆州)若单项式2xmy3与3xym+n是同类项,则2m+n的值为 .
13.(3分)(2020•荆州)已知:△ABC,求作:△ABC的外接圆.作法:①分别作线段BC,AC的垂直平分线EF和MN,它们相交于点O;②以点O为圆心,OB的长为半径画圆.如图,⊙O即为所求,以上作图用到的数学依据有: .(只需写一条)
14.(3分)(2020•荆州)若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到B的概率是 .
15.(3分)(2020•荆州)“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°,AB与BC间另有步道DE相连,D地在AB正中位置,E地与C地相距1km.若
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tan∠ABC=34,∠DEB=45°,小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,则他跑了 km.
16.(3分)(2020•荆州)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,﹣m﹣2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为 .
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)
17.(8分)(2020•荆州)先化简,再求值:(1-1a)÷a2-1a2+2a+1,其中a是不等式组a-2≥2-a①2a-1<a+3②的最小整数解.
18.(8分)(2020•荆州)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.
【问题】解方程:x2+2x+4x2+2x-5=0.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解:设x2+2x=t(t≥0),则有x2+2x=t2
原方程可化为:t2+4t﹣5=0
【续解】
19.(8分)(2020•荆州)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.
(1)求证:BC∥AD;
(2)若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.
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20.(8分)(2020•荆州)6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况,从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分),收集数据为:七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100;八年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.
整理数据:
分数
人数
年级
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
a
1
分析数据:
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
b
90
39
八年级
c
90
d
30
根据以上信息回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;
(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由;
(3)该校七、八年级共有600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”?
21.(8分)(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下:
(1)绘制函数图象,如图1.
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列表:下表是x与y的几组对应值,其中m= ;
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-12
12
1
2
3
…
y
…
23
1
2
4
4
2
m
23
…
描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;
(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;
① ;
② ;
(3)①观察发现:如图2.若直线y=2交函数y=2|x|的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C.则S四边形OABC= ;
②探究思考:将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”,其他条件不变,则S四边形OABC= ;
③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数y=k|x|(k>0)的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C,则S四边形OABC= .
22.(10分)(2020•荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时S△GFH:S△AFH=2:3,
(1)求证:△EGC∽△GFH;
(2)求AD的长;
(3)求tan∠GFH的值.
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23.(10分)(2020•荆州)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元.求m的最小值.
24.(12分)(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系中,A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),以O为圆心,OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C,连接AB,BC,过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E,D,连接OB,CD.
(1)求证:BC是半圆O的切线;
(2)试判断四边形OBCD的形状,并说明理由;
(3)如图2,若抛物线经过点D且顶点为E.
①求此抛物线的解析式;
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点,以E,D,P为顶点的三角形与△OAB相似,问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB?若存在,请直接写出Q点的横坐标;若不存在,说明理由.
第27页(共27页)
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2020年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2020•荆州)有理数﹣2的相反数是( )
A.2 B.12 C.﹣2 D.-12
【解答】解:有理数﹣2的相反数是:2.
故选:A.
2.(3分)(2020•荆州)下列四个几何体中,俯视图与其它三个不同的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:选项A的俯视图是三角形,选项B、C、D的俯视图均为圆.
故选:A.
3.(3分)(2020•荆州)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:一次函数y=x+1中,令x=0,则y=1;令y=0,则x=﹣1,
∴一次函数y=x+1的图象经过点(0,1)和(﹣1,0),
∴一次函数y=x+1的图象经过一二三象限,
故选:C.
4.(3分)(2020•荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠CAB=30°,则∠ACB
第27页(共27页)
的度数是( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
【解答】解:如图所示:
∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,
∴ED∥FA,∠EBC=∠CBA,
∴∠EBC=∠ACB,∠CAB=∠DBA=30°,
∵∠EBC+∠CBA+∠ABD=180°,
∴∠ACB+∠ACB+30°=180°,
∴∠ACB=75°,
故选:D.
5.(3分)(2020•荆州)八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为( )
A.102x-10x=20 B.10x-102x=20
C.10x-102x=13 D.102x-10x=13
【解答】解:设骑车学生的速度为xkm/h,则乘车学生的速度为2xkm/h,
依题意,得:10x-102x=13.
故选:C.
6.(3分)(2020•荆州)若x为实数,在“(3+1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“+,﹣,×,÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则x不可能是( )
A.3+1 B.3-1 C.23 D.1-3
第27页(共27页)
【解答】解:A.(3+1)﹣(3+1)=0,故本选项不合题意;
B.(3+1)(3-1)=2,故本选项不合题意;
C.(3+1)与23无论是相加,相减,相乘,相除,结果都是无理数,故本选项符合题意;
D.(3+1)(1-3)=﹣2,故本选项不合题意.
故选:C.
7.(3分)(2020•荆州)如图,点E在菱形ABCD的AB边上,点F在BC边的延长线上,连接CE,DF,对于下列条件:①BE=CF;②CE⊥AB,DF⊥BC;③CE=DF;④∠BCE=∠CDF.只选取其中一条添加,不能确定△BCE≌△CDF的是( )
A.① B.② C.③ D.④
【解答】解:∵四边形BCD是菱形,
∴BC=CD,AB∥CD,
∴∠B=∠DCF,
①∵添加BE=CF,
∴△BCE≌△CDF(SAS),
②∵添加CE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠CEB=∠F=90°,
∴△BCE≌△CDF(AAS),
③∵添加CE=DF,
不能确定△BCE≌△CDF;
④∵添加∠BCE=∠CDF,
∴△BCE≌△CDF(ASA),
故选:C.
8.(3分)(2020•荆州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为( )
第27页(共27页)
A.(3,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(2,3)
【解答】解:如图,
∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.
∴∠AOD=30°,
∴AD=12OA,
∵C为OA的中点,
∴AD=AC=OC=BC=1,
∴OA=2,
∴OD=3,
则点A的坐标为:(3,1).
故选:B.
9.(3分)(2020•荆州)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例4*3=(4+3)(4﹣3)﹣1=7﹣1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【解答】解:∵x*k=x(k为实数)是关于x的方程,
∴(x+k)(x﹣k)﹣1=x,
整理得x2﹣x﹣k2﹣1=0,
∵△=(﹣1)2﹣4(﹣k2﹣1)
第27页(共27页)
=4k2+5>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:C.
10.(3分)(2020•荆州)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,⊙O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为( )
A.55 B.255 C.12 D.32
【解答】解:如图,作直径BD,连接CD,
由勾股定理得,BD=22+42=25,
在Rt△BDC中,cos∠BDC=CDBD=425=255,
由圆周角定理得,∠BAC=∠BDC,
∴cos∠BAC=cos∠BDC=255,
故选:B.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2020•荆州)若a=(π﹣2020)0,b=﹣(12)﹣1,c=|﹣3|,则a,b,c的大小关系为 b<a<c .(用“<”号连接)
【解答】解:∵a=(π﹣2020)0=1,b=﹣(12)﹣1=﹣2,c=|﹣3|=3,
第27页(共27页)
∴b<a<c.
故答案为:b<a<c.
12.(3分)(2020•荆州)若单项式2xmy3与3xym+n是同类项,则2m+n的值为 2 .
【解答】解:根据题意得:m=1,m+n=3,
解得n=2,
所以2m+n=2+2=4,
2m+n=4=2.
故答案是:2.
13.(3分)(2020•荆州)已知:△ABC,求作:△ABC的外接圆.作法:①分别作线段BC,AC的垂直平分线EF和MN,它们相交于点O;②以点O为圆心,OB的长为半径画圆.如图,⊙O即为所求,以上作图用到的数学依据有: 线段的垂直平分线的性质 .(只需写一条)
【解答】解:∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点,
∴OA=OC=OB,
∴⊙O为△ABC的外接圆.
故答案为:线段的垂直平分线的性质.
14.(3分)(2020•荆州)若标有A,B,C的三只灯笼按图所示悬挂,每次摘取一只(摘B前需先摘C),直到摘完,则最后一只摘到B的概率是 23 .
【解答】解:画树状图如图:
第27页(共27页)
共有3个可能的结果,最后一只摘到B的结果有2个,
∴最后一只摘到B的概率为23;
故答案为:23.
15.(3分)(2020•荆州)“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°,AB与BC间另有步道DE相连,D地在AB正中位置,E地与C地相距1km.若tan∠ABC=34,∠DEB=45°,小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,则他跑了 24 km.
【解答】解:过D点作DF⊥BC,
设EF=xkm,则DF=xkm,BF=43xkm,
在Rt△BFD中,BD=BF2+DF2=53xkm,
∵D地在AB正中位置,
∴AB=2BD=103xkm,
∵tan∠ABC=34,
∴cos∠ABC=45,
∴x+43x+1103x=45,
解得x=3,
第27页(共27页)
则BC=8km,AC=6km,AB=10km,
小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,他跑了8+10+6=24(km).
故答案为:24.
16.(3分)(2020•荆州)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,﹣m﹣2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为 (1,0)、(2,0)或(0,2) .
【解答】解:根据题意,令y=0,将关联数(m,﹣m﹣2,2)代入函数y=ax2+bx+c,则有mx2+(﹣m﹣2)x+2=0,
△=(﹣m﹣2)2﹣4×2m=(m﹣2)2>0,
∴mx2+(﹣m﹣2)x+2=0有两个根,
由求根公式可得x=m+2±(-m-2)2-8m2m
x=m+2±|m-2|2m
x1=m+2+(m-2)2m=1,此时m为不等于0的任意数,不合题意;
x2=m+2+2-m2m=42m,当m=1或2时符合题意;x2=2或1;
x3=m+2-m+22m=42m,当m=1或2时符合题意;x3=2或1;
x4=m+2-2+m2m=1,此时m为不等于0的任意数,不合题意;
所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0);
令x=0,可得y=c=2,即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2).
综上所述,这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0)或(0,2);
故答案为:(2,0),(1,0)或(0,2).
三、解答题(本大题共有8个小题,共72分)
第27页(共27页)
17.(8分)(2020•荆州)先化简,再求值:(1-1a)÷a2-1a2+2a+1,其中a是不等式组a-2≥2-a①2a-1<a+3②的最小整数解.
【解答】解:原式=a-1a•(a+1)2(a+1)(a-1)
=a+1a.
解不等式组a-2≥2-a①2a-1<a+3②中的①,得a≥2.
解不等式②,得a<4.
则2≤a<4.
所以a的最小整数值是2,
所以,原式=2+12=32.
18.(8分)(2020•荆州)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.
【问题】解方程:x2+2x+4x2+2x-5=0.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解:设x2+2x=t(t≥0),则有x2+2x=t2
原方程可化为:t2+4t﹣5=0
【续解】
【解答】解:(t+5)(t﹣1)=0,
t+5=0或t﹣1=0,
∴t1=﹣5,t2=1,
当t=﹣5时,x2+2x=-5,此方程无解;
当t=1时,x2+2x=1,则x2+2x=1,配方得(x+1)2=2,解得x1=﹣1+2,x2=﹣1-2;
经检验,原方程的解为x1=﹣1+2,x2=﹣1-2.
19.(8分)(2020•荆州)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.
(1)求证:BC∥AD;
(2)若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.
第27页(共27页)
【解答】(1)证明:由题意,△ABC≌△DBE,且∠ABD∠CBE=60°,
∴AB=DB,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠DAB=60°,
∴∠CBE=∠DAB,
∴BC∥AD.
(2)解:由题意,BA=BD=4,BC=BE=1,∠ABD=∠CBE=60°,
∴A,C两点旋转所经过的路径长之和=60⋅π⋅4180+60⋅π⋅1180=5π3.
20.(8分)(2020•荆州)6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况,从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分),收集数据为:七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100;八年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.
整理数据:
分数
人数
年级
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
a
1
分析数据:
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
b
90
39
第27页(共27页)
八年级
c
90
d
30
根据以上信息回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;
(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由;
(3)该校七、八年级共有600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”?
【解答】解:(1)观察八年级95分的有2人,故a=2;
七年级的中位数为90+902=90,故b=90;
八年级的平均数为:112[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90,故c=90;
八年级中90分的最多,故d=90;
(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同,但八年级的平均成绩比七年级高,且从方差看,八年级学生成绩更整齐,综上,八年级的学生成绩好;
(3)∵600×1320=390(人),
∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人.
21.(8分)(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下:
(1)绘制函数图象,如图1.
列表:下表是x与y的几组对应值,其中m= 1 ;
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-12
12
1
2
3
…
y
…
23
1
2
4
4
2
m
23
…
描点:根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点;
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象.请你把图象补充完整;
(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质;
① 函数的图象关于y轴对称 ;
② 当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小 ;
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(3)①观察发现:如图2.若直线y=2交函数y=2|x|的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C.则S四边形OABC= 4 ;
②探究思考:将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”,其他条件不变,则S四边形OABC= 4 ;
③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数y=k|x|(k>0)的图象于A,B两点,连接OA,过点B作BC∥OA交x轴于C,则S四边形OABC= 2k .
【解答】解:(1)当x<0时,xy=﹣2,而当x>0时,xy=2,
∴m=1,
故答案为:1;补全图象如图所示:
(2)故答案为:①函数的图象关于y轴对称,②当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小;
(3)如图,①由A,B两点关于y轴对称,由题意可得四边形OABC是平行四边形,且S四边形OABC=4S△OAM=4×12|k|=2|k|=4,
②同①可知:S四边形OABC=2|k|=4,
③S四边形OABC=2|k|=2k,
故答案为:4,4,2k.
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22.(10分)(2020•荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时S△GFH:S△AFH=2:3,
(1)求证:△EGC∽△GFH;
(2)求AD的长;
(3)求tan∠GFH的值.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°,
由折叠对称知:∠AGE=∠B=90°,∠AHF=∠D=90°,
∴∠GHF=∠C=90°,∠EGC+∠HGF=90°,∠GFH+∠HGF=90°,
∴∠EGC=∠GFH,
∴△EGC∽△GFH.
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(2)解:∵S△GFH:S△AFH=2:3,且△GFH和△AFH等高,
∴GH:AH=2:3,
∵将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处,
∴AG=AB=GH+AH=20,
∴GH=8,AH=12,
∴AD=AH=12.
(3)解:在Rt△ADG中,DG=AG2-AD2=202-122=16,
由折叠的对称性可设DF=FH=x,则GF=16﹣x,
∵GH2+HF2=GF2,
∴82+x2=(16﹣x)2,
解得:x=6,
∴HF=6,
在Rt△GFH中,tan∠GFH=GHHF=86=43.
23.(10分)(2020•荆州)为了抗击新冠疫情,我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨.这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位:元/吨).
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨?
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低m元(0<m≤15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元.求m的最小值.
【解答】解:(1)设这批防疫物资甲厂生产了a吨,乙厂生产了b吨,则:
a+b=5002a-b=100,解得a=200b=300,
即这批防疫物资甲厂生产了200吨,乙厂生产了300吨;
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(2)由题意得:y=20(240﹣x)+25[260﹣(300﹣x)]+15x+24(300﹣x)=﹣4x+11000,
∵x≥0240-x≥0300-x≥0x-40≥0,解得:40≤x≤240,
又∵﹣4<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=240时,可以使总运费最少,
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣4x+11000;使总运费最少的调运方案为:甲厂的200吨物资全部运往B地,乙厂运往A地240吨,运往B地60吨;
(3)由题意和(2)的解答得:y=﹣4x+11000﹣500m,
当x=240时,y最小=﹣4×240+11000﹣500m=10040﹣500m,
∴10040﹣500m≤5200,解得:m≥9.68,
而0<m≤15且m为整数,
∴m的最小值为10.
24.(12分)(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系中,A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),以O为圆心,OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C,连接AB,BC,过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E,D,连接OB,CD.
(1)求证:BC是半圆O的切线;
(2)试判断四边形OBCD的形状,并说明理由;
(3)如图2,若抛物线经过点D且顶点为E.
①求此抛物线的解析式;
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点,以E,D,P为顶点的三角形与△OAB相似,问抛物线上是否存在一点Q.使S△EPQ=S△OAB?若存在,请直接写出Q点的横坐标;若不存在,说明理由.
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【解答】(1)证明:如图1,设AB与y轴交于M,
∵A(﹣2,﹣1),B(3,﹣1),
∴AB∥x轴,且AM=2,OM=1,AB=5,
∴OA=OC=5,
∵DE∥BC,O是AC的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AE=12AB,BC=2OE,
∴E(12,﹣1),
∴EM=12,
∴OE=OM2+ME2=12+(12)2=52,
∴BC=2OE=5,
在△ABC中,∵AC2+BC2=(25)2+(5)2=25,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴BC⊥AC,
∵AC为半圆O的直径,
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∴BC是半圆O的切线;
(2)解:四边形OBCD是平行四边形,理由是:
如图1,由(1)得:BC=OD=OA=5,
∵OD∥BC,
∴四边形OBCD是平行四边形;
(3)解:①如图2,由(1)知:OD=OA=5,E是AB的中点,且E(12,﹣1),OE=52,
过D作DN⊥y轴于N,则DN∥EM,
∴△ODN∽△OEM,
∴ONOM=DNEM=ODOE,即ON1=DN12=552,
∴ON=2,DN=1,
∴N(﹣1,2),
设此抛物线的解析式为:y=a(x-12)2﹣1,
把N(﹣1,2)代入得:2=a(﹣1-12)2﹣1,
解得:a=43,
∴此抛物线的解析式为:y=43(x-12)2﹣1,即y=43x2-43x-23;
②存在,
过D作DG⊥EP于G,设Q的横坐标为x,
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∵DG=1+12=32,EG=2+1=3,
∴DE=DG2+EG2=(32)2+32=352,
tan∠DEG=DGEG=323=12,
∵tan∠OAM=OMAM=12,且∠DEG和∠OAM都是锐角,
∴∠DEG=∠OAM,
如图3,当△EPD∽△AOB时,EPAO=DEAB,即EP5=3525,
∴EP=32,
∵S△AOB=12AB⋅OM=12×5×1=52,
∵S△EPQ=S△OAB,
∴12⋅EP⋅|x-12|=52,
即12×32×|x-12|=52,
解得:x=236或-176;
如图4,当△OAB∽△DEP时,ABEP=OADE,即5EP=5352,
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∴EP=152,
同理得:12⋅152⋅|x-12|=52,
解得:x=76或-16;
综上,存在符合条件的点Q,Q点的横坐标为236或-176或76或-16.
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