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  • 2021-05-10 发布

中考数学专题复习一一元二次方程

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专题一:一元二次方程 知识要点扫描归纳 一 基本概念 1. 方程定义:含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程:求方程的解的过程叫做解方程。 4.一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一 般形式为 02  cbxax ( 0a ). 二、一元二次方程的解法 1.直接开方法 (1)用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程,左边是一 个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负数,就可以用直接开平方法求解. 2.配方法 (1)用配方法解方程是以配方为手段,以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的 数学方法. (2)配方的关键步骤是:在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是: 222 )(2 bababa  (3)配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式,另一边为非负实数,再利用直接开平方法求解. 3.公式法 (1)用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法. (2)一元二次方程 )0(02  acbxax 求根公式是: a acbbx 2 42  (3)在解一元二次方程时,先把方程化为一般开式,确定 cba ,, 的值,在 042  acb 的情况下:代 入求根公式即可求解. 4.因式分解法 1. 对于在一元二次方程的一边是 0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法来解这 个方程。 2. 理论依据:两个因式的积等于零,那么这两个因式中至少有一个等于零。例如:如果 0)5)(1(  xx , 那么 x-1=0 或 x+5=0。因式分解法简便易行,是解一元二次方程的最常用的方法。 3. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程的右边化为零; (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积; (3)令每个因式分别为零,得两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。 4.形如  002  abxax 的方程,可用提公因式法求方程的根:  00 21  aa bxx , 。 5.形如     022  nbxmax )( 22 ba  的方程,可用平方差公式把左边分解。 三、一元二次方程根的判别式: 一元二次方程 )0(02  acbxax 的根的判别式 acb 42  : (1)  0 方程有两个不等实数根. (2)  0 方程有两个相等实数根. (3)  0 方程无实数根. (4)  0 方程有两个实数根. ※ 运用根的判别式时要注意:关于 x 的方程 02  cbxax 有两个实数根和实数根的区别在于: 若有两个实数根,则 00  a,且 .若有实数根,则分两种情况:① 00  ,a ;② 0a 四、一元二次方程根与系数关系(韦达定理) 1.若一元二次方程 02  cbxax  0a 的两个实数根为 21, xx ,则 a cxxa bxx  2121 , 2.以 21, xx 为根的一元二次方程可写成   02121 2  xxxxxx 3.使用一元二次方程 02  cbxax  0a 的根的判别式 acb 42  解题的前提是二次项系数 0a 4.不解方程,求关于一元二次方程的两个实数根 21, xx 的对称式的值的方法是先将式子化成只含 21 xx  , 21xx 的形式,然后利用根与系数的关系代入求值.要特别注意如下公式: (1)   21 2 21 2 2 2 1 2 xxxxxx  ; (2) 21 21 21 11 xx xx xx  ; (3)     21 2 21 2 21 4 xxxxxx  ; (4)    2121 3 21 3 2 3 1 3 xxxxxxxx  ; (5)   21 2 2121 4 xxxxx x ; (6)   21 2 2121 4 xxxxxx  ; (7)  21212 2 1 2 21 xxxxxxxx  ; (8)   2121 2 2121 22 xxxxxxxx  . 五、实际应用: 1、知识结构 2、知识要点归纳 由实际情景加工整理成抽象实际的问题,通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而 产生的问题称为数学应用问题,数学应用题是经过加工的数学应用问题,是呈现在我们中学生面前的数学 应用问题. 从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. (1) 加工“背景”:让背景材料为学生所熟悉的材料;让背景材料较为简洁. (2) 加工“数学”:让“数学化”的过程较为简单,让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是 学生所能接受的. (3) 加工“检验”:在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题,有验证 的意识就可以了. 3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤 (1) 找——找出题中的等量关系 (2) 设——设未知数 (3) 列——列出方程,即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 (4) 解——解出所列的方程 (5) 验——将方程的解代入方程中检验,回到实际问题中检验 (6) 答——作答下结论 4、中考改革趋势 一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一,它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单 分式方程的应用、一元一次方程的应用一样,随着改革的继续而更富有时代的气息,更宣于生活化,更贴 近学生的实际. 考点回放 1 考察一元二次方程概念 1.(年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是( ) A、 32 1 x B、 072 22  zxyyx C、 2 1 37 3    xx D、 17 2 m 2.(年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是( ) A、 0126 2  yy B、 mm 5 312 1 2  C、 04 3 6 1 10 1 2  pp D、x2+x-1=x2 3.(年陕西西安)方程 013)2(  mxxm m 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值为( ) A、 2m B、 2m C、 m =-2 D、 2m 4.(年武汉)一元二次方程 035 2  xx ,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( ) A、 035 2  xx B、 035 2  xx C、 035 2  xx D、 035 2  xx 2 考察一元二次方程根的概念 1.(江苏苏州)若一元二次方程 x2-(a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是 3、b,则 a+b= . 2.( 河北)已知 x = 1 是一元二次方程 02  nmxx 的一个根,则 22 2 nmnm  的值为 . 3.( 广东珠海)已知 x1=-1 是方程 052  mxx 的一个根,求 m 的值及方程的另一根 x2。 3 考察一元二次方程解法 1.(四川眉山)一元二次方程 22 6 0x   的解为___________________. 2.(江苏无锡)方程 2 3 1 0x x   的解是 . 3.(年上海)方程 x + 6 = x 的根是____________. 4.(湖南常德)方程 2 5 6 0x x   的两根为( ) A. 6 和-1 B.-6 和 1 C.-2 和-3 D.2 和 3 5.(云南楚雄)一元二次方程 x2-4=0 的解是( ) A.x1=2,x2=-2 B.x=-2 C.x=2 D. x1=2,x2=0 6.(河南)方程 2 3 0x   的根是 (A) 3x  (B) 1 23, 3x x   (C) 3x  (D) 1 23, 3x x   7.(四川内江)方程 x(x-1)=2 的解是 A.x=-1 B.x=-2 C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2 8.(江苏苏州)解方程:  2 2 1 1 2 0x x x x     . 4 考察一元二次方程判别式 1.(甘肃兰州) 已知关于 x 的一元二次方程 01)1 2  xxm( 有实数根,则 m 的取值范围是 . 2.( 江苏连云港)若关于 x 的方程 x2-mx+3=0 有实数根,则 m 的值可以为___________.(任意给出一 个符合条件的值即可) 3.(湖北荆门)如果方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实数根,则实数 a 的取值范围是 4.(江苏苏州)下列四个说法中,正确的是 A.一元二次方程 2 24 5 2x x   有实数根; B.一元二次方程 2 34 5 2x x   有实数根; C.一元二次方程 2 54 5 3x x   有实数根; D.一元二次方程 x2+4x+5=a(a≥1)有实数根. 5.(安徽芜湖)关于 x 的方程(a -5)x2-4x-1=0 有实数根,则 a 满足() A.a≥1 B.a>1 且 a≠5 C.a≥1 且 a≠5 D.a≠5 6.(10 湖南益阳)一元二次方程 )0(02  acbxax 有两个不相等...的实数根,则 acb 42  满足( ) A. acb 42  =0 B. acb 42  >0 C. acb 42  <0 D. acb 42  ≥0 7.(年上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 8.(山东潍坊)关于 x 的一元二次方程 x2-6x+2k=0 有两不等实根,则实数 k 的取值范围是( ). A.k≤ 9 2 B.k< 9 2 C.k≥ 9 2 D.k> 9 2 9.(四川攀枝花)下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) A.x 2 +1=0 B.9 x 2 —6x+1=0 C.x 2 —x+2=0 D.x 2 -2x-2=0 10.(北京)已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m-1=0 有两个相等实数根,求的 m 值及方程的根. 11.(广东中山)已知一元二次方程 022  mxx . (1)若方程有两个实数根,求 m 的范围; (2)若方程的两个实数根为 1x , 2x ,且 1x +3 2x =3,求 m 的值。 12.( 四川成都)若关于 x 的一元二次方程 2 4 2 0x x k   有两个实数根,求 k 的取值范围及 k 的非负整 数值. 13.(年贵州毕节)已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根 1x 和 2x . (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 2 2 1 2 0x x  时,求 m 的值. 14.( 四川南充)关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x k   有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围. (2)请选择一个 k 的负整数值,并求出方程的根. 15.(广东广州,19,10 分)已知关于 x 的一元二次方程 )0(012  abxax 有两个相等的实数根,求 4)2( 22 2  ba ab 的值。 16.( 广西玉林、防城港)(6 分)当实数 k 为何值时,关于 x 的方程 x 2 -4x+3-k=0 有两个相等的实数 根?并求出这两个相等的实数根。 5 考察一元二次方程根与系数关系 1.(安徽芜湖)已知 x1、x2 为方程 x2+3x+1=0 的两实根,则 x13+8x2+20=__________. 2.( 四川成都)设 1x , 2x 是一元二次方程 2 3 2 0x x   的两个实数根,则 2 2 1 1 2 23x x x x  的值为 __________________. 3.(湖北鄂州)已知α、β是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根,则代数式(α-3)(β-3)= . 4.(江苏南通)设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x-3=0 的两个根, 2x1(x22+5x2-3)+a =2,则 a= . 5.(山东烟台)方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则(x1-1)(x1-1)=_________。 6 .( 四 川 泸 州 ) 已 知 一 元 二 次 方 程  2 3 1 3 1 0x x     的 两 根 为 1x 、 2x , 则 1 2 1 1 x x   _____________. 7.( 云南玉溪)一元二次方程 x2-5x+6=0 的两根分别是 x1,x2, 则 x1+x2 等于 A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 8.(湖南娄底)阅读材料: 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为 x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系: x1+x2= -b a ,x1x2= c a 根据上述材料填空: 已知 x1、x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根,则 1 x1 +1 x2 =_________. 9.(广西百色)方程 xx 22  -1 的两根之和等于 . 10.(山东日照)如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2,x2=1,那么 p,q 的值分别是 (A)-3,2 (B)3,-2 (C)2,-3 (D)2,3 11.(四川眉山)已知方程 2 5 2 0x x   的两个解分别为 1x 、 2x ,则 1 2 1 2x x x x   的值为 A. 7 B. 3 C.7 D.3 12.( 嵊州市)已知 nm, 是方程 0122  xx 的两根,且 8)763)(147( 22  nnamm ,则 a 的 值等于 ( ) A.-5 B.5 C.-9 D.9 13.(四川乐山):若关于 x 的一元二次方程 012)2(2 22  kxkx 有实数根 、 . (1) 求实数 k 的取值范围; (2) 设 kt   ,求 t 的最小值. 14.( 四川绵阳)已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为 x1,x2. (1)求 m 的取值范围; (2)设 y = x1 + x2,当 y 取得最小值时,求相应 m 的值,并求出最小值 15.( 山东淄博)已知关于 x 的方程 014)3(2 22  kkxkx . (1)若这个方程有实数根,求 k 的取值范围; (2)若这个方程有一个根为 1,求 k 的值; (3)若以方程 014)3(2 22  kkxkx 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 x my  的图象上,求满足条件的 m 的最小值. 6 实际应用 1. (年兰州市) 上海世博会的某纪念品原价 168 元,连续两次降价 a %后售价为 128 元. 下列所列方程中正 确的是 A. 128)% 1(168 2  a B. 128)% 1(168 2  a C. 128)% 21(168  a D. 128)% 1(168 2  a 2.(年铁岭市)为了美化环境,某市加大对绿化的投资.年用于绿化投资 20 万元,年用于绿化投资 25 万 元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ,根据题意所列方程为 ( ) A. 220 25x  B. 20(1 ) 25x  C. 220(1 ) 25x  D. 220(1 ) 20(1 ) 25x x    3.(年安徽)某市年国内生产总值(GDP)比年增长了 12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比 年增长 7%,若这两年 GDP 年平均增长率为 x%,则 x%满足的关系是………【 】 A.12% 7% %x  B. (1 12%)(1 7%) 2(1 %)x    C.12% 7% 2 %x   D. 2(1 12%)(1 7%) (1 %)x    4(青海)在一幅长为 80cm,宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色 纸边,制成一幅矩形挂图,如图 5 所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金 色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的方程是( ) A. 2 130 1400 0x x   B. 2 65 350 0x x   C. 2 130 1400 0x x   D. 2 65 350 0x x   5.(年甘肃庆阳)如图 3,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为 耕地.若耕地面积需要 551 米 2,则修建的路宽应为( ) A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米 6..(年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个.设该厂五、六月份 平均 每月的增长率为 x,那么 x 满足的方程是( ) A、 B. 182)1(50)1(5050 2  xx C、50(1+2x)=182 D. 182)21(50)1(5050  xx 7.(江西)为了让江西的山更绿、水更清,年省委、省政府提出了确保到年实现全省森林覆盖率达到 63% 图 5 182)1(50 2  x 的目标,已知年我省森林覆盖率为 60.05%,设从年起我省森林覆盖率的年平均增长率为 x ,则可列方程 ( ) A.  60.05 1 2 63%x  B.  60.05 1 2 63x  C.  260.05 1 63%x  D.  260.05 1 63x  8.(宁夏).某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次,五月份共接待游客 64 万人次,设每月的平均增长率 为 x ,则可列方程为( ) A. 225(1 ) 64x  B. 225(1 ) 64x  C. 264(1 ) 25x  D. 264(1 ) 25x  9.(年兰州)年爆发的世界金融危机,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影 响,某商品原价为 200 元,连续两次降价 %a 后售价为 148 元,下面所列方程正确的是 A. 2200(1 %) 148a  B. 2200(1 %) 148a  C. 200(1 2 %) 148a  D. 2200(1 %) 148a  10.(山西省太原市)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由 3200 元降到了 2500 元.设 平均每月降价的百分率为 x ,根据题意列出的方程是 . 11.(年江苏省)某县年农民人均年收入为 7 800 元,计划到年,农民人均年收入达到 9 100 元.设人均年 收入的平均增长率为 x ,则可列方程 . 12.某果农 2006 年的年收入为 5 万元,由于党的惠农政策的落实,年年收入增加到 7.2 万元,则平均每年 的增长率是__________. 13.(年包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这 两个正方形面积之和的最小值是 cm2. 14.(年本溪).由于甲型 H1N1 流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来 每斤 16 元下调到每斤 9 元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为 x ,则根据题 意可列方程为 . 15.(临沂)某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元,随着生产技术的进步,现在生产 1 吨 这种药品的成本为 81 万元,.则这种药品的成本的年平均下降率为______________. 16.(安徽省中中考)在国家下身的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/ 2m 下降 到 5 月分的 12600 元/ 2m ⑴问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少?(参考数据: 95.09.0  ) ⑵如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元 / 2m ?请说明理由。 17.(年 浙 江 省 绍 兴 市 )某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间.据预测,当每间的年租金定为 10 万元 时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1 间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种 费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元. (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间? (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为 275 万元? 18.(年山东聊城)年我市实现国民生产总值为 1376 亿元,计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长 率一实现,并且年全市国民生产总值要达到 1726 亿元. (1)求全市国民生产总值的年平均增第率(精确到 1%) (2)求年至年全市三年可实现国民生产总值多少亿元?(精确到 1 亿元) 19(年包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利 不得高于 45%,经试销发现,销售量 y (件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y kx b  ,且 65x  时, 55y  ; 75x  时, 45y  . (1)求一次函数 y kx b  的表达式; (2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商 场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围. 20. (年湖州)随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计,某小区 2006 年底拥 有家庭轿车 64 辆,年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. (1) 若该小区 2006 年底到年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同,求该小区到年底家庭轿车将达 到多少辆? (2) 为了缓解停车矛盾,该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算,建造费用分别为室内车 位 5000 元/个,露天车位 1000 元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍,但不超过室内车位的 2.5 倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案. 21.(年中山)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染.请 你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后, 被感染的电脑会不会超过 700 台? 22.(年宁波市)年 4 月 7 日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(~年》,某市政府决 定年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务,比年增加了 1250 万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患 者等)和“供方”(医疗卫生机构等),预计年投入“需方”的资金将比年提高 30%,投入“供方”的资金 将比年提高 20%. (1)该市政府年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元? (2)该市政府年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元? (3)该市政府预计年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务,若从~年每年的资金投入按相同的增长率递 增,求~年的年增长率. 23.(年潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化. (1)设计方案如图①所示,矩形 P、Q 为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q 两块绿地周围的硬化路面宽 都相等,并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 1 4 ,求 P、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽. (2)某同学有如下设想:设计绿化区域为相外切的两等圆,圆心分别为 1O 和 2O ,且 1O 到 AB BC AD、 、 的距离与 2O 到CD BC AD、 、 的距离都相等,其余为硬化地面,如图②所示,这个设想是否成立?若成 立,求出圆的半径;若不成立,说明理由. 已知 m,n 是一元二次方程 0719992  xx 的两个根,求 )82000)(61998( 22  nnmm 的值