中考数学专题复习一一元二次方程 14页

专题一：一元二次方程 知识要点扫描归纳 一 基本概念 1. 方程定义：含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一 般形式为 02  cbxax （ 0a ）. 二、一元二次方程的解法 1．直接开方法 （1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一 个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法 （1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的 数学方法. （2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是： 222 )(2 bababa  （3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法 （1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法. （2）一元二次方程 )0(02  acbxax 求根公式是： a acbbx 2 42  （3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定 cba ,, 的值，在 042  acb 的情况下：代 入求根公式即可求解. 4.因式分解法 1． 对于在一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这 个方程。 2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果 0)5)(1(  xx ， 那么 x－1=0 或 x＋5=0。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。 3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零； （2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 4．形如  002  abxax 的方程，可用提公因式法求方程的根：  00 21  aa bxx ， 。 5．形如     022  nbxmax )( 22 ba  的方程，可用平方差公式把左边分解。 三、一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 )0(02  acbxax 的根的判别式 acb 42  ： （1）  0 方程有两个不等实数根． （2）  0 方程有两个相等实数根． （3）  0 方程无实数根． （4）  0 方程有两个实数根． ※ 运用根的判别式时要注意：关于 x 的方程 02  cbxax 有两个实数根和实数根的区别在于： 若有两个实数根，则 00  a，且 ．若有实数根，则分两种情况：① 00  ，a ；② 0a 四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 1．若一元二次方程 02  cbxax  0a 的两个实数根为 21, xx ，则 a cxxa bxx  2121 , 2．以 21, xx 为根的一元二次方程可写成   02121 2  xxxxxx 3．使用一元二次方程 02  cbxax  0a 的根的判别式 acb 42  解题的前提是二次项系数 0a 4．不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根 21, xx 的对称式的值的方法是先将式子化成只含 21 xx  ， 21xx 的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式： （1）   21 2 21 2 2 2 1 2 xxxxxx  ； （2） 21 21 21 11 xx xx xx  ； （3）     21 2 21 2 21 4 xxxxxx  ； （4）    2121 3 21 3 2 3 1 3 xxxxxxxx  ； （5）   21 2 2121 4 xxxxx x ； （6）   21 2 2121 4 xxxxxx  ； （7）  21212 2 1 2 21 xxxxxxxx  ； （8）   2121 2 2121 22 xxxxxxxx  ． 五、实际应用： 1、知识结构 2、知识要点归纳 由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而 产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学 应用问题. 从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. （1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁. （2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是 学生所能接受的. （3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证 的意识就可以了. 3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤 （1） 找——找出题中的等量关系 （2） 设——设未知数 （3） 列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 （4） 解——解出所列的方程 （5） 验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验 （6） 答——作答下结论 4、中考改革趋势 一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单 分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴 近学生的实际. 考点回放 1 考察一元二次方程概念 1．(年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是（ ） A、 32 1 x B、 072 22  zxyyx C、 2 1 37 3    xx D、 17 2 m 2．(年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是（ ） A、 0126 2  yy B、 mm 5 312 1 2  C、 04 3 6 1 10 1 2  pp D、x2+x-1=x2 3．(年陕西西安)方程 013)2(  mxxm m 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ） A、 2m B、 2m C、 m =-2 D、 2m 4．(年武汉)一元二次方程 035 2  xx ，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ） A、 035 2  xx B、 035 2  xx C、 035 2  xx D、 035 2  xx 2 考察一元二次方程根的概念 1.(江苏苏州)若一元二次方程 x2－(a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是 3、b，则 a+b= ． 2．（ 河北）已知 x = 1 是一元二次方程 02  nmxx 的一个根，则 22 2 nmnm  的值为 ． 3.（ 广东珠海）已知 x1=-1 是方程 052  mxx 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2。 3 考察一元二次方程解法 1．（四川眉山）一元二次方程 22 6 0x   的解为___________________． 2．（江苏无锡）方程 2 3 1 0x x   的解是 ． 3．（年上海）方程 x + 6 = x 的根是____________. 4．（湖南常德）方程 2 5 6 0x x   的两根为( ) A． 6 和-1 B．-6 和 1 C．-2 和-3 D．2 和 3 5．（云南楚雄）一元二次方程 x2－4＝0 的解是（ ） A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2 C．x＝2 D． x1＝2，x2＝0 6．（河南）方程 2 3 0x   的根是 (A) 3x  (B) 1 23, 3x x   (C) 3x  （D） 1 23, 3x x   7．（四川内江）方程 x(x－1)＝2 的解是 A．x＝－1 B．x＝－2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2 8．(江苏苏州)解方程：  2 2 1 1 2 0x x x x     ． 4 考察一元二次方程判别式 1．（甘肃兰州） 已知关于 x 的一元二次方程 01)1 2  xxm（ 有实数根，则 m 的取值范围是 ． 2．（ 江苏连云港）若关于 x 的方程 x2－mx＋3＝0 有实数根，则 m 的值可以为___________．(任意给出一 个符合条件的值即可) 3．（湖北荆门）如果方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实数根，则实数 a 的取值范围是 4．（江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A．一元二次方程 2 24 5 2x x   有实数根； B．一元二次方程 2 34 5 2x x   有实数根； C．一元二次方程 2 54 5 3x x   有实数根； D．一元二次方程 x2+4x+5=a(a≥1)有实数根． 5．（安徽芜湖）关于 x 的方程(a －5)x2－4x－1＝0 有实数根，则 a 满足（） A．a≥1 B．a＞1 且 a≠5 C．a≥1 且 a≠5 D．a≠5 6．（10 湖南益阳）一元二次方程 )0(02  acbxax 有两个不相等．．．的实数根，则 acb 42  满足（ ） Ａ． acb 42  ＝0 Ｂ． acb 42  ＞0 Ｃ． acb 42  ＜0 Ｄ． acb 42  ≥0 7．（年上海）已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ） A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 8．（山东潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋2k＝0 有两不等实根，则实数 k 的取值范围是（ ）． A．k≤ 9 2 B．k＜ 9 2 C．k≥ 9 2 D．k＞ 9 2 9．（四川攀枝花）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x 2 +1=0 B．9 x 2 —6x+1=0 C．x 2 —ｘ＋２＝０ D．x 2 －２ｘ－２＝０ 10．（北京）已知关于 x 的一元二次方程 x²-4x+m-1=0 有两个相等实数根，求的 m 值及方程的根． 11．（广东中山）已知一元二次方程 022  mxx ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围； （2）若方程的两个实数根为 1x ， 2x ，且 1x +3 2x =3，求 m 的值。 12．（ 四川成都）若关于 x 的一元二次方程 2 4 2 0x x k   有两个实数根，求 k 的取值范围及 k 的非负整 数值. 13．（年贵州毕节）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根 1x 和 2x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 2 2 1 2 0x x  时，求 m 的值． 14．（ 四川南充）关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x k   有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围． （2）请选择一个 k 的负整数值，并求出方程的根． 15．（广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 )0(012  abxax 有两个相等的实数根，求 4)2( 22 2  ba ab 的值。 16．（ 广西玉林、防城港）（6 分）当实数 k 为何值时，关于 x 的方程 x 2 －4x＋3－k＝0 有两个相等的实数 根？并求出这两个相等的实数根。 5 考察一元二次方程根与系数关系 1．（安徽芜湖）已知 x1、x2 为方程 x2＋3x＋1＝0 的两实根，则 x13＋8x2＋20＝__________． 2．（ 四川成都）设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 3 2 0x x   的两个实数根，则 2 2 1 1 2 23x x x x  的值为 __________________． 3．（湖北鄂州）已知α、β是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ． 4．（江苏南通）设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x－3=0 的两个根， 2x1(x22+5x2－3)+a =2，则 a= ． 5．（山东烟台）方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=_________。 6 ．（ 四 川 泸 州 ） 已 知 一 元 二 次 方 程  2 3 1 3 1 0x x     的 两 根 为 1x 、 2x , 则 1 2 1 1 x x   _____________. 7．（ 云南玉溪）一元二次方程 x2-5x+6=0 的两根分别是 x1,x2, 则 x1+x2 等于 A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 8．（湖南娄底）阅读材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为 x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系： x1+x2= －b a ，x1x2= c a 根据上述材料填空： 已知 x1、x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根，则 1 x1 +1 x2 =_________. 9．（广西百色）方程 xx 22  -1 的两根之和等于 . 10．（山东日照）如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p，q 的值分别是 （A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 11．(四川眉山）已知方程 2 5 2 0x x   的两个解分别为 1x 、 2x ，则 1 2 1 2x x x x   的值为 A． 7 B． 3 C．7 D．3 12．（ 嵊州市）已知 nm, 是方程 0122  xx 的两根，且 8)763)(147( 22  nnamm ，则 a 的 值等于 （ ） A．－5 B.5 C.-9 D.9 13．（四川乐山）：若关于 x 的一元二次方程 012)2(2 22  kxkx 有实数根 、 ． （1） 求实数 k 的取值范围； （2） 设 kt   ，求 t 的最小值． 14．（ 四川绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为 x1，x2． （1）求 m 的取值范围； （2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值 15．（ 山东淄博）已知关于 x 的方程 014)3(2 22  kkxkx ． （1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值； （3）若以方程 014)3(2 22  kkxkx 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 x my  的图象上，求满足条件的 m 的最小值． 6 实际应用 1. (年兰州市) 上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a %后售价为 128 元. 下列所列方程中正 确的是 A． 128)% 1(168 2  a B． 128)% 1(168 2  a C． 128)% 21(168  a D． 128)% 1(168 2  a 2．（年铁岭市）为了美化环境，某市加大对绿化的投资．年用于绿化投资 20 万元，年用于绿化投资 25 万 元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方程为 （ ） A． 220 25x  B． 20(1 ) 25x  C． 220(1 ) 25x  D． 220(1 ) 20(1 ) 25x x    3．（年安徽）某市年国内生产总值（GDP）比年增长了 12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比 年增长 7%，若这两年 GDP 年平均增长率为 x%，则 x%满足的关系是………【 】 A．12% 7% %x  B． (1 12%)(1 7%) 2(1 %)x    C．12% 7% 2 %x   D． 2(1 12%)(1 7%) (1 %)x    4（青海）在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色 纸边，制成一幅矩形挂图，如图 5 所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金 色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A． 2 130 1400 0x x   B． 2 65 350 0x x   C． 2 130 1400 0x x   D． 2 65 350 0x x   5．（年甘肃庆阳）如图 3，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地．若耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为（ ） A．1 米 B．1.5 米 C．2 米 D．2.5 米 6..(年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个.设该厂五、六月份 平均 每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A、 B． 182)1(50)1(5050 2  xx C、50(1+2x)＝182 D． 182)21(50)1(5050  xx 7.（江西）为了让江西的山更绿、水更清，年省委、省政府提出了确保到年实现全省森林覆盖率达到 63% 图 5 182)1(50 2  x 的目标，已知年我省森林覆盖率为 60.05%，设从年起我省森林覆盖率的年平均增长率为 x ，则可列方程 （ ） A．  60.05 1 2 63%x  B．  60.05 1 2 63x  C．  260.05 1 63%x  D．  260.05 1 63x  8.(宁夏)．某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次，设每月的平均增长率 为 x ，则可列方程为（ ） A． 225(1 ) 64x  B． 225(1 ) 64x  C． 264(1 ) 25x  D． 264(1 ) 25x  9.（年兰州）年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影 响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 %a 后售价为 148 元，下面所列方程正确的是 A． 2200(1 %) 148a  B． 2200(1 %) 148a  C． 200(1 2 %) 148a  D． 2200(1 %) 148a  10．（山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200 元降到了 2500 元．设 平均每月降价的百分率为 x ，根据题意列出的方程是 ． 11.（年江苏省）某县年农民人均年收入为 7 800 元，计划到年，农民人均年收入达到 9 100 元．设人均年 收入的平均增长率为 x ，则可列方程 ． 12.某果农 2006 年的年收入为 5 万元，由于党的惠农政策的落实，年年收入增加到 7.2 万元，则平均每年 的增长率是__________. 13.（年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这 两个正方形面积之和的最小值是 cm2． 14.(年本溪)．由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来 每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x ，则根据题 意可列方程为 ． 15．（临沂）某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨 这种药品的成本为 81 万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________． 16．（安徽省中中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/ 2m 下降 到 5 月分的 12600 元/ 2m ⑴问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： 95.09.0  ） ⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元 / 2m ？请说明理由。 17.(年 浙 江 省 绍 兴 市 )某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间.据预测,当每间的年租金定为 10 万元 时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1 间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种 费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元. （1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间？ （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为 275 万元？ 18.(年山东聊城)年我市实现国民生产总值为 1376 亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长 率一实现，并且年全市国民生产总值要达到 1726 亿元． （1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到 1%） （2）求年至年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到 1 亿元） 19（年包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利 不得高于 45%，经试销发现，销售量 y （件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b  ，且 65x  时， 55y  ； 75x  时， 45y  ． （1）求一次函数 y kx b  的表达式； （2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商 场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围． 20. (年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区 2006 年底拥 有家庭轿车 64 辆，年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1） 若该小区 2006 年底到年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到年底家庭轿车将达 到多少辆？ （2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车 位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 21．（年中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染．请 你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后， 被感染的电脑会不会超过 700 台？ 22.（年宁波市）年 4 月 7 日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（~年》，某市政府决 定年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务，比年增加了 1250 万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患 者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计年投入“需方”的资金将比年提高 30%，投入“供方”的资金 将比年提高 20%． （1）该市政府年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？ （2）该市政府年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？ （3）该市政府预计年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务，若从~年每年的资金投入按相同的增长率递 增，求~年的年增长率． 23.(年潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化． （1）设计方案如图①所示，矩形 P、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿地周围的硬化路面宽 都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 1 4 ，求 P、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为 1O 和 2O ，且 1O 到 AB BC AD、 、 的距离与 2O 到CD BC AD、 、 的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成 立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 已知 m,n 是一元二次方程 0719992  xx 的两个根，求 )82000)(61998( 22  nnmm 的值