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- 2021-05-10 发布
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2017年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记0分)
1.下列算式,正确的是( )
A.a3×a2=a6 B.a3÷a=a3 C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4
2.如图所示的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
3.可燃冰,学名叫“天然气水合物”,是一种高效清洁、储量巨大的新能源.据报道,仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为( )
A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014
4.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(﹣1,0)表示,右下角方子的位置用(0,﹣1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣2) D.(﹣1,﹣2)
5.用教材中的计算器依次按键如下,显示的结果在数轴上对应点的位置介于( )之间.
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
6.如图,∠BCD=90°,AB∥DE,则∠α与∠β满足( )
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中,每人射击了10次,甲、乙两人的成绩如表所示.丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛,从平均数与方差两个因素分析,应选( )
甲
乙
平均数
9
8
方差
1
1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab<0,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B. C. D.
9.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≥2 C.x>1 D.x>2
10.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
11.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函数y=[x]的图象如图所示,则方程[x]= x2的解为( )#N.
A.0或 B.0或2 C.1或 D.或﹣
12.点A、C为半径是3的圆周上两点,点B为的中点,以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上,则该菱形的边长为( )
A.或2 B.或2 C.或2 D.或2
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分。只要求填写最后结果,每小题全对得3分)
13.计算:(1﹣)÷= .
14.因式分解:x2﹣2x+(x﹣2)= .
15.如图,在△ABC中,AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
16.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 .
17.如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个.
18.如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD边上,记为B′,折痕为CE,再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=BC.则矩形纸片ABCD的面积为 .
三、解答题(共7小题,满分66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级,学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛.预赛分别为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
20.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶点E的仰角为30°,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:≈1.73)
21.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨.第一批蒜薹价格为4000元/吨;因蒜薹大量上市,第二批价格跌至1000元/吨.这两批蒜苔共用去16万元.
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨?
(2)公司收购后对蒜薹进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润1000元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
22.如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)求证:EF为半圆O的切线;
(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
23.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?
24.边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2
(1)如图1,将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
25.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
2017年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记0分)
1.下列算式,正确的是( )
A.a3×a2=a6 B.a3÷a=a3 C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4
【考点】48:同底数幂的除法;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据整式运算法则即可求出答案.
【解答】解:(A)原式=a5,故A错误;
(B)原式=a2,故B错误;
(C)原式=2a2,故C错误;
故选(D)
2.如图所示的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】U1:简单几何体的三视图.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:从上边看是一个同心圆,內圆是虚线,
故选:D.
3.可燃冰,学名叫“天然气水合物”,是一种高效清洁、储量巨大的新能源.据报道,仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为( )
A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将1000亿用科学记数法表示为:1×1011.
故选:C.
4.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(﹣1,0)表示,右下角方子的位置用(0,﹣1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣2) D.(﹣1,﹣2)
【考点】P6:坐标与图形变化﹣对称;D3:坐标确定位置.
【分析】首先确定x轴、y轴的位置,然后根据轴对称图形的定义判断.
【解答】解:棋盘中心方子的位置用(﹣1,0)表示,则这点所在的横线是x轴,右下角方子的位置用(0,﹣1),则这点所在的纵线是y轴,则当放的位置是(﹣1,1)时构成轴对称图形.
故选B.
5.用教材中的计算器依次按键如下,显示的结果在数轴上对应点的位置介于( )之间.
A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B
【考点】25:计算器—数的开方;29:实数与数轴.
【分析】此题实际是求﹣的值.
【解答】解:在计算器上依次按键转化为算式为﹣=;
计算可得结果介于﹣2与﹣1之间.
故选A.
6.如图,∠BCD=90°,AB∥DE,则∠α与∠β满足( )
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】过C作CF∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β,于是得到结论.
【解答】解:过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β,
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°,
∴∠β﹣∠α=90°,
故选B.
7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中,每人射击了10次,甲、乙两人的成绩如表所示.丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛,从平均数与方差两个因素分析,应选( )
甲
乙
平均数
9
8
方差
1
1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【考点】W7:方差;VD:折线统计图;W2:加权平均数.
【分析】求出丙的平均数、方差,乙的平均数,即可判断.
【解答】解:丙的平均数==9,丙的方差= [1+1+1=1]=0.4,
乙的平均数==8.2,
由题意可知,丙的成绩最好,
故选C.
8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab<0,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B. C. D.
【考点】G2:反比例函数的图象;F3:一次函数的图象.
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小,看是否符合ab<0,计算a﹣b确定符号,确定双曲线的位置.
【解答】解:A、由一次函数图象过一、三象限,得a>0,交y轴负半轴,则b<0,
满足ab<0,
∴a﹣b>0,
∴反比例函数y=的图象过一、三象限,
所以此选项不正确;
B、由一次函数图象过二、四象限,得a<0,交y轴正半轴,则b>0,
满足ab<0,
∴a﹣b<0,
∴反比例函数y=的图象过二、四象限,
所以此选项不正确;
C、由一次函数图象过一、三象限,得a>0,交y轴负半轴,则b<0,
满足ab<0,
∴a﹣b>0,
∴反比例函数y=的图象过一、三象限,
所以此选项正确;
D、由一次函数图象过二、四象限,得a<0,交y轴负半轴,则b<0,
满足ab>0,与已知相矛盾
所以此选项不正确;
故选C.
9.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≥2 C.x>1 D.x>2
【考点】72:二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围;
【解答】解:由题意可知:
∴解得:x≥2
故选(B)
10.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
【考点】M6:圆内接四边形的性质.
【分析】根据四点共圆的性质得:∠GBC=∠ADC=50°,由垂径定理得:,则∠DBC=2∠EAD=80°.
【解答】解:如图,∵A、B、D、C四点共圆,
∴∠GBC=∠ADC=50°,
∵AE⊥CD,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD=90°﹣50°=40°,
延长AE交⊙O于点M,
∵AO⊥CD,
∴,
∴∠DBC=2∠EAD=80°.
故选C.
11.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函数y=[x]的图象如图所示,则方程[x]= x2的解为( )#N.
A.0或 B.0或2 C.1或 D.或﹣
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;2A:实数大小比较;E6:函数的图象.
【分析】根据新定义和函数图象讨论:当1≤x≤2时,则x2=1;当﹣1≤x≤0时,则x2=0,当﹣2≤x<﹣1时,则x2=﹣1,然后分别解关于x的一元二次方程即可.
【解答】解:当1≤x≤2时, x2=1,解得x1=,x2=﹣;
当﹣1≤x≤0时, x2=0,解得x1=x2=0;
当﹣2≤x<﹣1时, x2=﹣1,方程没有实数解;
所以方程[x]= x2的解为0或.
12.点A、C为半径是3的圆周上两点,点B为的中点,以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上,则该菱形的边长为( )
A.或2 B.或2 C.或2 D.或2
【考点】M4:圆心角、弧、弦的关系;L8:菱形的性质.
【分析】过B作直径,连接AC交AO于E,①如图①,根据已知条件得到BD=×2×3=2,如图②,BD=×2×3=4,求得OD=1,OE=2,DE=1,连接OD,根据勾股定理得到结论,
【解答】解:过B作直径,连接AC交AO于E,
∵点B为的中点,
∴BD⊥AC,
①如图①,
∵点D恰在该圆直径的三等分点上,
∴BD=×2×3=2,
∴OD=OB﹣BD=1,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DE=BD=1,
∴OE=2,
连接OD,
∵CE==,
∴边CD==;
如图②,BD=×2×3=4,
同理可得,OD=1,OE=1,DE=2,
连接OD,
∵CE===2,
∴边CD===2,
故选D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分。只要求填写最后结果,每小题全对得3分)
13.计算:(1﹣)÷= x+1 .
【考点】6C:分式的混合运算.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,从而可以解答本题.
【解答】解:(1﹣)÷
=
=
=x+1,
故答案为:x+1.
14.因式分解:x2﹣2x+(x﹣2)= (x+1)(x﹣2) .
【考点】53:因式分解﹣提公因式法.
【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解.
【解答】解:原式=x(x﹣2)+(x﹣2)=(x+1)(x﹣2).
故答案是:(x+1)(x﹣2).
15.如图,在△ABC中,AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: DF∥AC,或∠BFD=∠A ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
【考点】S8:相似三角形的判定.
【分析】结论:DF∥AC,或∠BFD=∠A.根据相似三角形的判定方法一一证明即可.
【解答】解:DF∥AC,或∠BFD=∠A.
理由:∵∠A=∠A, ==,
∴△ADE∽△ACB,
∴①当DF∥AC时,△BDF∽△BAC,
∴△BDF∽△EAD.
②当∠BFD=∠A时,∵∠B=∠AED,
∴△FBD∽△AED.
故答案为DF∥AC,或∠BFD=∠A.
16.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 k≤1且k≠0 .
【考点】AA:根的判别式.
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于k的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为0.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即:4﹣4k≥0,
解得:k≤1,
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0,
故答案为:k≤1且k≠0.
17.如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n+3 个.
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律,进而可得出结论.
【解答】解:∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3;
∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3;
∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3,
…,
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3.
故答案为:9n+3.
18.如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD边上,记为B′,折痕为CE,再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=BC.则矩形纸片ABCD的面积为 15 .
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【分析】根据翻折变化的性质和勾股定理可以求得BC和AB的长,然后根据矩形的面积公式即可解答本题.
【解答】解:设BE=a,则BC=3a,
由题意可得,
CB=CB′,CD=CD′,BE=B′E=a,
∵B′D′=2,
∴CD′=3a﹣2,
∴CD=3a﹣2,
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2,
∴DB′===2,
∴AB′=3a﹣2,
∵AB′2+AE2=B′E2,
∴,
解得,a=或a=,
当a=时,BC=2,
∵B′D′=2,CB=CB′,
∴a=时不符合题意,舍去;
当a=时,BC=5,AB=CD=3a﹣2=3,
∴矩形纸片ABCD的面积为:5×3=15,
故答案为:15.
三、解答题(共7小题,满分66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级,学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛.预赛分别为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
【考点】X6:列表法与树状图法;V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.
【分析】(1)利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数,然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比,再计算出优秀人数,然后画图即可;
(2)计算出成绩未达到良好的男生所占比例,再利用样本代表总体的方法得出答案;
(3)直接利用树状图法求出所有可能,进而求出概率.
【解答】解:(1)抽取的学生数:16÷40%=40(人);
抽取的学生中合格的人数:40﹣12﹣16﹣2=10,
合格所占百分比:10÷40=25%,
优秀人数:12÷40=30%,
如图所示:
;
(2)成绩未达到良好的男生所占比例为:25%+5%=30%,
所以600名九年级男生中有600×30%=180(名);
(3)如图:
,
可得一共有9种可能,甲、乙两人恰好分在同一组的有3种,
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P==.
20.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶点E的仰角为30°,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:≈1.73)
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】设每层楼高为x米,由MC﹣CC′求出MC′的长,进而表示出DC′与EC′的长,在直角三角形DC′A′中,利用锐角三角函数定义表示出C′A′,同理表示出C′B′,由C′B′﹣C′A′求出AB 的长即可.
【解答】解:设每层楼高为x米,
由题意得:MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米,
∴DC′=5x+1,EC′=4x+1,
在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°,
∴C′A′==(5x+1),
在Rt△EC′B′中,∠EB′C′=30°,
∴C′B′==(4x+1),
∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB,
∴(4x+1)﹣(5x+1)=14,
解得:x≈3.17,
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米.
21.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨.第一批蒜薹价格为4000元/吨;因蒜薹大量上市,第二批价格跌至1000元/吨.这两批蒜苔共用去16万元.
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨?
(2)公司收购后对蒜薹进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润1000元.要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍.为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?
【考点】FH:一次函数的应用;9A:二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设第一批购进蒜薹x吨,第二批购进蒜薹y吨.构建方程组即可解决问题.
(2)设精加工m吨,总利润为w元,则粗加工吨.由m≤3,解得m≤75,利润w=1000m+400=600m+40000,构建一次函数的性质即可解决问题.
【解答】解:(1)设第一批购进蒜薹x吨,第二批购进蒜薹y吨.
由题意,
解得,
答:第一批购进蒜薹20吨,第二批购进蒜薹80吨.
(2)设精加工m吨,总利润为w元,则粗加工吨.
由m≤3,解得m≤75,
利润w=1000m+400=600m+40000,
∵600>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=75时,w有最大值为85000元.
22.如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)求证:EF为半圆O的切线;
(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)
【考点】ME:切线的判定与性质;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF,即可得出答案;
(2)直接利用得出S△ACD=S△COD,再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD,求出答案.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵D为的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF为半圆O的切线;
(2)解:连接OC与CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π.
23.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?
【考点】HE:二次函数的应用;AD:一元二次方程的应用.
【分析】(1)由题意可画出图形,设裁掉的正方形的边长为xdm,则题意可列出方程,可求得答案;
(2)由条件可求得x的取值范围,用x可表示出总费用,利用二次函数的性质可求得其最小值,可求得答案.
【解答】解:
(1)如图所示:
设裁掉的正方形的边长为xdm,
由题意可得(10﹣2x)(6﹣2x)=12,
即x2﹣8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2;
(2)∵长不大于宽的五倍,
∴10﹣2x≤5(6﹣2x),解得0<x≤2.5,
设总费用为w元,由题意可知
w=0.5×2x(16﹣4x)+2(10﹣2x)(6﹣2x)=4x2﹣48x+120=4(x﹣6)2﹣24,
∵对称轴为x=6,开口向上,
∴当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,
∴当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,
答:当裁掉边长为2.5dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.
24.边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2
(1)如图1,将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)先判断出四边形MCND'为平行四边形,再由菱形的性质得出CN=CM,即可求出CC';
(2)①分两种情况,利用旋转的性质,即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论;
②先判断出点A,C,P三点共线,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出结论.
【解答】解:(1)当CC'=时,四边形MCND'是菱形.
理由:由平移的性质得,CD∥C'D',DE∥D'E',
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°,
∵CN是∠ACC'的角平分线,
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B,
∴∠D'E'C'=∠NCC',
∴D'E'∥CN,
∴四边形MCND'是平行四边形,
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形,
∴MC=CE',NC=CC',
∵E'C'=2,
∵四边形MCND'是菱形,
∴CN=CM,
∴CC'=E'C'=;
(2)①AD'=BE',
理由:当α≠180°时,由旋转的性质得,∠ACD'=∠BCE',
由(1)知,AC=BC,CD'=CE',
∴△ACD'≌△BCE',
∴AD'=BE',
当α=180°时,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',
即:AD'=BE',
综上可知:AD'=BE'.
②如图连接CP,
在△ACP中,由三角形三边关系得,AP<AC+CP,
∴当点A,C,P三点共线时,AP最大,
如图1,在△D'CE'中,由P为D'E的中点,得AP⊥D'E',PD'=,
∴CP=3,
∴AP=6+3=9,
在Rt△APD'中,由勾股定理得,AD'==2.
25.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;
(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.
【解答】解:
(1)由题意可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)∵A(0,3),D(2,3),
∴BC=AD=2,
∵B(﹣1,0),
∴C(1,0),
∴线段AC的中点为(,),
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,
∴直线l过平行四边形的对称中心,
∵A、D关于对称轴对称,
∴抛物线对称轴为x=1,
∴E(3,0),
设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,
∴直线l的解析式为y=﹣x+,
联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,
∴F(﹣,),
如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,
∵P点横坐标为t,
∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),
∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,
∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,
∴最大值的立方根为=;
(3)由图可知∠PEA≠90°,
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,
①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=45°,
∴∠PAG=∠APG=45°,
∴PG=AG,
∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),
②当∠APE=90°时,如图3,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,
则PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,
∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,
∴△PKE∽△AQP,
∴=,即=,即t2﹣t﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),
综上可知存在满足条件的点P,t的值为1或.