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- 2021-05-10 发布
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2016年内蒙古鄂尔多斯市乌审旗中考数学模拟试卷
一、单项选择(本大题共10题,每题3分,共30分.)
1.a为有理数,则﹣|a|表示( )
A.正数 B.负数 C.正数或0 D.负数或0
2.在下列四幅图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
A. B. C. D.
3.在算式(﹣1)□(﹣2)的□中填上运算符号,使结果最小,这个运算符号是( )
A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号.
4.如图,已知长方形的长为10cm,宽为4cm,则图中阴影部分的面积为( )
A.20cm2 B.15cm2 C.10cm2 D.25cm2
5.以下问题,不适合用普查的是( )
A.了解一批灯泡的使用寿命
B.中学生参加高考时的体检
C.了解全校学生的课外读书时间
D.旅客上飞机前的安检
6.如图,△ABC中,AC的中垂线交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF延长线于点E,若∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.2 C.3 D.3
7.小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏,小龙对小刚说:“把你珠子的一半给我,我就有10颗珠子”.小刚却说:“只要把你的给我,我就有10颗”.如果设小刚的弹珠数为x颗,小龙的弹珠数为y颗,则列出的方程组是( )
A. B.
C. D.
8.如图,在方格纸中,随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
9.函数y=ax﹣a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.下列给出5个命题:
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②六边形的内角和等于720°
③相等的圆心角所对的弧相等
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等.
其中正确命题的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空(本大题共6题,每题3分,共18分.)
11.某人身份证号是320106194607299871,则这人出生于哪年哪月哪日 .
12.已知满足不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6的最小整数解是方程:2x﹣ax=3的解,则a的值为 .
13.如图,以Rt△ABC直角边BC为直径作⊙O,交AB边于点D,已知AC=2,∠B=30°,则阴影部分面积为 .
14.通过对《因式分解》的学习,我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解.如图1中1、2、3号卡片各若干张,如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)的分解结果吗?请在画出图形.
15.如图,在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子,如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格,那么这枚棋子走28步后 到达B处.(填“一定能”或“一定不能”或“可能”)
16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P,Q分别是AB和CD上的任意一点,且AP=CQ,线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F,交PQ于E.设AP=x,BF=y,则y与x的函数关系式为 .
三、解答题(本大题共8题,共72分.)
17.(1)计算:(﹣2)2×7﹣(﹣3)×6﹣|﹣5|
(2)先化简,再求值.÷﹣,其中a=.
18.在2015年的政府工作报告中提出了九大热词,某数学兴趣小组就A互联网+、B民生底线、C中国制造2.0、D能耗强度等四个热词进行了抽样调查,每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词,如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 名同学;
(2)条形统计图中,m= ,n= ;
(3)扇形统计图中,热词B所在扇形的圆心角的度数是 ;
(4)从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少?
19.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在A、B两个位置时达到最高点,且最高点高度相同(不计空气阻力),在C点位置时达到最低点.达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°,细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE所成的角度为30°.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
(1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差.
(2)求OD这段细绳的长度.
20.已知,如图,一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点,A点坐标为(1,n),连接OB,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求△BOC的面积以及m的值;
(2)根据图象直接写出:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
21.如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
22.已知:AB是⊙O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在⊙O上,连接PQ.
(1)如图①,线段PQ所在的直线与⊙O相切,求线段PQ的长;
(2)如图②,线段PQ与⊙O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC交于点D.
①判断OQ与AC的位置关系,并说明理由;
②求线段PQ的长.
23.宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量分别如下表所示:
体积(m3/件)
质量(吨/件)
A型商品
0.8
0.5
B型商品
2
1
(1)已知一批商品有A、B两种型号,体积一共是20m3,质量一共是10.5吨,求A、B两种型号商品各有几件?
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨,容积为6m3,其收费方式有以下两种:
①按车收费:每辆车运输货物到目的地收费600元;
②按吨收费:每吨货物运输到目的地收费200元.
要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地,宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元?
24.如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;
(3)在第二问的条件下,在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
2016年内蒙古鄂尔多斯市乌审旗中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择(本大题共10题,每题3分,共30分.)
1.a为有理数,则﹣|a|表示( )
A.正数 B.负数 C.正数或0 D.负数或0
【考点】非负数的性质:绝对值.
【分析】由于a的符号不能确定,故应分a>0,a=0,a<0三种情况进行讨论.
【解答】解:当a>0时,|a|=a,﹣|a|为负数;
当a=0时,|a|=0,﹣|a|=0;
当a<0时,|a|=﹣a,﹣|a|=a为负数.
故选D.
2.在下列四幅图形中,能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
A. B. C. D.
【考点】平行投影.
【分析】根据平行投影得特点,利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断;利用在同一时刻阳光下,树高与影子成正比可对C、D进行判断.
【解答】解:A、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以A选项错误;
B、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以B选项错误;
C、在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以C选项错误;
D、在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以D选项正确.
故选D.
3.在算式(﹣1)□(﹣2)的□中填上运算符号,使结果最小,这个运算符号是( )
A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号.
【考点】有理数的混合运算;有理数大小比较.
【分析】将运算符号填入算式中,计算即可得到结果.
【解答】解:(﹣1)+(﹣2)=﹣1﹣2=﹣3;﹣1﹣(﹣2)=﹣1+2=1;
(﹣1)×(﹣2)=2;﹣1÷(﹣2)=0.5,
﹣3<0.5<1<2,
则这个运算符号为加号.
故选A
4.如图,已知长方形的长为10cm,宽为4cm,则图中阴影部分的面积为( )
A.20cm2 B.15cm2 C.10cm2 D.25cm2
【考点】中心对称.
【分析】观察图形可知,黑白图形都是互相对称的,故其面积相等,则图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半.
【解答】解:根据题意观察图形可知,
长方形的面积=10×4=40cm2,
再根据中心对称的性质得:
图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半,
则图中阴影部分的面积=×40=20cm2.
故选A.
5.以下问题,不适合用普查的是( )
A.了解一批灯泡的使用寿命
B.中学生参加高考时的体检
C.了解全校学生的课外读书时间
D.旅客上飞机前的安检
【考点】全面调查与抽样调查.
【分析】根据普查和抽样调查的概念对各个选项进行判断即可.
【解答】解:了解一批灯泡的使用寿命不适合用普查,A正确;
中学生参加高考时的体检适合用普查,B错误;
了解全校学生的课外读书时间适合用普查,C错误;
旅客上飞机前的安检适合用普查,D错误;
故选:A.
6.如图,△ABC中,AC的中垂线交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF延长线于点E,若∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.2 C.3 D.3
【考点】矩形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.
【分析】先证明△BCF是等边三角形,得出CF=BC=2,∠BCF=60°,求出CD,再证明四边形BCDE是矩形,即可求出面积.
【解答】解:连接CF,如图所示:
∵DE是AC的中垂线,
∴AF=CF,∠CDE=90°,
∴∠ACF=∠A=30°,
∴∠CFB=∠A+∠ACF=60°,
∵AF=BF,
∴CF=BF,
∴△BCF是等边三角形,
∴CF=BC=2,∠BCF=60°,
∴CD=CF•cos30°=,∠BCD=60°+30°=90°,
∵BE⊥DF,
∴∠E=90°,
∴四边形BCDE是矩形,
∴四边形BCDE的面积=BC•CD=2×=2;
故选:A.
7.小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏,小龙对小刚说:“把你珠子的一半给我,我就有10颗珠子”.小刚却说:“只要把你的给我,我就有10颗”.如果设小刚的弹珠数为x颗,小龙的弹珠数为y颗,则列出的方程组是( )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.
【分析】设小刚的弹珠数为x颗,小龙的弹珠数为y颗,根据题意,列方程组即可.
【解答】解:设小刚的弹珠数为x颗,小龙的弹珠数为y颗,
由题意得,
x+y=10,x+y=10
化简得,.
故选A.
8.如图,在方格纸中,随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式;轴对称图形.
【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,共有5种等可能的结果,使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵在方格纸中,随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,共有5种等可能的结果,使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤,3种情况,
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是:3÷5=.
故选C.
9.函数y=ax﹣a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限,则a>0,然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断;当反比例函数图象分布在第二、四象限,则a<0,然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断.
【解答】解:A、从反比例函数图象得a>0,则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限,所以A选项错误;
B、从反比例函数图象得a>0,则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限,所以B选项错误;
C、从反比例函数图象得a<0,则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限,所以C选项错误;
D、从反比例函数图象得a<0,则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限,所以D选项正确.
故选D.
10.下列给出5个命题:
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②六边形的内角和等于720°
③相等的圆心角所对的弧相等
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等.
其中正确命题的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】命题与定理.
【分析】根据正方形的判定方法对①进行判断;根据多边形的内角和公式对②进行判断;根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断;根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对④进行判断;根据三角形内心的性质对⑤进行判断.
【解答】解:①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,所以①错误;
②六边形的内角和等于720°,所以②正确;
③在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以③错误;
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形,所以④正确;
⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以⑤错误.
故选A.
二、填空(本大题共6题,每题3分,共18分.)
11.某人身份证号是320106194607299871,则这人出生于哪年哪月哪日 1946年7月29日 .
【考点】用数字表示事件.
【分析】根据身份证的编号规则知:从左到右第7位到第14位是出生的年(4位)、月(2位)、日(2位).据此解答.
【解答】解:根据身份证号码第7到14位是19460729可知这人出生于1946年7月29日.
故答案为:1946年7月29日.
12.已知满足不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6的最小整数解是方程:2x﹣ax=3的解,则a的值为 .
【考点】一元一次不等式的整数解;一元一次方程的解.
【分析】首先解不等式求得不等式的解集,然后确定解集中的最小整数值,代入方程求得a的值即可.
【解答】解:解不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6,
去括号,得:3x﹣6+5<4x﹣4+6,
移项,得3x﹣4x<﹣4+6+6﹣5,
合并同类项,得﹣x<3,
系数化成1得:x>﹣3.
则最小的整数解是﹣2.
把x=﹣2代入2x﹣ax=3得:﹣4+2a=3,
解得:a=.
故答案是:.
13.如图,以Rt△ABC直角边BC为直径作⊙O,交AB边于点D,已知AC=2,∠B=30°,则阴影部分面积为 ﹣ .
【考点】扇形面积的计算.
【分析】由∠A的度数求出∠ADO度数,利用30°直角三角形的性质求出BC的长,利用勾股定理求出AC的长,阴影部分面积=直角三角形ABC面积﹣扇形OCD面积﹣三角形AOD面积,求出即可.
【解答】解:连接半圆圆心O与D,过点O作OE⊥AB,
在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=2,
∴∠COD=60°,BC=2
∴OB=,
∴OE=,BE=,
∴BD=3,
则S阴影=S△ABC﹣S扇形COD﹣S△BOD=×2×2﹣﹣×3×=﹣,
故答案为:﹣.
14.通过对《因式分解》的学习,我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解.如图1中1、2、3号卡片各若干张,如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)的分解结果吗?请在画出图形.
【考点】因式分解-十字相乘法等.
【分析】根据题意可知:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),可以看作长为a+2b,宽为a+b的长方形面积,由此画出图形.
【解答】解:如图所示:
∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2,
大长方形的面积=(a+b)(a+2b),
∴a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).
15.如图,在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子,如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格,那么这枚棋子走28步后 可能 到达B处.(填“一定能”或“一定不能”或“可能”)
【考点】加法原理与乘法原理.
【分析】把棋盘上的方格分成黑白相间的两类,且使每个黑格的四周都是白格.棋子走奇数步时进人白格;走偶数步时,进人黑格,依此即可作出判断.
【解答】解:棋子每走一步都有2一4种可能的选择,所以该棋子走完28步后,可能出现的情况十分复杂.
如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类,且使每个黑格的四周都是白格,那么,棋子从黑色A格出发,第一步必定进人白格;
第二步必定进人黑格,第三步又进入白格…
也就是说棋子走奇数步时进人白格;
走偶数步时,进人黑格,
所以当棋子从A格出发28步后,必定落在黑格.
故这枚棋子走28步后可能到达B处.
故答案为:可能.
16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P,Q分别是AB和CD上的任意一点,且AP=CQ,线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F,交PQ于E.设AP=x,BF=y,则y与x的函数关系式为 y=x﹣ .
【考点】矩形的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
【分析】首先连接PF,QF,由线段EF是PQ的垂直平分线,可得PF=QF,又由在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,AP=x,BF=y,且AP=CQ,可得方程:(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,继而求得答案.
【解答】解:连接PF,QF,
∵线段EF是PQ的垂直平分线,
∴PF=QF,
∵在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,
∴BC=AD=6,
∵AP=x,BF=y,
∴PB=8﹣x,CF=6﹣y,
∵CQ=AP=x,
∴在Rt△PBF中,PF2=PB2+BF2=(8﹣x)2+y2,在Rt△CQF中,QF2=CF2+CQ2=(6﹣y)2+x2,
∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,
即y=x﹣.
故答案为:y=x﹣.
三、解答题(本大题共8题,共72分.)
17.(1)计算:(﹣2)2×7﹣(﹣3)×6﹣|﹣5|
(2)先化简,再求值.÷﹣,其中a=.
【考点】分式的化简求值;有理数的混合运算.
【分析】(1)先算乘方,再算乘法,最后算加减即可;
(2)先算除法,再算减法,最后把a的值代入进行计算即可.
【解答】解:(1)原式=4×7+18﹣5
=28+18﹣5
=46﹣5
=41;
(2)原式=•(a﹣2)﹣|﹣2|
=﹣a﹣|﹣2|,
当a=时,原式=﹣﹣|6﹣2|=﹣﹣4=﹣.
18.在2015年的政府工作报告中提出了九大热词,某数学兴趣小组就A互联网+、B民生底线、C中国制造2.0、D能耗强度等四个热词进行了抽样调查,每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词,如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 300 名同学;
(2)条形统计图中,m= 60 ,n= 90 ;
(3)扇形统计图中,热词B所在扇形的圆心角的度数是 72° ;
(4)从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少?
【考点】条形统计图;扇形统计图;概率公式.
【分析】(1)根据A的人数为105人,所占的百分比为35%,求出总人数,即可解答;
(2)C所对应的人数为:总人数×30%,B所对应的人数为:总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数,即可解答;
(3)根据B所占的百分比×360°,即可解答;
(4)根据概率公式,即可解答.
【解答】解:(1)105÷35%=300(人).
故答案为:300;
(2)n=300×30%=90(人),m=300﹣105﹣90﹣45=60(人).
故答案为:60,90;
(3)×360°=72°.
故答案为:72°;
(4).
答:从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是.
19.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在A、B两个位置时达到最高点,且最高点高度相同(不计空气阻力),在C点位置时达到最低点.达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°,细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE所成的角度为30°.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
(1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差.
(2)求OD这段细绳的长度.
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】(1)根据题意得出CF=OC﹣OF=OC﹣OAcos37°,进而得出答案;
(2)根据题意得出CF=CD﹣DF=BD﹣BD•cos60°=10,进而得出DC的长,进而得出答案.
【解答】解:(1)连接AB交OC于点F,可知,AB⊥OC,
由题意可得:∠AOC=37°,
则CF=OC﹣OF=OC﹣OAcos37°=50﹣50×0.8=10(cm),
故A,C之间的高度差为10cm;
(2)由(1)知,B,C的高度差也是10cm,
故CF=CD﹣DF=BD﹣BD•cos60°=10(cm),
解得:CD=20,
则OD=OC﹣BD=50﹣20=30(cm),
答:OD这段细绳的长度为30cm.
20.已知,如图,一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点,A点坐标为(1,n),连接OB,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求△BOC的面积以及m的值;
(2)根据图象直接写出:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)利用反比例函数的比例系数的几何意义可求得△BOC的面积;把A(1,n)代入y=﹣求出n=﹣,得到A点坐标为(1,﹣),然后把A点坐标代入一次函数求出m的值即可;
(2)解方程组方程组可确定B点坐标,然后观察函数图象得到当x<0或1<x<时,反比例函数图象都在一次函数图象上方,即反比例函数的值大于一次函数的值.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=﹣,
∴△BOC的面积=|k|=×=;
把A(1,n)代入y=﹣得n=﹣,
∴A点坐标为(1,﹣),
把A(1,﹣)代入y=x+m得1+m=﹣,解得m=﹣;
(2)解方程组得或,
∴B点坐标为(,﹣1),
∴当x<0或1<x<时,反比例函数的值大于一次函数的值.
21.如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】(1)要证△ABF∽△CEB,需找出两组对应角相等;已知了平行四边形的对角相等,再利用AB∥CD,可得一对内错角相等,则可证.
(2)由于△DEF∽△EBC,可根据两三角形的相似比,求出△EBC的面积,也就求出了四边形BCDF的面积.同理可根据△DEF∽△AFB,求出△AFB的面积.由此可求出▱ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,
∴△ABF∽△CEB;
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB平行且等于CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,
∵DE=CD,
∴=()2=, =()2=,
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8,
∴S四边形BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16,
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
22.已知:AB是⊙O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在⊙O上,连接PQ.
(1)如图①,线段PQ所在的直线与⊙O相切,求线段PQ的长;
(2)如图②,线段PQ与⊙O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC交于点D.
①判断OQ与AC的位置关系,并说明理由;
②求线段PQ的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)如图①,连接OQ.利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度.
(2)如图②,连接BC.利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ.根据圆周角定理推知BC⊥AC,所以,OQ⊥AC.
(3)利用割线定理来求PQ的长度即可.
【解答】解:(1)如图①,连接OQ.
∵线段PQ所在的直线与⊙O相切,点Q在⊙O上,
∴OQ⊥OP.
又∵BP=OB=OQ=2,
∴PQ===2,即PQ=2;
(2)OQ⊥AC.理由如下:
如图②,连接BC.
∵BP=OB,
∴点B是OP的中点,
又∵PC=CQ,
∴点C是PQ的中点,
∴BC是△PQO的中位线,
∴BC∥OQ.
又∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OQ⊥AC.
(3)如图②,PC•PQ=PB•PA,即PQ2=2×6,
解得PQ=2.
23.宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量分别如下表所示:
体积(m3/件)
质量(吨/件)
A型商品
0.8
0.5
B型商品
2
1
(1)已知一批商品有A、B两种型号,体积一共是20m3,质量一共是10.5吨,求A、B两种型号商品各有几件?
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨,容积为6m3,其收费方式有以下两种:
①按车收费:每辆车运输货物到目的地收费600元;
②按吨收费:每吨货物运输到目的地收费200元.
要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地,宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】(1)等量关系式为:0.8×A型商品件数+2×B型商品件数=20,0.5×A型商品件数+1×B型商品件数=10.5.
(2)①付费=车辆总数×600;②付费=10.5×200;③按车付费之所以收费高,是因为一辆车不满.∴由于3辆车是满的,可按车付费,剩下的可按吨付费,三种方案进行比较.
【解答】解:(1)设A型商品x件,B型商品y件.
由题意可得.
解之得.
答:A型商品5件,B型商品8件.
(2)①若按车收费:10.5÷3.5=3(辆),
但车辆的容积6×3=18<20,所以3辆汽车不够,需要4辆车.
4×600=2400(元).
②若按吨收费:200×10.5=2100(元).
③先用3辆车运送18m3,剩余1件B型产品,付费3×600=1800(元).
再运送1件B型产品,付费200×1=200(元).
共需付1800+200=2000(元).
∵2400>2100>2000
∴先按车收费用3辆车运送18m3,再按吨收费运送1件B型产品,运费最少为2000元.
答:先按车收费用3辆车运送18m3,再按吨收费运送1件B型产品,运费最少为2000元.
24.如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;
(3)在第二问的条件下,在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组求出b、c的值,即可得解;
(2)令y=0,利用抛物线解析式求出点C的坐标,设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴于点F,利用勾股定理列式表示出DC2与DE2,然后解方程求出m的值,即可得到点D的坐标;
(3)根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO,然后求出CD⊥DE,再利用勾股定理求出CD的长度,然后①分OC与CD是对应边;②OC与DP是对应边;根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度,过点P作PG⊥
y轴于点G,再分点P在点D的左边与右边两种情况,分别求出DG、PG的长度,结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(0,﹣3),
∴,
解得,
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)令x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
则点C的坐标为(3,0),
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴点E坐标为(1,﹣4),
设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴于点F,
∵DC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+12,
∵DC=DE,
∴m2+9=m2+8m+16+1,
解得m=﹣1,
∴点D的坐标为(0,﹣1);
(3)∵点C(3,0),D(0,﹣1),E(1,﹣4),
∴CO=DF=3,DO=EF=1,
根据勾股定理,CD===,
在△COD和△DFE中,
∵,
∴△COD≌△DFE(SAS),
∴∠EDF=∠DCO,
又∵∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠EDF+∠CDO=90°,
∴∠CDE=180°﹣90°=90°,
∴CD⊥DE,
①分OC与CD是对应边时,
∵△DOC∽△PDC,
∴=,
即=,
解得DP=,
过点P作PG⊥y轴于点G,
则==,
即==,
解得DG=1,PG=,
当点P在点D的左边时,OG=DG﹣DO=1﹣1=0,
所以点P(﹣,0),
当点P在点D的右边时,OG=DO+DG=1+1=2,
所以,点P(,﹣2);
②OC与DP是对应边时,
∵△DOC∽△CDP,
∴=,
即=,
解得DP=3,
过点P作PG⊥y轴于点G,
则==,
即==,
解得DG=9,PG=3,
当点P在点D的左边时,OG=DG﹣OD=9﹣1=8,
所以,点P的坐标是(﹣3,8),
当点P在点D的右边时,OG=OD+DG=1+9=10,
所以,点P的坐标是(3,﹣10),
综上所述,满足条件的点P共有4个,其坐标分别为(﹣,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).