江西省2013年中考数学试题(解析版) 25页

江西省 2013 年中等学校招生考试数学试卷解析 (江西于都三中 蔡家禄） 说明：1．本卷共有七个大题，24 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则 不给分。 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）每小题只有一个正确选项． 1．－1 的倒数是（ ）． A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】　B. 【考点解剖】　本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数． 【解题思路】　根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用 1 除以这个数，所以－1 的倒数 为 ，选 B. 【解答过程】　∵ ，∴选 B. 【方法规律】　根据定义直接计算． 【关键词】　实数　倒数 2．下列计算正确的是（ ）． A．a3+a2=a5 B．(3a－b)2=9a2－b2 C．a6b÷a2=a3b D．(－ab3)2=a2b6 【答案】　D. 【考点解剖】　本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、 幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、 法则是解题的前提． 【解题思路】 根据法则直接计算． 【解答过程】 A. 与 不是同类项，不能相加（合并）， 与 相乘才得 ；B.是完 全平方公式的应用，结果应含有三项，这里结果只有两项，一看便知是错的，正确为 ；C.两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同 底数幂相除，底数不变，指数相减），正确的结果为 ；D.考查幂的运算性质 （积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变， 指数相乘），正确，选 D. 1 ( 1) 1÷ − = − 1 ( 1) 1÷ − = − 3a 2a 3a 2a 5a 2 2 2(3 ) 9 6a b a ab b− = − + 6 2 4a b a a b÷ = 【方法规律】 熟记法则，依法操作. 【关键词】 单项式 多项式 幂的运算 3．下列数据是 2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 342 163 165 45 227 163 则这组数据的中位数和众数分别是（ ）． A．164 和 163 B．105 和 163 C．105 和 164 D．163 和 164 【答案】 A. 【考点解剖】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数、众数，要知道什么是中 位数、众数． 【解题思路】 根据中位数、众数的定义直接计算． 【解答过程】 根据中位数的定义——将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数 据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数； 众数是指一组数据中出现次数最多的那个数，所以 342、163、165、45、227、163 的中位数 是 163 和 165 的平均数 164，众数为 163，选 A. 【方法规律】 熟知基本概念，直接计算. 【关键词】 统计初步 中位数 众数 4．如图，直线 y=x+a－2 与双曲线 y= 交于 A，B 两点，则当线段 AB 的长度取最小值时， a 的值为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】 C. 【考点解剖】 本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法， 以及考生的直觉判断能力． x 4 【解题思路】 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当 A、B、O 三点 共线时，才会有线段 AB 的长度最小 ，（当直线 AB 的表达式中的比例系数 不为 1 时，也有同样的结论）. 【解答过程】 把原点（0，0）代入 中，得 .选 C.. 【方法规律】 要求 a 的值，必须知道 x、y 的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观 判断出直线 AB 过原点（0，0）时，线段 AB 才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出 a 的值. 【关键词】 反比例函数 一次函数 双曲线 线段最小 5．一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是 （ ）． 【答案】 C. 【考点解剖】 本题考查的投影与视图中的画已知物体的三视图，要正确掌握画三视图的有 关法则． 【解题思路】 可用排除法，B、D 两选项有迷惑性，B 是主视图，D 不是什么视图，A 少 了上面的一部分，正确答案为 C. 【解答过程】 略. 【方法规律】 先要搞准观看的方向，三视图是正投影与平行投影的产物，反映物体的轮廓 线，看得到的画成实线，遮挡部分画成虚线. 【关键词】 三视图 坐凳 6．若二次涵数 y=ax+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且 x10 B．b2－4ac≥0 C．x10,a<0 两种情况画出两个草图来分 析（见下图）. 由图可知 a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以 的大小就无法确定；在图 1 中，a>0 且有 ，则 的值为负； 在图 2 中，a<0 且有 ，则 的值也为负.所以正确选项为 D. 【解答过程】 略. 【方法规律】 先排除错误的，剩下的再画图分析（数形结合） 【关键词】 二次函数 结论正误判断 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 7．分解因式 x2－4= ． 【答案】 (x+2)(x－2). 【考点解剖】 本题的考点是因式分解，因式分解一般就考提取公因式法和公式法（完全平 方公式和平方差公式），而十字相乘法、分组分解等方法通常是不会考的． 【解题思路】 直接套用公式即． 【解答过程】 . 【方法规律】 先观察式子的特点，正确选用恰当的分解方法. 【关键词】 平方差公式 因式分解 8．如图△ABC 中，∠A=90°点 D 在 AC 边上，DE∥BC，若∠1=155°， 2 4 0b ac− > 0 1 2, ,x x x 1 0 2x x x< < 0 1 0 2( )( )a x x x x− − 1 0 2x x x< < 0 1 0 2( )( )a x x x x− − 2 4 ( 2)( 2)x x x− = + − 则∠B 的度数为 ． 【答案】65°. 【考点解剖】 本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较 为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯 之类的错误． 【解题思路】 由 ，可求得 ,最后求 ． 【解答过程】 ∵∠ADE=155°, ∴∠EDC=25°. 又∵DE∥BC， ∴∠C=∠EDC=25°, 在△ABC 中，∠A=90°，∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°. 【方法规律】 一般求角的大小要搞清楚所求角与已知角之间的等量关系，本题涉及三角形 内角和定理、两直线平行，内错角相等，等量代换等知识和方法. 【关键词】 邻补角 内错角 互余 互补 9．某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人 数的 2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，到瑞金的人数为 y 人，请列出满足题意的方程组是 ． 【答案】 . 【考点解剖】 本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准 确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示． 【解题思路】 这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数×2+1. 所以所列方程组为 ． 【解答过程】 略. 【方法规律】 抓住关键词，找出等量关系 180 155 35° − ° = ° 1 155∠ = ° 25BCD CDE∠ = ∠ = ° 65B∠ = °    += =+ 12 ,34 yx yx 34, 2 1. x y x y + =  = + 【关键词】 列二元一次方程组 10．如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 DE 和 BF，分别取 DE、 BF 的中点 M、N，连接 AM，CN，MN，若 AB=2 ，BC=2 ，则图中阴影部分的面积 为 ． 【答案】 2 . 【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩 形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，若分别计算再相加，则耗 时耗力，仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即 ），这种“整 体思想”事半功倍，所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累． 【解题思路】 △BCN 与△ADM 全等，面积也相等，口 DFMN 与口 BEMN 的面积也相等， 所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半． 【解答过程】 ，即阴影部分的面积为 . 【方法规律】 仔细观察图形特点，搞清部分与整体的关系，把不规则的图形转化为规则的 来计算. 【关键词】 矩形的面积 二次根式的运算 整体思想 11．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有的个数为 （用含 n 的代数式表示）． 【答案】 (n+1)2 . 【考点解剖】 本题考查学生的观察概括能力，发现规律，列代数式． 2 3 6 2 6 1 2 3 2 2 2 62 × × = 2 6 【解题思路】 找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示． 【解答过程】 略. 【方法规律】 由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的 平方. 【关键词】 找规律 连续奇数的和 12．若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC 的两条直角边长，且 S△ABC=3，请写出一 个符合题意的一元二次方程 ． 【答案】 x2－5x+6=0. 【考点解剖】 本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为 3（直角 边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即 保证方程的根为整数），如直角边长分别为 2、3 的直角三角形的面积就是 3，以 2、3 为根 的一元二次方程为 ；也可以以 1、6 为直角边长，得方程为 .（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，这种 题型在以前相对考得较少，有点偏了.） 【解题思路】 先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程． 【解答过程】 略. 【方法规律】 求作方程可以用根与系数的关系，也可由因式分解法解一元二次方程. 【关键词】 直角三角形 根 求作方程 13．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数 为 ． 2 5 6 0x x− + = 2 7 6 0x x− + = 【答案】 25°. 【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质． 【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边 CD,则有 AD=DE,即△ADE 为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°． 【解答过程】 ∵□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且有公共边 CD， ∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°. ∴∠DAE= . 【方法规律】 先要明确∠DAE 的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角 的 度 数 ， 分 别 将 ∠BAD=130° 转 化 为 ∠BCD=130°,∠F=110° 转 化 为 ∠DCF=70°, 从 而 求 得 ∠ADE=∠BCF=130°. 【关键词】 平行四边形 等腰三角形 周长 求角度 14．平面内有四个点 A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意 的 OC 长度为整数的值可以是 ． 【答案】2，3，4. 【考点解剖】 本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密 性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运 动变化中抓住不变量的探究能力． 【解题思路】 由∠AOB=120°，AO=BO=2 画出一个顶角为 120°、腰长为 2 的等腰三角形， 由 与 互补， 是 的一半，点 C 是动点想到构造圆来解决此题． 1 1(180 ) 50 252 2ADE° − ∠ = × ° = ° 60° 120° 60° 120° 【解答过程】 【方法规律】 构造恰当的图形是解决此类问题的关键. 【关键词】 圆 整数值 三、（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 15．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来． 【答案】解：由 x+2≥1 得 x≥－1， 由 2x+6－3x 得 x<3，∴不等式组的解集为－1≤x<3． 解集在数轴上表示如下： 【考点解剖】 本题考查不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示方法． 【解题思路】 分别把两个不等式解出来，再取它们解集的公共部分得到不等式组的解集， 最后画出数轴表示出公共部分（不等式组的解集），注意空心点与实心点的区别． 【解答过程】 【方法规律】 要保证运算的准确度与速度，注意细节（不要搞错符号）. 【关键词】 不等式组 数轴 16．如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无 刻度的直尺按要求画图． （1）在图 1 中，画出△ABC 的三条高的交点； （2）在图 2 中，画出△ABC 中 AB 边上的高． 【答案】 （1）如图 1，点 P 就是所求作的点； （2）如图 2，CD 为 AB 边上的高.    >−+ ≥+ ,33)3(2 ,12 xx x 【考点解剖】 本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、 读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直 径所对的圆周角为直角”． 【解题思路】 图 1 点 C 在圆外，要画三角形的高，就是要过点 B 作 AC 的垂线，过点 A 作 BC 的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明 必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造 90 度 角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为 90 度”.设 AC 与圆的交点为 E, 连接 BE,就得到 AC 边上的高 BE；同理设 BC 与圆的交点为 D, 连接 AD,就得到 BC 边上的高 AD， 则 BE 与 AD 的交点就是△ABC 的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形 的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC 的三条高的交点 P，再作射 线 PC 与 AB 交于点 D，则 CD 就是所求作的 AB 边上的高． 【解答过程】 略. 【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考. 【关键词】 创新作图 圆 三角形的高 四、（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 17．先化简，再求值： ，在 0，1，2，三个数中选一个合适的， 代入求值． 【答案】解：原式= · +1 = = ． 当 x=1 时，原式= . 12 2 44 2 22 +−÷+− x xx x xx x x 2 )2( 2− )2( 2 −xx x 2 12 x − + 2 x 2 1 【考点解剖】 本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生 具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答 题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件． 【解题思路】 先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到 ，可通分得 ，也可将 化为 求解． 【解答过程】 略. 【方法规律】 根据式子的特点选用恰当的解题顺序和解题方法. 【关键词】 分式 化简求值 18．甲、乙、丙 3 人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有 颜色不同），将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件． （1）下列事件是必然事件的是（ ）． A．乙抽到一件礼物 B．乙恰好抽到自己带来的礼物 C．乙没有抽到自己带来的礼物 D．只有乙抽到自己带来的礼物 （2）甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件 A），请列出事件 A 的所 有可能的结果，并求事件 A 的概率． 【答案】（1）A . （2）依题意画树状图如下： 从上图可知，所有等可能结果共有 6 种，其中第 4、5 种结果符合，∴P(A)= = ． 【考点解剖】 本题为概率题，考查了对“随机事件”、“必然事件”两个概念的理解，画树形 图或表格列举所有等可能结果的方法． 【解题思路】 （1）是选择题，根据必然事件的定义可知选 A；（2）三个人抽取三件礼物， 恰好每人一件，所有可能结果如上图所示为 6 种，其中只有第 4、5 种结果符合，∴P(A)= = 2 12 x − + 2 2 212 2 2 2 x x x− −+ = + = 2 2 x − 12 x − 6 2 3 1 6 2 ；也可以用直接列举法：甲从三个礼物中抽到的礼物恰好不是自己的只有两种，要么是 乙的要么是丙的，若甲抽到乙的，乙必须抽到丙的才符合题意；若甲抽到的是丙的，乙必须 抽到甲的才符合题意，∴P(A) = ． 【解答过程】 略. 【方法规律】 要正确理解题意，画树形图列举所有可能结果，本质就是一种分类，首先要 明确分类的对象，再要确定分类的标准和顺序，实现不重不漏. 【关键词】 必然事件 概率 抽取礼物 五、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 (x>0)的图象和矩形 ABCD 的第一象限， AD 平行于 x 轴，且 AB=2，AD=4，点 A 的坐标为(2，6) ． （1）直接写出 B、C、D 三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是 哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）. （2）如图，矩形 ABCD 向下平移后得到矩形 ， 设平移距离为 a，则 A′（2，6－a），C′（6，4－a） 3 1 3 1 x ky = A B C D ∵点 A′，点 C′在 y= 的图象上， ∴2(6－a)=6(4－a)， 解得 a=3， ∴点 A′（2，3）， ∴反比例函数的解析式为 y= ． 【考点解剖】 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式． 【解题思路】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到 B、C、D 三点的坐标，再从矩形 的平移过程发现只有 A、C 两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把 A、 C 两点坐标代入 y= 中，得到关于 a、k 的方程组从而求得 k 的值． 【解答过程】 略. 【方法规律】 把线段的长转化为点的坐标，在求 k 的值的时候，由于 k 的值等于点的横坐 标与纵坐标之积，所以直接可得方程 2(6－a)=6(4－a)，求出 a 后再由坐标求 k，实际上也可 把 A、C 两点坐标代入 y= 中，得到关于 a、k 的方程组从而直接求得 k 的值. 【关键词】 矩形 反比例函数 待定系数法 20．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某 单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶 500ml 的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大至可分为四种：A．全部喝完；B．喝 剩约 ；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图， 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中 D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条 形统计图；（计算结果请保留整数）． （2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议 60 次，每次会议人数约在 40 至 60 人之 x k 6 x x k x k 3 1 间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约 有多少瓶？（可使用科学计算器） 【答案】（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约 的人数是总人数的 50%， ∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为 50 人， ∵ ×360°=36°， ∴D 所在扇形圆心角的度数为 36°， 补全条形统计图如下； （2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为： (25× ×500+10×500× +5×500)÷50 = ÷50≈183 毫升； （3）该单位每年参加此类会议的总人数约为 24000 人~3600 人，则浪费矿泉水约为 3000×183÷500=1098 瓶． 【考点解剖】 本题考查的是统计初步知识，条形统计图与扇形统计图信息互补，文字量大， 要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试直接 叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平均数、 以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的． 【解题思路】 （1）由扇形统计图可看出 B 类占了整个圆的一半即 50%（遗憾的是扇形中 没有用具体的数字（百分比）表示出来，这是一种很不严谨的命题失误），从条形统计图又 知 B 类共 25 人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而 D 类有 5 人，已知部分数 和总数可以求出 D 类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；已知总人 数和 A、B、D 类的人数可求出 C 类的人数为 10 人，将条形统计图中补完整；（2）用总的 浪费量除以总人数 50 就得到平均每人的浪费量；（3）每年开 60 次会，每次会议将有 40 3 1 50 5 3 1 2 1 3 27500 至 60 人参加，这样折中取平均数算一年将有 3000 人参加会议，用 3000 乘以（2）中的结果 （平均每人的浪费量），得到一年总的浪费量，再转换成瓶数即可． 【解答过程】 略. 【方法规律】 能从实际问题中抽出数学问题，从题中抽出关键词即要弄清已知什么，要求 什么（不要被其它无关信息干扰）. 【关键词】 矿泉水 统计初步 六、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．如图 1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条 折线 OAB，如图 2 所示，量得连杆 OA 长为 10cm，雨刮杆 AB 长为 48cm，∠OAB=120°．若 启动一次刮雨器，雨刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图 3 所示． （1）求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间的距离；（结果精确到 0.01） （2）求雨刮杆 AB 扫过的最大面积．（结果保留 π 的整数倍） （参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ， ≈26.851，可使用科学计算器） 【答案】解：（1）雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180° ． 连接 OB，过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 EH， ∵∠OAB=120°， ∴∠OAE=60° 在 Rt△OAE 中， ∵∠OAE=60°，OA=10， ∴sin∠OAE= = ， ∴OE=5 ， ∴AE=5. ∴EB=AE+AB=53， 在 Rt△OEB 中， 2 3 2 1 3 721 OA OE 10 OE 3 ∵OE=5 ，EB=53， ∴OB= = =2 ≈53.70； （2）∵雨刮杆 AB 旋转 180°得到 CD，即△OCD 与△OAB 关于点 O 中心对称， ∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD， ∴雨刮杆 AB 扫过的最大面积 S= π(OB2－OA2) =1392π. 【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏 生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）． 【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为 180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直 角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作 AB 边上的高，得到一个含 60°角的 Rt△OAE 和一个 非特殊角的 Rt△OEB.在 Rt△OAE 中，已知∠OAE=60°，斜边 OA=10，可求出 OE、AE 的长， 进而求得 Rt△OEB 中 EB 的长，再由勾股定理求出斜边 OB 的长；（2）雨刮杆 AB 扫过的最 大面积就是一个半圆环的面积（以 OB、OA 为半径的半圆面积之差）. 【解答过程】 略. 【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角 都可求出其余的量. 【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积 22．如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（4， 2）是⊙O 外一点，连接 AP，直线 PB 与⊙O 相切于点 B，交 x 轴于点 C． （1）证明 PA 是⊙O 的切线； （2）求点 B 的坐标； （3）求直线 AB 的解析式． 3 22 BEOE + 2884 721 2 1 【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2） ∵A（0，2），P（4，2）， ∴AP∥x 轴 ． ∴∠OAP=90°，且点 A 在⊙O 上， ∴PA 是⊙O 的切线； （2）解法一：连接 OP，OB，作 PE⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 D， ∵PB 切⊙O 于点 B， ∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC， 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC． ∴△OBC≌△PEC． ∴OC=PC． （或证 Rt△OAP≌△OBP，再得到 OC=PC 也可） 设 OC=PC=x， 则有 OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在 Rt△PCE 中，∵PC2=CE2+PE2， ∴x2=(4－x)2+22，解得 x= ，…………………… 4 分 ∴BC=CE=4－ = ， ∵ OB·BC= OC·BD，即 ×2× = × ×BD，∴BD= ． ∴OD= = = ， 2 5 2 5 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 5 5 6 22 BDOB − 25 364 − 5 8 由点 B 在第四象限可知 B（ ， ）； 解法二：连接 OP，OB，作 PE⊥x 轴于点 E，BD⊥y 轴于点 D， ∵PB 切⊙O 于点 B ∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC． 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC， ∴△OBC≌△PEC． ∴OC=PC（或证 Rt△OAP≌△OBP，再得到 OC=PC 也可） 设 OC=PC=x， 则有 OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在 Rt△PCE 中，∵PC2=CE2＋PE2, ∴x2=(4－x)2+22，解得 x= ，……………………………… 4 分 ∴BC=CE=4－ = ， ∵BD∥x 轴， ∴∠COB=∠OBD， 又∵∠OBC=∠BDO=90°， ∴△OBC∽△BDO， ∴ = = ， 即 = = ． ∴BD= ，OD= ． 5 8 5 6− 2 5 2 5 2 3 BD OB OD CB BO OC BD 2 BD 2 3 2 2 5 5 8 5 6 由点 B 在第四象限可知 B（ ， ）； （3）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 由 A（0，2），B（ ， ），可得 ； 解得 ∴直线 AB 的解析式为 y=－2x+2． 【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐 标、待定系数法求函数解析式等． 【解题思路】（1） 点 A 在圆上，要证 PA 是圆的切线，只要证 PA⊥OA（∠OAP=90°）即可， 由 A、P 两点纵坐标相等可得 AP∥x 轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要 求点 B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点 B 到 x 轴、y 轴的距离，自然想到构造 Rt△OBD，由 PB 又是⊙O 的切线，得 Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC 为等腰三角形，在 Rt△PCE 中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于 CE 的方程可求出 CE、OC 的长，△OBC 的 三边的长知道了，就可求出高 BD,再求 OD 即可求得点 B 的坐标；（3）已知点 A、点 B 的 坐标用待定系数法可求出直线 AB 的解析式． 【解答过程】 略. 【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手， 若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和 方法. 【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式 七、（本大题共 2 小题，第 23 题 10 分，第 24 题 12 分，共 22 分） 23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 　　●操作发现： 在等腰△ABC 中，AB=AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三 角形，如图 1 所示，其中 DF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG= AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． ●数学思考： 5 8 5 6− 5 8 5 6−    −=+ = 5 6 5 8 ,2 bk b    −= = ,2 ,2 k b 2 1 在任意△ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如 图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置 关系？请给出证明过程； ●类比探索： 在任意△ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形， 如图 3 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断△MED 的形状． 答： ． 【答案】 解： ●操作发现：①②③④ ●数学思考： 答：MD=ME，MD⊥ME， １、MD=ME； 如图 2，分别取 AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，MF，MG，EG， ∵M 是 BC 的中点， ∴MF∥AC，MF= AC． 又∵EG 是等腰 Rt△AEC 斜边上的中线， ∴EG⊥AC 且 EG= AC， ∴MF=EG． 同理可证 DF=MG． ∵MF∥AC， ∴∠MFA＋∠BAC=180°． 同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA． 又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°． 2 1 2 1 同理可得∠DFA=90°， ∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA， 即∠DFM=∠MEG，又 MF=EG，DF=MG， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴MD=ME． 2、MD⊥ME； 证法一：∵MG∥AB， ∴∠MFA+∠FMG=180°， 又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF. ∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°， ∴∠DME=90°. 即 MD⊥ME； 证法二：如图 2，MD 与 AB 交于点 H， ∵AB∥MG， ∴∠DHA=∠DMG， 又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH, 即∠DHA=∠FDM+90°, ∵∠DMG=∠DME+∠GME， ∴∠DME=90° 即 MD⊥ME； ●类比探究 答：等腰直角三解形 【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高． 【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正 确；（2）直觉告诉我们 MD 和 ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图 1△DFM≌△MGE 的启发，应想到取中点构造全等来证 MD=ME，证 MD⊥ME 就是要证 ∠DME=90°，由△DFM≌△MGE 得∠EMG=∠MDF, △DFM 中四个角相加为 180°，∠FMG 可看 成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基 础易知为等腰直角三解形. 【解答过程】 略. 【方法规律】 由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等） 【关键词】 课题学习 全等 开放探究 24．已知抛物线抛物线 y n=－(x－an)2+an（n 为正整数，且 00， ∴a1=1． 即 y1=―(x―1)2+1 方法一：令 y1=0 代入得：―(x―1)2+1=0， ∴x1=0，x2=2， ∴y1 与 x 轴交于 A0（0，0），A1（2，0） ∴b1=2， 方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1 与 x 轴交于点 A0（0，0）， ∴―(b1―1)2+1=0，b1=2 或 0，b1=0（舍去）． ∴b1=2． 又∵抛物线 y2=―(x―a2)2+a2 与 x 轴交于点 A1（2，0）， ∴―(2―a2)2+ a2=0， ∴a2=1 或 4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）． ∴取 a2=4，抛物线 y2=―(x―4)2+4． （2）（9，9）； （n2，n2） y=x． 详解如下： ∵抛物线 y2=―(x―4)2+4 令 y2=0 代入得：―(x―4)2+4=0， ∴x1=2，x2=6． ∴y2 与 x 轴交于点 A1（2，0），A2（6，0）． 又∵抛物线 y3=―(x―a3)2+a3 与 x 轴交于 A2（6，0）， ∴―(6―a3)2+a3=0 ∴a3=4 或 9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去）， 即 a3=9，∴抛物线 y3 的顶点坐标为（9，9）． 由抛物线 y1 的顶点坐标为（1，1），y2 的顶点坐标为（4，4），y3 的顶点坐标为（9，9）， 依次类推抛物线 yn 的顶点坐标为（n2，n2）． ∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； ③∵A0（0，0），A1（2，0）， ∴A0 A1=2． 又∵yn=―(x―n2)2+n2， 令 yn=0， ∴―(x―n2)2+n2=0， 即 x1=n2+n，x2=n2－n， ∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即 A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n． ②存在．是平行于直线 y=x 且过 A1（2，0）的直线，其表达式为 y=x－2． 【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表 示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要 的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画 图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最 高境界． 【解题思路】 （1）将 A0 坐标代入 y1 的解析式可求得 a1 的值；a1 的值知道了 y1 的解析式 也就确定了，已知抛物线就可求出 b1 的值，又把（b1，0）代入 y2，可求出 a2 ，即得 y2 的 解析式；（2）用同样的方法可求得 a3 、a4 、a5 ……由此得到规律 ，所以顶点坐 标满足的函数关系式是：y= x；（3）由（2）可知 得 ; 最后一问我们会猜测这是与直线 y=x 平行且过 A（2，0）的一条直线，用特 2 na n= 0 1 1 2 2 32, 4, 6A A A A A A= = = 1 2n nA A n− = 殊值法取 得 和 ，得所截得的线段长度为 ，换一 组抛物线试试，求出的值也为 （当然用字母来运算就是解 得 和 ，求得所截得的线段长度也为 ）. 【解答过程】 略. 【方法规律】 掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难. 【关键词】 二次函数 抛物线 规律探究 2( 4) 4, 2 y x y x  = − − +  = − 1 1 2, 0 x y =  = 2 2 5, 3 x y =  = 3 2 3 2 2 2 2( ) , 2 y x n n y x  = − − +  = − 2 1 2 1 1, 1 x n y n  = + = − 2 2 2 2 2, 4 x n y n  = − = − 3 2