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  • 2021-05-10 发布

中考三角形总复习解析版

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‎2016年中考数学考点总动员系列 考点十四:三角形 ‎ 聚焦考点☆温习理解 一、三角形 ‎ ‎1、三角形中的主要线段 ‎(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。‎ ‎2、三角形的三边关系定理及推论 ‎(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论:三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎(2)三角形三边关系定理及推论的作用:‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时,可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。‎ 推论:‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。‎ 二、全等三角形 ‎ ‎1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理:‎ ‎(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)‎ ‎(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)‎ ‎(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。‎ 直角三角形全等的判定:‎ 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)‎ ‎2.全等三角形的性质:‎ 三、等腰三角形 ‎1、等腰三角形的性质定理及推论:‎ 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)‎ 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。[来源:学科网ZXXK]‎ 推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。‎ ‎2、等腰三角形的判定定理及推论:‎ 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。‎ 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。‎ 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、三角形中位线 ‎【例2】(2014·河北)如图,△ABC中,D,E分别上边AB,AC的中点,若DE=2,则BC=( )‎ A、2 B、3 C、4 D、5‎ ‎【答案】C.‎ 考点:三角形中位线定理.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,中位线是三角形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2015·湖北衡阳,18题,3分)如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A、B两点的点O 处,再分别取OA、OB的中点M、N,量得MN=20m,则池塘的宽度AB为 m.‎ ‎【答案】40‎ 考点: 三角形中位线定理 考点典例二、等腰三角形 ‎【例2】(2015·湖北衡阳,7题,3分)已知等腰三角形的两边长分别是5和6,则这个等腰三角形的周长为( ).‎ A.11 B.16 C.17 D.16或17‎ ‎【答案】D 考点:三角形三边关系;分情况讨论的数学思想 ‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2015·湖北荆门,5题,3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为(  )‎ A.8或10 B.8 C.10 D.6或12‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:①2是腰长时,三角形的三边分别为2、2、4,∵2+2=4,∴不能组成三角形,‎ ‎②2是底边时,三角形的三边分别为2、4、4,能组成三角形,周长=2+4+4=10,‎ 综上所述,它的周长是10.故选C.‎ 考点:1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系;3.分类讨论.‎ 考点典例三、全等三角形 ‎【例3】如图,△ABC和△DEF中,AB=DE、角∠B=∠DEF,添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )‎ A.AC∥DF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据全等三角形的判定定理,即可得出:‎ ‎∵AB=DE,∠B=∠DEF,‎ ‎∴添加AC∥DF,得出∠ACB=∠F,即可证明△ABC≌△DEF,故A、D都正确;‎ 添加∠A=∠D,根据ASA,可证明△ABC≌△DEF,故B都正确;‎ 添加AC=DF时,没有SSA定理,不能证明△ABC≌△DEF,故C都不正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理,证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,还有直角三角形的HL定理.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2015.重庆市A卷,第20题,7分)如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E。‎ 求证:ADB=FCE.‎ ‎20题图 ‎【答案】证明见解析.‎ 考点:全等三角形的证明.‎ 考点典例四、相似三角形 ‎【例4】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:4,则S△BDE:S△ACD=‎ ‎(  )‎ ‎  A. 1:16 B. 1:18 C. 1:20 D. 1:24‎ ‎【答案】C.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方,用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1. (2015.天津市,第16题,3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. 若AD =3,DB =2,BC =6,则DE的长为      .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得,解得.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎2.(2015·黑龙江哈尔滨)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD、CD于点G,H,则下列结论错误的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C 考点:三角形相似的应用.‎ 考点典例五、位似三角形 ‎【例5】△ABC与△A′B′C′是位似图形,且△ABC与△A′B′C′的位似比是1:2,已知△ABC的面积是3,则△A′B′C′的面积是( )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 考点:位似变换的性质.‎ ‎【点睛】此题主要考查了位似图形的性质,利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2015·辽宁营口)如图,△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形,已知点A(3,4),点C(2,2),点D(3,1),则点D的对应点B的坐标是( ).‎ ‎ ‎ ‎ A.(4,2) B.(4,1) C.(5,2) D.(5,1)‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:分别过C,D,A,B,做x轴的垂线,垂足分别是F,H,K;因为A,D的横坐标相同,所以D在AH上,∵E(1,0),C(2,2),A(3,4),D(3,1),∴EF=1,FH=1;∵CF∥AH∥BK,∴,∵CD∥AB,∴,∵DH∥BK,∴,∵EH=2,DH=1,∴EK=4,BK=2,∴OK=5,∴B(5,2),故选C.‎ 考点:1.位似性质;2.平行线分线段成比例定理.‎ ‎2.(2015宜宾)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为(  )‎ A.(1,2) B.(1,1) C.(,) D.(2,1)‎ ‎【答案】B.‎ 考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质.‎ 考点典例六:直角三角形 ‎【例6】(2015·湖南长沙)如图,为测量一颗与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意可得BO=30,tan∠ABO=,则AO=BO·tan∠ABO=30tanα.‎ 考点:三角函数的应用.‎ ‎【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比边.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2015·辽宁大连)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( )‎ A.-1 B.+1 C.-1 D.+1‎ ‎【答案】D 考点:解直角三角形.‎ ‎2.(2015·湖北荆门,11题,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=Rt∠,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为(  )[来源:Z。xx。k.Com]‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 考点:1.解直角三角形;2.等腰直角三角形.‎ 课时作业☆能力提升 一、 选择题 ‎1.(2015·湖南长沙)如图,过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是( )‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段,叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高,C是作AB边上的高,D是作AC边上的高.‎ 考点:三角形高线的作法 ‎2.(2015.山东济宁,第5题,3分)三角形两边长分别为3和6,第三边是方程的根,则三角形的周长为( )‎ A.13 B.15 C.18 D.13或18‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:解一元二次方程可求得方程的两根为,那么根据三角形的三边关系,可知3<第三边<9,得到合题意的边为4,进而求得三角形周长为3+4+6=13.‎ 故选A 考点:解一元二次方程,三角形的三边关系,三角形的周长 ‎3.(2015.济宁,第9题,3分)如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=米,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连,若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )‎ A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米 ‎【答案】A 考点:解直角三角形 ‎4.(2015.山东日照,第10题,3分)如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:解:如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,‎ ‎∵tanB=,即=,‎ ‎∴设AD=5x,则AB=3x,‎ ‎∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,‎ ‎∴△CDE∽△BDA,‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=x,DE=,‎ ‎∴AE=,‎ ‎∴tan∠CAD==.‎ 故选D.‎ 考点:解直角三角形.‎ ‎5.(2015成都)如图,在△ABC中,DE//BC,AD=6,BD=3,AE=4,则EC的长为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析: 根据平行线段的比例关系,,即,,故选B.‎ 考点:平行线分线段成比例.‎ ‎6.(2015·黑龙江哈尔滨)如图:某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞机飞行高度 AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角=,则飞机A与指挥台B的距离为( )‎ ‎(A)1200m (B) 1200m (C)1200m (D)2400m ‎【答案】D 考点:三角函数的应用.‎ ‎7.(2015内江)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为(  )‎ A.40° B.45° C.60° D.70°‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°.故选A.‎ 考点:1.等腰三角形的性质;2.平行线的性质.‎ ‎8.(2015.北京市,第6题,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M、C两点间的距离为( )‎ A0.5km    B.0.6km C.0.9km    D.1.2km ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km.故选D.‎ 考点:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二、填空题 ‎9.(2015·辽宁沈阳)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= .‎ ‎【答案】2:3.‎ 考点:位似变换.‎ ‎10.如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为   .‎ ‎【答案】60°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:可证明△COD≌△COB,得出∠D=∠CBO,再根据∠BAC=80°,得∠BAD=100°,由角平分线可得∠BAO=40°,从而得出∠DAO=140°,根据AD=AO,可得出∠D=20°,即可得出∠CBO=20°,则∠ABC=40°,最后算出∠BCA=60°‎ 试题解析:∵△ABC三个内角的平分线交于点O,‎ ‎∴∠ACO=∠BCO,‎ 在△COD和△COB中,‎ ‎,‎ ‎∴△COD≌△COB,‎ ‎∴∠D=∠CBO,‎ ‎∵∠BAC=80°,‎ ‎∴∠BAD=100°,‎ ‎∴∠BAO=40°,‎ ‎∴∠DAO=140°,‎ ‎∵AD=AO,∴∠D=20°,‎ ‎∴∠CBO=20°,‎ ‎∴∠ABC=40°,‎ ‎∴∠BCA=60°.‎ 考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质.‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC..若AB=10,则EF的长是 ▲ . ‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,[来源:学科网]‎ ‎∴AD=5,AE=EC,DE=BC,∠AED=90°.‎ ‎∵CF=BC,∴DE=FC.‎ 在Rt△ADE和Rt△EFC中,∵AE=EC,DE=FC,∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.‎ 考点:1.三角形中位线定理;2.全等三角形的判定和性质.‎ ‎12.(2015山东枣庄,第15题,4分)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD=________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】因为CD⊥AB,所以△ADC是直角三角形,E为AC的中点,所以AC=2DE=10,由勾股定理可得AD=8.‎ 考点:直角三角形的性质 ‎13.(2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)如图,点B、A、D、E在同一直线上,BD=AE,BC∥EF,要使△ABC≌△DEF,则只需添加一个适当的条件是 .(只填一个即可)‎ ‎【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF.‎ 考点:1.全等三角形的判定;2.开放型.‎ ‎14.(2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)BD为等腰△ABC的腰AC上的高,BD=1,tan∠ABD=,则CD的长为 .‎ ‎【答案】或或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:分三种情况:①如图1,∠A为钝角,AB=AC,在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=,∴AD=,AB=2,∴AC=2,∴CD=,‎ ‎②如图2,∠A为锐角,AB=AC,在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=,∴AD=,AB=2,∴AC=2,∴CD=,‎ ‎③如图3,BA=BC,∵BD⊥AC,∴AD=CD,在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=,∴AD=,∴CD=,‎ 综上所述;CD的长为:或或,故答案为:或或.‎ 考点:1.解直角三角形;2.等腰三角形的性质;3.勾股定理.‎ 三.解答题 ‎15.如图,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.‎ ‎(1)作图:‎ ①过B作AC的平行线BH;‎ ②过D作BH的垂线,分别交AC,BH,AB的延长线于E,F,G.‎ ‎(2)在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)作图见解析;(2)△DEC≌△DFB(答案不唯一),证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据平行线和垂线的作图方法作图.‎ ‎(2)根据作图方法,由ASA可判定△DEC≌△DFB(答案不唯一).‎ 试题解析:解:(1)作图如下:①如答图1;②如答图2.‎ ‎(2)△DEC≌△DFB(答案不唯一),证明如下:‎ ‎∵BH∥AC,∴∠DCE=∠DBF.‎ 又∵D是BC中点,∴DC=DB.‎ 在△DEC与△DFB中,∵,∴△DEC≌△DFB(ASA).‎ 考点:1. 作图(复杂作图);2.开放型问题;3. 全等三角形的判定;4.平行的性质.‎ ‎16.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:可证明△ABF≌△ACE,则BF=CE,再证明△BEP≌△CFP,则PB=PC,从而可得出PE=PF,BE=CF.‎ 试题解析:在△ABF和△ACE中,‎ ‎ AB=AC ∠BAF=∠CAE AF=AE ,‎ ‎∴△ABF≌△ACE(SAS),‎ ‎∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),‎ ‎∴BF=CE(全等三角形的对应边相等),‎ ‎∵AB=AC,AE=AF,‎ ‎∴BE=CF,‎ 在△BEP和△CFP中,‎ ‎ ∠BPE=∠CPF ∠PBE=∠PCF BE=CF ,‎ ‎∴△BEP≌△CFP(AAS),‎ ‎∴PB=PC,‎ ‎∵BF=CE,‎ ‎∴PE=PF,‎ ‎∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF,BF=CE.‎ 考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.‎ ‎17..(2015·湖北孝感)(本题满分8分)‎ 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形是一个筝形,其中,.对角线,相交于点,,,垂足分别是,.求证.‎ ‎【答案】OE=OF.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由根据SSS得出全等,根据全等性质得出BD为∠ABC的角平分线,再由角平分线上的点到角两边的距离相等,得出OE=OF 考点:全等三角形 ‎18.(2015·辽宁沈阳)如图,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB、EC分别与AD相交于点F、G.求证:(1)△EAB≌△EDC;‎ ‎(2)∠EFG=∠EGF.‎ ‎【答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析.[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据四边形ABCD是矩形,得到AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°.再根据EA=ED,得到∠EAD=∠EDA,由等式的性质得到∠EAB=∠EDC.利用SAS即可证明△EAB≌△EDC;‎ ‎(2)由△EAB≌△EDC,得到∠AEF=∠DEG,由三角形外角的性质得出∠EFG=∠EAF+∠AEF,∠EGF=∠EDG+∠DEG,即可证明∠EFG=∠EGF.‎ 试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°.∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠EAB=∠EDC.在△EAB与△EDC中,∵EA=ED,∠EAB=∠EDC,AB=DC,∴△EAB≌△EDC(SAS);‎ ‎(2)∵△EAB≌△EDC,∴∠AEF=∠DEG,∵∠EFG=∠EAF+∠AEF,∠EGF=∠EDG+∠DEG,∴∠EFG=∠EGF.‎ 考点:1.全等三角形的判定与性质;2.矩形的性质.‎ ‎19.(2015·湖北襄阳,22题)如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:‎ ‎(1)BC的长;‎ ‎(2)sin∠ADC的值.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】(1)4;(2).‎ ‎(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD﹣CE=1,∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.‎ 考点:解直角三角形.‎ ‎20.(2015.山东泰安,第27题)(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.‎ ‎(1)求证:AC•CD=CP•BP;‎ ‎(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.‎ ‎【答案】(1)证明见试题解析;(2).‎ 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.综合题.‎ ‎ ‎