中考数学压轴动态几何 14页

‎ 动图中的函数关系 ‎ 图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。这些问题就需要借助方程来解决。但不管是动点问题引出的函数。还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即 图形动点问题 通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系 函数（变化规律）‎ 方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）‎ ‎ ‎ 一、图形中动点形成的函数 例1 如图（1），中，点P是AC上的动点（P不与A，C重合）。，点P到AB的距离为。（1）求与的函数关系式；‎ ‎（2）试讨论以P为圆心，半径为的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的取值范围。‎ A C B P Q A C B P ‎（1） （1`）‎ ‎【观察与思考】（1）如图（1`），若于Q，要建立PQ和CP的函数关系，可以通过和 ‎ ‎ 的相似关系。（2）就是讨论⊙P的半径（即）和圆心P到AB的距离（即）的大小关系。‎ 解：（1）过P作于Q，如图（1`），则，‎ 易知∽，，‎ 化简得：。‎ ‎（2）令，即解得，此时⊙P与直线AB相切。‎ 对应地有：时，⊙P与直线AB相离；时，⊙P与直线AB相交。‎ ‎【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P和AB相切这一特殊情况来判断⊙P和AB的三种位置关系。‎ A P N B M 例2 如图（1），已知P为的边上的一点，以P为顶点的的两边分别交射线于两点，且为锐角）。当以点P为旋转中心，从PM边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动。设，的面积为。若。‎ ‎（1）当旋转30°（即）时，求点N移动的距离；‎ ‎（2）写出与之间的关系式； （1）‎ ‎（3）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围。‎ ‎【观察与思考】首先要把题目的背景分析清楚：‎ ‎①为锐角，且，得；‎ A P B N ‎（M）‎ ‎60°‎ ‎60°‎ A P B N ‎（M）‎ ‎30°‎ ‎60°‎ ‎②旋转前，PM边与边重合，对应的图形为图①，其中是边长为2的等边三角形。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ① ②‎ 对于问题（1），旋转30°后变为图形②，可知此时和都是直角三角形，弄清楚这些特点，问题很容易解决。‎ 对于问题（2）和（3），又要回到原题图，借助直角三角形及相似三角形，通过几何计算可求出函数的表达式。‎ 解：（1）初始状态时，是边长为2的等边三角形（如图①），当旋转30°到位置时对应的图形为图（②）。‎ ‎。‎ 在中，。‎ 点N的移动距离为2。‎ ‎（2）如图（1）在和中，。‎ ‎∽，，即。‎ ‎，（※）‎ 过P点作，垂足为D（如图③），‎ 在中，，‎ ‎。‎ 在中，，（※※）‎ 由（※）和（※※）式得，即。‎ A P N B M D ‎（3）在中，OM边上的高PD为，（见图③）。‎ ‎。 ‎ 即。‎ 又的取值范围是。 （③）‎ 是的正比例函数，且比例系数，即。‎ ‎【说明】Ⅰ、对于运动中变化中的图形，在题目的图示中往往只给出一种一般情况下的图形，但要把题目的全部背景和整个变化过程搞清楚，就需要如本题那样，仔细研究图形变动的每种形态和联系。‎ Ⅱ、由本题的解可以看出，要顺利建立出函数关系式，关键在于发现题目中的三角形之相似关系以及恰当地引用和构造直角三角形。‎ A B C D P N M F E ‎【练习】1、如图，在矩形中，P为AC的中点，直线，且分别与AB，BC相交于点E，F。设的面积为，求关于 的函数关系式。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3 如图（1），已知直角梯形中，动点 B C A D C P沿 的路线以秒的速度向C运动，动点Q沿 线路以秒的速度向C运动，P，Q两点分别从A，B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为秒，的面积为。‎ ‎（1）求AD的长及的取值范围；‎ ‎（2）求关于的函数关系式，并具体描述在P，Q运动过程中，的面积随变化而增大或减小的情况。‎ A D B C Q P ‎【观察与思考】 首先，要把题目的背景搞清楚，如图（1`），将AB平移至 DE，易得，即得。‎ 其次，要把运动全过程搞清楚：首先从时间上来看，点Q共可运动8秒；点P 在AD上运动秒，在DC上运动秒，也是共运动8秒，再看的变 （1）‎ 动情况：当时，点P在AD上，此阶段图形大致如图（2`），而在 时，此阶段图形大致如图（3`）。‎ ‎ ‎ 把这些情况都搞清楚了，问题（1）和问题（2）就容易解决了。‎ A D B C Q P A D B C ‎12‎ ‎13‎ E ‎12‎ ‎3‎ ‎5‎ A D B C E P M Q ‎ ‎ ‎ （1`） （2`） （3`）‎ ‎ ‎ 解：（1）在梯形中，过D作于E点。‎ 在中，，。‎ 点P从出发到点C共需（秒），点Q从出发到C共需（秒）。‎ 又。‎ ‎（2）①当时，点P在AD边上，P到BC的垂线段长。‎ ‎（）。‎ A D B C E P M Q ‎②当时，点P在DC上，（图（3`），。‎ 过点P作于M，得∽。‎ ‎，即又，‎ 当时，的面积随的增大而增大。‎ 当时，。‎ 当时，的面积随的增大而（继续）增大。‎ 当时，的面积随的增大而减小。‎ ‎【说明】本题突现了函数表达式的分段情况源起于对图形动点引出的相关图形不同的变化形态，足见深入和全面审题的重要。‎ 二、图形中动点形成的方程 特定形状图形 特定位置图形 特定数量图形 图形动点 几何计算 方程 A B C D P Q 例1 如图，（1），在等腰梯形中，，点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，点Q从点C出发，以的速度沿CD，DA向终点A运动。（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动终止）。设P，Q同时出发并运动了秒。‎ ‎（1）当PQ将梯形分成两个直角梯形时，求的值；‎ ‎（2）试问是否存在这样的，使四边形的面积是梯形面 积的一半？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由。 ‎ ‎ （1）‎ ‎【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：略；‎ 第二，搞清楚运动的全过程：①从时间上来看，点P共运动 ‎ ‎4秒钟，而点Q在CD上运动2秒，在DA上需运动6秒。这 样，它们共同运动的时间为4秒，即点Q在DA上最多运 动到处。②再从对应的图形来看，在时，对应图形如原图（1），而在时，对应的图形就像图（1`）。‎ A B C D P Q ‎ 有了以上的研究，再来看看相应问题的解决方向和方法：‎ 对于问题（1），对应的图形如图（1``），可通过构造 关于的方程来求解。 （1`）‎ 对于问题（2），应计算出来（是关于的代数式），令它 A B C D P Q F E 等于，从所得方程解出相应的值。但应特别注意，在计算 时，需分点Q在CD上还是在DA上两种情况来讨论。‎ 解：（1）过D作于E，过C作于F，如图（1``）。 （1``）‎ ‎，‎ 若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，有，‎ 即。‎ 当秒时，PQ将分成两个直角梯形。‎ ‎（2）在中，，‎ ‎（8+2）。‎ 当时，‎ A B C D P Q H G ‎①如图（1），若点Q在CD上，即，则。‎ ‎，解得（舍去）。‎ ‎②如图（1※），若点在上，即。 （1※）‎ 由图（1``）易知，‎ 过点作于，其反向延长线交的延长线于，如图（1※），‎ 在中，，‎ 在中，。‎ 设，也即，得 即。‎ 解得（不合题意，舍去），）。‎ 存在，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。‎ ‎【说明】由本题可以看出：求动点引起的特定形状（PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形）、特定数量（四边形PBCQ的面积为梯形面积的一半）的图形，都是通过构造相应的方程来解决。‎ A B C P Q E F ‎【练习】2、如图，等边三角形中，，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q。设。‎ ‎（1）写出与之间的函数关系式；‎ ‎（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合。‎ 例2 如图，在中，，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动。P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，关于直线PQ对称的图形是。设运动时间为（秒）。‎ ‎（1）为何值时，四边形是梯形？‎ ‎（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【观察与思考】首先，搞清楚背景图形（略）；‎ 其次，搞清运动全过程，在这里重点是搞清楚四边形是由和它关于PQ对称的图形组成的。对于问题（1），应以，这一特征构造关于的方程来解决。对于问题（2），应像图（1`）那样，用∽来反映，并由此构造关于的方程来解决。‎ A B CC C CC Q CC P CC D CC M CC A B CC C CC Q CC P CC D CC ‎(1) （1`）‎ 解：（1）如图（1``），若是梯形，由于AB与BQ显然不平行，‎ A B CC C CC Q CC P CC D CC 故应以，即∽。 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，解得。 ‎ 当秒时，四边形是梯形。 （1``）‎ ‎（2）设存在时刻，使得，延长PD交BC于点M，如图（1`），则 ‎∽，，‎ ‎。‎ 又，若，即有∽，则 ‎ 即，解得。‎ 当秒时，。‎ ‎【说明】在本题，研究动点在运动过程中何时使“四边形是梯形”——变化中成为特定形状的图形，能否使“”——变化成为特定位置关系的图形，都是借助构造方程来解决的。‎ 三、图形中动点形成的函数和方程 在更多情况下，是同时研究图形引入动点形成的函数及方程问题。‎ 例1 如图①，中，，点M在边AB上，且。‎ A C B D M ‎（1）动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设。‎ ‎①设与的面积之比为，求与之间的函数 ①‎ A C B E M D 关系式（写出自变量的取值范围）。‎ ‎②当取何值时，是等腰三角形？写出你的理由。‎ ‎（2）如图②，以图①中的BC，CA为一组邻边的矩形中，‎ D在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰 三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由。）‎ ‎【观察与思考】第一，搞清楚背景图形，如在图①中，； ②‎ 第二，搞清楚运动全过程，在（1）中，点D在AC上运动，‎ 的边DA的长随之变化，但该边上的高不变，边AM也是不变的；在（2）中，点D可以运动至矩形上的任意一点，所以的形状也相应地变化着，但AM 这条边是不变的。‎ A C B D M H 解：（1）①，又。过点M作于H。（如图①`）‎ ‎∽，得 ‎。 ①`‎ ‎。‎ ‎（其中）。‎ ‎②要使为等腰三角形，只有以下三种可能：‎ ⅰ、，此时。‎ ⅱ、，即在图①`中应有，而，‎ 也即。‎ ⅲ、（如图①``）。若过D作于点E，易知∽，且。‎ A C B D M E 即，得。‎ ‎。 ①``‎ 综上可知：当时，都可以是等腰三角形。‎ A C B E M ‎（2）注意到要求为等腰三角形，且以为顶角，也就是要求，那么A和D都应以点M为圆心，以MA的长为半径的圆周上，为此，作草图如图②`，该圆与矩形的边共有5个交点（包括点A），这些点中和M，A构以M为顶角顶点的等腰三角形共有4个，如图中的。‎ ‎【说明】在本题中，（1）中的①是转化为函数，（1）中 的②是转化为方程。而对于（2），则主要通过分析图形 ②`‎ 的几何性质与画草图来解决。‎ A B C D E F H G 例2 已知，如图（1），正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边AB，CD，DA上，连结CF。‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）设，用含的代数式表示的面积； （1）‎ ‎（3）判断的面积能否等于1，并说明理由。‎ ‎【观察与思考】首先应当清楚，当点G在DC边上运动时，‎ ‎ 菱形的形状、大小从而点F的位置都是变化的。‎ 对于（1），应先搞清楚时菱形的形状和点F的位置。‎ 对于（2），关键是求中边CF上的高。‎ A B C D E F H G 对于（3），可借助于方程或函数的性质帮助作出判断。‎ 解：（1）正方形中，。‎ 又，，即菱形的边长为。‎ 在和中， 。‎ ‎，‎ ‎。 ‎ ‎，即这时菱形是正方形。 （1`）‎ 同理可以证明。‎ A B C D E F H G M 即点F在BC边上，如图（1`），同时可得。‎ ‎。‎ ‎（2）作，M为垂足，连结GE，如图（1``）。‎ ‎， （1``）‎ ‎。‎ 在和中，又有。‎ ‎，即无论菱形如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。‎ ‎。‎ ‎（3）若，由，得，此时在中，。相应地，在中，，即点E已经不在边AB上。故不可能有。 ‎ 三、课堂小结：‎ 1. 图形引入动点后，大都会形成变动图形边长或面积的函数问题；‎ 2. 这类函数关系的建立，核心基础是“几何计算”，注意恰当运用与构建直角三角形及相似三角形；‎ 3. 解法的思考要特别注意从支背景图形和“变化过程”的全面研究入手。‎ 4. 图形引入动点后形成的函数和方程问题，切入点在于深入，全面地研究“变动着的图形”，‎ ‎ 解决的关键在于运用好“几何计算”。‎ 四、 作业布置：‎ ‎1、如图（1），在梯形中，‎ A D C B ‎（1）如图（2），动点P，Q同时以每秒的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止。点Q沿BC运动到 点C停止，设P，Q同时从点B出发秒时，的面积为，求关于（秒）的函数关系式。‎ A D C B Q P A D C B E P ‎ ‎ ‎ （1） （2） （3）‎ ‎ ‎ ‎（2）如图（3），动点P以每秒的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且。设点P从点B出发秒时，四边形PADE的面积，求关于（秒）的函数关系式，并写出自变量的取值范围。‎ ‎2、如图，已知矩形的边长某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以的速度向A点匀速运动 问：‎ ‎（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？‎ ‎（2）是否存在时刻，使以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ A B D C N M ‎3、如图，在矩形中，。设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P，Q移动的时间为（）。‎ ‎（1）写出的面积与时间之间的函数表达式，当为何值时，S有最大值？最大值是多少？‎ ‎（2）当为何值时，为等腰三角形？‎ ‎（3）能否成为等边三角形？若能，求的值；若不能，说明理由。‎ A B C D P Q ‎4、如图，正方形的边长为，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作交DC于点Q，设BP的长为，CQ的长为。‎ A B C D Q P ‎（1）求点P在BC上运动的过程中的最大值；‎ ‎（2）当时，求的值。‎ ‎5、如图，在等腰梯形中，。点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速度运动；动点Q从点C出发沿线段ＣＢ－ＢＡ－ＡＤ方向以每秒3个单位长度匀速运动，过点Q向上作射线，交折线线段于点E，点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q随之停止。设点P，Q运动的时间是秒（。 ‎ ‎（1）当点P到达终点C时，求的值，并指出此时BQ的长；‎ ‎（2）当点P运动到AD上时，为何值能使？‎ ‎（3）设射线QK扫过梯形的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与的函数关系式；（不必写出的取值范围）。‎ ‎（4）能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围，若不能，请说明理由。‎ A B C D E P K Q