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数学中考模拟试卷（八）‎ 一、选择题（每题4分，共40分）‎ ‎1. 列各数中，无理数是（ ） A．0.101001 B.0 C. D.‎ ‎2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）‎ A．5m B．15m C．20m D．28m ‎3. 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是( )‎ A．　 B．　 C．　 D．‎ 第3题 第2题 ‎24cm 第4题 ‎4. 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略 不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面直径为10cm，那么这张扇形纸板的面积 是（ ）‎ A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2‎ ‎5. 某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛．小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的 ( )‎ A．方差 B．极差 C． 中位数 D．平均数 ‎6. 如图，是关于的不等式的解集，则的取值是（ ）‎ ‎（第6题）‎ x ‎−2‎ ‎−3‎ ‎−1‎ ‎0‎ ‎1‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 已知点A（，）和点B（3，），直线AB平行于轴，则等于（ ）‎ A．−1 B．1 C．−1或3 D．3‎ ‎8. 如图3，将Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端P沿水平方向打入木桩，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向 前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）‎ A．6sin15°cm B．6cos15°cm ‎ ‎ C．6tan15° cm D．cm ‎（第9题）‎ y x O A1‎ A2‎ An−1‎ A An−2‎ B B1‎ Bn−1‎ Bn−2‎ ‎…‎ B2‎ ‎9. 如图，已知（4，0），点、、…、将线段等分，点、、…、、B在直线上，且∥∥…∥∥∥y轴．记△、△、…、△、△的面积分别为、、…、．当越来越大时，猜想最近的常数是（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎10. 已知二次函数()‎ 的图象如图所示，有下列结论：‎ 第10题 ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ 其中，正确结论的个数是()‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ Q O P 第11题 二、填空题(每题5分，共30分)‎ ‎11. 如图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式是 .‎ ‎12. 已知，则的值　　　　　　　　．‎ ‎13. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数是________.‎ ‎14. 如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x 轴于点A．则=__________．‎ 第13题 ‎（第14题）‎ O x y A P ‎15. 如图，Rt△是Rt△ABC以点为中心 逆时针旋转90°而得到的，其中AB＝1，BC＝2，‎ 则旋转过程中弧的长为__________．‎ ‎16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，，‎ 经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，‎ 则线段DE长度的最小值是__________． ‎ ‎（第16题）‎ A C B P E D 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（9分）如图，RtΔABC，D是斜边AC上的一动点(点D不与点A、C重合)，‎ ‎①过D点作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，请你画出满足条件的所有直线.‎ ‎②若BC=3，AC=4，AD=2，所画直线与另一边的交点为E，请你求出每种情况下的ΔADE的面积 A B C ‎（第18题图）‎ D ‎18. (本题8分) 如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条14米彩带AB相连，试求旗杆BC的高度．‎ ‎ ‎ ‎19. （8分）如图矩形ABCD为一本书，AB=12π，AD=2，当把书卷起时大致如图所示的半圆状（每张纸都是以O为圆心的同心圆的弧），如第一张纸AB对应为，最后一张纸CD对应为（为半圆），（1）、连结OB，求钝角∠AOB= ° 。‎ ‎（2）、如果该书共有100张纸，‎ 求第40张纸对应的弧超出 半圆部分的的长。‎ ‎20、（9分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．‎ ‎ （1）、求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）、点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?‎ B A C D P H O F E ‎（3）、在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．‎ ‎21. （10分）某工厂从1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；若果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平 。‎ ‎（1）、求出投资治污后2、3月份生产收入增长的百分率 ‎（参考数据： ）‎ ‎（2）、如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）。‎ ‎22. （12分）如图甲，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．‎ ‎（1）、若m＝n时，如图乙，求证：EF＝AE；‎ ‎（2）、若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ F ‎（3）、若m＝tn（t ＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E的坐标．‎ O A x y C E B 丙 F O A x y C E B 乙 O A x y C E B 甲 F ‎23. （14分）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．‎ ‎（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．‎ ‎（2）令m＝，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，‎ 请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，‎ 抛物线y＝mx 2＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．‎ A C B F O E G H y M N Q x ‎（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx 2＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5.．C 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D ‎ ‎16. 过C作CH⊥AB于H,设该圆为O,切AB于D,连OC,OD ‎ ‎∵AB=10,AC=8,BC=6 ∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90 ‎ ‎∴PQ为⊙O直径 ∴PQ=OC+OD ‎ 易知CH=AC*BC/AB=6*8/10=4.8 OC+OD>=CH ‎ ‎(记得有个垂线段最短的定理,忘了是不是指这个情形,不是的话过O作AB平行线也容易证明此结论) ∴PQ>=4.8 PQ最小值4.8 ‎ ‎18、AB=6米 ‎19、(1) ∠AOB= 144° ‎ ‎(2) ‎ ‎20、（1）连接OC，∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠ACO=∠OAC， 又∵∠PFC=∠AFH，‎ ‎∴∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH∵DE⊥AB ∴∠AHF=90° ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°而点C在⊙O上 ‎∴PC是⊙O的切线．………………………………2分 ‎（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下： 连结AE ∵点D是劣弧AC的中点 ∴∠DAF=∠DEA ∵∠ADE=∠ADE ∴△DAF∽△DEA ‎ ‎∴AD：ED=FD：AD ∴AD2=DE•DF．………………………………5分 （3）连接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3=OD 易求：DH=，DA=．‎ ‎∵∠DOA=∠AOD 点D是劣弧AC的中点 ∴∠OGA=∠OHD=90°∵OA=OD∴△OGA≌△OHD ‎∴AG=DH ∴AC=．………………………………8分（用其他方法可灵活处理）‎ ‎21、（1）设每月的增长率为x，由题意得: 25+25(1+x)+25(1+x) =91‎ 解得，x＝0.2 ,或x=-3.2(不合题意舍去) ……答：每月的增长率是20%。‎ ‎（2）三月份的收入是： 25(1+20%) =36 设y月后开始见成效，由题意得: ‎ ‎ 91+36(y-3)-111 22y-2y 解得，y≥8‎ 答：治理污染8个月后开始见成效。………………………………10分 23、解：（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG = BE，则OG = OE． ∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°． 由BF是外角平分线，‎ 得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．‎ 在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，‎ ‎∴ EF = AE．……（2）在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．理由如下：‎ H x O E B A y C F 假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．‎ 由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．‎ ‎∴ FH = OE，EH = OA．∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．‎ 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．‎ 又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，‎ x O E B A y C F G ‎∴ EH = m－a + a = m．又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．‎ 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．………………………………6分 ‎（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．‎ 由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，‎ ‎∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，‎ 且，即，整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．‎ 把h =（t + 1）a 代入得 ，即 m－a =（t + 1）（n－a）．‎ 而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）． 化简得 ta = n，解得．‎ ‎∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．‎ ‎∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．…………10分 ‎24、（1）EO＞EC，理由如下：‎ 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 ‎（2）m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎（3）∵CO=1， ∴EF=EO=∴cos∠FEC= ∠FEC=60°，‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形， 作QI⊥EO于I，EI=，IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1 ∴可求得，c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………8分 ‎（4）由（3），‎ 当时，＜AB ‎∴P点坐标为 …………………9分 ‎∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：‎ ‎①时，∴K点坐标为或 ‎②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………11分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，‎ 则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时，‎ ‎②当∠RTP=60°时，‎ ‎∴ ………………………11分