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- 2021-05-10 发布
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广安市二O一三年高中阶段教育学校招生考试
数 学 试 卷
注意事项:1.本试卷共8页,满分120分,考试时间120分钟.
2.答题前请考生将自己的姓名、考号填涂到机读卡和试卷相应位置上.
3.请考生将选择题答案填涂在机读卡上,将非选择题直接答在试题卷中.
4.填空题把最简答案直接写在相应题后的横线上.
5.解答三至六题时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
一、选择题:每小题给出的四个选项中。只有一个选项符合题意要求。请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上(本大题共 10个小题,每小题3分,共30分)
1. 4的算术平方根是( C )
A. 2 B. C. 2 D. -2
2. 未来三年,国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题.将8450亿元用科学计数法表示为( B )
A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元
3. 下列运算正确的是( D )
A. B. C. D.
4. 由五个相同的小正方体堆成的物体如图1所示,它的主视图是( B )
5. 数据21,12,18,16,20,21的众数和中位数分别是( A )
A. 21和19 B. 21和17 C. 20和19 D. 20和18
6. 如果与是同类项,则( D )
A. B. C. D.
7.等腰三角形的一边长为6,另一边长为13,则它的周长为( C )
A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
8.下列命题中,正确的是( D )
A. 函数的自变量x的取值范围是x>3
B. 菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
C. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
9. 如图2,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm, CD=3cm,则圆O的半径为( A )
A. cm B. 5cm
C. 4cm D. cm
10. 已知二次函数的图像如图3所示,对称轴是直
线x=1. 下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③,
④4a+2b+c>0,其中正确的是( C )
A. ①③ B. 只有②
C. ②④ D. ③④
二、填空题:请把最简答案直接填写在置后的横线上(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11. 方程的根是_x=1或x=2 .
12. 将点A(-1,2)沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点的坐标为 ( 2 , -2 ) .
13. 如图4,若1=40°,2=40°,3=116°30′,
则4=_163°30′_.
14. 解方程:,则方程的解是
__x = - __.
15. 如图5,如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去
圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥
(接线处不重叠),那么这个圆锥的高是_3_cm.
16. 已知直线(n为正整数)
与两坐标轴围成的三角形的面积为,则= .
三、解答题(本大题共4个小题,第17小题5分,第18、19、20小题各6分.共23分)
17. 计算:
解:原式= 2 + -1+2-2-
=1
18. 先化简,再求值:,其中x=4
解:原式= ×= ,
将x = 4 代入,
原式= = -
19. 如图6,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,
求证:△ABE△CDF
证明:∵AE//CF,∴∠CFD=∠EAD,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,∠EAD=∠AEB,∠CFD=∠AEB,
∠B=∠D,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF.
20. 已知反比例函数和一次函数.
(1) 若一次函数与反比例函数的图像交于点P(2,m),求m和k的值.
(2) 当k满足什么条件时,两函数的图像没有交点?
解:(1)点P(2,m)是反比例函数y = 和一次函数y=x-6的图像的交点,
m = 2-6 = -4, -4 = , k = - 8 ;
(2) = x-6 , x2-6x-k=0 ,当此一元二次方程根的判别式小于0时,
两函数图像无交点,
△=(-6)2 - 4(-k)= 36 + 4k < 0 , k < -9 .
当k < - 9时,两函数的图像没有交点。
四、实践应用(本大题共4个小题,其中第21小题6分,第22、23、24每小题8分,共30分)
21. 6月5日是“世界环境日”,广安市某校举行了“洁美家园”的演讲比赛,赛后整理参赛同学的成绩,将学生的成绩分成A、B、C、D四个等级,并制成如下的条形统计图和扇形图(如图7、8)
(1) 补全条形统计图.
(2) 学校决定从本次比赛中获得A等和B等的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛. 已知A等中有男生2名,B等中有女生3名. 请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率.
解:A等中有3人,2男1女,B等中有5人,2男3女,
B
等
组
合
A
等
男3
男4
女2
女3
女4
男1
男1男3
男1男4
男1女2
男1女3
男1女4
男2
男2男3
男2男4
男2女2
男2女3
男2女4
女1
女1男3
女1男4
女1女2
女1女3
女1女4
由上表可知,共有15种组合,其中一男一女的组合有8种,
所以所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 .
空调
彩电
进价(元/台)
5400
3500
售价(元/台)
6100
3900
22. 某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台. 根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见右表.
设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.
(1) 试写出y与x的函数关系式;
(2) 商场有哪几种进货方案可供选择?
(3) 选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?
解:(1)商场计划购进空调x台,则购进彩电30- x台,
y = (6100-5400)x+(3900-3500)(30-x), 整理得:
y = 300x + 12000
(2) 5400x + 3500(30-x)≤ 128000
解得10≤x≤12 ,
y = 300x + 12000≥15000 ,
空调台数只能是整数,所以x=10,11或12;
所以商场共有3种进货方案可供选择:
方案一:购进空调10台,彩电20台,
方案二:购进空调11台,彩电19台,
方案三:购进空调12台,彩电18台;
(3)y = 300x + 12000是增函数,y随着x的增大而增大,所以商场选择方案三(购进空调12台,彩电18台)能获得最大利润,
此时,最大利润y =300×12 + 12000 = 15600元。
23. 如图9,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°
的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固. 经调查论证,防洪指挥部专家制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后,背水坡EF的坡比为I =1∶2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长;
(2)求完成这项工程需要的土石为多少
立方米?
解:(1)分别过点D、E作DG⊥AB 、EH⊥AB于点G和H,EH = DG = 8(米),
DE=GH=2(米),AH = cot45°×EH = 8(米),= 1:2 ,
FG = 2DG=2×8=16(米), AF = FG + GH – AH = 16+2-8 =10(米);
(2)S梯形AFDE = (AF + DE)•DG =×(10+2) ×8 = 48(米2),
V梯柱= S梯形AFDE×400 = 48×400=19200(米3)
答:加固后坝底增加的宽度AF的长为10米,完成这项工程需要土石19200米3。
24. 雅安芦山发生7.0级地震后,某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具,寄给灾区的小朋友. 已知如图10,是腰长为4的等腰直角三角形ABC,要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上,且半圆的弧与△ABC的其他两边相切,请作出所有不同方案的示意图,并求出相应半圆的半径(结果保留根号).
解:不同方案作图分别如 图10.1 、 图10.2 和 图10.3 ;
① 如图10.1,直径在AC上,点O为圆心,AB与圆相切,OD⊥AB,OD是圆的半径,
△ACB是等腰直角三角形,AC=BC=4, BA = =4,AB⊥BC,AC是直径所在直线,BC是圆的切线,BC必过半径的的外端,OC是圆的半径,OD=OC=r,
∠AD0=∠ACB,∠A=∠A,△ACB∽△AD0, = , = , r=4-r,
r= 4-4 ;
② 如图10.2,同理可得 r=4-4 ;
③ 如图10.3,AC、BC分别与圆相切于点E、F,OE=OF=r, OE⊥AC,OF⊥BC,
AC⊥BC,∠OEC=∠ECF=∠CFO=∠FOE=90°, 四边形OECF是正方形,OF//AC,
△ACB∽△OFB,△OFB是等腰直角三角形,OF=FB,OE=FC=FB,点F是BC的中点,BC=4, CF = BC = 2,r=OE=CF=2.
五、推理与论证(9分)
25. 如图11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线.
(2)如果⊙O的半径为5,,求BF的长.
解:(1)证明:连结OD,
∵AB是⊙O的直径,D为圆上一点, ∴∠ADB=90°,AD⊥BC,
∵在△ABC中,AB=AC, ∴ △ABC为等腰三角形,AD是其底边上的高,
也是顶角∠CAB的平分线, ∠CAD=∠OAD,
∵ OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA, ∠CAD=∠ODA, OD//AC,
∵DE⊥AC, DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线(过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线)。
(2)∠AED=∠ADB= 90°,∠EAD=∠DAB,△EAD∽△DAB,OD = r = 5,AB=2r=10,
sin∠ADE = = = , AD = AB = 8 , AE = AD = ,
DE = = = ,
BD = = = 6 ,
OD//AE, = = 5×= , = , = ,
DF= ,
∠OBD=∠ODB, ∠ODB +∠BDF =∠OBD +∠DAF = 90°,∠BDF =∠DAF, ∠F =∠F,
△BDF∽△DAF, = , BF = = = .
六、拓展探究(10分)
26. 如图12,在平面直角坐标系xoy中,抛物线经过A、B、C、三点,已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.
①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变. 当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标. (结果保留根号)
解:(1) 抛物线y = ax2+bx+c的图像过点A(-3,0)、
C(1,0)、B(0,3),c =3,
一元二次方程ax2+bx+3=0的两个根为 -3、
1 ,根据韦达定理可知:
(-3)×1= , a = -1 ,
-3 + 1 = - = b , b = -2 ,
所以抛物线的解析式为 y = - x2 - 2x + 3 ;
(2)如图12.1, OA =OB=3,OA⊥OB,
△AOB是等腰直角三角形,
PF⊥OA ,PF//OB,∠PED=∠AEF =∠ABO,PD⊥AB ,∠PDE=∠AOB=90°,
△EDP∽△AOB,△PDE是等腰直角三角形,要使等腰直角△PDE的周长最大,则其斜边PE必须有最大值,
直线AB的解析式为 y = x + 3 ,点E在直线y = x + 3上,
点P在抛物线y = - x2 - 2x + 3上,
令点P的坐标为(x, - x2 - 2x + 3),则点E的坐标为(x, x+3),点P在直线AB的上方,且不与点A、B重合,所以 -3 < x < 0 ,
PE= - x2 - 2x + 3 -(x + 3)= - x 2 - 3x = -(x + )2 + ,
当x = - 时(符合-3 < x < 0),PE有最大值 ,
此时, - x2 - 2x + 3 = -()2 - 2×(- )+3 = ,
所以,△PDE的周长最大时,点P的坐标为(- ,);
(3)抛物线的对称轴为x = = -1 ,
令点P的坐标为(x, - x2 - 2x + 3),-3 < x < 0
① 如图12.1,当点M在直线x = -1上时,显然点P在抛物线对称轴的左侧,
过点P作 直线x = -1的垂线,垂足为Q,PQ//x轴,
∠PQM=∠PFA= 90°= ∠FPQ, 四边形APMN为正方形,PA=PM,
∠QPM+∠MPF=∠FPA+∠MPF=90°,∠QPM =∠FPA,△QPM≌△FPA,PQ=PF,
-1- x = - x2 - 2x + 3 ,x = >0 (不合题意,舍去) 或
x = ,- x2 - 2x + 3 = ,
此时有点P(,)
② 如图12.2,当点N在直线x = -1上时,
抛物线对称轴与x轴交于点Q,
∠PAF +∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,
∠FPA=∠QAN,∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN ,
△ APF≌△NAQ,PF = AQ,
- x2 - 2x + 3 = -1-(-3)=2,
x= -1>0(不合题意,舍去)或
x= - -1, - x2 - 2x + 3 = 2,
此时有点P(- -1,2 );
综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称
轴上时,点P的坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的
坐标为(- -1,2 )。