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  • 2021-05-10 发布

2013广安市中考数学试题解答

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广安市二O一三年高中阶段教育学校招生考试 数 学 试 卷 注意事项:1.本试卷共8页,满分120分,考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前请考生将自己的姓名、考号填涂到机读卡和试卷相应位置上.‎ ‎3.请考生将选择题答案填涂在机读卡上,将非选择题直接答在试题卷中.‎ ‎4.填空题把最简答案直接写在相应题后的横线上.‎ ‎5.解答三至六题时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 一、选择题:每小题给出的四个选项中。只有一个选项符合题意要求。请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上(本大题共 10个小题,每小题3分,共30分)‎ ‎ 1. 4的算术平方根是( C )‎ ‎ A. 2 B. C. 2 D. -2‎ ‎ 2. 未来三年,国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题.将8450亿元用科学计数法表示为( B )‎ ‎ A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 ‎ 3. 下列运算正确的是( D )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 4. 由五个相同的小正方体堆成的物体如图1所示,它的主视图是( B )‎ ‎ ‎ ‎ 5. 数据21,12,18,16,20,21的众数和中位数分别是( A )‎ ‎ A. 21和19 B. 21和‎17 C. 20和19 D. 20和18‎ ‎ 6. 如果与是同类项,则( D )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 7.等腰三角形的一边长为6,另一边长为13,则它的周长为( C )‎ ‎ A. 25 B. 25或‎32 C. 32 D. 19‎ ‎ ‎ ‎ 8.下列命题中,正确的是( D )‎ A. 函数的自变量x的取值范围是x>3‎ ‎ B. 菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形 C. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 ‎ 9. 如图2,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=‎8cm, CD=‎3cm,则圆O的半径为( A )‎ ‎ A. cm B. ‎‎5cm ‎ C. ‎4cm D. cm ‎ 10. 已知二次函数的图像如图3所示,对称轴是直 线x=1. 下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③,‎ ‎④‎4a+2b+c>0,其中正确的是( C )‎ A. ①③ B. 只有②‎ C. ②④ D. ③④‎ ‎ ‎ 二、填空题:请把最简答案直接填写在置后的横线上(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)‎ ‎ 11. 方程的根是_x=1或x=2 .‎ ‎ 12. 将点A(-1,2)沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点的坐标为 ( 2 , -2 ) . ‎ ‎ 13. 如图4,若1=40°,2=40°,3=116°30′,‎ ‎ 则4=_163°30′_.‎ ‎ 14. 解方程:,则方程的解是 ‎__x = - __. ‎ ‎15. 如图5,如果从半径为‎5cm的圆形纸片上剪去 ‎ 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥 ‎(接线处不重叠),那么这个圆锥的高是_3_cm. ‎ ‎ 16. 已知直线(n为正整数)‎ ‎ 与两坐标轴围成的三角形的面积为,则= .‎ 三、解答题(本大题共4个小题,第17小题5分,第18、19、20小题各6分.共23分)‎ ‎ 17. 计算:‎ ‎ 解:原式= 2 + -1+2-2- ‎ =1‎ ‎ 18. 先化简,再求值:,其中x=4‎ ‎ 解:原式= ×= ,‎ ‎ 将x = 4 代入,‎ ‎ 原式= = - ‎ 19. 如图6,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,‎ ‎ 求证:△ABE△CDF ‎ 证明:∵AE//CF,∴∠CFD=∠EAD, ‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎ ∴AD//BC,∠EAD=∠AEB,∠CFD=∠AEB, ‎ ‎ ∠B=∠D,AB=CD,‎ ‎∴△ABE≌△CDF.‎ ‎ 20. 已知反比例函数和一次函数.‎ ‎ (1) 若一次函数与反比例函数的图像交于点P(2,m),求m和k的值.‎ ‎ (2) 当k满足什么条件时,两函数的图像没有交点?‎ ‎ 解:(1)点P(2,m)是反比例函数y = 和一次函数y=x-6的图像的交点,‎ ‎ m = 2-6 = -4, -4 = , k = - 8 ;‎ ‎ (2) = x-6 , x2-6x-k=0 ,当此一元二次方程根的判别式小于0时,‎ 两函数图像无交点,‎ ‎△=(-6)2 - 4(-k)= 36 + 4k < 0 , k < -9 .‎ ‎ 当k < - 9时,两函数的图像没有交点。‎ 四、实践应用(本大题共4个小题,其中第21小题6分,第22、23、24每小题8分,共30分)‎ ‎ 21. ‎6月5日是“世界环境日”,广安市某校举行了“洁美家园”的演讲比赛,赛后整理参赛同学的成绩,将学生的成绩分成A、B、C、D四个等级,并制成如下的条形统计图和扇形图(如图7、8)‎ ‎ (1) 补全条形统计图.‎ ‎ (2) 学校决定从本次比赛中获得A等和B等的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛. 已知A等中有男生2名,B等中有女生3名. 请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率.‎ ‎ 解:A等中有3人,2男1女,B等中有5人,2男3女, ‎ B 等 组 合 A 等 男3‎ 男4‎ 女2‎ 女3‎ 女4‎ 男1‎ 男1男3‎ 男1男4‎ 男1女2‎ 男1女3‎ 男1女4‎ 男2‎ 男2男3‎ 男2男4‎ 男2女2‎ 男2女3‎ 男2女4‎ 女1‎ 女1男3‎ 女1男4‎ 女1女2‎ 女1女3‎ 女1女4‎ ‎ 由上表可知,共有15种组合,其中一男一女的组合有8种,‎ ‎ 所以所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 .‎ 空调 彩电 进价(元/台)‎ ‎5400‎ ‎3500‎ 售价(元/台)‎ ‎6100‎ ‎3900‎ ‎22. 某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台. 根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见右表.‎ ‎ 设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.‎ ‎ (1) 试写出y与x的函数关系式;‎ ‎ (2) 商场有哪几种进货方案可供选择?‎ ‎ (3) 选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?‎ ‎ 解:(1)商场计划购进空调x台,则购进彩电30- x台,‎ ‎ y = (6100-5400)x+(3900-3500)(30-x), 整理得:‎ ‎ y = 300x + 12000 ‎ ‎ (2) 5400x + 3500(30-x)≤ 128000‎ ‎ 解得10≤x≤12 ,‎ y = 300x + 12000≥15000 , ‎ ‎ 空调台数只能是整数,所以x=10,11或12;‎ ‎ 所以商场共有3种进货方案可供选择:‎ 方案一:购进空调10台,彩电20台,‎ 方案二:购进空调11台,彩电19台,‎ 方案三:购进空调12台,彩电18台;‎ ‎ (3)y = 300x + 12000是增函数,y随着x的增大而增大,所以商场选择方案三(购进空调12台,彩电18台)能获得最大利润,‎ ‎ 此时,最大利润y =300×12 + 12000 = 15600元。‎ ‎ 23. 如图9,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长‎400米,高‎8米,背水坡的坡角为45°‎ 的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固. 经调查论证,防洪指挥部专家制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽‎2米,加固后,背水坡EF的坡比为I =1∶2.‎ ‎ (1)求加固后坝底增加的宽度AF的长;‎ ‎ (2)求完成这项工程需要的土石为多少 立方米?‎ ‎ 解:(1)分别过点D、E作DG⊥AB 、EH⊥AB于点G和H,EH = DG = 8(米),‎ ‎ DE=GH=2(米),AH = cot45°×EH = 8(米),= 1:2 ,‎ FG = 2DG=2×8=16(米), AF = FG + GH – AH = 16+2-8 =10(米);‎ ‎(2)S梯形AFDE = (AF + DE)•DG =×(10+2) ×8 = 48(米2),‎ ‎ V梯柱= S梯形AFDE×400 = 48×400=19200(米3)‎ 答:加固后坝底增加的宽度AF的长为‎10米,完成这项工程需要土石‎19200米3。‎ ‎ 24. 雅安芦山发生7.0级地震后,某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具,寄给灾区的小朋友. 已知如图10,是腰长为4的等腰直角三角形ABC,要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上,且半圆的弧与△ABC的其他两边相切,请作出所有不同方案的示意图,并求出相应半圆的半径(结果保留根号).‎ ‎ 解:不同方案作图分别如 图10.1 、 图10.2 和 图10.3 ;‎ ‎ ① 如图10.1,直径在AC上,点O为圆心,AB与圆相切,OD⊥AB,OD是圆的半径,‎ ‎ △ACB是等腰直角三角形,AC=BC=4, BA = =4,AB⊥BC,AC是直径所在直线,BC是圆的切线,BC必过半径的的外端,OC是圆的半径,OD=OC=r,‎ ‎∠AD0=∠ACB,∠A=∠A,△ACB∽△AD0, = , = , r=4-r,‎ r= 4-4 ;‎ ‎② 如图10.2,同理可得 r=4-4 ;‎ ‎③ 如图10.3,AC、BC分别与圆相切于点E、F,OE=OF=r, OE⊥AC,OF⊥BC,‎ AC⊥BC,∠OEC=∠ECF=∠CFO=∠FOE=90°, 四边形OECF是正方形,OF//AC,‎ ‎△ACB∽△OFB,△OFB是等腰直角三角形,OF=FB,OE=FC=FB,点F是BC的中点,BC=4, CF = BC = 2,r=OE=CF=2.‎ 五、推理与论证(9分)‎ ‎ 25. 如图11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.‎ ‎ (1)求证:EF是⊙O的切线.‎ ‎ (2)如果⊙O的半径为5,,求BF的长.‎ ‎ 解:(1)证明:连结OD,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,D为圆上一点, ∴∠ADB=90°,AD⊥BC,‎ ‎ ∵在△ABC中,AB=AC, ∴ △ABC为等腰三角形,AD是其底边上的高,‎ 也是顶角∠CAB的平分线, ∠CAD=∠OAD, ‎ ‎ ∵ OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA, ∠CAD=∠ODA, OD//AC, ‎ ‎∵DE⊥AC, DE⊥OD,‎ ‎∴DE是⊙O的切线(过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线)。‎ ‎(2)∠AED=∠ADB= 90°,∠EAD=∠DAB,△EAD∽△DAB,OD = r = 5,AB=2r=10,‎ sin∠ADE = = = , AD = AB = 8 , AE = AD = , ‎ DE = = = ,‎ BD = = = 6 ,‎ OD//AE, = = 5×= , = , = ,‎ DF= , ‎ ‎∠OBD=∠ODB, ∠ODB +∠BDF =∠OBD +∠DAF = 90°,∠BDF =∠DAF, ∠F =∠F,‎ ‎△BDF∽△DAF, = , BF = = = .‎ 六、拓展探究(10分)‎ ‎ 26. 如图12,在平面直角坐标系xoy中,抛物线经过A、B、C、三点,已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0).‎ ‎ (1)求此抛物线的解析式.‎ ‎ (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.‎ ‎ ①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;‎ ‎ ②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变. 当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标. (结果保留根号)‎ ‎ 解:(1) 抛物线y = ax2+bx+c的图像过点A(-3,0)、‎ ‎ C(1,0)、B(0,3),c =3, ‎ ‎ 一元二次方程ax2+bx+3=0的两个根为 -3、‎ ‎1 ,根据韦达定理可知:‎ ‎(-3)×1= , a = -1 , ‎ ‎-3 + 1 = - = b , b = -2 ,‎ 所以抛物线的解析式为 y = - x2 - 2x + 3 ;‎ ‎(2)如图12.1, OA =OB=3,OA⊥OB,‎ ‎△AOB是等腰直角三角形,‎ ‎ PF⊥OA ,PF//OB,∠PED=∠AEF =∠ABO,PD⊥AB ,∠PDE=∠AOB=90°,‎ ‎ △EDP∽△AOB,△PDE是等腰直角三角形,要使等腰直角△PDE的周长最大,则其斜边PE必须有最大值,‎ 直线AB的解析式为 y = x + 3 ,点E在直线y = x + 3上,‎ 点P在抛物线y = - x2 - 2x + 3上,‎ 令点P的坐标为(x, - x2 - 2x + 3),则点E的坐标为(x, x+3),点P在直线AB的上方,且不与点A、B重合,所以 -3 < x < 0 ,‎ PE= - x2 - 2x + 3 -(x + 3)= - x 2 - 3x = -(x + )2 + , ‎ 当x = - 时(符合-3 < x < 0),PE有最大值 ,‎ 此时, - x2 - 2x + 3 = -()2 - 2×(- )+3 = ,‎ 所以,△PDE的周长最大时,点P的坐标为(- ,);‎ ‎ (3)抛物线的对称轴为x = = -1 , ‎ 令点P的坐标为(x, - x2 - 2x + 3),-3 < x < 0‎ ① 如图12.1,当点M在直线x = -1上时,显然点P在抛物线对称轴的左侧,‎ 过点P作 直线x = -1的垂线,垂足为Q,PQ//x轴,‎ ‎∠PQM=∠PFA= 90°= ∠FPQ, 四边形APMN为正方形,PA=PM,‎ ‎∠QPM+∠MPF=∠FPA+∠MPF=90°,∠QPM =∠FPA,△QPM≌△FPA,PQ=PF,‎ ‎-1- x = - x2 - 2x + 3 ,x = >0 (不合题意,舍去) 或 x = ,- x2 - 2x + 3 = ,‎ 此时有点P(,)‎ ‎② 如图12.2,当点N在直线x = -1上时,‎ 抛物线对称轴与x轴交于点Q,‎ ‎∠PAF +∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°, ‎ ‎∠FPA=∠QAN,∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN , ‎ △ APF≌△NAQ,PF = AQ, ‎ ‎- x2 - 2x + 3 = -1-(-3)=2, ‎ x= -1>0(不合题意,舍去)或 ‎ x= - -1, - x2 - 2x + 3 = 2, ‎ 此时有点P(- -1,2 ); ‎ 综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称 ‎ 轴上时,点P的坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的 ‎ 坐标为(- -1,2 )。 ‎