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  • 2021-05-10 发布

绥化市中考数学试卷带答案

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黑龙江省绥化市2016年中考数学试卷(解析版)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.今年我国参加高考的考生人数约为940万,这个数用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.94×105 B.94×106 C.9.4×106 D.0.94×107‎ ‎2.在图形:①线段;②等边三角形;③矩形;④菱形;⑤平行四边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.如图,是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具,如果用下列几何体作为塞子,那么既可以堵住方形空洞,又可以堵住圆形空洞的几何体是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.当k>0时,反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再按如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(  )‎ A.250米 B.250米 C. 米 D.500米 ‎7.函数y=自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≤ B.x≥ C.x D.x>‎ ‎8.一个长方形的周长为30cm,若这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm就可成为一个正方形,设长方形的长为xcm,可列方程为(  )‎ A.x+1=(30﹣x)﹣2 B.x+1=(15﹣x)﹣2 C.x﹣1=(30﹣x)+2 D.x﹣1=(15﹣x)+2‎ ‎9.化简﹣(a+1)的结果是(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎10.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为(  )‎ A.4 B.8 C.10 D.12‎ ‎ ‎ 二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎11.﹣的相反数的倒数是______.‎ ‎12.在一个不透明的口袋中,装有A,B,C,D4个完全相同的小球,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次摸到同一个小球的概率是______.‎ ‎13.如图,AB∥CD∥EF,若∠A=30°,∠AFC=15°,则∠C=______.‎ ‎14.计算:()﹣3﹣4tan45°+|1﹣|=______.‎ ‎15.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是______.‎ ‎16.如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为______cm.‎ ‎17.如图,在半径AC为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则图中阴影部分的面积是______.‎ ‎18.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD=______(提示:可连接BE)‎ ‎19.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角数,它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2…,第n个三角数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…由此推算a399+a400=______.‎ ‎20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB=,则AE=______(提示:可过点A作BD的垂线)‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,满分60分)‎ ‎21.为了传承优秀传统文化,我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了100名学生的成绩(满分50分),整理得到如下的统计图表:‎ 成绩(分)‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎45‎ ‎46‎ ‎47‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 成绩分组 频数 频率 ‎35≤x<38‎ ‎3‎ ‎0.03‎ ‎38≤x<41‎ a ‎0.12‎ ‎41≤x<44‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎44≤x<47‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎47≤x≤50‎ ‎30‎ b 请根据所提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)样本的中位数是______分;‎ ‎(2)频率统计表中a=______,b=______;‎ ‎(3)请补全频数分布直方图;‎ ‎(4)请根据抽样统计结果,估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人?‎ ‎22.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根,且x12+x22=8,求m的值.‎ ‎23.某商场计划购进A、B两种商品,若购进A种商品20件和B种商品15件需380元;若购进A种商品15件和B种商品10件需280元.‎ ‎(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元?‎ ‎(2)若购进A、B两种商品共100件,总费用不超过900元,问最多能购进A种商品多少件?‎ ‎24.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与BC相交于点F,与△ABC的外接圆相交于点D ‎(1)求证:△BFD∽△ABD;‎ ‎(2)求证:DE=DB.‎ ‎25.自主学习,请阅读下列解题过程.‎ 解一元二次不等式:x2﹣5x>0.‎ 解:设x2﹣5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象(如图所示),由图象可知:当x<0,或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2﹣5x>0,所以,一元二次不等式x2﹣5x>0的解集为:x<0,或x>5.‎ 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:‎ ‎(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的______和______.(只填序号)‎ ‎①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 ‎(2)一元二次不等式x2﹣5x<0的解集为______.‎ ‎(3)用类似的方法解一元二次不等式:x2﹣2x﹣3>0.‎ ‎26.周末,小芳骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小芳离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图象.‎ ‎(1)小芳骑车的速度为______km/h,H点坐标______.‎ ‎(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远?‎ ‎(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计),求小芳比预计时间早几分钟到达乙地?‎ ‎27.如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),点Q在CD边上,且BP=CQ,连接AP、BQ交于点E,将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN,延长QN交BA的延长线于点M.‎ ‎(1)求证:AP⊥BQ;‎ ‎(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的长;‎ ‎(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.‎ ‎28.(10分)(2016•绥化)如图,抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)以点A为圆心,作与直线BC相切的⊙A,请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB、PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.今年我国参加高考的考生人数约为940万,这个数用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.94×105 B.94×106 C.9.4×106 D.0.94×107‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:940万,这个数用科学记数法表示正确的是9.4×106,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎2.在图形:①线段;②等边三角形;③矩形;④菱形;⑤平行四边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】中心对称图形;轴对称图形.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.‎ ‎【解答】解:①线段既是轴对称图形又是中心对称图形,‎ ‎②等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形,‎ ‎③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,‎ ‎④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,‎ ‎⑤平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形,‎ 所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎ ‎ ‎3.如图,是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具,如果用下列几何体作为塞子,那么既可以堵住方形空洞,又可以堵住圆形空洞的几何体是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单几何体的三视图.‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:圆柱从上边看是一个圆,从正面看是一个正方形,既可以堵住方形空洞,又可以堵住圆形空洞,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图,从上边看得到的图形是俯视图.‎ ‎ ‎ ‎4.当k>0时,反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.‎ ‎【分析】根据k>0,判断出反比例函数y=经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限,结合选项所给图象判断即可.‎ ‎【解答】解:∵k>0,‎ ‎∴反比例函数y=经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的知识,解答本题的关键在于通过k>0判断出函数所经过的象限.‎ ‎ ‎ ‎5.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再按如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】剪纸问题.‎ ‎【分析】结合空间思维,分析折叠的过程及剪三角形的位置,注意图形的对称性,易知展开的形状.‎ ‎【解答】解:当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时,在直角三角形中间的位置上剪三角形,则直角顶点处完好,即原正方形中间无损,且三角形关于对角线对称,三角形的AB边平行于正方形的边.再结合C点位置可得答案为C.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力.错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强,缺乏逻辑推理能力,需要在平时生活中多加培养.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(  )‎ A.250米 B.250米 C. 米 D.500米 ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.‎ ‎【分析】在RT△AOB中,由∠AOB=30°可知AB=AO,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:由题意∠AOB=90°﹣60°=30°,OA=500,‎ ‎∵AB⊥OB,‎ ‎∴∠ABO=90°,‎ ‎∴AB=AO=250米.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形,方向角,直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识,解题的关键是搞清楚方向角的定义,利用直角三角形性质解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎7.函数y=自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≤ B.x≥ C.x D.x>‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围.‎ ‎【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0,由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0,即可求出自变量x的取值范围.‎ ‎【解答】解:‎ 由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0①,‎ 由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0②,‎ 由①②可知x>,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了自变量的取值范围,熟练掌握①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x﹣1.③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.‎ ‎ ‎ ‎8.一个长方形的周长为30cm,若这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm就可成为一个正方形,设长方形的长为xcm,可列方程为(  )‎ A.x+1=(30﹣x)﹣2 B.x+1=(15﹣x)﹣2 C.x﹣1=(30﹣x)+2 D.x﹣1=(15﹣x)+2‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.‎ ‎【分析】根据长方形的周长公式,表示出长方形的宽,再由正方形的四条边都相等得出等式即可.‎ ‎【解答】解:∵长方形的长为xcm,长方形的周长为30cm,‎ ‎∴长方形的宽为(15﹣x)cm,‎ ‎∵这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm就可成为一个正方形,‎ ‎∴x﹣1=15﹣x+2,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程,解题的关键是表示出长方形的宽.‎ ‎ ‎ ‎9.化简﹣(a+1)的结果是(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【考点】分式的加减法.‎ ‎【分析】先根据通分法则把原式变形,再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可.‎ ‎【解答】解:原式=﹣‎ ‎=,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是分式的加减法,掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为(  )‎ A.4 B.8 C.10 D.12‎ ‎【考点】矩形的性质;菱形的判定与性质.‎ ‎【分析】由四边形ABCD为矩形,得到对角线互相平分且相等,得到OD=OC,再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形,利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形,根据AC的长求出OC的长,即可确定出其周长.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴OA=OC,OB=OD,且AC=BD,‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=2,‎ ‎∵CE∥BD,DE∥AC,‎ ‎∴四边形DECO为平行四边形,‎ ‎∵OD=OC,‎ ‎∴四边形DECO为菱形,‎ ‎∴OD=DE=EC=OC=2,‎ 则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8,‎ 故选B ‎【点评】此题考查了矩形的性质,以及菱形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎11.﹣的相反数的倒数是 2016 .‎ ‎【考点】倒数;相反数.‎ ‎【分析】先求出﹣的相反数是,再求得它的倒数为2016.‎ ‎【解答】解:﹣的相反数是,的倒数是2016.‎ 故答案为:2016.‎ ‎【点评】主要考查相反数,倒数的概念及性质.‎ 相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0;‎ 倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.‎ ‎ ‎ ‎12.在一个不透明的口袋中,装有A,B,C,D4个完全相同的小球,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次摸到同一个小球的概率是  .‎ ‎【考点】列表法与树状图法;概率公式.‎ ‎【分析】可以根据画树状图的方法,先画树状图,再求得两次摸到同一个小球的概率.‎ ‎【解答】解:画树状图如下:‎ ‎∴P(两次摸到同一个小球)==‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了概率,解决问题的关键是掌握树状图法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,AB∥CD∥EF,若∠A=30°,∠AFC=15°,则∠C= 15° .‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠AFE=30°,由角的和差得到∠CFE=∠AFE﹣∠AFC=15°,根据平行线的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠A=∠AFE=30°,‎ ‎∴∠CFE=∠AFE﹣∠AFC=15°,‎ ‎∵CD∥EF,‎ ‎∴∠C=∠CFE=15°,‎ 故答案为:15°.‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等.熟记平行线的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.计算:()﹣3﹣4tan45°+|1﹣|= 3+2 .‎ ‎【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=8﹣4×1+﹣1‎ ‎=4+2﹣1‎ ‎=3+2.‎ 故答案为:3+2.‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算,正确掌握相关性质进而化简是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎15.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是 y=3(x﹣5)2﹣1 .‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换.‎ ‎【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.‎ ‎【解答】解:y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位所得抛物线解析式为:y=3(x﹣5)2+2;‎ 再向下平移3个单位为:y=3(x﹣5)2﹣1.‎ 故答案为:y=3(x﹣5)2﹣1.‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为 16 cm.‎ ‎【考点】垂径定理.‎ ‎【分析】连接OA,根据垂径定理求出AB=2AM,已知OA、OM,根据勾股定理求出AM即可.‎ ‎【解答】解:连接OA,‎ ‎∵⊙O的直径CD=20cm,‎ ‎∴OA=10cm,‎ 在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM==8cm,‎ ‎∴由垂径定理得:AB=2AM=16cm.‎ 故答案为:16.‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是构造直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,在半径AC为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则图中阴影部分的面积是 π﹣1 .‎ ‎【考点】扇形面积的计算.‎ ‎【分析】已知BC为直径,则∠CDB=90°,在等腰直角三角形ABC中,CD垂直平分AB,CD=DB,D为半圆的中点,阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差.‎ ‎【解答】解:在Rt△ACB中,AB==2,‎ ‎∵BC是半圆的直径,‎ ‎∴∠CDB=90°,‎ 在等腰Rt△ACB中,CD垂直平分AB,CD=BD=,‎ ‎∴D为半圆的中点,‎ S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×()2=π﹣1.‎ 故答案为π﹣1.‎ ‎【点评】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法,掌握面积公式是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD= 5 (提示:可连接BE)‎ ‎【考点】旋转的性质.‎ ‎【分析】要求BD的长,根据旋转的性质,只要求出AE的长即可,由题意可得到三角形ABE的形状,从而可以求得AE的长,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:连接BE,如右图所示,‎ ‎∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,AB=3,BC=4,∠ABC=30°,‎ ‎∴∠BCE=60°,CB=CE,AE=BD,‎ ‎∴△BCE是等边三角形,‎ ‎∴∠CBE=60°,BE=BC=4,‎ ‎∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°,‎ ‎∴AE=,‎ 又∵AE=BD,‎ ‎∴BD=5,‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.‎ ‎ ‎ ‎19.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角数,它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2…,第n个三角数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 .‎ ‎【考点】规律型:数字的变化类.‎ ‎【分析】首先计算a1+a2,a2+a3,a3+a4的值,然后总结规律,根据规律可以得出结论.‎ ‎【解答】解:∵;;;…‎ ‎∴;‎ ‎∴.‎ 故答案为:1.6×105或160000.‎ ‎【点评】本题考查的是规律发现,根据计算a1+a2,a2+a3,a3+a4的值可以发现规律为,发现规律是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB=,则AE= 2 (提示:可过点A作BD的垂线)‎ ‎【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.‎ ‎【分析】过A作AF⊥BD,交BD于点F,由三角形ABD为等腰直角三角形,利用三线合一得到AF为中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长,在直角三角形AEF中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可.‎ ‎【解答】解:过A作AF⊥BD,交BD于点F,‎ ‎∵AD=AB,∠DAB=90°,‎ ‎∴AF为BD边上的中线,‎ ‎∴AF=BD,‎ ‎∵AB=AD=,‎ ‎∴根据勾股定理得:BD==2,‎ ‎∴AF=,‎ 在Rt△AEF中,∠EAF=∠DCA=30°,‎ ‎∴EF=AE,‎ 设EF=x,则有AE=2x,‎ 根据勾股定理得:x2+3=4x2,‎ 解得:x=1,‎ 则AE=2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点评】此题考查了勾股定理,含30度直角三角形的性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,满分60分)‎ ‎21.为了传承优秀传统文化,我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了100名学生的成绩(满分50分),整理得到如下的统计图表:‎ 成绩(分)‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎45‎ ‎46‎ ‎47‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ 成绩分组 频数 频率 ‎35≤x<38‎ ‎3‎ ‎0.03‎ ‎38≤x<41‎ a ‎0.12‎ ‎41≤x<44‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎44≤x<47‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎47≤x≤50‎ ‎30‎ b 请根据所提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)样本的中位数是 44.5 分;‎ ‎(2)频率统计表中a= 12 ,b= 0.30 ;‎ ‎(3)请补全频数分布直方图;‎ ‎(4)请根据抽样统计结果,估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人?‎ ‎【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数.‎ ‎【分析】(1)根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数,本题得以解决;‎ ‎(2)根据表格和随机抽取了100名学生的成绩,可以求得a、b的值,本题得以解决;‎ ‎(3)根据(2)中a的值,可以将频数分布直方图补充完整;‎ ‎(4)根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数.‎ ‎【解答】解:(1)∵随机抽取了100名学生的成绩,‎ 由表格可得,1+2+3+3+6+7+5+8+15=50,50+9+59,‎ ‎∴中位数为: =44.5,‎ 故答案为:44.5;‎ ‎(2)由表格可得,a=100×0.12=12,‎ b=30÷100=0.30,‎ 故答案为:12,0.30;‎ ‎(3)补全的频数分布直方图如右图所示,‎ ‎(4)由题意可得,‎ ‎1200×(0.20+0.35+0.30)=1020(人),‎ 即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人.‎ ‎【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.‎ ‎ ‎ ‎22.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根,且x12+x22=8,求m的值.‎ ‎【考点】根与系数的关系;根的判别式.‎ ‎【分析】(1)根据方程根的个数结合根的判别式,可得出关于m的一元一次不等式,解不等式即可得出结论;‎ ‎(2)根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2,x1•x2=2m,再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2,代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程,解方程即可求出m的值,经验值m=﹣1符合题意,此题得解.‎ ‎【解答】解:(1)∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m>0,‎ 解得:m<.‎ ‎∴m的取值范围为m<.‎ ‎(2)∵x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根,‎ ‎∴x1+x2=﹣2,x1•x2=2m,‎ ‎∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8,‎ 解得:m=﹣1.‎ 当m=﹣1时,△=4﹣8m=12>0.‎ ‎∴m的值为﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程,解题的关键是:(1)结合题意得出4﹣8m>0;(2)结合题意得出4﹣4m=8.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键.‎ ‎ ‎ ‎23.某商场计划购进A、B两种商品,若购进A种商品20件和B种商品15件需380元;若购进A种商品15件和B种商品10件需280元.‎ ‎(1)求A、B两种商品的进价分别是多少元?‎ ‎(2)若购进A、B两种商品共100件,总费用不超过900元,问最多能购进A种商品多少件?‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.‎ ‎【分析】解(1)设A两种商品的进价是a元,B两种商品的进价是b元,根据题意列方程组即可得到结论 ‎(2)设购进A种商品x件,则购进B种商品(100﹣x)件,根据题意了不等式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)设A商品的进价是a元,B商品的进价是b元,‎ 根据题意得:,‎ 解得:,‎ 答:A商品的进价是16元,B商品的进价是4元;‎ ‎(2)设购进A种商品x件,则购进B种商品(100﹣x)件,‎ 根据题意得:16x+4(100﹣x)≤900,‎ 解得:x≤41,∵x为整数,‎ ‎∴x的最大整数解为41,‎ ‎∴最多能购进A种商41件 ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,正确的理解题意是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与BC相交于点F,与△ABC的外接圆相交于点D ‎(1)求证:△BFD∽△ABD;‎ ‎(2)求证:DE=DB.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心;三角形的内切圆与内心.‎ ‎【分析】(1)先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD,再由圆周角定理得出∠CAD=∠CBD,故可得出∠BAD=∠CBD,进而可得出结论;‎ ‎(2)连接BE,根据点E是△ABC的内心得出∠ABE=∠CBE.由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD,进而可得出结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵点E是△ABC的内心,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD.‎ ‎∵∠CAD=∠CBD,‎ ‎∴∠BAD=∠CBD.‎ ‎∵∠BDF=∠ADB,‎ ‎∴△BFD∽△ABD;‎ ‎(2)证明:连接BE,‎ ‎∵点E是△ABC的内心,‎ ‎∴∠ABE=∠CBE.‎ 又∵∠CBD=∠BAD,‎ ‎∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD.‎ ‎∵∠BAD+∠ABE=∠BED,∠CBE+∠CBD=∠DBE,即∠DBE=∠BED,‎ ‎∴DE=DB.‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,利用三角形内心的性质求解是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.自主学习,请阅读下列解题过程.‎ 解一元二次不等式:x2﹣5x>0.‎ 解:设x2﹣5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象(如图所示),由图象可知:当x<0,或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2﹣5x>0,所以,一元二次不等式x2﹣5x>0的解集为:x<0,或x>5.‎ 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:‎ ‎(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 ① 和 ③ .(只填序号)‎ ‎①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 ‎(2)一元二次不等式x2﹣5x<0的解集为 0<x<5 .‎ ‎(3)用类似的方法解一元二次不等式:x2﹣2x﹣3>0.‎ ‎【考点】二次函数与不等式(组);二次函数的图象;抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】(1)根据题意容易得出结论;‎ ‎(2)由图象可知:当0<x<5时函数图象位于x轴下方,此时y<0,即x2﹣5x<0,即可得出结果;‎ ‎(3)设x2﹣2x﹣3=0,解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标,画出二次函数y=x2﹣,2x﹣3的大致图象,由图象可知:当x<﹣1,或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2﹣5=2x﹣3>0,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的①和③;‎ 故答案为:①,③;‎ ‎(2)由图象可知:当0<x<5时函数图象位于x轴下方,‎ 此时y<0,即x2﹣5x<0,‎ ‎∴一元二次不等式x2﹣5x<0的解集为:0<x<5;‎ 故答案为:0<x<5.‎ ‎(3)设x2﹣2x﹣3=0,‎ 解得:x1=3,x2=﹣1,‎ ‎∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为(3,0)和(﹣1,0).‎ 画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象(如图所示),‎ 由图象可知:当x<﹣1,或x>3时函数图象位于x轴上方,‎ 此时y>0,即x2﹣2x﹣3>0,‎ ‎∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3>0的解集为:x<﹣1,或x>3.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识;熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎26.周末,小芳骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小芳离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图象.‎ ‎(1)小芳骑车的速度为 10 km/h,H点坐标 (,20) .‎ ‎(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远?‎ ‎(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计),求小芳比预计时间早几分钟到达乙地?‎ ‎【考点】一次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)根据函数图中的数据,由小芳从家到甲地的路程和时间可以求出小芳骑车的速度;‎ ‎(2)先求出直线AB的解析式,再根据直线AB∥CD,求出直线CD的解析式,再求出直线EF的解析式,联立直线CD和直线EF的解析式,求出交点D的坐标即可;‎ ‎(3)将y=0,分别代入直线CD和直线EF的解析式,分别求出求出当y=0时候的横坐标,再求出两横坐标的差值即可.‎ ‎【解答】解:(1)由函数图可以得出,小芳家距离甲地的路程为10km,花费时间为0.5h,‎ 故小芳骑车的速度为:10÷0.5=20(km/h),‎ 由题意可得出,点H的纵坐标为20,横坐标为: +=,‎ 故点H的坐标为(,20);‎ ‎(2)设直线AB的解析式为:y1=k1x+b1,‎ 将点A(0,30),B(0.5,20)代入得:y1=﹣20x+30,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴设直线CD的解析式为:y2=﹣20x+b2,‎ 将点C(1,20)代入得:b2=40,‎ 故y2=﹣20x+40,‎ 设直线EF的解析式为:y3=k3x+b3,‎ 将点E(,30),H(,20)代入得:k3=﹣60,b3=110,‎ ‎∴y3=﹣60x+110,‎ 解方程组,得,‎ ‎∴点D坐标为(1.75,5),‎ ‎30﹣5=25(km),‎ 所以小芳出发1.75小时后被妈妈追上,此时距家25km;‎ ‎(3)将y=0代入直线CD解析式有:﹣20x+40=0,‎ 解得x=2,‎ 将y=0代入直线EF的解析式有:﹣60x+110=0,‎ 解得x=,‎ ‎2﹣=(h)=10(分钟),‎ 故小芳比预计时间早10分钟到达乙地.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用,解答本题的关键在于读懂题意,根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解.‎ ‎ ‎ ‎27.如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),点Q在CD边上,且BP=CQ,连接AP、BQ交于点E,将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN,延长QN交BA的延长线于点M.‎ ‎(1)求证:AP⊥BQ;‎ ‎(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的长;‎ ‎(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.‎ ‎【考点】四边形综合题.‎ ‎【分析】(1)证明△ABP≌△BCQ,则∠BAP=∠CBQ,从而证明∠CBQ+∠APB=90°,进而得证;‎ ‎(2)设MQ=MB=x,则MN=x﹣2.在直角△MBN中,利用勾股定理即可列方程求解;‎ ‎(3)设AM=y,BN=BC=m+n,在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,利用勾股定理即可求解.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.‎ ‎∴在△ABP和△BCQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABP≌△BCQ,‎ ‎∴∠BAP=∠CBQ.‎ ‎∵∠BAP+∠APB=90°,‎ ‎∴∠CBQ+∠APB=90°,‎ ‎∴∠BEP=90°,‎ ‎∴AP⊥BQ;‎ ‎(2)解:∵正方形ABCD中,AB=3,BP=2CP,‎ ‎∴BP=2,‎ 由(1)可得NQ=CQ=BP=2,NB=3.‎ 又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ,‎ ‎∴MQ=MB.‎ 设MQ=MB=x,则MN=x﹣2.‎ 在直角△MBN中,MB2=BN2+MN2,‎ 即x2=32+(x﹣2)2,‎ 解得:x=,即MQ=;‎ ‎(3)∵BP=m,CP=n,‎ 由(1)(2)得MQ=BM,CQ=QN=BP=m,‎ 设AM=y,BN=BC=m+n,‎ 在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,‎ ‎(y+m+n)2=(m+n)2+(y+n)2,‎ 即y2+2(m+n)y+(m+n)2=(m+n)2+y2+2ny+n2,‎ 则y=,AM=.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理,正确利用m和n表示△BMN的边长是关键.‎ ‎ ‎ ‎28.(10分)(2016•绥化)如图,抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)以点A为圆心,作与直线BC相切的⊙A,请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB、PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b,可求得抛物线解析式;‎ ‎(2)过A作AD⊥BC于点D,则AD为⊙A的半径,由条件可证明△ABD∽△CBO,利用相似三角形的性质可求得AD的长,可求得半径,进而得出答案;‎ ‎(3)由待定系数法可求得直线BC解析式,过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,可设出P、Q的坐标,可表示出△PQC和△PQB的面积,可表示出△PBC的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,容易求得P点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),‎ ‎∴把A、B两点坐标代入可得,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣;‎ ‎(2)相交,‎ 理由:过A作AD⊥BC于点D,如图1,‎ ‎∵⊙A与BC相切,‎ ‎∴AD为⊙A的半径,‎ 由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),‎ ‎∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,‎ 在Rt△OBC中,由勾股定理可得BC===,‎ ‎∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,‎ ‎∴△ABD∽△CBO,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得AD=,‎ 即⊙A的半径为,‎ ‎∵>1,‎ ‎∴⊙A与y轴相交;‎ ‎(3)∵C(0,﹣),‎ ‎∴可设直线BC解析式为y=kx﹣,‎ 把B点坐标代入可求得k=,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣,‎ 过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,如图2,‎ 设P(x,﹣ x2+2x﹣),则Q(x, x﹣),‎ ‎∴PQ=(﹣x2+2x﹣)﹣(x﹣)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ(OE+BE)=PQ•OB=PQ=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴当x=时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为(,),‎ ‎∴当P点坐标为(,)时,△PBC的面积有最大值.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识.在(1)中注意待定系数法的应用步骤,在(2)中确定出⊙A的半径是解题的关键,在(3)中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键.本题考查知识点较多,计算量大,综合性较强.‎ ‎ ‎