深圳市年中考数学试题分类解析汇编——函数的图像与性质 31页

‎2002年-2011年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编专题 函数的图象与性质 一、选择题 ‎1.（深圳2002年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于 点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是【 度002】‎ A、1 B、2 C、4 D、 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义。‎ ‎【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S= |k|即可求得k的值：‎ ‎∵点M是反比例函数y=图象上一点，∴S△MOP= |k|=1。‎ 又∵k＞0，则k=2。故选B。‎ ‎2.（深圳2003年5分）已知一元二次方程2x2－3x－6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1＋x2，0）、‎ B（0，x1x2），则直线l的解析式为【 度002】‎ ‎ A、y=2x－3 B、y=2x＋3 C、y=－2x-3 D、y=－2x＋3‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式：‎ 由题意知，x1+x2=，x1•x2=－3，∴A（，0），B（0，－3）。‎ 设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=－3，‎ ‎∴直线l的解析式为：y=2x－3。故选A。‎ ‎3.（深圳2004年3分）函数y=x2－2x＋3的图象顶点坐标是【 度002】‎ ‎ A、（1，-4） B、（－1，2） C、（1，2） D、（0，3）‎ ‎【答案】C。‎ 31‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可确定顶点的坐标：‎ ‎∵y=x2－2x+3=x2－2x＋1＋2=（x－1）2＋2，‎ ‎∴顶点的坐标是（1，2）。故选C。‎ ‎4.（深圳2004年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x 轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则 CE＋FD的值是【 度002】‎ ‎ A、2 B、4 C、5 D、6‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE＋FD=CD－EF=CD－2EH，分别求出CD，EF即可：‎ 由抛物线过点A（2，0）、B（6，0）得：抛物线对称轴为x=4。‎ 由抛物线过点C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D ， ‎ ‎ 得D点坐标为（7，）。‎ 如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H，‎ 则GH= 3，EG=2，EH= 22－()2=1。‎ ‎∴CE＋FD=CD－EF=CD－2EH=－2=4。故选B。‎ ‎5.（深圳2005年3分）函数y=（k≠0）的图象过点（2，－2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【 度002】‎ ‎ A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、A、第一、二象限 D、第二、四象限 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】将（2，－2）代入y=（k≠0）得k=－4，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限。故选D。‎ ‎6.（深圳2006年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【 度002】‎ 31‎ ‎ A 　B 　C 　 D ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数的图象。‎ ‎【分析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴＜0。‎ ‎∵＜0，∴函数的图象过二、四象限．‎ 又∵－＞0，∴函数的图象与y轴相交于正半轴。‎ ‎∴一次函数的图象过一、二、四象限。故选C。‎ ‎7.（深圳2007年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【 度002】‎ Ａ．‎ Ｂ．‎ Ｃ．‎ Ｄ．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一次函数和反比例函数的图象。‎ ‎【分析】若＞0，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，答案C符合条件；若＜0，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选C。‎ ‎8.（深圳2009年3分）．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为【 度002】‎ A O B C A．8 B．6 C．4 D．2‎ 31‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数系数的几何意义。‎ ‎【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为||，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2||=2×4=8。故选A。‎ x O y P ‎9.（深圳2010年学业3分）如图，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为【 度002】‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数和圆的中心对称性，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】根据反比例函数和圆的中心对称性，图中阴影部分的面积实际上是圆的面积。由勾股定理，可得圆的 半径为。因此，由图中阴影部分的面积为10π可得，解得a=2（因果点P在第一象限，‎ a＞0，负数舍去）。∴点P（6，2）。代入y＝，得k=12。则反比例函数的解析式为y＝。故选D。‎ ‎10.（深圳2010年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【 度002】‎ A .－1 B .0 C . 1 D .2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，得，即。因此的值可以是2。故选D。‎ ‎11.（深圳2011年3分）对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是【 度002】‎ A.与轴有两个交点 B.开口向上 C.与轴交点坐标是(0，3) D.顶点坐标是(1，－2)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】把=－2＋2－3变形为=－（－1）2－2，根据二次函数的性质，该抛物线，‎ 31‎ 开口向上；顶点坐标是(1，－2)；－2＋2－3=0无实数根，故抛物线与轴无交点；当=0时y=－3，故抛物线与y轴交点坐标是(0，－3) 。故选D。‎ 二、填空题 ‎1.（深圳2008年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝ ▲ ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】反比例函数系数的几何意义。‎ ‎【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= 。‎ ‎∵S△OAB= =2，且反比例函数在第一象限，＞0，则。‎ ‎2.（深圳2011年3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。‎ ‎【分析】过A作AE⊥X轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。‎ ‎ ∵点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），‎ ‎ ∴∠OCB=∠OBC=45º，BC=。‎ ‎ 又∵△ABC的内心在y轴上，∴∠OBF=∠OBC=45º。‎ ‎ ∴∠ABC=90º，BF=BC=，CF=4，EF=EA。‎ ‎ 又∵直线AC的解析式为，∴OD：OC=1：2。‎ ‎ ∵A点在直线AC上，∴AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。‎ ‎ 解之，EF=AE=4，∴FA=。∴AB=BF+FA=。‎ ‎ ∴在Rt △ABC中，tanA= 。 ‎ 三、解答题 31‎ B y O A x C ‎1.（深圳2002年10分）已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。‎ ‎（1）求抛物线的解析式。‎ ‎（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=S△PAB，求点P的坐标。‎ ‎【答案】解：（1）∵直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，‎ ‎∴令x=0，则y=0，令y=0，则x=3。∴C（0，3）、B（3，0）。‎ 把两点坐标代入抛物线y=－x2＋bx＋c得，，‎ 解得，。∴抛物线的解析式为：y=－x2＋2x＋3。‎ ‎（2）由－x2＋2x＋3=0可得点A的坐标为（－1，0）。‎ ‎∴S△ABC=。‎ 设P点坐标为（x，－x＋3），分三种情况讨论：‎ ① 当点P 在BC延长线上，S△PAC= S△PAB－S△ABC=S△PAB，‎ ‎∴S△ABC=S△PAB， 即，解得x=－3。‎ 此时，点P的坐标为（－3，6）。‎ ‎②当点P 在线段BC上，S△PAC=S△ABC－S△PAB=S△PAB，‎ ‎∴S△ABC=S△PAB， 即，解得x=1。‎ 此时，点P的坐标为（1，2）。‎ ‎③当点P 在CB延长线上，S△PAC= S△PAB＋S△ABC=S△PAB，‎ ‎∴S△ABC=－S△PAB，这是不可能的。此时，点P不存在。‎ 综上所述，所求点P的坐标为（－3，6）或（1，2）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】‎ 31‎ ‎（1）根据直线y=－x＋3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=－x2＋bx＋c可求出b，c的值，从而求出函数的解析式．‎ ‎（2）因为P在直线BC上，所以可设P点坐标为（x，－x＋3），再利用三角形的面积公式及△ABC、△PAC、△PAB之间的关系分点P 在BC延长线上，当点P 在线段BC上，当点P 在CB延长线上三种情况求出x的值，从而求出P点坐标。‎ ‎2.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，‎ ‎（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎ （2）连结BD，求tan∠BDC的值；‎ ‎ （3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于 P x y B C O D A E F G G，求sin∠CGF的值。‎ ‎【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，‎ ‎∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。‎ 设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得 ‎，解得，，∴抛物线的解析式为y=。‎ ‎（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，‎ 31‎ 则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=∠BAC，‎ ‎∴tan∠BDC=tan∠BAH= 。‎ ‎（3）由（1）y= 得 点P的坐标为（5，）。‎ 由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。‎ 设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。‎ ‎∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。‎ 又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。‎ ‎∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。‎ ‎∴∠CGF=∠GDF+ ∠PFD=∠GDF+ ∠BDC=∠HDF=45°。‎ ‎∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°= 。‎ ‎【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。‎ ‎（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）‎ y C ‎·E A B O x ‎（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+ ∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。‎ ‎3.（深圳2004年12分）直线y=－x＋m与直线y=x＋2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B。‎ ‎ （1）求A、B、C三点的坐标；（3分）‎ ‎ （2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（4分）‎ 31‎ ‎ （3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）‎ ‎【答案】解：（1）直线y= x+2中令x=0，得y=2，‎ ‎∴C点的坐标为（0，2）。‎ 把C（0，2）代入直线y=－x＋m，得m=2，‎ ‎∴直线y=－x＋m解析式是y=－x＋2。‎ 令y=0，得x=2，则A点的坐标是（2，0），‎ 在y= x＋2中令y=0，得x=，则B的坐标是（，0）。‎ ‎（2）根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=，根据锐角三角函数定义，得tan∠ABC=,∴∠ABC=30°。‎ 又AC=。‎ 连接AE，CE，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AEC=60°，‎ ‎∴△ACE是等边三角形，边长是。‎ 又在Rt△EAF中，AE=，AF=AB=，‎ ‎∴EF=。‎ 又OF=OA＋AF=。‎ ‎∴点E的坐标为（，），半径是。 ‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎（I）当点P在⊙E外时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。‎ ‎∵∠MQN=∠MAN=∠ANC－∠P=∠ABC－∠P=30°－θ，‎ ‎∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，‎ 即MN=sin（30°－θ）。‎ 31‎ ‎（II）当点P在⊙E内时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。‎ ‎∵∠ACB=∠BCO－∠ACO=60°－45°=15°。‎ ‎∴∠MQN=∠MAN=∠APB－∠ANB=∠APB－∠ACB =θ－15°。‎ ‎∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，‎ 即MN=sin（θ－15°）。‎ ‎【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理，三角形外角定理。‎ ‎【分析】（1）直线y= x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=－x＋m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出。‎ ‎（2）根据三角函数可以求出角的度数。由OC、OA、OB的长度，根据勾股定理、等边三角形的判定和性质、弦径定理可求出点E的坐标和⊙E的半径。‎ ‎（3）分点P在⊙E外和点P在⊙E内两种情况讨论即可。‎ ‎4.（深圳2005年9分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴 上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点 E，点B（－1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）‎ ‎ （1）（2分）求点A、E的坐标；‎ ‎ （2）（2分）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。‎ ‎ （3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，‎ 求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物A B C O D E y x 线上，请充分说明你的判断理由。‎ ‎【答案】解：（1）连结AD，‎ ‎ 由△ABC是边长为4的等边三角形，得 ‎ BD=ABcos600=2，AD=Absin600=2，‎ ‎ ∴OD=1。∴A（1，2）。‎ 31‎ 由 OE=，得E（0，）。‎ ‎（2）∵抛物线y=过点A、E，‎ ‎∴，解得。 ∴ 抛物线的解析式为y=。‎ ‎（3）作点D关于AC的对称点D'，连结BD'交AC于点P，作D'G⊥x轴于点G。‎ 则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。‎ 由轴对称性，得△DFC为直角三角形，‎ 在Rt△DFC中，∠DCF=60º，∴DF=DCsin∠DCF=。‎ ‎∴DD'=2。‎ 在Rt△DD'G中，∠D'DG=30º，∴D'G = DD'sin∠D'DG =，DG= DD'cos∠D'DG =3。‎ ‎∴OG=4。∴点D'的坐标为（4，）。‎ 由B（－1，0），D'（4，）可得直线BD'的解析式为：x+。‎ 又直线AC的解析式为：。‎ ‎∴，解得。∴点P的坐标为（，）。‎ 此时BD'===2，‎ ‎∴△PBD的最小周长L为2+2。‎ 把点P的坐标代入y=成立，∴此时点P在抛物线上。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）连结AD，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求点A、E的坐标。‎ 31‎ ‎ （2）由点A、E的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可求抛物线的解析式。‎ ‎ （3）根据轴对称的性质，作点D关于AC的对称点D'，连结BD'交AC于点P，点P即为所求。据此求 点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P在（2）中所求的抛物线上。‎ ‎5.（深圳2006年8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.‎ ‎（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？‎ ‎（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100 件．若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?‎ ‎【答案】解：(1)设该工艺品每件的进价是元，标价是元。依题意得方程组：‎ ‎ 　　 　 ，解得：　。‎ 答：该工艺品每件的进价是155元，标价是200元。‎ ‎ (2)设每件应降价元出售,每天获得的利润为元，依题意可得与的函数关系式：‎ ‎∴当时,=4900。‎ 答：每件应降价10元出售,每天获得的利润最大,最大利润是4900元。‎ ‎【考点】二元一次方程组和二次函数的应用。‎ ‎【分析】(1) 方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：‎ ‎ ①标价－进价=45元；②标价的85%销售该工艺品8件的利润=将标价降低35元销售该工艺品12件的利润 ‎； 。‎ ‎（2）求出每天获得的利润与每件工艺品降价额的函数关系，应用二次函数最值求解。‎ ‎6.（深圳2006年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.‎ 31‎ ‎(1)(3分)求线段OC的长. ‎ ‎(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．‎ ‎(3)(4分)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，‎ 求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（１）由与轴交于A、B两点得，， 。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴OA＝２，OB＝６。 　　　‎ ‎∵△OCA∽△OBC，∴OC＝OA·OB＝２×６。∴OC＝２（－２舍去）。‎ ‎∴线段OC的长为２ 。‎ ‎（２）∵△OCA∽△OBC，∴。‎ 设AC＝ｋ，则BC＝ｋ。‎ 由AC＋BC＝AB得ｋ＋（ｋ）＝（６－２），解得ｋ＝２（－２舍去）。‎ ‎∴AC＝２，BC＝２＝OC 。 　 ‎ ‎ 过点C作CD⊥AB于点D，∴OD＝OB＝３。‎ ‎∴ＣＤ＝。‎ ‎∴C的坐标为（３，）。 　‎ 将C点的坐标代入抛物线的解析式得 ‎，∴＝－。∴抛物线的函数关系式为：‎ ‎（３）①当P与Ｏ重合时，△BCP为等腰三角形，‎ ‎∴P的坐标为（０，０）。‎ ‎②当PB＝BC时(P在B点的左侧)，△BVP为等腰三角形，‎ ‎∴P的坐标为（６－２，０）。‎ 31‎ ‎③当P为AB的中点时，PB＝PC，△BCP为等腰三角形，‎ ‎∴P的坐标为（４，０），‎ ‎④当BP＝BC时(P在B点的右侧)，△BCP为等腰三角形，‎ ‎∴P的坐标为（６＋２，０）。 ‎ 综上所述，在轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：‎ ‎（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1) 由与轴交于A、B两点求出两点的坐标，由△OCA∽△OBC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。‎ ‎ （2）由△OCA∽△OBC求出点C的坐标，即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。‎ ‎ （3）分P与Ｏ重合、PB＝BC、P为AB的中点、BP＝BC四种情况讨论即可。‎ ‎7.（深圳2007年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．‎ ‎（1）求∠BEC的度数．‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；‎ ‎②；‎ ‎③等运算都是分母有理化）‎ ‎【答案】解：(1）∵四边形AOCB是正方形，OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=22.50。∴∠CBE=22.50。‎ ‎∴∠BEC=900－∠CBE=900－22.50=67.50。 ‎ 31‎ ‎（2）∵正方形AOCB的边长为，∴OD=OB=。‎ ‎∴点B的坐标为（－1，1），点D的坐标为（，0）。‎ 设直线BD的解析式为，则，解得。‎ ‎∴直线BD的解析式为 令，，∴点E的坐标为，）。 ‎ ‎（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，‎ ‎∵B（－1，1），O（0，0），D（，0）， ‎ ‎ ∴ ，解得，。‎ ‎∴所求的抛物线的解析式为。‎ ‎【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。‎ ‎【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得∠BEC的度数。‎ ‎ （2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。‎ ‎ （3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。‎ ‎8.（深圳2007年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．‎ ‎（1）求线段AB的长．‎ ‎（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．‎ ‎（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，设，，．，试说明：．‎ 31‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎【答案】解：（1）∵ ，解得，。∴A（－4，－2），B（6，3）。 ‎ 分别过A、B两点作AE轴，BF轴，垂足分别为E、F。‎ ‎ ∴AB=OA+OB 。 ‎ ‎（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为，‎ ‎ 则，‎ ‎∵，∴当时，函数有最大值。‎ ‎∴当扇形的半径取时，扇形的面积最大，最大面积是。‎ ‎（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E，则OA=。‎ ‎∵CD垂直平分AB，点M为垂足，‎ ‎∴OM=AB－OA。‎ ‎∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM， ∴△AEO∽△CMO。‎ ‎∴，∴ ∴CO。‎ 31‎ 同理可得 OD 。 ‎ ‎∴，。‎ ‎∴。 ‎ ‎（4）等式成立。理由如下：‎ ‎∵∠ACB=900，CD⊥AB，∴， 。 ‎ ‎∴。∴。 ∴。 ∴ 。‎ ‎∴。∴。∴。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，勾股定理，扇形的计算，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，代数式的变换。‎ ‎【分析】（1）求出A（－4，－2），B（6，3），由勾股定理即可求出线段AB的长。 ‎ ‎ （2）求出扇形的面积关于半径的函数表达式，由二次函数的最值即可求解。‎ ‎ （3）由勾股定理和相似三角形的判定和性质，即可求出OM，OC，OD的长，代入等式验证即可。‎ ‎ （4）由三角形面积公式和勾股定理得到代数式，进行代数式的变换即能证明。‎ ‎9.（深圳2008年10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长 度．‎ ‎（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ 31‎ ‎【答案】解：（1）由B点的坐标为（3，0），OB＝OC，得：OC=3‎ ‎ 由tan∠ACO＝得：OA=1‎ ‎ ∴C（0，－3），A（－1，0）。‎ 将A、B、C三点的坐标代入，得，解得： 。 ‎ ‎∴这个二次函数的表达式为：。‎ ‎（2）存在。‎ ‎∵，∴D（1，－4）。‎ 设直线CD的解析式为，将C、D点的坐标代入，得，解得。‎ ‎∴直线CD的解析式为：。‎ 令，得。∴E点的坐标为（－3，0）。‎ ‎∵C（0，－3），∴在中，令，得，。‎ ‎∴F点的坐标为（2，－3）。‎ ‎∴由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF。‎ ‎∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。‎ 31‎ ‎∴存在点F，坐标为（2，－3）。‎ ‎（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），‎ 代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。‎ ‎②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），‎ 则N（r+1，－r），‎ 代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。‎ ‎∴圆的半径为或。‎ ‎（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，‎ 易得G（2，－3），直线AG为。‎ 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ。‎ ‎∴。‎ ‎∴当时，△APG的面积最大，‎ 此时P点的坐标为，的最大值为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，圆的切线的性质，解一元二次方程，二次函数最值。‎ ‎【分析】（1）由已知和锐角三角函数定义，求出A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出二次函数的表达式。‎ ‎ （2）过点C作CF⊥轴，求出A、C、E、F的坐标，根据平行四边形的判定即可。‎ ‎ （3）根据圆的切线的性质，分直线MN在x轴上方和直线MN在x轴下方两种情况讨论即可。‎ ‎ （4）求出的二次函数表达式，应用二次函数最值原理即可求得。‎ ‎10.（深圳2009年9分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ 31‎ B A O y x ‎（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）过点B作BE⊥轴于点E，‎ 由已知可得：OB=OA=2，∠BOE=60°，‎ 在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∠OBE=30°，‎ ‎∴OE=1，EB=。∴点B的坐标是（1，）。‎ ‎（2）设抛物线的解析式为 ‎ 代入点B（1, ），得，‎ ‎∴经过A、O、B三点的抛物线的解析式为。‎ C B A O y x ‎（3）如图，抛物线的对称轴是直线=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小。‎ 设直线AB为，则。‎ ‎∴直线AB为。‎ D B A O y x P 当=－1时，，∴点C的坐标为（－1，）。‎ ‎（4）如图，过P作轴的平行线交AB于D。‎ 31‎ ‎ ‎ 当=－时，△PAB的面积的最大值为，此时。‎ ‎【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，二次函数最值。‎ ‎【分析】（1）由已知得OA=2，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，则OB与轴的正方向夹角为60°，过点B作BE⊥轴于点E，解直角三角形可得OD、BE的长，从而求得B点的坐标。‎ ‎（2）用待定系数法直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式，可求解析式。‎ ‎（3）∵点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标。‎ ‎（4）设P（，）（﹣2＜＜0，＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，的值。‎ ‎11.（深圳2010年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商 场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x 元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）‎ ‎（1）求M型服装的进价；（3分）‎ ‎（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）‎ ‎【答案】解：（1）设进价为x，‎ ‎∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，‎ ‎∴75×0.8=（1+0.5）x，解得，x=40。‎ 答：M型服装的进价为40元。‎ 31‎ ‎（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，‎ ‎∴M型服装开展促销活动的实际销价为75·0.8－x=60－x，销售利润为60－x－40=20－x，‎ 而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20＋4x，‎ ‎∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润为：‎ W=（20－x）（20＋4x）=-4x2＋60x＋400=。‎ ‎∴当x= =7.5（元）时，利润W最大值为625元。‎ ‎【考点】一元一次方程、二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价。‎ ‎（2）促销后，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60－x，利润W=（60－x）（20+4x）。‎ 由二次函数最值可解。‎ ‎12.（深圳2010年学业3分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴 上，其中A（－2，0），B（－1, －3）．‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）‎ ‎（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）‎ 31‎ x y C B ‎_‎ D ‎_‎ A O ‎【答案】解：（1）∵点A、B在抛物线上，∴点A、B的坐标满足抛物线方程。‎ ‎∴ ， 解之得：。‎ ‎∴抛物线的解析式为所求。‎ ‎（2）如图，连接BD，交轴于点M，则点M就是所求作的点。‎ 设BD的解析式为，则有，。‎ ‎∴BD的解析式为。‎ 令则，∴M（0，－2）。‎ ‎(3)如图，连接AM， BC交y轴于点N，‎ ‎∵A（－2，0），D（2，0），M（0，－2），∴OM=OA=OD=2。‎ ‎∴∠AMB=900。 ‎ ‎∵B（－1, －3），M（0，－2），∴BN=MN=1‎ ‎∴，。‎ 设，‎ 依题意有：，即：。‎ 解之得：，。‎ 31‎ ‎∴符合条件的P点有三个：。‎ ‎【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，直角的判定，勾股定理，解一元二次方程。 ‎ ‎【分析】（1）由点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程的关系，将点A、B的坐标代入抛物线方程即可求出抛物线的解析式。‎ ‎ （2）∵点A，D关于对称轴轴对称，连接BD交对称轴轴于M点，由三角形三边关系知M点即为所求，求出直线BD的解析式，即可求得M点的坐标。‎ ‎ （3）求出S△ABM，设，即可由已知S△PAD＝4S△ABM列出关于的方程即可求解。‎ ‎13.（深圳2010年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图① 所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z 与之间也大致满足如图② 所示的一次函数关系.‎ ‎( 1 ) ( 3 分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？‎ ‎( 2 ) ( 3 分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式，‎ ‎( 3 ) ( 3 分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为800×200=160000（元）。‎ ‎ （2）依题意（图），设，，则有 ‎ ，，解得，。‎ 31‎ ‎ ∴，。‎ ‎ （3）∵‎ ‎ ∴要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为100元？其总收益W的最大值为162000元。‎ ‎【考点】一次、二次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。‎ ‎【分析】（1）由图，直接求出。‎ ‎ （2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式。‎ ‎ （3）求出该商场销售彩电的总收益W的函数关系式，用二次函数最值原理求解。‎ ‎14.（深圳2010年招生10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5 , 2 ) ，连结BC、AD.‎ ‎( 1 ) ( 3 分）求C 点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎( 2 ) ( 3 分）将△BCH绕点B 按顺时针旋转900后再沿轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；‎ ‎( 3 ) ( 4 分）设过点E的直线AB交AB边于点P，交CD 边于点Q，问是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ABCD的面积为1 : 3 两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD ∥AB ，又D ( 5 , 2 〕，∴C( 0 , 2 ) 。‎ ‎ ∴，解得。 ∴抛物线的解析式为：。‎ ‎ ( 2 )点E落在抛物线上。理由如下：‎ 由，得，解得，。‎ ‎∴A（4 ，0），B ( 1 ，0 ) 。∴OA=4，OB=1。‎ 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=900。‎ 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=900。∴点E的坐标为（3，－1）。‎ 31‎ 把代入，得。‎ ‎∴点E在抛物线上。‎ ‎（3）存在点P ( a，0 ) ，延长EF交CD于点G ，易求OF=CG=3，PB= a－1。‎ S四边形BCGF=5，S四边形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2。‎ 下面分两种情形： ‎ ‎① 当Sl：S2=1：3时，，‎ 此时点E在点F（3，0〕 的左侧，则P F=3－ a 。‎ 由△EPF ∽△EQG，得， 则QG = 9 －3 a 。‎ ‎∴CQ=3－（9 －3 a）=3 a －6。 ‎ 由S1＝2，得，解得 。∴P (，0 )。‎ ‎②当Sl：S2=3：1时，， ‎ 此时点E在点F（3，0〕 的右侧，则P F = a－3。‎ 由△EPF ∽△EQG，得QG = 3 a －9。∴CQ=3＋（3 a－9）=3 a －6。 ‎ 由S1＝6，得，解得 。∴P (，0 )。‎ 综上所述：所求点P的坐标为(，0 )或(，0 )。‎ ‎【考点】二次函数综合题，矩形的性质， 曲线上点的坐标与方程的关系，旋转和轴对称性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由矩形的性质和点D的坐标求出点C的坐标，从而由点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，即可求出抛物线的解析式。‎ ‎ （2）由旋转和轴对称性质，求出点E的坐标，代入抛物线的解析式验证即可。 ‎ ‎ （3）由似三角形的判定和性质，分S梯形BCQP：S梯形ADQP等于1：3和3：1两种情况讨论即可。‎ ‎15.（深圳2011年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：‎ 31‎ ‎（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；‎ ‎（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；‎ ‎（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？‎ ‎【答案】解：（1）填写表2如下所示 ‎ 依题意，得： ＝800＋700(18－)＋500(17－)＋600(－3) ‎ ‎ 即：＝200＋19300（3≤≤17） ‎ ‎ （2）∵要使总运费不高于20200元， ∴200＋19300<20200 ‎ ‎ 解得： ‎ ‎ ∵3≤≤17，∴且设备台数只能取正整数。∴只能取3或4。‎ ‎ ∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：‎ ‎ （3）由（1）和（2）可知，总运费为：‎ ‎ ＝200＋19300（＝3或＝4）‎ ‎ 由一次函数的性质，可知：‎ ‎ 当＝3时，总运费最小，最小值为：＝200×3＋19300＝19900（元）。‎ ‎ 答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。‎ ‎【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。‎ 31‎ ‎【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：‎ 总运费=甲地运A馆运费＋乙地运A馆运费＋甲地运B馆运费＋乙地运B馆运费 ‎ = 800 ＋ 700(18－) ＋ 500(17－) ＋ 600(3－)‎ 考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3－台，有3≤≤17。‎ ‎（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。‎ ‎16.（深圳2011年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式 ‎（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎ 【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：，‎ ‎ 依题意，将点B（3，0）代入，得： ， 解得：＝－1‎ ‎ ∴所求抛物线的解析式为：。‎ ‎ （2）如图，在轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于轴对称，‎ 在轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI，‎ ‎ ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将＝2代入抛物线，得 31‎ ‎ ， ∴点E坐标为（2，3）。‎ ‎ 又∵抛物线图像分别与轴、轴交于点A、B、D，‎ ‎ ∴当＝0时，，∴＝－1或＝3‎ ‎ 当＝0时，＝－1＋4＝3,‎ ‎ ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） ‎ ‎ 又∵抛物线的对称轴为：直线＝1， ‎ ‎ ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE 设过A、E两点的一次函数解析式为：，‎ 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入，得：‎ ‎ ， 解得： 。‎ 过A、E两点的一次函数解析式为：＝＋1。‎ ‎ ∴当＝0时，＝1 。 ∴点F坐标为（0，1）。∴DF=2。‎ ‎ 又∵点F与点I关于轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）。 ‎ ‎ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，‎ ‎ ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可，‎ ‎ 由图形的对称性和HF＝HI，GD＝GE可知，‎ ‎ DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI 只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小。‎ ‎ 。‎ ‎ 设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，‎ 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：‎ ‎ ，解得：‎ 31‎ ‎ 过A、E两点的一次函数解析式为：＝2－1‎ ‎ ∴当＝1时，＝1；当＝0时，＝； ‎ ‎ ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）‎ ‎ ∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI=‎ ‎∴四边形DFHG的周长最小为。 ‎ ‎（3）设点M的坐标为（，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD ∴。‎ ‎ 再由（1）、（2）可知，AM＝1＋，BD＝，AB＝4，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵， ‎ ‎ 由题意可知，∠NMD＝∠MDB， ‎ ‎ 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可。‎ ‎ 即： ∴ ‎ ‎ 解得：或（不合题意，舍去）。∴点M的坐标为（，0）。‎ ‎ 又∵点T在抛物线图像上， ∴当＝时，y＝。‎ ‎ ∴点T的坐标为（，）。‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。‎ ‎ （2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。‎ ‎ （3）由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：。因此由（1）、（2）的结论和△AMN∽△ABD即可求得。‎ 31‎ 31‎