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- 2021-05-10 发布
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2018年中考数学模拟试卷(6)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.(x2)3=x6 C.(x﹣2)2=x2﹣4 D.x•x﹣1=0
2.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,直角边长为的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上,等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时,设穿过时间为t,两图形重合部分的面积为S,则S关于t的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.如图,甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( )
A.仅有甲和乙相同 B.仅有甲和丙相同 C.仅有乙和丙相同 D.甲、乙、丙都相同
5.某校男子篮球队的年龄分布如图所示,则根据图中信息可知这些队员年龄的众数、中位数分别是( )
第5题 第6题
A.15,14.5 B.14,15 C.15,15.5 D.15,15
6.如图,在⊙O中,圆心O到弦AB的距离OD=AB,则弦AB所对圆心角的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
7.若关于x的分式方程 有解,则a的值为( )
A.a≠1 B.a≠2 C.a≠﹣1且a≠﹣2 D.a≠1且a≠2
8.如图,直线y=﹣x+5与双曲线 (x>0)相交于A,B两点,与x轴交于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,△BDC的面积是 ,则k的值为( ) A.3.5 B.4 C.5 D.6
第8题 第10题
9.足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,中超联赛某足球队已经进行了7场比赛,得了13分,该队获胜的场数可能是( )
A.2场或3场 B.2场或3场或4场 C.3场或4场 D.3场或4场或5场
10.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题(每题3分,共30分)
11.我国2018年出境旅游超过1.2亿人次,城乡居民生活水平有新的提高,数据1.2亿人次用科学记数法表示
为 人次.
12.函数y= 自变量x的取值范围为 .
13.如图,OP为∠AOB内的一条射线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,请添加一个条件 ,
△COP≌△DOP(填一个即可).
14.元旦晚会上,九年级(1)班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡,放进一个纸箱里充分摇匀后,小红从纸箱里任意摸出一张贺卡,恰好是老师写的贺卡的概率是 .
15.关于x的两个不等式 <1与1﹣3x>0的解集相同,则a= .
16.某超市“端午节”对顾客实行优惠,规定:一次性购物满50元,全部货款打九折;超过200元,超过部分打八折.李叔叔两次购物,第一次付款40元,第二次付款162元,若这两次购物合并成一次性付款可节省 元.
17.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是 cm.
第13题 第17题 第19题
18.正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 .
19.如图,P为正方形ABCD的边BC上一点,连接AP,过点B作BQ⊥AP,交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′,交BA的延长线于点M,当AB=3,BP=2PC时,QM= .
20.如图,动点M在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(2,1),第2次运动到点(3,0),第3次运动到点(4,2),…,按这样的运动规律,经过第2017次运动后,动点M的坐标是 .
三、解答题(满分60分)
21.(5分)先化简,再求值:,然后从﹣2,2,3中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
22.(6分)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都为1个单位长度,△ABC与△A1B1C1呈中心对称.
(1)若将△ABC绕某一点O旋转180°可得到△A1B1C1,请直接在图上标出此点O;
(2)作出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5个单位长度得到的△A2B2C2;
(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合,则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转 度,并计算出△A2B2C2扫过的面积.
23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;(2)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标.
24.(7分)“六一”儿童节前夕,薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品,先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计,发现各班留守儿童人数分别为6名,7名,8名,10名,12名这五种情形,并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图:
请根据上述统计图,解答下列问题:
(1)该校有多少个班级?并补充条形统计图;
(2)该校平均每班有多少名留守儿童?留守儿童人数的众数是多少?
(3)若该镇所有小学共有60个教学班,请根据样本数据,估计该镇小学生中,共有多少名留守儿童.
25.(8分)爸爸和小芳驾车去郊外登山,欣赏美丽的达子香(兴安杜鹃),到了山下,爸爸让小芳先出发6min,然后他再追赶,待爸爸出发24min时,妈妈来电话,有急事,要求立即回去.于是爸爸和小芳马上按原路下山返回(中间接电话所用时间不计),二人返回山下的时间相差4min,假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的,登山过程中小芳和爸爸之间的距离s(单位:m)关于小芳出发时间t(单位:min)的函数图象如图,请结合图象信息解答下列问题:
(1)小芳和爸爸上山时的速度各是多少?
(2)求出爸爸下山时CD段的函数解析式;
(3)因山势特点所致,二人相距超过120m就互相看不见,求二人互相看不见的时间有多少分钟?
26.(8分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG有一共同顶点D,将正方形DEFG绕点D旋转,B,E,F三点在一条直线上,AH⊥BE于点H,如图①,易证:BE﹣EF=2AH(不需证明).
(1)继续旋转正方形DEFG,其他条件不变,如图②,猜想线段BE,EF,AH之间有怎样的数量关系?并给予证明;
(2)若将题中的条件改为AD=2AB,DE=2EF,H为BF中点,如图③,其他条件不变时,线段BE,EF,AH之间又有怎样的数量关系?猜想其结论,不需证明.
27.(10分)“兴佳果业”采购苹果和芒果共500斤,苹果和芒果的进货价分别为4元/斤和8元/斤,进货所用资金不超过3520元,且购进芒果的重量不少于购进苹果重量的3倍,经营者将所进水果加价25%进行销售.
(1)求共有多少种进货方案(水果重量取整数)?
(2)获利最多的方案是哪种?最多获利多少元?
(3)由于保存不当,这两种水果共有180斤(苹果有a斤且为整数)受到影响,品质下降,经营者为维护良好商誉,将这180斤水果按进货价的五折销售,在(2)的条件下,请分析这两种水果的总体盈亏情况.
28.(10分)如图,矩形AOBC的两条边OA,OB的长是方程x2﹣18x+80=0的两根,其中OA<OB,沿直线AD将矩形折叠,使点C与y轴上的点E重合.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求直线AD的解析式;
(3)若点P在y轴上,平面内是否存在点Q,使以A,D,P,Q为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2019年中考数学模拟试卷(6)参考答案与试题解析[来XK]
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.(x2)3=x6 C.(x﹣2)2=x2﹣4 D.x•x﹣1=0
【解答】解:A、两项不是同类项,所以不能合并,故A错误,
C、根据完全平方公式的展开式,应该为三项,故C错误,
D、是同底数幂相乘,底数不变,指数相加,所以指数应该为0次,除了0以外,任何数的0次幂都为1,故D错误;
B、考查幂的乘方运算,底数不变,指数相乘.故正确;故选B.
2.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:第一个图形是轴对称图形,是中心对称图形;第二个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;
第三个图形是轴对称图形,是中心对称图形;第四个图形是轴对称图形,是中心对称图形.
共有3个图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,故选C.
3.如图,直角边长为的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上,等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时,设穿过时间为t,两图形重合部分的面积为S,则S关于t的图象大致为( )
A. B. C. D.
【解答】解:根据题意可得,等腰直角三角形斜边为2,斜边上的高为1,而等边三角形的边长为3,高为,
故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时,出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况,故两图形重合部分的面积先增大,然后不变,再减小,S关于t的图象的中间部分为水平的线段,故A,D选项错误;当t=0时,S=0,故C选项错误,B选项正确;故选:B.
4.如图,甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( )
A.仅有甲和乙相同 B.仅有甲和丙相同 C.仅有乙和丙相同 D.甲、乙、丙都相同
【解答】解:根据分析可知,甲的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,2;乙的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,1;丙的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,2;
则主视图相同的是甲和丙.故选:B.
5.某校男子篮球队的年龄分布如图所示,则根据图中信息可知这些队员年龄的众数、中位数分别是( )
A.15,14.5 B.14,15 C.15,15.5 D.15,15
【解答】解:15出现了8次,出现的次数最多,则众数是15;
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22(人),
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数,即中位数为15岁,故选D.
6.若关于x的分式方程=+1有解,则a的值为( )
A.a≠1 B.a≠2 C.a≠﹣1且a≠﹣2 D.a≠1且a≠2
【解答】解:分式方程整理得: =,
去分母得:ax=x+2,即(a﹣1)x=2,
当a﹣1≠0,即a≠1时,解得:x=,
由分式方程无解,得到≠2,即a≠2,
则a的值为a≠1且a≠2.
故选D
7.如图,在⊙O中,圆心O到弦AB的距离OD=AB,则弦AB所对圆心角的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解答】解:连接OA、OB.
∵OD⊥AB,∴AD=DB,
∵OD=AB,∴OD=AB,
∴tan∠OAB=,∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠AOB=120°,故选C.
8.如图,直线y=﹣x+5与双曲线y=(x>0)相交于A,B两点,与x轴交于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,
△BDC的面积是,则k的值为( )
A.3.5 B.4 C.5 D.6
【解答】解:令直线y=﹣x+5与y轴的交点为点E,如图所示.
令直线y=﹣x+5中y=0,则0=﹣x+5,解得:x=5,令x=0,则y=5,即OC=5,OE=5,
∴∠OCB=45°,
∵BD⊥x轴于点D,∴BD=CD,
∵△BDC的面积是,
∴DC•BD=,解得:BD=1.
结合题意可知点B的纵坐标为1,
当y=1时,有1=﹣x+5,解得:x=4,
∴点B的坐标为(4,1),∴k=4×1=4.故选B.
9.足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,中超联赛某足球队已经进行了7场比赛,
得了13分,该队获胜的场数可能是( )
A.2场或3场 B.2场或3场或4场 C.3场或4场 D.3场或4场或5场
【解答】解:设该队胜x场、平y场,则负(7﹣x﹣y)场,
根据题意得:3x+y=13,∴y=13﹣3x.
当x=0时,y=13,此时x+y=13>7(舍去).
当x=1时,y=10,此时x+y=11>7(舍去);
当x=2时,y=7,此时x+y=9>7(舍去);
当x=3时,y=4,此时x+y=7符合题意;
当x=4时,y=1,此时x+y=5<7符合题意.[来]
综上所述:该队获胜的场数可能是3场或4场.故选C.
10.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【解答】解:①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线,∴∠ABP=∠ABC,
∠CAP=(90°+∠ABC)=45°+∠ABC,
在△ABP中,∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP,
=180°﹣(45°+∠ABC+90°﹣∠ABC)﹣∠ABC,
=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC,
=45°,故本小题正确;
②∵PF⊥AD,∠APB=45°(已证),
∴∠APB=∠FPB=45°,
∵∵PB为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠FBP,
在△ABP和△FBP中,,
∴△ABP≌△FBP(ASA),∴AB=BF,AP=PF;故②正确;
③∵∠ACB=90°,PF⊥AD,
∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°,∴∠AHP=∠FDP,
∵PF⊥AD,∴∠APH=∠FPD=90°,
在△AHP与△FDP中,
,
∴△AHP≌△FDP(AAS),∴DF=AH,
∵BD=DF+BF,∴BD=AH+AB,
∴BD﹣AH=AB,故③小题正确;
④∵PF⊥AD,∠ACB=90°,∴AG⊥DH,
∵AP=PF,PF⊥AD,∴∠PAF=45°,∴∠ADG=∠DAG=45°,∴DG=AG,
∵∠PAF=45°,AG⊥DH,
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形,∴DG=AG,GH=GF,[]∴DG=GH+AF,
∵AF>AP,∴DG=AP+GH不成立,故本小题错误,
综上所述①②③正确.
故选A.
二、填空题(每题3分,共30分)
11.我国2016年出境旅游超过1.2亿人次,城乡居民生活水平有新的提高,数据1.2亿人次用科学记数法表示为 1.2×108 人次.
【解答】解:将1.2亿用科学记数法表示为1.2×108.故答案为:1.2×108.
12.函数y=自变量x的取值范围为 x> .
【解答】解:根据题意得:2x﹣1≥0且2x﹣1≠0,即2x﹣1>0,解得:x>.故答案为x>.
13.如图,OP为∠AOB内的一条射线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,请添加一个条件 OC=OD ,
使△COP≌△DOP(填一个即可).
【解答】解:∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠OCP=∠ODP=90°,
∵OP=OP,∴当OC=OD时,根据HL可得△COP≌△DOP,故答案为:OC=OD.
14.元旦晚会上,九年级(1)班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡,放进一个纸箱里充分摇匀后,小红从纸箱里任意摸出一张贺卡,恰好是老师写的贺卡的概率是 .
【解答】解:∵43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡,
∴新年贺卡的总数是43+7=50(张),又∵有7名老师,∴小红摸到老师写的贺卡的概率是;故答案为:.
15.关于x的两个不等式<1与1﹣3x>0的解集相同,则a= 1 .
【解答】解:由<1得:x<,
由1﹣3x>0得:x<,
由两个不等式的解集相同,得到=,解得:a=1.故答案为:1.
16.某超市“端午节”对顾客实行优惠,规定:一次性购物满50元,全部货款打九折;超过200元,超过部分打八折.李叔叔两次购物,第一次付款40元,第二次付款162元,若这两次购物合并成一次性付款可节省 6 元.
【解答】解:设第二次所购物品的价值为x元.
由题意0.9x=162,x=180,
180+40=220>200,
220﹣200=20,20×0.8=16,
200×0.9=180,
∴两次购物合并成一次性付款,实际付款180+16=196元,40+162﹣196=6,
答:若这两次购物合并成一次性付款可节省6元.
故答案为6.
17.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是 40 cm.
【解答】解:∵圆锥的底面直径为60cm,
∴圆锥的底面周长为60πcm,∴扇形的弧长为60πcm,
设扇形的半径为r,则=60π,解得:r=40cm,
故答案为40.
18.正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 3或3+3 .
【解答】解:①点E在正方形ABCD内,如图1,连接BD,与AC交于点F.
∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为18,∴AB=3.
又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=3.
②点E在正方形ABCD外,如图2,连接DE交AC于P,则PE+PD=DE最小,
连接BD,过B作BF⊥DE于F,
∵四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,
∴∠EAB=60°,∠BAD=90°,AE=AB=AD,∴∠AED=∠ADE=15°,
∴∠BED=45°,∠BDE=30°,
∵正方形ABCD的面积为18,∴AB=3,∴BE=3,BD=6,
∴EF=BF=3,DF=BD=3,∴DE=3+3,
∴PD+PE的和最小值为3或3+3.
故答案为:3或3+3.
19.如图,P为正方形ABCD的边BC上一点,连接AP,过点B作BQ⊥AP,交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′,交BA的延长线于点M,当AB=3,BP=2PC时,QM= .
【解答】过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP===,∴BH==2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,∴∠CQB=∠QBA.
由折叠可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,∴MQ=MB.
设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.
在Rt△MHQ中,[来源:学_科_网Z_X_X_K]
根据勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,解得x=.
∴QM的长为;
故答案为:.
20.如图,动点M在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(2,1),第2次运动到点(3,0),第3次运动到点(4,2),…,按这样的运动规律,经过第2017次运动后,动点M的坐标是(2522,1).
【解答】解:动点M第1次从原点运动到点(2,1),第2次运动到点(3,0),第3次运动到点(4,2),
第4次运动到点(5,0)…,
纵坐标为分别为1,0,2,0,…,每4次一个循环,
∵2017÷4=504余1,
∴经过第2017次运动后,动点M的纵坐标为1,
∵每4次运动,横坐标增加5,
∴经过第2017次运动后,动点M的横坐标为504×5+2=2522,
∴经过第2017次运动后,动点M的坐标是:(2522,1),
故答案为:(2522,1).
三、解答题(满分60分)
21.(5分)先化简,再求值:(x﹣2﹣)÷,然后从﹣2,2,3中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
【解答】解:(x﹣2﹣)÷===2x+6,
当x=2时,原式=2×2+6=10.
22.(6分)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都为1个单位长度,△ABC与△A1B1C1呈中心对称.
(1)若将△ABC绕某一点O旋转180°可得到△A1B1C1,请直接在图上标出此点O;
(2)作出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5个单位长度得到的△A2B2C2;
(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合,则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转 90 度,并计算出△A2B2C2扫过的面积.
【解答】解:(1)如图,点O为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作;
(3)把△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转90°可得到△CC1C2,
△A2B2C2扫过的面积=S扇形C1C2B2+S△C2CC1=+•5•2=π+5.
23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;(2)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标.
【解答】解:(1)将点B(3,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+bx+c中,
得:,解得:,∴该二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵点B(3,0),点C(0,﹣3),∴直线BC:y=x﹣3.
过P作PD∥y轴,交BC于D,如图1所示.
设P(a,a2﹣2a﹣3),则点D(a,a﹣3),
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴点A(﹣1,0).
则S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC =•AB•OC+•OB•DP=×4×3+3×[a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)]=﹣(a﹣)2+,
∵﹣<0,0<a<3,∴当a=时,四边形ABPC的面积取最大值,最大值为,
此时点P的坐标为(,﹣).
24.(7分)“六一”儿童节前夕,薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品,先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计,发现各班留守儿童人数分别为6名,7名,8名,10名,12名这五种情形,并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图:
请根据上述统计图,解答下列问题:
(1)该校有多少个班级?并补充条形统计图;
(2)该校平均每班有多少名留守儿童?留守儿童人数的众数是多少?
(3)若该镇所有小学共有60个教学班,请根据样本数据,估计该镇小学生中,共有多少名留守儿童.
【解答】解:(1)该校的班级数是:2÷12.5%=16(个).
则人数是8名的班级数是:16﹣1﹣2﹣6﹣2=5(个).
;
(2)每班的留守儿童的平均数是:(1×6+2×7+5×8+6×10+12×2)=9(人),众数是10名;
(3)该镇小学生中,共有留守儿童60×9=540(人).
答:该镇小学生中共有留守儿童540人.
25.(8分)爸爸和小芳驾车去郊外登山,欣赏美丽的达子香(兴安杜鹃),到了山下,爸爸让小芳先出发6min,然后他再追赶,待爸爸出发24min时,妈妈来电话,有急事,要求立即回去.于是爸爸和小芳马上按原路下山返回(中间接电话所用时间不计),二人返回山下的时间相差4min,假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的,登山过程中小芳和爸爸之间的距离s(单位:m)关于小芳出发时间t(单位:min)的函数图象如图,请结合图象信息解答下列问题:
(1)小芳和爸爸上山时的速度各是多少?
(2)求出爸爸下山时CD段的函数解析式;
(3)因山势特点所致,二人相距超过120m就互相看不见,求二人互相看不见的时间有多少分钟?
【解答】解:(1)小芳上山的速度为120÷6=20(m/min),
爸爸上山的速度为120÷(21﹣6)+20=28(m/min).
答:小芳上山的速度为20m/min,爸爸上山的速度为28m/min.
(2)∵(28﹣20)×(24+6﹣21)=72(m),
∴点C的坐标为(30,72);
∵二人返回山下的时间相差4min,44﹣4=40(min),
∴点D的坐标为(40,192).
设爸爸下山时CD段的函数解析式为y=kx+b,
将C(30,72)、D(40,192)代入y=kx+b,
,解得:.
答:爸爸下山时CD段的函数解析式为y=12x﹣288(24≤x≤40).
(3)设DE段的函数解析式为y=mx+n,
将D(40,192)、E(44,0)代入y=mx+n,
,解得:,
∴DE段的函数解析式为y=﹣48x+2112(40≤x≤44).
当y=12x﹣288>120时,34<x≤40;
当y=﹣48x+2112>120时,40≤x<41.5.
41.5﹣34=7.5(min).
答:二人互相看不见的时间有7.5分钟.
26.(8分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG有一共同顶点D,将正方形DEFG绕点D旋转,B,E,F三点在一条直线上,AH⊥BE于点H,如图①,易证:BE﹣EF=2AH(不需证明).
(1)继续旋转正方形DEFG,其他条件不变,如图②,猜想线段BE,EF,AH之间有怎样的数量关系?并给予证明;
(2)若将题中的条件改为AD=2AB,DE=2EF,H为BF中点,如图③,其他条件不变时,线段BE,EF,AH之间又有怎样的数量关系?猜想其结论,不需证明.
【解答】解:(1)结论:BE+EF=2AH.
理由:如图②中,作AM⊥AE交EB的延长线于M.
∵四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形,
∴AD=AB,∠AEM=45°,∠DAB=∠EAM=90°,
∴∠DAE=∠BAM,∠M=∠AEM=45°,
∴AE=AM,
∵AH⊥EM,∴EM=2AH,
在△DAE和△BAM中,
,
∴△DAE≌△BAM,
∴DE=EF=BM,
∴BE+EF=BE+BM=EM=2AH.
(2)结论:BE﹣EF=2AH.
理由:如图③中,在BH上取一点M,使得BM=EF.
∵∠DEB=∠DAB=90°,易证∠EDA=∠ABM,
∵==2,
∴=,
∴△ADE∽△ABM,
∴∠EAD=∠MAB,
∴∠EAM=∠DAB=90°,
∵HF=HM,EF=BM,
∴EH=HM,
∴EM=2AH,
∴BE﹣EF=BE﹣BM=EM=2AH,
∴BE﹣EF=2AH.
27.(10分)“兴佳果业”采购苹果和芒果共500斤,苹果和芒果的进货价分别为4元/斤和8元/斤,进货所用资金不超过3520元,且购进芒果的重量不少于购进苹果重量的3倍,经营者将所进水果加价25%进行销售.
(1)求共有多少种进货方案(水果重量取整数)?
(2)获利最多的方案是哪种?最多获利多少元?
(3)由于保存不当,这两种水果共有180斤(苹果有a斤且为整数)受到影响,品质下降,经营者为维护良好商誉,将这180斤水果按进货价的五折销售,在(2)的条件下,请分析这两种水果的总体盈亏情况.
【解答】解:(1)设购进苹果x斤,则购进芒果(500﹣x)斤,
根据题意得:,解得:120≤x≤125.
∵x为整数,∴x=120、121、122、123、124或125,
∴共有6种进货方案.
(2)设获利w元,
根据题意得:w=25%×4x+25%×8(500﹣x)=﹣x+1000.
∵k=﹣1<0,∴w随x值的增大而减小,
∴当x=120时,w取最大值,最大值为880,
∴当购进苹果120斤、芒果380斤时,获利最大,最大利润为880元.
(3)设获得的利润为y元,
根据题意得:y=25%×4×(120﹣a)﹣0.5×4a+25%×8[380﹣(120﹣a)]﹣0.5×8(120﹣a)=3a+160,
∵k=3>0,∴y值随a值的增大而增大.
∵0<a<120且a为整数,
∴160<y<520,
∴无论a为何值,销售完这两种水果,“兴佳果业”获利超过160元、不足520元.
28.(10分)如图,矩形AOBC的两条边OA,OB的长是方程x2﹣18x+80=0的两根,其中OA<OB,沿直线AD将矩形折叠,使点C与y轴上的点E重合.
(1)求A,B两点的坐标;(2)求直线AD的解析式;
(3)若点P在y轴上,平面内是否存在点Q,使以A,D,P,Q为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)解方程x2﹣18x+80=0可得x=8或x=10,
∵OA,OB的长是方程x2﹣18x+80=0的两根,且OA<OB,∴OA=8,OB=10,
∴A(﹣8,0),B(0,10);
(2)由折叠性质可得DE=CE,AE=AC=OB=10,
在Rt△AOE中,OE===6,
∴BE=OB﹣OE=10﹣6=4,
设BD=x,则CD=DE=8﹣x,
在Rt△BDE中,由勾股定理可得DE2=BE2+BD2,
∴(8﹣x)2=42+x2,解得x=3,∴D(﹣3,10),
设直线AD解析式为y=kx+b,
∴,解得,∴直线AD解析式为y=2x+16;
(3)当点P在x轴上方时,
若AP为对角线,则有DP⊥DA,如图1,连接AP、DQ交于点F,则F为AP、DQ的中点,
∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90°,
∴∠BDP=∠CAD,且∠PBD=∠DCA,
∴△BPD∽△CDA,
∴=,即=,解得BP=,∴OP=10﹣=,
∴P(0,),且A(﹣8,0),∴F(﹣4,),
设Q(x,y),且D(﹣3,10),
∴=﹣4, =,解得x=﹣5,y=﹣,
∴Q(﹣5,﹣);
若AD为对角线时,设AD的中点为M,则有PM=AD,
∵A(﹣8,0),D(﹣3,10),∴AD的中点M(﹣,5),
∴=,解得y=6或y=4,
设Q(x,y),当P(0,6)时,则有=﹣, =5,解得x=﹣11,y=4,
当P(0,4)时,则理可求得x=﹣11,y=6,
∴Q(﹣11,4)或(﹣11,6);
当点P在x轴下方时,则有AP⊥AD,如图2,连接DP、AQ交于点G,则G为AQ、DP的中点,
同理可证得△AOP∽△ACD,则=,即=,解得OP=4,
∴P(0,﹣4),且D(﹣3,10),∴G(﹣,3),
设Q(x,y),且A(﹣8,0),
∴=﹣, =3,解得x=5,y=6,
∴Q(5,6);
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣5,﹣)或(5,6)或(﹣11,4)或(﹣11,6).