2010中考数学真题分类汇编43图形变换图形的平移旋转与轴对称 26页

‎2010中考数学分类汇编 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．（2010甘肃兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎2．（10湖南益阳）小军将一个直角三角板（如图1）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是 Ａ． B． C． D．‎ ‎　 ‎ ‎【答案】D ‎3．（2010江苏南通） 如图，已知□ABCD的对角线BD=‎4cm，将□ABCD绕其对 称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为 ‎（第9题）‎ A B C D O A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm ‎【答案】C ‎4．（2010江苏盐城）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形 ‎【答案】B ‎5．（2010辽宁丹东市）把长为‎8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为‎6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）‎ 第8题图 A．（10+2）cm B．（10+）cm C．‎22cm D．‎18cm ‎ ‎【答案】A ‎6．（2010山东青岛）下列图形中，中心对称图形有（ ）．‎ ‎【答案】C ‎7．（2010山东烟台）如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是 ‎【答案】B ‎8．（2010四川凉山）下列图案中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎9．（2010台湾） 将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 ‎ 一条对角线对折，如图(七)所示。 最后将图(七)的色纸剪下一纸片， 如图(八)所示。若下列有一图形 为图(八)的展开图，则此图为何？‎ 图(六)‎ 图(七)‎ 图(八)‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎10．（2010浙江杭州）如图，在△中, . 在同一平面内, 将△绕点旋 转到△的位置, 使得, 则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11．（2010浙江宁波）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是 ‎(C)‎ ‎(B)‎ ‎(A)‎ ‎(D)‎ ‎【答案】C ‎ ‎12．（2010 浙江义乌）下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ▲ ）‎ A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰梯形 D．正方形 ‎【答案】D ‎13．（2010 重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（ ）‎ 图① 图② 图③ 图④‎ ‎ …‎ A．图① B．图② C．图③ D．图④‎ ‎【答案】B ‎14．（2010重庆市潼南县）如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF ( )‎ ‎ A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位 ‎ C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位 ‎ D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位 ‎ ‎【答案】C ‎ ‎15．（2010 浙江义乌）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且∥，下列结论中，一定正确的个数是（ ▲ ）‎ ‎①是等腰三角形 ②‎ ‎③四边形是菱形 ④‎ ‎ A B C D E F A．1 B．‎2 ‎‎ ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎ ‎16．（2010江苏宿迁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A的坐标为（-3，2），将其先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到线段A′B′，则点A对应点A′的坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】(1，-1)‎ ‎17．（2010浙江金华）如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B‎1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是 ▲ . ‎ ‎(第14题图)‎ A O x y ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-4‎ B C A1‎ C1‎ B1‎ ‎5‎ ‎【答案】（3，-1）‎ ‎18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 二、填空题 ‎1．（2010江苏南京） 如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠，旋转角为。若∠AOB=30°，∠BCA’=40°,则∠= °。‎ ‎【答案】110‎ ‎2．（2010江苏南京）如图，AB⊥BC，AB=BC=‎2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 cm2。‎ ‎【答案】2‎ ‎3．（2010江苏南通）如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折 纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D ′、C ′的位 置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，则∠AED ′等于 ▲ 度．‎ E D B D′‎ A ‎（第16题）‎ F C C′‎ ‎【答案】50‎ ‎4．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ▲ ．‎ A B C D A B C D E F ‎①‎ ‎②‎ A B C D E G M N ‎③‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎5．（2010山东济宁） 如图，是经过某种变换后得到的图形.如果中任意一点的坐标为（，），那么它的对应点的坐标为 .‎ ‎(第13题)‎ ‎【答案】（，）‎ ‎6．（2010山东日照）已知以下四个汽车标志图案：‎ 其中是轴对称图形的图案是 （只需填入图案代号）． ‎ ‎【答案】①，③‎ ‎7．（2010山东威海）如图，点A，B，C的坐标分别为（2，4），（5，2），‎ ‎（3，－1）．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为 ． ‎ ‎【答案】﹙0，1﹚；‎ ‎8．（2010山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠BAC=60º，AB=6．Rt△AB´C´可以看作是由Rt△ABC绕A点逆时针方向旋转60º得到的，则线段B´C的长为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 9．（2010江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 ▲ ．‎ ‎【答案】32‎ ‎10．‎ ‎11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 三、解答题 ‎1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=‎6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=‎4 ‎cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ．‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：‎ ‎ 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，‎ ‎ 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程．‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010安徽蚌埠二中提前）如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。‎ ‎⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，‎ 求证：；‎ ‎⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。‎ D A C B 图3‎ B A C 图2‎ D 图1‎ D B F E 图5‎ C D B A C F E A 图4‎ ‎⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。‎ N F M E B D A C ‎【答案】⑴ 在图4中，由于，将绕点旋转，得， ‎ ‎ 、。连接 ‎ ‎ ‎ 在中有 ‎ 又垂直平分 ‎ 代换得 ‎ ‎ 在图5中，由，将绕点旋转，得 ‎ 连接 ‎ 在中有 ‎ 又可证≌，得V 代换得 ‎ ‎(3)将绕点瞬时针旋转，得，且 ‎ N F M E B D A C G 因为的周长等于正方形周长的一半，所以 ‎ 化简得从而可得≌，‎ ‎ 推出 ‎ 此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：‎ ‎，再由勾股定理的逆定理知：‎ 线段、、可构成直角三角形。 ‎ ‎3．（2010安徽省中中考）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形的位置如图所示。‎ ‎⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形，‎ ‎⑵若四边形ABCD平移后，与四边形成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形 ‎【答案】‎ ‎4．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．‎ ‎（1）求折痕所在直线EF的解析式；‎ ‎（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；‎ ‎（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎5．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1，试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O‎1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM 为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎ ‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。‎ ‎（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1，并写出点C1的坐标；‎ ‎（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B‎2C2，并写出点C2的坐标；，‎ ‎（3）将△A2B‎2C2平移得到△ A3B‎3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3‎ ‎ ，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出△ A3B‎3C3，并写出点A3，B3的坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)‎ ‎7．（2010山东威海）A1‎ B1‎ C1‎ A B C ‎（图①） ‎ 如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B‎1C1． ‎ A B(A1)‎ C B1‎ C1‎ 图 ②‎ E ‎﹙1﹚将△ABC，△A1B‎1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B‎1C1C＝∠B1BC． ‎ A1‎ C1‎ C A B(B1)‎ 图 ③‎ F ‎﹙2﹚若将△ABC，△A1B‎1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A‎1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由． ‎ ‎﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B‎1C1， ‎ ‎∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1． ‎ ‎∴ ∠3=∠A=∠1． ……………………………………………………………………1分 ‎ ‎∴ BC1∥AC． ‎ ‎∴ 四边形ABC‎1C是平行四边形． ………………2分 A B(A1)‎ C B1‎ C1‎ 图 ② ‎ E ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎∴ AB∥CC1． ‎ ‎∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分 ‎∵ ∠5=∠6，‎ ‎∴ ∠B‎1C1C＝∠B1BC．……………………………4分 ‎﹙2﹚∠A‎1C1C =∠A1BC． …………………………5分 理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B‎1C1，‎ ‎∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2． ‎ A1‎ C1‎ C A B(B1)‎ 图 ③‎ F ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． ………………………6分 ‎∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，‎ ‎∴ ∠C1BC＝∠A1BA． …………………………7分 ‎∵ ∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)．‎ ‎∴ ∠4=∠A． …………………………………8分 ‎∴ ∠4=∠2． ‎ ‎∵ ∠5=∠6， ‎ ‎∴ ∠A‎1C1C=∠A1BC．……………………………………………………………………9分 ‎﹙3﹚△C1FB，…………10分； △A‎1C1B，△ACB．…………11分﹙写对一个不得分﹚‎ ‎8．（2010四川凉山）有一张矩形纸片，、分别是、上的点（但不与顶点重合），若将矩形分成面积相等的两部分，设，，。‎ （1） 求证：；‎ （2） 用剪刀将该纸片沿直线剪开后，再将梯形纸片沿AB对称翻折，平移拼接在梯形的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作。当为何值时，直线经过原矩形的顶点D。‎ A B C D F E E F A B C D 第22题图 ‎【答案】‎ ‎9．（2010四川眉山）如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．‎ ‎（1）证明：△ACE∽△FBE；‎ ‎（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，‎ ‎ ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢ ………………（1分）‎ ‎ ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢ ‎ ‎∴∠ACC ¢=∠ABB ¢ ……………………………………（3分）‎ 又∠AEC=∠FEB ‎∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）‎ ‎ （2）解：当时，△ACE≌△FBE． …………………（5分）‎ ‎ 在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，‎ ‎ ∴ ………（6分）‎ ‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎ ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，‎ ‎ ∴∠BCE=．‎ ‎ ∵∠ABC=，‎ ‎ ∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分）‎ ‎ ∴CE=BE ‎ 由（1）知：△ACE∽△FBE，‎ ‎ ∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）‎ ‎10．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点 ‎ D的坐标为 (0，)，点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直 ‎ 线与轴交于点F，与射线DC交于点G.‎ ‎ (1)求∠DCB的度数；‎ ‎ (2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；‎ ‎ (3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.‎ ‎ ①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ‎ ‎ ②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标.‎ ‎ ‎ ‎（图2）‎ ‎（图1）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解：(1) 在Rt△AOD中， ‎ ‎∵tan∠DAO=， ‎ ‎∴ ∠DAB=60°. 2分 ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎∴∠DCB=∠DAB=60° 3分 ‎ ‎ (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴CD∥AB ‎ ‎∴∠DGE=∠AFE 又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE ‎∴△DEG≌△AEF 4分 ‎∴DG=AF ‎∵AF=OF-OA=4-2=2‎ ‎∴DG=2‎ ‎∴点G的坐标为(2，) 6分 ‎ (3)①∵CD∥AB ‎∴∠DGE=∠OFE ‎∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’‎ ‎∴∠OFE=∠OF’E 7分 ‎∴∠DGE=∠OF’E ‎ 在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=AD=AE ‎ 又∵∠EAO=60° ‎ ‎∴∠EOA=60°， ∠AEO=60°‎ 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ‎ ‎∴∠EOF’=∠OEA ‎∴AD∥OF’ 8分 ‎∴∠OF′E=∠DEH ‎∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG ‎∴△DHE∽△DEG 9分 ‎②点F的坐标是F1(，0)，F2(，0). 12分 ‎ (给出一个得2分)‎ ‎ ‎ ‎ 对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.‎ ‎ 过点E作EM⊥直线CD于点M，‎ M ‎∵CD∥AB ‎ ‎∴∠EDM=∠DAB=60°‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎ ‎∴ 即 当点在点的右侧时，设，‎ ‎　　　　　　∴ ‎ 解得：（舍）‎ ‎　 ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(，0)‎ 当点在点的左侧时，设，‎ ‎　　　　 ∴　 ‎ 解得：（舍）‎ ‎　 ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(，0)‎ 综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1(，0)，F2(，0).‎ ‎11．（2010浙江绍兴）分别按下列要求解答：‎ ‎（1）在图1中,将△ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到△A1B‎1 C1.画出△A1B‎1C1；‎ ‎（2）在图2中,△ABC经变换得到△A2B‎2C2.描述变换过程.‎ ‎0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A B C A2‎ B2‎ C2‎ ‎0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A B C ‎【答案】‎ ‎(1) 如图． ‎ ‎(2) 将△ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移 ‎2个单位,得到△A2B‎2C2．（变换过程不唯一）‎ ‎12．（2010 浙江台州市）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．‎ ‎ （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．‎ ‎②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．‎ ‎（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎（第23题）‎ 图4‎ ‎（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）① = ‎ ‎② ＞ ‎ ‎（2）＞‎ 证明：作点C关于FD的对称点G，‎ 连接GK，GM，GD，‎ 则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，‎ ‎∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．‎ ‎∵30°，∴∠CDA=120°，‎ ‎∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，‎ ‎∠ADM+∠CDK =60°．‎ ‎∴∠ADM=∠GDM，‎ ‎∵DM=DM， ‎ ‎∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．‎ ‎∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．‎ ‎（3）∠CDF=15°，．‎ ‎13．（2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.‎ ‎（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC= ▲ °；‎ ‎（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；‎ ‎（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．‎ 图2‎ A B E Q P F C 图1‎ A C B E Q F P ‎【答案】‎ 解: ‎ 图1‎ A C B E Q F P ‎（1） 30°‎ ‎ 　　 = 60‎ H 不妨设BP＞, 如图1所示 ‎∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ‎ 图2‎ A B E Q P F C ‎∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ‎∴∠BAP=∠EAQ ‎ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ ‎∴△ABP≌△AEQ ‎∴∠AEQ=∠ABP=90°‎ ‎∴∠BEF ‎∴=60°‎ ‎(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）‎ ‎ 　　　　 (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G ‎ 　　　 ∵△ABE是等边三角形 　　∴BE=AB=，由（1）得30°‎ ‎ 在Rt△BGF中， ∴BF= ∴EF=2 　　　 ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF ‎ 　　　过点Q作QH⊥BC，垂足为H 在Rt△QHF中，（x＞0）‎ 即y关于x的函数关系式是：‎ ‎14．（2010 福建德化）（12分）在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A‎1C1、BC于D、F两点．‎ ‎（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ ‎（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求ED的长．‎ C1‎ A1‎ F E D C B A 图①‎ C1‎ A1‎ F E D C B A 图②‎ ‎【答案】(1)；提示证明 ‎（2）①菱形（证明略）‎ ‎（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1‎ 在中，‎ 由（2）知AD=AB=2 ∴‎ ‎15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎