- 588.20 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
压轴题
1、已知,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t秒.
(1)求直线AC的解析式;
(2)试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似;
(3)若⊙P的半径为,⊙Q的半径为;当⊙P与对角线AC相切时,判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系,并求出Q点坐标。
解:(1)
(2)①当0≤t≤2.5时,P在OA上,若∠OAQ=90°时,
故此时△OAC与△PAQ不可能相似.
当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OCA,
∵t>2.5,∴符合条件.
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△∠OAC,
∵t>2.5,∴符合条件.
综上可知,当时,△OAC与△APQ相似.
(3)⊙Q与直线AC、BC均相切,Q点坐标为()。
2、如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;
(第2题)
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
解:(1);.(2)在中,,
.
设点的坐标为,其中,顶点,
∴设抛物线解析式为.
①如图①,当时,,.
解得(舍去);...解得.
抛物线的解析式为
②如图②,当时,,.
解得(舍去).
③当时,,这种情况不存在.
综上所述,符合条件的抛物线解析式是.
(3)存在点,使得四边形的周长最小.
如图③,作点关于轴的对称点,作点关于
轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于
点,则点就是所求点.
,.
..又,,此时四边形的周长最小值是.
3、如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC
交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?如果能相似,请求出BP的长,如果不能,请说明理由。
第3题
解:(1)①在等边三角形ABC中,∠B=60°,∵PG⊥AB,
∴∠BGP=30°,∴BG=2BP.
②∵PF//AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF=PF=PB=x.
又∵BG=2x,BD=1,∴DG=2x-1,∴0<2x-1≤1,∴.
(2)S=DE×DF=
=
当时,.
(3)①如图1,若∠PFE=Rt∠,则两三角形相似,
此时可得DF=DG
即
解得:.
②如图2,若∠PEF=Rt∠,则两三角形相似,
此时可得DF=EF=BP,
即.解得:.
4、如图,二次函数的图像经过点,
且与轴交于点.
(1)试求此二次函数的解析式;
(2)试证明:(其中是原点);
(3)若是线段上的一个动点(不与、重合),过作轴的平行线,分别交此二次函数图像及轴于、两点,试问:是否存在这样的点,使?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)∵点与在二次函数图像上,
∴,解得,
∴二次函数解析式为.
(2)过作轴于点,由(1)得,则在中,,又在中,,
∵,∴.
(3)由与,可得直线的解析式为,
设,则,
∴.∴.
当,解得 (舍去),∴.
当,解得 (舍去),∴.
综上所述,存在满足条件的点,它们是与.
5、如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1
厘米.设运动的时间为x秒,△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.
(1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;
(2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;
(3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0<OG<6=,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F.
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义;
图2
G
2 4 6 8 10
1210
8
6
4
2
y
O
x
②当0<x<6时,求线段EF长的最大值.
图1
C Q→ B
D
A
P↓
解:(1)∵,CD=3,CQ=x,∴.
图象如图所示.
(2)方法一:,CP=8k-xk,CQ=x,
∴.∵抛物线顶点坐标是(4,12),
∴.解得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ面积为12.
此时PC=AC-AP=8k-4k=4k,CQ=4.∴由,得 .
解得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
方法三:设y2的图象所在抛物线的解析式是.
∵图象过(0,0),(4,12),(8,0),
∴ 解得 ∴. ①
∵,CP=8k-xk,CQ=x,∴. ②
比较①②得.则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
(3)①观察图象,知线段的长EF=y2-y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积).②由⑵得 .(方法二,)
∵EF=y2-y1,∴EF=,
∵二次项系数小于0,∴在范围,当时,最大.
6、如图,在中,,、分别是边、
上的两个动点(不与、重合),且保持,以为边,在点的异侧作正方形.
(1)试求的面积;
(2)当边与重合时,求正方形的边长;
(3)设,与正方形重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式,并写出定义域;
(4)当是等腰三角形时,请直接写出的长。
G
F
E
D
C
B
A
解:(1)过作于,∵,∴.
则在中,,∴.
(2)令此时正方形的边长为,则,解得.
(3)当时,.
当时,.
(4).
7、如图已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线上.
(1)求、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为点C,试在轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与相似.
解:(1)根据题意,得: 解得
B
A
O
1
1
-1
-1
x
y
A′
B′
(2)四边形A A′B′B为菱形,则A A′=B′B= AB=5
∵
=
∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为
(3)设D(x,0)根据题意,得:AB=5,
∵∠A=∠B B′A
y
B
A
O
1
1
-1
-1
x
C
B′
D
ⅰ) △ABC∽△B′CD时,∠ABC=∠B′CD ,∴BD=6-x, 由 得 解得x=3, ∴D(3,0)
ⅱ)△ABC∽△B′DC时,
∴ 解得 ∴
8、如 图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,A B⊥BC ,AD=2,AB=8,
CD=10.
(1)求梯形ABCD的面积S;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度、沿C→D→A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由;
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
(备用图)
解:
在Rt△DCH中,
(2)①
经计算,PQ不平分梯形ABCD的面积
②
,-
9、如图,⊙O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(,0),CAB=90°,AC=AB,顶点A在⊙O上运动.
(1)当点A在x轴上时,求点C的坐标;
(2)当点A运动到x轴的负半轴上时,试判断直线BC与⊙O位置关系,并说明理由;
(3)设点A的横坐标为x,△ABC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值;
A
B
C
O
x
y
(4)当直线AB与⊙O相切时,求AB所在直线对应的函数关系式.
解:(1)当点A的坐标为(1,0)时,AB=AC=-1,点C的坐标为(1,-1);
当点A的坐标为(-1,0)时,AB=AC=+1,点C的坐标为(-1,+1);
(2)直线BC与⊙O相切,过点O作OM⊥BC于点M,∴∠OBM=∠BOM=45°,
∴OM=OB·sin45°=1,∴直线BC与⊙O相切
(3)过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中,AE2=OA2-OE2=1-x2,
在Rt△BAE中,AB2=AE2+BE2=(1-x2) +(-x)2=3-2x
A
B
C
O
x
y
E
∴S=AB·AC= AB2=(3-2x)=
其中-1≤x≤1,
当x=-1时,S的最大值为,
当x=1时,S的最小值为.
(4)①当点A位于第一象限时(如右图):
连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切,∴∠OAB=90°,
A
B
(C)
O
x
y
E
又∵∠CAB=90°,∴∠CAB
+∠OAB=180°,
∴点O、A、C在同一条直线上,∴∠AOB=∠C=45°,
在Rt△OAE中,OE=AE=.点A的坐标为(,)
过A、B两点的直线为y=-x+.
②当点A位于第四象限时(如右图)
点A的坐标为(,-),过A、B两点的直线为y=x-.
10、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB