- 253.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
中考总复习:整式与因式分解—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用,多以选择题、填空题的形式出现;
2.因式分解是中考必考内容,题型多以选择题和填空题为主,也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、整式
1.单项式
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.
要点诠释:
(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.
(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.
2.多项式
几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.
要点诠释:
(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.
(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.
(4)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.
3.整式
单项式和多项式统称整式.
4.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项.
5.整式的加减
整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
6.整式的乘除
①幂的运算性质:
②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
平方差公式:
完全平方公式:
在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
要点诠释:
(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.
(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,
即(都是正整数).
(3)公式的推广: (,均为正整数)
(4)公式的推广: (为正整数).
考点二、因式分解
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.
2.因式分解常用的方法
(1)提取公因式法:
(2)运用公式法:
平方差公式:;完全平方公式:
(3)十字相乘法:
3.因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;
(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;
(4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法.
要点诠释:
(1)因式分解的对象是多项式;
(2)最终把多项式化成乘积形式;
(3)结果要彻底,即分解到每个因式都不能再分解为止.
(4)十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【典型例题】
类型一、整式的有关概念及运算
1.若3xm+5y2与x3yn的和是单项式,则nm .
【答案】
【解析】由3xm+5y2与x3yn的和是单项式得3xm+5y2与x3yn是同类项,
∴ 解得 , nm=2-2=
【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组,负整数指数幂的计算.
同类项的概念为:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式.
举一反三:
【变式】若单项式是同类项,则的值是( )
A、-3 B、-1 C、 D、3
【答案】由题意单项式是同类项,
所以,解得 ,,应选C.
2.下列各式中正确的是( )
A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8
【答案】A;
【解析】选项B为同底数幂乘法,底数不变,指数相加,a2·a3=a5,所以B错;
选项C为积的乘方,应把每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,(-3a2)3=-27a6,所以C错;选项D为两个单项式的和,此两项不是同类项,不能合并,所以D错;
选项A为负指数幂运算,一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数,A正确.答案选A.
【点评】考查整数指数幂运算.
举一反三:
【变式1】下列运算正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A.2-3 = ; B. ;C. 正确 ;D.. 故选C.
【高清课程名称: 整式与因式分解 高清ID号:399488
关联的位置名称(播放点名称):例1-例2】
【变式2】下列运算中,计算结果正确的个数是( ).
(1)a4·a3=a12; (2)a6÷a3=a2; (3)a5+a5=a10;
(4)(a3)2=a9; (5)(-ab2)2=ab4; (6)
A.无 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A.
3.利用乘法公式计算:
(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)
【答案与解析】
(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式,将a+b看成一项,则
(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中,每一项都只有符号的区别,所以,我们考虑用平方差公 式,将符号相同的看作公式中的a,将符号相反的项,看成公式中的b,
原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]
=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.
【点评】利用乘法公式去计算时,要特别注意公式的形式及符号特点,灵活地进行各种变形.
举一反三:
【变式】如果a2+ma+9是一个完全平方式,那么m=______.
【答案】利用完全平方公式:(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.
类型二、因式分解
4.因式分解:①3a3-6a2+12a; ②(a+b)2-1; ③x2-12x+36; ④(a2+b2)2-4a2b2
【答案与解析】
① 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)
② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)
③ x2-12x+36=(x-6)2
④ (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2
【点评】把一个多项式进行因式分解,首先要看多项式是否有公因式,有公因式就要先提取公因式,再看是否还可以继续进行分解,是否可以利用公式法进行分解,直到不能进行分解为止.
举一反三:
【高清课程名称: 整式与因式分解 高清ID号:399488
关联的位置名称(播放点名称):例3(1)-(2)】
【变式】把下列各式分解因式:
(1)6(a-b)2+8a(b-a); (2)(x+y)2-4(x+y)+4.
【答案】
(1)原式=6(a-b)2-8a(a-b)
=2(a-b)[3(a-b)-4a]
=2(a-b)(3a-3b-4a)
=-2(a-b)(a+3b).
(2)原式=[(x+y)-2]2=(x+y-2)2.
5.若能分解为两个一次因式的积,则m的值为( )
A. 1 B. -1 C. D. 2
【思路点拨】
对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法.
【答案】C.
【解析】
解:
-6可分解成或,因此,存在两种情况:
由(1)可得:,
由(2)可得:.
故选择C.
【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
举一反三:
【变式】因式分解:_______________.
【答案】
类型三、因式分解与其他知识的综合运用
6.已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.
【思路点拨】
式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,把2b2写成b2+b2
,故等式可变成2个完全平方式,从而得到结论.
【答案与解析】
解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0
(a-b) 2+(b-c) 2=0
即: a-b=0 , b-c=0,所以a=b=c.
所以△ABC是等边三角形.
【总结升华】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系.