中考数学二模试卷含解析16 23页

山东省青岛市市北区2016年中考数学二模试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．﹣3的相反数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎2．如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=6cm，则tan∠EAF的值是（　　）‎ A． B． C．2 D．5‎ ‎5．反比例函数y=（k为非零常数）的图象在其所在象限内，y的值随x值的增大而增大，那么函数y=x的图象经过第（　　）象限．‎ A．一、二 B．一、三 C．二、三 D．二、四 ‎6．如图，四边形ABCD的顶点坐标A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（﹣1，3）、D（﹣5，3）．若四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）‎ A．（0，5） B．（4，3） C．（2，5） D．（4，5）‎ ‎7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则这个等腰三角形的腰长是（　　）‎ A．2 B．5 C．2或5 D．3或4‎ ‎8．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________　．‎ ‎10．计算（）﹣1+（﹣3）0=________　．‎ ‎11．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是________　．‎ ‎12．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，由题意可得方程：________　．‎ ‎13．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为________　．‎ ‎14．如图所示，以O为端点画5条射线OA，OB，OC，OD，OE后，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2016个点在射线________　上．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．‎ 如图：OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满74分，共9道小题）‎ ‎16．（1）化简：÷（1+）；‎ ‎（2）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．‎ ‎17．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2．‎ 求：线段AB的长．‎ ‎18．小明和小刚用如图所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜．‎ ‎（1）请用列表法或树形图求出小明胜的概率；‎ ‎（2）这个游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎19．某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在A、B两位投篮高手间进行了6此投篮比赛，每次10投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题：‎ ‎（1）完成表格的填写；‎ 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A ‎7‎ B ‎7‎ ‎（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策．‎ ‎20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年销售总额将比去年减少20%，每辆销售价比去年降低400元，若这两年卖出的数量相同．‎ ‎（1）求今年A型车每辆售价多少元？‎ ‎（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求销售这批车获得的最大利润是多少元．‎ A，B两种型号车今年的进货和销售价格表：‎ A型车 B型车 进货价格（元）‎ ‎1100‎ ‎1400‎ 销售价格（元）‎ 今年的销售价格 ‎2000‎ ‎21．如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．‎ ‎22．（10分）（2016•崂山区一模）某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：‎ 信息1：销售A种产品所获利润y：（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：‎ 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y2=0.3x．‎ 根据以上信息，解答下列问题；‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，求销售A、B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．‎ ‎23．（10分）（2016•市北区二模）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？‎ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．‎ ‎（1）理由：如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．‎ ‎∵直线L是点B，B′的对称轴，点C，C′在L上．‎ ‎∴CB=________　，C′B=________　‎ ‎∴AC+CB=AC+CB′=________　．‎ 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′．‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′．‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小 归纳小结：‎ 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两 点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．‎ 本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．‎ ‎（2）模型应用 如图④，正方形 ABCD 的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．‎ 求EF+FB的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段________　的长度，EF+FB的最小值是________　．‎ 如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是________　．‎ 如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x、y轴分别交于点A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点．求PC+PD取得最小值时P点坐标．‎ ‎24．（12分）（2016•市北区二模）已知，如图，▱ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，点E从点A出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点E作EF⊥CD，垂足是F，连接EF交AD于点M，过M作MN∥AB，MN与BC交于点N，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AM的长：AM=________　；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使EN⊥BC，求出相应的t值，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）设四边形AEFN的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（4）点P是AC与NF的交点，在点E的运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠MNP=45°？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．﹣3的相反数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据相反数的概念解答即可．‎ ‎【解答】解：﹣3的相反数是3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解答】解：从左面看易得左视图为：．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：‎ ‎①符合条件的情况数目；‎ ‎②全部情况的总数．‎ 二者的比值就是其发生的概率的大小．‎ ‎【解答】解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，‎ ‎∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=6cm，则tan∠EAF的值是（　　）‎ A． B． C．2 D．5‎ ‎【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】先根据矩形的性质得CD=AB=8，AD=BC=10，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=BC﹣BF=4，设EF=x，则DE=x，CE=CD﹣DE=8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，即EF=5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴CD=AB=8，AD=BC=10，‎ ‎∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，‎ ‎∴AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，‎ 在Rt△ABF中，BF==6，‎ ‎∴FC=BC﹣BF=4，‎ 设EF=x，则DE=x，CE=CD﹣DE=8﹣x，‎ 在Rt△CEF中，‎ ‎∵CF2+CE2=EF2，‎ ‎∴42+（8﹣x）2=x2，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴EF=5，‎ 在Rt△AEF中，tan∠EAF===；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．‎ ‎　‎ ‎5．反比例函数y=（k为非零常数）的图象在其所在象限内，y的值随x值的增大而增大，那么函数y=x的图象经过第（　　）象限．‎ A．一、二 B．一、三 C．二、三 D．二、四 ‎【考点】反比例函数的性质；正比例函数的性质．‎ ‎【分析】先根据反比例函数y=（k为非零常数）的增减性判断出k的符号，再由一次函数的性质姐看的出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=（k为非零常数）的图象在其所在象限内，y的值随x值的增大而增大，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∴＜0，‎ ‎∴函数y=x的图象经过二四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性与系数k的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，四边形ABCD的顶点坐标A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（﹣1，3）、D（﹣5，3）．若四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）‎ A．（0，5） B．（4，3） C．（2，5） D．（4，5）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．‎ ‎【分析】根据平面直角坐标系找出点A′、B′、C′、D′的位置，然后写出点A′的坐标即可．‎ ‎【解答】解：四边形A′B′C′D′如图所示，‎ A′的坐标为（0，5），‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构准确找出点A、B、C、D的对应点的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则这个等腰三角形的腰长是（　　）‎ A．2 B．5 C．2或5 D．3或4‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】先求出方程的解，分为两种情况，最后看看是否符合三角形三边关系定理即可．‎ ‎【解答】解：解方程x2﹣7x+10=0得：x=2或5，‎ 分为两种情况：①三边为2，2，5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；‎ ‎②三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形；此时腰长为5，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形三边关系定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据题意，易得△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断出y关于x的函数的图象的大致形状．‎ ‎【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，‎ 故BE=CF=AG=2﹣x；‎ 故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．‎ 在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．‎ 则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；‎ 故y=S△ABC﹣3S△AEG ‎=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．‎ 故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为　2.5×10﹣6　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，‎ 故答案为：2.5×10﹣6．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎10．计算（）﹣1+（﹣3）0=　3　．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后计算加法，求出算式（）﹣1+（﹣3）0的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：（）﹣1+（﹣3）0‎ ‎=2+1‎ ‎=3‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．‎ ‎（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．‎ ‎（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．‎ ‎　‎ ‎11．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是　20°　．‎ ‎【考点】弧长的计算；圆周角定理．‎ ‎【分析】连结OA、OB．先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB=∠AOB=20°．‎ ‎【解答】解：连结OA、OB．设∠AOB=n°．‎ ‎∵的长为2π，‎ ‎∴=2π，‎ ‎∴n=40，‎ ‎∴∠AOB=40°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=20°．‎ 故答案为20°．‎ ‎【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），同时考查了圆周角定理．‎ ‎　‎ ‎12．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，由题意可得方程：　64（1+x）2=100　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】设该商城月平均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．‎ ‎【解答】解：设该商城2、3月份的月平均增长率为x，‎ 根据题意列方程：64（1+x）2=100．‎ 故答案为：64（1+x）2=100．‎ ‎【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为　π﹣2　．‎ ‎【考点】矩形的性质；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，然后求出DE，再根据阴影部分的面积=S扇形AEF﹣S△ADE列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），‎ ‎∴AE=2DA=2×2=4，‎ ‎∴∠AED=30°，‎ ‎∴∠DAE=90°﹣30°=60°，‎ DE===2，‎ ‎∴阴影部分的面积=S扇形AEF﹣S△ADE，‎ ‎=﹣×2×2，‎ ‎=π﹣2．‎ 故答案为：π﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示，以O为端点画5条射线OA，OB，OC，OD，OE后，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2016个点在射线　OA　上．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】每5个数为一周期．用2016除以5，根据余数来决定数2016在哪条射线上．‎ ‎【解答】解：根据题意可知，每5个数为一个周期．‎ 因为2016÷5=403…1，‎ 所以数2016应该在射线OA上．‎ 故答案为：OA．‎ ‎【点评】本题考查了图形的变化类问题，根据数的循环和余数来决定数的位置，解题的关键是找到规律．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．‎ 如图：OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图．‎ ‎【分析】首先作出∠AOB的角平分线OM，再过P作OM的垂线，两线交于点E，点E就是报亭的位置．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎，‎ 点E即为报亭位置．‎ ‎【点评】此题主要考查了作图﹣﹣应用与设计作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满74分，共9道小题）‎ ‎16．（1）化简：÷（1+）；‎ ‎（2）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．‎ ‎【考点】根的判别式；分式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可；‎ ‎（2）根据方程有两个不相等的实数根得出△＞0，求出k的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=；‎ ‎（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，且k≠0，即4+12k＞0，解得k＞﹣且k≠0．‎ ‎【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式△之间的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2．‎ 求：线段AB的长．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将AC与tanB的值代入求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2，‎ ‎∴tanB=，即=，‎ 解得：BC=6，‎ 根据勾股定理得：AB==2．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义及勾股定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．小明和小刚用如图所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜．‎ ‎（1）请用列表法或树形图求出小明胜的概率；‎ ‎（2）这个游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，然后根据概率公式求解；‎ ‎（2）找出能配成紫色的结果数，则根据概率公式计算出小刚胜的概率，然后比较小刚胜的概率和小明胜的概率的大小即可判断这个游戏是否公平．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图为：‎ 共有9种等可能的结果数，其中不能配成紫色的结果数为7，‎ 所以小明胜的概率=；‎ ‎（2）这个游戏不公平．理由如下：‎ 因为能配成紫色的结果数为2，‎ 所以小刚胜的概率=，‎ 而小明胜的概率=；‎ ‎＞，‎ 所以这个游戏不公平．‎ ‎【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．‎ ‎　‎ ‎19．某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在A、B两位投篮高手间进行了6此投篮比赛，每次10投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题：‎ ‎（1）完成表格的填写；‎ 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A ‎7‎ B ‎7‎ ‎（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策．‎ ‎【考点】方差；折线统计图；加权平均数；中位数；众数．‎ ‎【分析】（1）分别利用中位数、众数、方差的定义分析得出答案；‎ ‎（2）利用中位数、众数、方差的意义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ B ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎（2）从平均数看，两班平均数相同，则A、B两人的成绩一样好；‎ 从中位数看，A的中位数大，所以A的成绩较好；‎ 从众数看，A的众数大，所以A的成绩较好；‎ 从方差看，B的方差小，所以B的成绩更稳定．‎ ‎【点评】此题主要考查了中位数、众数、方差的定义，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年销售总额将比去年减少20%，每辆销售价比去年降低400元，若这两年卖出的数量相同．‎ ‎（1）求今年A型车每辆售价多少元？‎ ‎（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求销售这批车获得的最大利润是多少元．‎ A，B两种型号车今年的进货和销售价格表：‎ A型车 B型车 进货价格（元）‎ ‎1100‎ ‎1400‎ 销售价格（元）‎ 今年的销售价格 ‎2000‎ ‎【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得：‎ ‎=，‎ 解得：x=1600，‎ 经检验，x=1600是原方程的根．‎ 答：今年A型车每辆售价1600元；‎ ‎（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得 y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），‎ y=﹣100a+36000．‎ ‎∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，‎ ‎∴60﹣a≤2a，‎ ‎∴a≥20．‎ ‎∵y=﹣100a+36000．‎ ‎∴k=﹣100＜0，‎ ‎∴y随a的增大而减小．‎ ‎∴a=20时，y最大=34000元．‎ ‎∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．‎ ‎∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．‎ ‎【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用、一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎21．如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．‎ ‎【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，再因为MA⊥AN，NC⊥BC可得∠BAM=∠DCN，利用ASA定理可证得结论；‎ ‎（2）利用菱形的性质可得AC⊥EF，由全等三角形的性质可得AE=CF，由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，‎ ‎∵MA⊥AN，NC⊥BC，‎ ‎∴∠BAM=∠DCN，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（ASA）；‎ ‎（2）解：四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．‎ ‎∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∵MA⊥AN，NC⊥BC，‎ ‎∴AM∥CN，‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF为菱形．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定定理，综合运用各定理是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016•崂山区一模）某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：‎ 信息1：销售A种产品所获利润y：（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：‎ 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y2=0.3x．‎ 根据以上信息，解答下列问题；‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，求销售A、B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax2+bx，再利用待定系数法求解可得；‎ ‎（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据：A产品利润+B产品利润=总利润可得W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m），配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=ax2+bx，‎ 将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，‎ 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=﹣0.1x2+1.5x；‎ ‎（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，‎ 则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）‎ ‎=﹣0.1m2+1.2m+3‎ ‎=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，‎ ‎∵﹣0.1＜0，‎ ‎∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，‎ 答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，（2）中整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2016•市北区二模）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？‎ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．‎ ‎（1）理由：如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．‎ ‎∵直线L是点B，B′的对称轴，点C，C′在L上．‎ ‎∴CB=　CB'　，C′B=　C'B'　‎ ‎∴AC+CB=AC+CB′=　AB'　．‎ 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′．‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′．‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小 归纳小结：‎ 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两 点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．‎ 本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．‎ ‎（2）模型应用 如图④，正方形 ABCD 的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．‎ 求EF+FB的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段　DE　的长度，EF+FB的最小值是　　．‎ 如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是　2　．‎ 如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x、y轴分别交于点A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点．求PC+PD取得最小值时P点坐标．‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据对称轴是对称点连线的垂直平分线，依据垂直平分线的性质求解；‎ ‎（2）图④，当PB+PE最小时，等于线段ED的长，利用勾股定理求得；‎ 图⑤，先作B关于CD的对称点E，连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，即可求出答案；‎ 图⑥：设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P，则PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．连接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，即可解答；‎ ‎【解答】解：（1）如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．‎ ‎∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在直线l上．‎ ‎∴CB=CB′，C′B=C′B′‎ ‎∴AC+CB=AC+CB′=AB′．‎ 故答案是：CB′，C′B′，AB′；‎ ‎（2）图④EF+FB的最小值就是线段DE的长，DE==．‎ 故答案是：DE，；‎ 图⑤：（1）作B关于CD的对称点E，则E正好在圆周上，‎ 连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，‎ 则AP+BP最短，‎ ‎∵∠AOD=60°，B为弧AD中点，‎ ‎∴弧AB=弧BD，且弧AB的度数是30°，‎ ‎∴∠AEB=15°（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半），‎ ‎∵B关于CD的对称点是E，‎ ‎∴弧BE的度数是60°，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∵OA=OE（都是半径），‎ ‎∴△OAE是等腰直角三角形，‎ 由勾股定理得：AE=2；‎ 图⑥：（2）如图1，‎ ‎∵点C的坐标为（1，0），‎ 则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0），‎ 又∵点D的坐标为（1，2），‎ 连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，‎ 有，‎ 解得，‎ ‎∴y=x﹣1是DC′的解析式，‎ ‎∵x=0，‎ ‎∴y=1，‎ 即P（0，1）．‎ ‎∵PC+PD的最小值=C′D==2．‎ ‎【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2016•市北区二模）已知，如图，▱ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，点E从点A出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点E作EF⊥CD，垂足是F，连接EF交AD于点M，过M作MN∥AB，MN与BC交于点N，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AM的长：AM=　2t　；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使EN⊥BC，求出相应的t值，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）设四边形AEFN的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（4）点P是AC与NF的交点，在点E的运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠MNP=45°？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）在RT△AEM中，根据AM=2AE即可解决问题．‎ ‎（2）在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°根据cos60°===即可解决问题．‎ ‎（3）根据S四边形AEFN=S△AEM+S△AMN+S△MNF=•AE•EM+•AM•h+•MN•MF即可解决．‎ ‎（4）可以证明MN=MF，由此列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，‎ ‎∴∠EAD=∠ABC=60°，‎ ‎∵EF⊥CD，‎ ‎∴EF⊥AB，‎ 在RT△AME中，∵∠AEM=90°，AE=t，∠EMA=30°，‎ ‎∴AM=2AE=2t，‎ 故答案为2t．‎ ‎（2）存在，如图1中，设AM交EN于点O，‎ ‎∵EN⊥BC，‎ ‎∴ENB=∠MON=∠AOE=90°，‎ 在△AOE中，∠AOE=90°，∠EAB=60°，AE=t，‎ ‎∴AO=t，OM=t，‎ ‎∵MN∥AB，‎ 易得MN=AB=4，且∠NMA=60°，‎ 在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°，‎ ‎∴cos60°===．解得t=；‎ ‎（3）如图1中，由（1），（2）知AE=t，EM=t，AM=2t，AD与BC之间的距离h为2，MN=4，‎ 在△MDF中，MD=8﹣2t，∠D=60°，‎ ‎∴DF=4﹣t，MF=DF=（4﹣t），‎ ‎∴S四边形AEFN=S△AEM+S△AMN+S△MNF=•AE•EM+•AM•h+•MN•MF ‎=•t•2t+•2t•2+•4•（4﹣t）‎ ‎=t2+8，‎ ‎∴y=t2+8（0＜t＜4）．‎ ‎（4）如图1中，∵∠MNP=45°，∠NMF=90°，‎ ‎∴∠MNF=∠MFN=45°，‎ ‎∴MN=MF，‎ ‎∴4=（4﹣t），‎ ‎∴t=4﹣．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、30度角所对的直角边等于斜边一半、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握特殊三角形边角之间的关系，学会分割法求面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．‎