中考数学汇编锐角三角函数 57页

（2017•日照）在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则 sinA 的值为（ ） A． 5 13 （2017•湖州）如图，已知在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 cosB 的值是（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 （2017•哈尔滨）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则 cosB 的值为（ ） A． 15 4 B． 1 4 C . 15 15 D． 4 17 17 （2017•宜昌） △ ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），AD⊥BC 于 D，下列选项中，错误的是（ ） A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1 （2017•金华）在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 tanA 的值是（ ） A． 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 （2017•聊城）在 Rt △ ABC 中，cosA= 1 2 ，那么 sinA 的值是（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 1 2 （2017•云南）sin60°的值为（ ） A． 3 B． 3 2 C． 2 2 D． 1 2 （2017•天津）cos60°的值等于（ ） A． 3 B．1 C． 2 2 D． 1 2 （2017•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10m 高的天桥一侧修建了 40m 长的斜道（如 图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ） A． B． C． D． （2017•安顺）如图， ⊙O 的直径 AB=4，BC 切⊙ O 于点 B， OC 平行于 弦 AD， OC=5，则 AD 的长为（ ） A． 6 5 B． 8 5 C． 7 5 D． 2 3 5 （2017•滨州）如图，在 △ ABC 中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点 D 是 CB 延长线上 的一点，且 BD=BA，则 tan∠DAC 的值为（ ） A．2+ 3 B．2 3 C．3+ 3 D．3 3 （2017•怀化）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，4），那么 sinα 的值是（ ） A． 3 5 B． 3 4 C． 4 5 D． 4 3 （2017•杭州）如图，在 △ ABC 中，AB=AC，BC=12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D．设 BD=x，tan∠ACB=y，则（ ） A．x-y2=3 B．2x-y2=9 C．3x-y2=15 D．4x-y2=21 （2017•益阳）如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直， ∠CAB=α，则拉线 BC 的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（ ） A． sin h a （2017•绥化）某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5 米，∠BCA 约为 29°，则该楼梯的 高度 AB 可表示为（ ） A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米 C．3.5tan29°米 D． 3.5 cos29 米 （2017•温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα= 12 13 ， 则小车上升的高度是（ ） A．5 米 B．6 米 C．6.5 米 D．12 米 （2017•兰州）如图，一个斜坡长 130m，坡顶离水平地面的距离为 50m，那么这个斜坡与 水平地面夹角的正切值等于（ ） A． 5 13 B．12 13 C． 5 12 D． 13 12 （2017•重庆）如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米（点 C 与点 B 在同 一水平面上），某同学从点 C 出发，沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A 的俯视角 为 20°，则建筑物 AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈0.342， cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ） A．29.1 米 B．31.9 米 C．45.9 米 D．95.9 米 ．（2017•深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60°，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长 度为 20m，DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是（ ）m． A．20 3 B．30 C．30 3 D．40 （2017•烟台 ）如图，数学实践活动小组要测 量学校附近楼房 CD 的高度，在水 平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到 达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的 高度约为（结果精确到 0.1 米， 2 ≈1.414）（ ） A．34.14 米 B．34.1 米 C．35.7 米 D．35.74 米 （2017•百色）如图，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号” 动车，当动车车头在 A 处时，恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上；10 秒钟后， 动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是 （ ）米/秒． A．20（ 3 +1） B．20（ 3 -1） C．200 D．300 （2017•南宁）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60n mile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这时，B 处与灯塔 P 的距离为（ ） A．60 3 n mile B．60 2 n mile C．30 3 n mile D．30 2 n mile （2017•玉林）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮 船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向 上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ） A．15 3 海里 B．30 海里 C．45 海里 D．30 3 海里 （2017•烟台）在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC= 3 ，则 sin 2 A = . （2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．如图，在 △ ABC 中，BD 和 CE 是 △ ABC 的两条角平分线．若∠A=52°， 则∠1+∠2 的度数为 . B. 3 17 tan38°15′≈ ．（结果精确到 0.01） （2017•舟山）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA 1C=1， tan∠BA 2C= 1 3 ，tan∠BA 3C= 1 7 ，计算 tan∠BA 4C= ，…按此规律，写出 tan ∠BA nC= . （用含 n 的代数式表示）． （2017•黑龙江） △ ABC 中，AB=12，AC= 39 ，∠B=30°，则 △ ABC 的面积是 . （2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A， B，C，D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠BOD 的值等于 . （2017•广州）如图，Rt △ ABC 中，∠C=90°，BC=15，tanA= 15 8 ，则 AB= . （2017•宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡，从 A 滑行至 B， 已知 AB=500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据： sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67） （2017•天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水 坝的横断面是梯形 ABCD．已知迎水坡面 AB=12 米，背水坡面 CD=12 3 米，∠ B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED，tanE= 3 313 ,则 CE 的长为 米． （2017•泰州）小明沿着坡度 i 为 1： 3 的直路向上走了 50m，则小明沿垂直方 向升高了 m． （2017•东营）一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为α，在 B 处测得塔顶的仰角为β，又测量出 A、B 两点的距 离为 s 米，则塔高为 米． （2017•山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB，其中一名小组成 员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°．已知测角仪的架高 CE=1.5 米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数．参考数据： sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764） （2017•邵阳）如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点 时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km，仰角是 30°，n 秒后，火箭 到达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上升的高度是 km． （2017•黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高 度，一测量人员在该建筑物附近 C 处，测得建筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°， 随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处，在 D 处测得 A 处的仰角大小为 30°， 则建筑物 AB 的高度约为 米． （注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： 2 ≈1.41， 3 3 ≈1.73） （2017•苏州）如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B 北偏西 45°的方向，AC=4km．游客小 张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B，设开往码头 A、 B 的游船速度分别为 v1、v2，若回到 A、B 所用时间相等，则 1 2 V V = （结果 保留根号）． （ 2017•大 庆 ） 如 图 ， 已 知一 条 东 西 走 向 的 河 流 ， 在 河 流 对 岸 有一 点 A， 小 明 在 岸 边点 B 处 测得 点 A 在 点 B 的 北偏 东 30°方 向上 ， 小 明沿 河 岸 向东 走 80m 后 到 达点 C，测得点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上，则点 A 到河岸 BC 的距离为 . （2017•葫芦岛）一艘货轮又西向东航行，在 A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60° 方向，继续航行到达 B 处，测得灯塔 P 在正南方向 4 海里的 C 处是港口，点 A， B，C 在一条直线上，则这艘货轮由 A 到 B 航行的路程为 海里（结果保留 根号）． （2017•大连）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，距离灯塔 86n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，此时，B 处与灯塔 P 的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据： 3 ≈1.7， 2 ≈1.4） （2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.12 2+0.99 2=0.9945， sin 222°+sin 268°≈0.37 2+0.93 2=1.0018， sin 229°+sin 261°≈0.48 2+0.87 2=0.9873， sin 237°+sin 253°≈0.60 2+0.80 2=1.0000， sin 245°+sin 245°≈（ 2 2 ） 2+（ 2 2 ） 2=1． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有 sin 2α+sin 2（90°-α）=1． （Ⅰ）当α=30°时，验证 sin 2α+sin 2（90°-α）=1 是否成立； （Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． 【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）成立，当 时，将 30°与 60°的正弦值代入计算即可得证； （Ⅱ）成立，如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个 角的正弦并利用勾股定理即可得证. 试题解析：（Ⅰ）当 时， =sin230°+sin 260°= = =1，所以 成立； （Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下： 如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α， sin2α+sin 2（90°-α）= =1[来源:zzst&ep~@.c^o%m] （2017•白 银 ）美 丽 的黄 河 宛 如一 条 玉 带穿 城 而 过， 沿 河 两岸 的 滨 河路 风 情 线是 兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中 ，小林在南滨河路上的 A，B 两点处 ， 利 用 测 角 仪 分 别 对 北 岸 的 一 观 景 亭 D 进 行 了 测 量 ． 如 图 ， 测 得 ∠ DAC=45°， ∠ DBC=65°．若 AB=132 米，求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 多少米？（结 果精确到 1 米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 解：过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，设 BE=x， 在 Rt △ DEB 中，tan∠DBE＝ DE BE ， ∵∠DBC=65°， ∴DE=xtan65°． 又∵∠DAC=45°， ∴AE=DE． ∴132+x=xtan65°， ∴解得 x≈115.8， ∴DE≈248（米）． ∴观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米 ． （2017•舟山）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ABCD）靠墙摆 放，高 AD=80cm，宽 AB=48cm，小强身高 166cm，下半身 FG=100cm，洗漱时 下半身与地面成 80°（∠FGK=80°），身体前倾成 125°（∠EFG=125°），脚与洗 漱台距离 GC=15cm（点 D，C，G，K 在同一直线上）． （1）此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少？ （2）小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方，他应向前或后 退多少？ （sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， 2 ≈1.41，结果精确到 0.1） 解：（1）过点 F 作 FN⊥DK 于 N，过点 E 作 EM⊥FN 于 M． ∵EF+FG=166，FG=100， ∴EF=66， ∵∠FGK=80°， ∴FN=100•sin80°≈98， ∵∠EFG=125°， ∴∠EFM=180°-125°-10°=45°， ∴FM=66•cos45°=33 2 ≈46.53， ∴MN=FN+FM≈144.5， ∴此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 144.5cm． （2）过点 E 作 EP⊥AB 于点 P，延长 OB 交 MN 于 H． ∵AB=48，O 为 AB 中点， ∴AO=BO=24， ∵EM=66•sin45°≈46.53， ∴PH≈46.53， ∵GN=100•cos80°≈17，CG=15， ∴OH=24+15+17=56，OP=OH-PH=56-46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前 9.5cm． （2017•淮安）A，B 两地被大山阻隔，若要从 A 地到 B 地，只能沿着如图所示 的公路先从 A 地到 C 地，再由 C 地到 B 地．现计划开凿隧道 A，B 两地直线贯 通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通 2 ≈1.414， 3 ≈1.732） 解：过点 C 作 CD⊥AB 与 D， ∵AC=10km，∠CAB=30°， ∴CD= 1 2 AC= 1 2 ×20=10km， AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10 3 km， ∵∠CBA=45°， ∴BD=CD=10km，BC= 2 CD=10 2 ≈14.14km ∴AB=AD+BD=10 3 +10≈27.32km． 则 AC+BC-AB≈20+14.14-27.32≈6.8km． 答：从 A 地到 B 地的路程将缩短 6.8km． (2017，江西)如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为 20°， 而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为 100°．图 2 是其侧面简化示意图，其中视 线 AB 水平，且与屏幕 BC 垂直． （1）若屏幕上下宽 BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长； （2）若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm，上臂 DE=30cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其 到地面的距离 FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的 100°？ （参考数据：sin69°≈ ，cos21°≈ ，tan20°≈ ，tan43°≈ ，所有结果精确到个位） 解：（1）∵Rt△ABC 中，tanA= ， ∴AB= = = =55（cm）； （2）延长 FE 交 DG 于点 I． 则 DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）． 在 Rt△DEI 中，sin∠DEI= = = ， ∴∠DEI=69°， ∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°， ∴此时β不是符合科学要求的 100°． （2017•德州）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪 器，检测点设在距离公路 10m 的 A 处，测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 处所用时 间为 0.9 秒，已知∠B=30°，∠C=45°． （1）求 B，C 之间的距离；（保留根号） （2）如果此地限速为 80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数 据： 3 ≈1.7， 2 ≈1.4） 解：（1）如图作 AD⊥BC 于 D．则 AD=10m， 在 Rt △ ACD 中，∵∠C=45°， ∴AD=CD=10m， 在 Rt △ ABD 中，∵∠B=30°， ∴tan30°= AD BD ， ∴BD= 3 AD=10 3 m， ∴BC=BD+DC=（10+10 3 ）m． （2）结论：这辆汽车超速． 理由：∵BC=10+10 3 ≈27m， ∴汽车速度= 27 0.9 =30m/s=108km/h， ∵108＞80， ∴这辆汽车超速． （2017•台州）如图是一辆小汽车与墙平行停 放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行 且距 离为 0.8 米， 已知 小汽 车车 门宽 AO 为 1.2 米， 当车 门打 开角 度∠AOB 为 40°时，车门是否会碰 到墙？请说明理由．（参考数据 ：sin40°≈0.64； cos40°≈0.77；tan40°≈0.84） 解：过点 A 作 AC⊥OB，垂足为点 C， 在 Rt △ ACO 中， ∵∠AOC=40°，AO=1.2 米， ∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768， ∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米， ∴车门不会碰到墙． （2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水 河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在 数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段 AC 上的 A，B 两点分别 对南岸的体育中心 D 进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200 米， 求体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为多少米（精确到 1 米， 3 ≈1.732）？ 解：过点 D 作 DH⊥AC 于点 H． ∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°， ∴∠BDA=∠DAC=30°， ∴AB=DB=200． 在直角 △ BHD 中，sin60°= DH BD = 200 DH = 3 2 ， ∴DH=100 3 ≈100×1.732≈173． 答：体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为 173 米 ． （2017•常德）如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC=0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°，支架 AF 的长为 2.50 米，篮板顶 端 F 点到篮框 D 的距离 FD=1.35 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 ∠FHE=60°，求篮框 D 到地面的距离（精确到 0.01 米）（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732， 3 ≈1.732， 2 ≈1.414） 解：延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM 于 G， 在 Rt △ ABC 中，tan∠ACB= AB BC ， ∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392， ∴GM=AB=2.2392， 在 Rt △ AGF 中，∵∠FAG=∠FHD=60°，sin∠FAG= FG AF ， ∴sin60°= 2.5 FG = 3 2 ， ∴FG=2.17， ∴DM=FG+GM-DF≈3.06 米． 答：篮框 D 到地面的距离是 3.06 米． (2017•安徽）如图，游客在点 A 处坐缆车出发，沿 A-B-D 的路线可至山顶 D 处， 假设 AB 和 BD 都是直线段，且 AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求 DE 的长． （参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， 2 ≈1.41） 解：在 Rt △ ABC 中，∵AB=600m，∠ABC=75°， ∴BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m， 在 Rt △ BDF 中，∵∠DBF=45°， ∴DF=BD•sin45°=600× 2 2 ≈300×1.41≈423， ∵四边形 BCEF 是矩形， ∴EF=BC=156， ∴DE=DF+EF=423+156=579m． 答：DE 的长为 579m． （2017•凉山州）如图，若要在宽 AD 为 20 米的城南大道两边安装路灯，路灯的 灯 臂 BC 长 2 米 ， 且 与 灯 柱 AB 成 120°角 ， 路 灯 采 用 圆 锥 形 灯 罩 ， 灯 罩 的 轴 线 CO 与灯臂 BC 垂直，当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好 ， 此时，路灯的灯柱 AB 高应该设计为多少米（结果保留根号）？ 解：如图，延长 OC，AB 交于点 P． ∵∠ABC=120°， ∴∠PBC=60°， ∵∠OCB=∠A=90°， ∴∠P=30°， ∵AD=20 米， ∴OA= 1 2 AD=10 米， ∵BC=2 米， ∴在 Rt △ CPB 中，PC=BC•tan60°=2 3 米，PB=2BC=4 米， ∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°， ∴△PCB∽△PAO， ∴ PC BC PA OA  ∴PA= PC OA BC  = 2 3 10 10 32   米， ∴AB=PA-PB=（10 3 -4）米． 答：路灯的灯柱 AB 高应该设计为（10 3 -4）米． （2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所 示．已知 AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm， 王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8， cos50°≈0.6，tan50°≈1.2） 解：王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内． 理由：作 AD⊥BC 于点 D， ∵∠C=50°，AC=20cm， ∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm， CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm， ∵BC=18cm， ∴DB=BC-CD=18-12=6cm， ∴AB= 2 2 2 216 6AD BD   = 292 ， ∵17= 289 292 ， ∴王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内． （ 2017•兰 州 ） “兰 州 中 山 桥 “位 于 兰 州 滨 河 路 中 段 白 塔 山 下 、 金 城 关 前 ， 是 黄 河 上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载 着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥． 小 芸和 小 刚分 别 在桥 面 上的 A， B 两 处， 准 备测 量 其中 一 座弧 形钢 架 拱梁 顶 部 C 处 到 桥 面 的 距 离 AB=20m， 小 芸 在 A 处 测 得 ∠ CAB=36°， 小 刚 在 B 处 测 得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶 部 C 处到桥面的距离 ．（结果精确到 0.1m）（参 考 数 据 sin36°≈0.59 ， cos36°≈0.81 ， tan36°≈0.73 ， sin43°≈0.68 ， cos43°≈0.73 ， tan43°≈0.93） ∴AD= tan 36 x  ， 在 Rt△BCD 中，tan∠B= CD BD ， BD= tan 43 x  ， ∴ 200.93 0.73 x x  ， 解得 x=8.179≈8.2m． 答：拱梁顶部 C 处到桥面的距离 8.2m． 考点：解直角三角形的应用． （ 2017•张 家 界 ） 位 于 张 家 界 核 心 景 区 的 贺 龙 铜 像 ， 是 我 国 近 百 年 来 最 大 的 铜 像．铜像由像 体 AD 和底座 CD 两部分组 成．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ABC=70.5°， 在 Rt △ DBC 中 ，∠DBC=45°，且 CD=2.3 米，求像体 AD 的高度（最后结果 精确 到 0.1 米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824） 解：∵在 Rt △ DBC 中，∠DBC=45°，且 CD=2.3 米， ∴BC=2.3m， ∵在 Rt △ ABC 中，∠ABC=70.5°， ∴tan70.5°= AC BC = 2.3 2.3 AD  ≈2.824， 解得：AD≈4.2， 答：像体 AD 的高度约为 4.2m． （2017•贵 阳 ）贵 阳 市 某消 防 支 队在 一 幢 居民 楼 前 进行 消 防 演习 ， 如 图所 示 ， 消 防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后，发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又 有 一 名 求 救 者 ， 消 防 官 兵 立 刻 升 高 云 梯 将 其 救 出 ， 已 知 点 A 与 居 民 楼 的 水 平 距 离是 15 米，且在 A 点测得第一次施救时云 梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第 二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 的度数（结果精确到 1°）． 解：延长 AD 交 BC 所在直线于点 E． 由题意，得 BC=17 米，AE=15 米，∠CAE=60°，∠AEB=90°， 在 Rt △ ACE 中，tan∠CAE= CE AE ， ∴CE=AE•tan60°=15 3 米． 在 Rt △ ABE 中，tan∠BAE= BE AE = 17 15 3 15  ， ∴∠BAE≈71°． 答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 约为 71°． （2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两 侧有 A，B 两地，为了测量 A，B 两地 的距离，让一热气球从小 山西侧 A 地出发沿 与 AB 成 30°角的方向，以每分钟 40m 的速度直线飞行，10 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70° 角 ， 请 你 用 测 得 的 数 据 求 A， B 两 地 的 距 离 AB 长 ．（ 结 果 用 含 非 特 殊 角 的 三 角 函数和根式表示即可） 解：过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M， 由题意得：AC=40×10=400（米）． 在直角 △ ACM 中，∵∠A=30°， ∴CM= 1 2 AC=200 米，AM= 3 2 AC=200 3 米． 在直角 △ BCM 中，∵tan20°= BM CM ， ∴BM=200tan20°， ∴AB=AM-BM=200 3 -200tan20°=200（ 3 -tan20°）， 因此 A，B 两地的距离 AB 长为 200（ 3 -tan20°）米． （ 2017•上 海） 如 图 ， 一 座 钢 结 构 桥 梁的 框 架 是 △ ABC， 水 平 横 梁 BC 长 18 米 ， 中柱 AD 高 6 米，其中 D 是 BC 的中点，且 AD⊥BC． （1）求 sinB 的值； （2） 现 需要 加 装 支 架 DE、 EF， 其 中点 E 在 AB 上 ， BE=2AE， 且 EF⊥BC， 垂 足为点 F，求支架 DE 的长． 解：（1）在 Rt △ ABD 中，∵BD=DC=9，AD=6， ∴AB= 2 2BD AD = 2 29 6 =3 13 ， ∴sinB= AD AB = 6 2 13 = 2 13 13 （2）∵EF∥AD，BE=2AE， ∴ EF AD = BF BD = BE BA = 2 3 ， ∴ 2 6 9 3 EF BF  ， ∴EF=4，BF=6， ∴DF=3， 在 Rt △ DEF 中，DE= 2 2 2 24 3EF DF   =5 （ 2017•丽 水 ） 如 图 是 某小 区 的 一 个 健身 器 材 ， 已 知 BC=0.15m， AB=2.70m， ∠ BOD=70°，求端点 A 到地面 CD 的距离（精确到 0.1m）．（参考数据 ：sin70°≈0.94， cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 解：作 AE⊥CD 于 E，BF⊥AE 于 F，则四边形 EFBC 是矩形， ∵OD⊥CD，∠BOD=70°， ∴AE∥OD， ∴∠A=∠BOD=70°， 在 Rt △ AFB 中，∵AB=2.7， ∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918， ∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m， 答：端点 A 到地面 CD 的距离是 1.1m． （2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度 ，现在河边的一岸边任意取一点 A， 又在河的另一岸 边去两点 B、C 测得∠α=30°，∠β=45°，量得 BC 长为 100 米．求 河的宽度（结果保留根号）． 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∵∠β=45°，∠ADC=90°， ∴AD=DC， 设 AD=DC=xm， 则 tan30°= 3 100 3 x x  ， 解得：x=50（ 3 +1）， 答：河的宽度为 50（ 3 +1）m． （ 2017•岳 阳 ） 某 太 阳 能 热 水 器 的 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示 ， 已 知 真 空 热 水 管 AB 与支架 CD 所在直线相 交于点 O，且 OB=OD，支架 CD 与水平 线 AE 垂直 ，∠BAC= ∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm． （1）求支架 CD 的长； （2）求真空热水管 AB 的长．（结果保留根号） 解：（1）在 Rt △ CDE 中，∠CDE=30°，DE=80cm， ∴CD=80×cos30°=80× 3 2 =40 3 （cm）． （2）在 Rt △ OAC 中，∠BAC=30°，AC=165cm， ∴OC=AC×tan30°=165× 3 3 =55 3 （cm）， ∴OD=OC-CD=55 3 -40 3 =15 3 （cm）， ∴AB=AO-OB=AO-OD=55 3 ×2-15 3 =95 3 （cm）． （2017•长春）如图，某商店营业大厅自动扶 梯 AB 的倾斜角为 31°，AB 的长为 12 米，求大厅的距 离 AC 的长 ．（结果精确到 0.1 米）（参考数据 ：sin31°=0.515， cos31°=0.857，tan31°=0.60） 解：过 B 作地平面的垂线段 BC，垂足为 C． 在 Rt △ ABC 中，∵∠ACB=90°， ∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3（米）． 即大厅的距离 AC 的长约为 10.3 米． （2017•贺州）如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距 4 米的水平地面 A，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知在 A 处测 得探测线与地面的夹角为 30°，在 B 处测得探测线与地面的夹角为 60°，求该生 命迹象 C 处于地面的距离．（结果精确到 0.1 米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 解：过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D， ∵∠CAD=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=30°， ∴∠CAB=∠ACB=30°， ∴BC=AB=4 米， 在 Rt △ CDB 中，BC=4 米，∠CBD=60°，sin∠CBD= CD BD ， ∴sin60°= 4 CD ， ∴CD=4sin60°=4× 3 2 =2 3 ≈3.5（米）， 故该生命迹象所在位置的深度约为 3.5 米． （2017•黔东南州）如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角α为 60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学 校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下， 学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整 数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 5 ≈2.24） 解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α=39°，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，作 D′E′ ⊥AC 于点 E′， ∵CD=12 米，∠DCE=60°， ∴DE=CD•sin60°=12× 3 2 =6 3 米，CE=CD•cos60°=12× 1 2 =6 米． ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形 DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6 3 米． ∵∠D′CE′=39°， ∴CE′= tan39 D E   ≈ 6 3 0.81 ≈12.8， ∴EE′=CE′-CE=12.8-6=6.8≈7（米） ． （2017•威海）图 1 是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳 能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某 用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃 吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算： 如图 2，AB⊥BC，垂足为点 B，EA⊥AB，垂足为点 A，CD∥AB，CD=10cm， DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点 G． （1）若∠θ=37°50′，则 AB 的长约为 cm； （参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78） （2）若 FG=30cm，∠θ=60°，求 CF 的长． 解：（1）如图，作 EP⊥BC 于点 P，作 DQ⊥EP 于点 Q， 则 CD=PQ=10，∠2+∠3=90°， ∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2， ∴∠3=∠θ=37°50′， 则 EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′， ∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2， 故答案为：83.2； （2）如图，延长 ED、BC 交于点 K， 由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°， 在 Rt △ CDK 中，CK= 10 tan 3 CD R  ， 在 Rt △ KGF 中，KF= 30 sin 3 2 GF R  = 60 3 ， 则 CF=KF-KC= 60 3 - 10 3 = 50 3 = 50 3 3 . （2017•海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固， 专家提供的方 案是：水坝加高 2 米（即 CD=2 米），背水坡 DE 的坡度 i=1：1（ 即 DB： EB=1： 1）， 如 图 所 示 ， 已 知 AE=4 米 ， ∠ EAC=130°， 求 水 坝 原 来 的 高 度 BC． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） 解：设 BC=x 米， 在 Rt △ ABC 中， ∠CAB=180°-∠EAC=50°， AB= tan50 BC  ≈ 1.2 BC = 5 6 BC = 5 6 x 在 Rt △ EBD 中， ∵i=DB：EB=1：1， ∴BD=BE， ∴CD+BC=AE+AB， 即 2+x=4+ 5 6 x 解得 x=12， 即 BC=12， 答：水坝原来的高度为 12 米． （2017•宿迁）如图所示 ，飞机在一定 高度上沿水平直 线飞行，先在 点 A 处测得 正前方小岛 C 的俯角为 30°，面向小岛方向继续飞行 10km 到达 B 处，发现小岛 在其正后方，此时测得小岛的俯角为 45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行 的高度（结果保留根号）． 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 设 CD=x， ∵∠CBD=45°， ∴BD=CD=x， 在 Rt △ ACD 中，∵tan∠CAD＝ CD AD ， ∴AD= tan tan30 CD x CAD   = 3 3 3 x x ， 由 AD+BD=AB 可得 3 x+x=10， 解得：x=5 3 -5， 答：飞机飞行的高度为（5 3 -5）km． （2017•随 州 ）风 电 已成 为 我 国继 煤 电 、水 电 之 后的 第 三 大电 源 ， 风电 机 组 主要 由塔 杆和 叶片 组成 （如 图 1），图 2 是从 图 1 引出 的平 面图 ．假 设你 站在 A 处测 得塔杆顶端 C 的仰角是 55°，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山 顶 B 处 发 现 正 好 一 叶 片 到 达 最 高 位 置 ， 此 时 测 得 叶 片 的 顶 端 D（ D、 C、 H 在 同 一 直 线 上 ） 的 仰 角 是 45°． 已 知 叶 片 的 长 度 为 35 米 （ 塔 杆 与 叶 片 连 接 处 的 长 度 忽 略不计），山高 BG 为 10 米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆 CH 的高．（参考数据： tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 解：如图，作 BE⊥DH 于点 E， 则 GH=BE、BG=EH=10， 设 AH=x，则 BE=GH=GA+AH=43+x， 在 Rt △ ACH 中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x， ∴CE=CH-EH=tan55°•x-10， ∵∠DBE=45°， ∴BE=DE=CE+DC，即 43+x=tan55°•x-10+35， 解得：x≈45， ∴CH=tan55°•x=1.4×45=63， 答：塔杆 CH 的高为 63 米． （2017•鄂 州 ）小 明 想 要测 量 学 校食 堂 和 食堂 正 前 方一 棵 树 的高 度 ， 他从 食 堂 楼 底 M 处 出 发 ， 向 前 走 3 米 到 达 A 处 ， 测 得 树 顶 端 E 的 仰 角 为 30°， 他 又 继 续 走 下台阶到达 C 处，测得树的顶端 E 的仰角是 60°，再继续向前走到大树底 D 处， 测得食堂楼顶 N 的仰角为 45°．已知 A 点离地面的高 度 AB=2 米，∠BCA=30°， 且 B、C、D 三点在同一直线上． （1）求树 DE 的高度； （2）求食堂 MN 的高度． 解：（1）如图，设 DE=x， ∵AB=DF=2， ∴EF=DE-DF=x-2， ∵∠EAF=30°， ∴AF= 2 tan 3 3 EF x EAF  = 3 （x-2）， 又∵CD= tan DE DCE = 3 33 x x ，BC= 2 2 3tan 3 3 AB ACB   ， ∴BD=BC+CD= 2 3 + 3 3 x 由 AF=BD 可得   33 2 2 3 3x x   解得：x=6， ∴树 DE 的高度为 6 米； （2）延长 NM 交 DB 延长线于点 P，则 AM=BP=3， 由（1）知 CD= 3 3 6 2 33 3x    ，BC=2 3 ， ∴PD=BP+BC+CD= 3 2 3 2 3 3 4 3    ， ∵∠NDP=45°，且 MP=AB=2， ∴NP=PD=3+4， ∴NM=NP-MP=3+4 3 -2=1+4 3 ， ∴食堂 MN 的高度为 1+4 3 米． （2017•镇江）如图，小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部的俯角为 45°，顶部的仰角为 37°，已知教学楼和实验楼在 同一平面上，观测点距地面的垂 直高度 AB 为 15m，求实验楼的垂直高度即 CD 长（精确到 1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75． 解：作 AE⊥CD 于 E， ∵AB=15m， ∴DE=AB=15m， ∵∠DAE=45°， ∴AE=DE=15m， 在 Rt △ ACE 中，tan∠CAE= CE AE ， 则 CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm， ∴AB=CE+DE=11+15=26m． 答：实验楼的垂直高度即 CD 长为 26m． （ 2017•黄 冈 ） 在 黄 冈 长 江 大 桥 的 东 端 一 处 空 地 上 ， 有 一 块 矩 形 的 标 语 牌 ABCD （如图所示），已知标语牌的高 AB=5m，在地面的点 E 处，测得标语牌点 A 的 仰角为 30°，在地面的点 F 处，测得标语牌点 A 的仰角为 75°，且点 E，F，B， C 在同一直线上，求点 E 与点 F 之间的距离．（计算结果精确到 0.1 米，参考数 据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 解：如图作 FH⊥AE 于 H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°， ∴AH=HF，设 AH=HF=x，则 EF=2x，EH= 3 x， 在 Rt △ AEB 中，∵∠E=30°，AB=5 米， ∴AE=2AB=10 米， ∴x+ 3 x=10， ∴x=5 3 -5， ∴EF=2x=10 3 -10≈7.3 米， 答：E 与点 F 之间的距离为 7.3 米． （ 2017•新 疆 ） 如 图 ， 甲 、 乙 为 两 座 建 筑 物 ， 它 们 之 间 的 水 平 距 离 BC 为 30m， 在 A 点测 得 D 点的 仰角∠ EAD 为 45°，在 B 点测 得 D 点的 仰角 ∠CBD 为 60°， 求这两座建筑物的高度（结果保留根号） 解：如图，过 A 作 AF⊥CD 于点 F， 在 Rt △ BCD 中，∠DBC=60°，BC=30m， ∵ CD BC =tan∠DBC， ∴CD=BC•tan60°=30 3 m， ∴乙建筑物的高度为 30 3 m； 在 Rt △ AFD 中，∠DAF=45°， ∴DF=AF=BC=30m， ∴AB=CF=CD-DF=（30 3 -30）m， ∴甲建筑物的高度为（30 3 -30）m． （2017•荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆正前 方 2 3 米处的点 C 出发，沿斜面坡度 i=1： 3 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D， 在点 D 处安置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得仪器的高 DE 为 1.5 米．已知 A、B、C、D、E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆 AB 的高 度．（参考数据：sin37°≈ 3 5 ，cos37°≈ 4 5 ，tan37°≈ 3 4 ．计算结果保留根号） 解：如图，延长 ED 交 BC 延长线于点 F，则∠CFD=90°， ∵tan∠DCF=i= 1 3 = 3 3 ， ∴∠DCF=30°， ∵CD=4， ∴DF= 1 2 CD=2，CF=CDcos∠DCF=4× 3 2 =2 3 ， ∴BF=BC+CF=2 3 +2 3 =4 3 ， 过点 E 作 EG⊥AB 于点 G， 则 GE=BF=4 3 ，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5， 又∵∠AED=37°， ∴AG=GEtan∠AEG=4 3 •tan37°， 则 AB=AG+BG=4 3 •tan37°+3.5=3 3 +3.5， 故旗杆 AB 的高度为（3 3 +3.5）米． （ 2017•内 江 ） 如 图 ， 某人 为 了 测 量 小山 顶 上 的 塔 ED 的 高 ， 他在 山 下 的 点 A 处 测得塔尖点 D 的仰角为 45°，再沿 AC 方向前进 60m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60°，塔底点 E 的仰角为 30°，求塔 ED 的高度．（结果保留根号） 解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°， ∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°． 又∵∠BCD=90°， ∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°． ∴∠DBE=∠BDE． ∴BE=DE． 设 EC=xm，则 DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm， BC= 2 2BE EC =  2 22x x = 3x ， 由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC=DC． ∴ 3x +60=3x， 解得：x=30+10 3 ， 2x=60+20 3 ． 答：塔高约为（60+20 3 ）m． （2017•广安）如图，线段 AB、CD 分别表示甲乙 两建筑物的高 ，BA⊥ AD，CD ⊥DA，垂足分别为 A、D．从 D 点测到 B 点的仰角α为 60°，从 C 点测得 B 点的 仰角β为 30°，甲建筑物的高 AB=30 米 （1）求甲、乙两建筑物之间的距离 AD． （2）求乙建筑物的高 CD． 解：（1）作 CE⊥AB 于点 E， 在 Rt △ ABD 中，AD= 30 tan 3 AB   =10 3 （米）； （2）在 Rt △ BCE 中，CE=AD=10 3 米， BE=CE•tanβ=10 3 3 3  =10（米）， 则 CD=AE=AB-BE=30-10=20（米） 答：乙建筑物的高度 DC 为 20m． （ 2017•陕 西 ） 某 市 一 湖 的 湖 心 岛 有 一 棵 百 年 古 树 ， 当 地 人 称 它 为 “乡 思 柳 ”， 不 乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在 “聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想 知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天 ，他们俩带着侧倾器和 皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先 ，小军站在“聚贤亭”的 A 处， 用侧倾器测得“乡思柳”顶端 M 点的仰角为 23°，此时测得小军的眼睛距地面的高 度 AB 为 1.7 米，然后，小军在 A 处蹲下，用侧倾器测得 “乡思柳”顶端 M 点的仰 角为 24°，这 时测得 小军的 眼睛 距地面 的高度 AC 为 1 米． 请你利 用以上 测得 的 数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳 ”之间的距离 AN 的长（结果精确到 1 米）．（参考 数 据 ： sin23°≈0.3907 ， cos23°≈0.9205 ， tan23°≈0.4245 ， sin24°≈0.4067 ， cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．） 解：如图，作 BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点 D、E， 设 AN=x 米，则 BD=CE=x 米， 在 Rt △ MBD 中，MD=x•tan23°， 在 Rt △ MCE 中，ME=x•tan24°， ∵ME-MD=DE=BC， ∴x•tan24°-x•tan23°=1.7-1， ∴x= 0.7 tan 24 tan 23  ，解得 x≈34（米）． 答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 AN 的长约为 34 米． （2017•眉山 ）如图，为了测得一棵树的 高度 AB，小明在 D 处用高为 1m 的测角 仪 CD，测得树顶 A 的仰角为 45°，再向树方向前进 10m，又测得树顶 A 的仰角 为 60°，求这棵树的高度 AB． 解：设 AG=x． 在 Rt △ AFG 中， ∵tan∠AFG= AG FG ， ∴FG= 3 x ， 在 Rt △ ACG 中，∵∠GCA=45°， ∴CG=AG=x， ∵DE=10， ∴x- 3 x =10， 解得：x=15+5 3 ∴AB=15+5 3 +1=16+5 3 （米）． 答：这棵树的高度 AB 为（16+5 3 ）米. （2017•南通）热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角α为 45°， 看这栋楼底部 C 的俯角β为 60°，热气球与楼的水平距离为 100m，求这栋楼的高 度（结果保留根号）． 解：在 Rt △ ADB 中，∠BAD=45°， ∴BD=AD=100m， 在 Rt △ ADC 中，CD=AD×tan∠DAC=100 3 m ∴BC=（100+100 3 ）m， 答：这栋楼的高度为（100+100 3 ）m． （ 2017•绍 兴 ） 如 图 ， 学 校 的 实 验 楼 对 面 是 一 幢 教 学 楼 ， 小 敏 在 实 验 楼 的 窗 口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教 学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD 的度数． （2）求教学楼的高 BD．（结果精确到 0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 解：（1）过点 C 作 CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°， ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°； （2）由题意得：CE=AB=30m， 在 Rt △ CBE 中，BE=CE•tan20°≈10.80m， 在 Rt △ CDE 中，DE=CD•tan18°≈9.60m， ∴教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m， 则教学楼的高约为 20.4m． （2017•吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射，当火 箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰角分别 为 34°，45°，其中点 O，A，B 在同一条直线上．求 A，B 两点间的距离（结果精确到 0.1km）． （参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．） 解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km． 在 Rt △ AOC 中， ∵tan34°= OA OC ， ∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km， 在 Rt △ BOC 中，∠BCO=45°， ∴OB=OC=5km， ∴AB=5-3.35=1.65≈1.7km， 答：求 A，B 两点间的距离约为 1.7km． （2017•临沂）如图，两座建筑 物的水平距离 BC=30m，从 A 点测得 D 点的俯角 α为 30°，测得 C 点的俯角β为 60°，求这两座建筑物的高度． 解：延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DE⊥AE， 在 Rt △ AED 中，AE=BC=30m，∠EAD=30°， ∴ED=AEtan30°=10 3 m， 在 Rt △ ABC 中，∠BAC=30°，BC=30m， ∴AB=30 3 m， 则 CD=EC-ED=AB-ED=30 3 -10 3 =20 3 m． （2017•荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量 学校旗杆 AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点 C 处，测得旗杆顶端 A 的仰 角为 45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处，测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°， 已知升旗台的高度 BE 为 1 米，点 C 距地面的高度 CD 为 3 米，台阶 CF 的坡角 为 30°，且点 E、F、D 在同一条直线上，求旗杆 AB 的高度（计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 解：过点 C 作 CM⊥AB 于 M．则四边形 MEDC 是矩形， ∴ME=DC=3．CM=ED， 在 Rt △ AEF 中，∠AFE=60°，设 EF=x，则 AF=2x，AE= 3 x， 在 Rt △ FCD 中，CD=3，∠CFD=30°， ∴DF=3 3 ， 在 Rt △ AMC 中，∠ACM=45°， ∴∠MAC=∠ACM=45°， ∴MA=MC， ∵ED=CM， ∴AM=ED， ∵AM=AE-ME，ED=EF+DF， ∴ 3 x-3=x+3 3 ， ∴x=6+3 3 ， ∴AE= 3 （6+3 3 ）=6 3 +9， ∴AB=AE-BE=9+6 3 -1≈18.4 米． 答：旗杆 AB 的高度约为 18.4 米． （2017•乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE，在地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别 是 45°与 60°，∠CAD=60°，在屋顶 C 处测 得∠DCA=90°．若房屋的高 BC=6 米，求树高 DE 的长度． 解：如图 3，在 Rt △ ABC 中，∠CAB=45°，BC=6m， ∴AC＝ sin BC CAB ＝6 2 （m）； 在 Rt △ ACD 中，∠CAD=60°， ∴AD＝ cos AC CAD ＝12 2 （m）； 在 Rt △ DEA 中，∠EAD=60°，DE＝AD•sin60°＝12 2 3 2  ＝6 6 (m)， 答：树 DE 的高为 6 6 米． （2017•遵义）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥 AB 和引桥 BC 两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在 A 处正上方 97m 处的 P 点，测得 B 处的俯角为 30°（当时 C 处被小山体阻挡无法 观测），无人机飞行到 B 处正上方的 D 处时能看到 C 处，此时测得 C 处俯角为 80°36′． （1）求主桥 AB 的长度； （2）若两观察点 P、D 的连线与水平方向的夹角为 30°，求引桥 BC 的长． （长度均精确到 1m，参考数据： 3 ≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163， tan80°36′≈6.06） 解：（1）由题意知∠ABP=30°、AP=97， ∴AB= tan AP ABP = 97 tan30 = 3 3 = 97 3 ≈168m， 答：主桥 AB 的长度约为 168m； （2）∵∠ABP=30°、AP=97， ∴PB=2PA=194， 又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°， ∴∠DBP=∠DPB=60°， ∴△PBD 是等边三角形， ∴DB=PB=194， 在 Rt △ BCD 中，∵∠C=80°36′， ∴BC= tan DB C = 194 tan80 36 ≈32， 答：引桥 BC 的长约为 32m． （2017•衡 阳 ）衡 阳 市 城市 标 志 来雁 塔 坐 落在 衡 阳 市雁 峰 公 园内 ， 如 图， 为 了 测 量来雁塔的高度，在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的仰角为 30°， 再向塔身前进 10.4 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60°，求来雁塔的高 度．（结果精 确到 0.1 米） 解：如图，由题意∠CAB=30°，∠CBD=60°，DF=AE=1.5 米 ∵∠CBD=∠CAB+∠ACB， ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴AB=BC=10.4 米， 在 Rt △ CBD 中，CD=BC•sin60°=10.3•≈8.9 米， ∴来雁塔的高度=CD+DF=8.9+1.5=10.4 米． （2017•株洲）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的 左端点 P 的 俯角为α其中 tanα=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3 米，桥的长度为 1255 米． ①求点 H 到桥左端点 P 的距离； ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的 长度 AB． 解：①在 Rt △ AHP 中，∵AH=500 3 ， 由 tan∠APH=tanα= 500 3 2 3AH HP PH   ，可得 PH=250 米． ∴点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米． ②设 BC⊥HQ 于 C． 在 Rt △ BCQ 中，∵BC=AH=500 3 ，∠BQC=30°， ∴CQ= tan30 BC  =1500 米， ∵PQ=1255 米， ∴CP=245 米， ∵HP=250 米， ∴AB=HC=250-245=5 米． 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米． （2017•潍坊）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度．该楼 底层为车库，高 2.5 米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5 米， 在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°， AB=14 米．求居民楼的高度（精确到 0.1 米，参考数据： 3 ≈1.73） 解：设每层楼高为 x 米， 由题意得：MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1 米， ∴DC′=5x+1，EC′=4x+1， 在 Rt △ DC′A′中，∠DA′C′=60°， ∴C′A′= 3 tan 60 3 DC  （5x+1）， 在 Rt △ EC′B′中，∠EB′C′=30°， ∴C′B′= tan30 EC  = 3 （4x+1）， ∵A′B′=C′B′-C′A′=AB， ∴ 3 （4x+1）- 3 3 （5x+1）=14， 解得：x≈3.17， 则居民楼高为 5×3.17+2.5≈18.4 米 ． （2017•通辽）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 OA 的位置时俯角∠EOA=30°，在 OB 的位置时俯角∠FOB=60°，若 OC⊥EF，点 A 比点 B 高 7cm．求： （1）单摆的长度（ 3 ≈1.7）； （2）从点 A 摆动到点 B 经过的路径长（π≈3.1）． 解：（1）如图，过点 A 作 AP⊥OC 于点 P，过点 B 作 BQ⊥OC 于点 Q， ∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且 OC⊥EF， ∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°， 设 OA=OB=x， 则在 Rt △ AOP 中，OP=OAcos∠AOP= 1 2 x， 在 Rt △ BOQ 中，OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x， 由 PQ=OQ-OP 可得 3 2 x- 1 2 x=7， 解得：x=7+7 3 ≈18.9（cm）， 答：单摆的长度约为 18.9cm； （2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且 OA=OB=7+7 3 ， ∴∠AOB=90°， 则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为  90 7 7 3 180    ≈29.295， 答：从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm． （2017•菏泽 ） 如图 ，某 小区① 号楼 与 ⑪ 号楼 隔河 相望， 李明 家住在① 号楼 ，他 很想知道 ⑪ 号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在 B 点测得 C 点的仰角为 60°，然后到 42 米高的楼顶 A 处，测得 C 点的仰角为 30°，请你帮助李明计算 ⑪ 号楼的高度 CD． 解：作 AE⊥CD， ∵CD=BD•tan60°= 3 BD，CE=BD•tan30°= 3 3 BD， ∴AB=CD-CE= 2 3 3 BD， ∴BD=21 3 m， CD=BD•tan60°= 3 BD=63m． 答： ⑪ 建筑物的高度 CD 为 63m． （2017•营口）如图，一艘船以每小时 30 海里的速度向北偏东 75°方向航行，在 点 A 处测得码头 C 在船的东北方向，航行 40 分钟后到达 B 处，这时码头 C 恰 好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 C 的最近距离．（结果精确到 0.1 海里，参考数据 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D， 由题意可知：船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE， AB=30× 40 60 =20， ∵∠NAC=45°，∠NAB=75°， ∴∠DAB=30°， ∴BD= 1 2 AB=10， 由勾股定理可知：AD=10 3 ∵BC∥AN， ∴∠BCD=45°， ∴CD=BD=10， ∴AC=10 3 +10 ∵∠DAB=30°， ∴CE= 1 2 AC=5 3 +5≈13.7 （2017•恩施州）如图，小明家在学校 O 的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家的正南方向，求 小华家到学校的距离．（结果精确到 1 米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45） 解：由题意可知：作 OC⊥AB 于 C， ∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°． 在 Rt △ ACO 中， ∵∠ACO=90°，∠AOC=30°， ∴AC= 1 2 AO=40m，OC= 3 AC=40 3 m． 在 Rt △ BOC 中， ∵∠BCO=90°，∠BOC=45°， ∴BC=OC=40 3 m． ∴OB= 2 2 40 6OC BC  ≈40×2.45≈82（米）． 答：小华家到学校的距离大约为 82 米． (2017，青岛)如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需要绕行 B 地， 已知 B 位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南偏东 30°方向，若打通 穿山隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长（结果保留整数） （参考数据： ） 解：如图，作 BD⊥AC 于点 D， 在 Rt△ABD 中，∠ABD=67° ，∴ [来源@~^:&中教网*] ，∴ 在 Rt△BCD 中，∠CBD=30° ，∴ ∴ 答：AC 之间的距离约为 596km。 （2017•乌鲁木齐）一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60°方向，距离港口 20 海里 B 处，它沿北偏西 37°方向航行至 C 处突然出现故障，在 C 处等待救援，B，C 之 间的距离为 10 海里，救援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处，求救援的艇的航 行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， 3 ≈1.732，结果取整数） 解：辅助线如图所示： BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF， 有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°， ∴∠BAD=30°， ∵AB=20 海里， ∴BD=10 海里， 在 Rt △ ABD 中，AD= 2 2 10 3AB BD  ≈17.32 海里， 在 Rt △ BCE 中，sin37°= CE BC ， ∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6 海里， ∵cos37°= EB BC ， ∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8 海里， EF=AD=17.32 海里， ∴FC=EF-CE=11.32 海里， AF=ED=EB+BD=18 海里， 在 Rt △ AFC 中， AC= 2 2AF FC = 2 218 11.32 ≈21.26 海里， 21.26×3≈64 海里/小时． 答：救援的艇的航行速度大约是 64 海里/小时． （ 2017•十 堰 ）如 图 ， 海 中 有 一 小岛 A， 它 周 围 8 海 里 内 有 暗 礁 ， 渔船 跟 踪 鱼 群 由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上 ，航行 12 海里到达 D 点， 这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行 ，有没 有触礁的危险？ 解：只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心，以 8 海里的圆内或圆上 即可， 如图，过 A 作 AC⊥BD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离， ∵∠CAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠BAD=60°-30°=30°，∠ABD=90°-60°=30°， ∴∠ABD=∠BAD， ∴BD=AD=12 海里， ∵∠CAD=30°，∠ACD=90°， ∴CD= 1 2 AD=6 海里， 由勾股定理得：AC= 2 212 6 =6 3 ≈10.392＞8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． （ 2017•泸 州 ） 如 图 ， 海 中 一 渔 船 在 A 处 且 与 小 岛 C 相 距 70nmile， 若 该 渔 船 由 西向东航行 30nmile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上；求 该渔船此时与小岛 C 之间的距离． 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，由题意得： ∠BCD=30°，设 BC=x，则： 在 Rt △ BCD 中，BD=BC•sin30°= 1 2 x，CD=BC•cos30°= 3 2 x； ∴AD=30+ 1 2 x， ∵AD2+CD2=AC2，即：（30+ 1 2 x） 2+（ 3 2 x） 2=702， 解之得：x=50（负值舍去）， 答：渔船此时与 C 岛之间的距离为 50 海里． （2017•成 都 ）科 技 改变 生 活 ，手 机 导 航极 大 方 便了 人 们 的出 行 ， 如图 ， 小 明一 家 自 驾 到 古 镇 C 游 玩 ， 到 达 A 地 后 ， 导 航 显 示 车 辆 应 沿 北 偏 西 60°方 向 行 驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰 好在 A 地的正北方向，求 B，C 两地的距离． 解：过 B 作 BD⊥AC 于点 D． 在 Rt △ ABD 中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4× 1 2 =2（千米）， BD=AB•sin∠BAD=4× 3 2 =2 3 （千米）， ∵△BCD 中，∠CBD=45°， ∴△BCD 是等腰直角三角形， ∴CD=BD=2 3 （千米）， ∴BC= 2 BD=2 6 （千米）． 答：B，C 两地的距离是 2 6 千米． （2017•天水）一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处，它向东航行 20 海里 到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行 ，求轮船航行 途中与灯塔 P 的最短距离．（结果保留根号） 解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20 海里，设 BC=x 海里，则 AC=AB+BC=（20+x）海里． 在 △ PBC 中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC 为等腰直角三角形， ∴PC=BC=x 海里， 在 Rt △ APC 中，∵tan∠APC= AC PC ， ∴AC=PC•tan60°= 3 x， ∴ 3 x=20+x， 解得 x=10 3 +10， 则 PC=（10 3 +10）海里． 答：轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是（10 3 +10）海里． （2017•连云港）如图，湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C，已知 AB=1400 米，AC=1000 米，B 点位于 A 点的南偏西 60.7°方向，C 点位于 A 点的南偏东 66.1° 方向． （1）求 △ ABC 的面积； （2）景区规划在线段 BC 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 AD， 试求 A、D 间的距离．（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49， sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41， 2 ≈1.414）． 解：（1）作 CE⊥BA 于 E． 在 Rt △ AEC 中，∠CAE=180°-60.7°-66.1°=53.2°， ∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800 米． ∴S △ ABC= 1 2 •AB•CE= 1 2 ×1400×800=560000 平方米． （2）连接 AD，作 DF⊥AB 于 F．，则 DF∥CE． ∵BD=CD，DF∥CE， ∴BF=EF， ∴DF= 1 2 CE=400 米， ∵AE=AC•cos53.2°≈600 米， ∴BE=AB+AE=2000 米， ∴AF= 1 2 EB-AE=400 米， 在 Rt △ ADF 中，AD= 2 2AF DF =400 2 =565.6 米． （2017•河南）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻， 两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南 方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向，B 船测得渔船 C 在其南偏 东 53°方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ 4 5 ，cos53°≈ 3 5 ， tan53°≈ 4 3 ， 2 ≈1.41） 解：如图作 CE⊥AB 于 E． 在 Rt △ ACE 中，∵∠A=45°， ∴AE=EC，设 AE=EC=x，则 BE=x-5， 在 Rt △ BCE 中， ∵tan53°= EC BE ， ∴ 4 3 = 5 x x  ， 解得 x=20， ∴AE=EC=20， ∴AC=20 2 =28.2， BC= sin53 EC  =25， ∴A 船到 C 的时间≈ 28.2 30 =0.94 小时，B 船到 C 的时间= 25 25 =1 小时， ∴C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援． (2017•长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常 态化 巡航 管理， 如图， 正在执 行巡航 任务的 海监船 以每小 时 50 海里 的速度 向正东 方 航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上 ，继续航行 1 小时到达 B 处，此时 测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上． （1）求∠APB 的度数； （2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否 安全？ 解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°， ∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°． （2）作 PH⊥AB 于 H． ∵∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=50， 在 Rt △ PBH 中，PH=PB•sin60°=50× 3 2 =25 3 ， ∵25 3 ＞25， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． （ 2017•南 京 ） 如 图 ， 港 口 B 位 于 港 口 A 的 南 偏 东 37°方 向 ， 灯 塔 C 恰 好 在 AB 的中点 处，一艘 海轮位于 港口 A 的正南 方向，港 口 B 的正西 方向的 D 处，它 沿 正北方向航行 5km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，这时，E 处距离 港口 A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 解：如图作 CH⊥AD 于 H．设 CH=xkm， 在 Rt △ ACH 中，∠A=37°，∵tan37°= CH AH ， ∴AH= tan37 CH  = tan37 x  ， 在 Rt △ CEH 中，∵∠CEH=45°， ∴CH=EH=x， ∵CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD， ∴ AH AC HD CB  ， ∵AC=CB， ∴AH=HD， ∴ tan37 x  =x+5， ∴x= 5 tan37 1 tan37     ≈15， ∴AE=AH+HE= 15 tan37 +15≈35km， ∴E 处距离港口 A 有 35km． （2017•郴州）如图所示，C 城市在 A 城市正东方向，现计划在 A、C 两城市间 修建一条高速公路（即线段 AC），经测量，森林保护区的中心 P 在 A 城市的北 偏东 60°方向上，在线段 AC 上距 A 城市 120km 的 B 处测得 P 在北偏东 30°方向 上，已知森林保护区是以点 P 为圆心，100km 为半径的圆形区域，请问计划修建 的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： 3 ≈1.73） 解：结论；不会．理由如下： 作 PH⊥AC 于 H． 由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°， ∴∠PAB=30°，∠PBH=60°， ∵∠PBH=∠PAB+∠APB， ∴∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=120， 在 Rt △ PBH 中，sin∠PBH= PH PB ， ∴PH=PB•sin60°=120× 3 2 ≈103.80， ∵103.80＞100， ∴这条高速公路不会穿越保护区． （2017•天津）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64°方向，距离灯塔 120 海里 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，求 BP 和 BA 的长（结果取整数）． 参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05， 2 取 1.414． 解：如图作 PC⊥AB 于 C． 由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120， 在 Rt △ APC 中，sinA= PC PA ，cosA= AC PC ， ∴PC=PA•sinA=120•sin64°， AC=PA•cosA=120•cos64°， 在 Rt △ PCB 中，∵∠B=45°， ∴PC=BC， ∴PB= sin 45 PC  = 120 0.9 2 2  ≈153． ∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64° ≈120×0.90+120×0.44 ≈161． 答：BP 的长为 153 海里和 BA 的长为 161 海里． （2017•辽阳）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾” 拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到 A 港口正西方的 B 处时，发 现在 B 的北偏东 60°方向，相距 150 海里处的 C 点有一可疑船只正沿 CA 方向行 驶，C 点在 A 港口的北偏东 30°方向上，海监船向 A 港口发出指令，执法船立即 从 A 港口沿 AC 方向驶出，在 D 处成功拦截可疑船只，此时 D 点与 B 点的距离 为 75 2 海里． （1）求 B 点到直线 CA 的距离； （2）执法船从 A 到 D 航行了多少海里？（结果保留根号） 解：（1）过点 B 作 BH⊥CA 交 CA 的延长线于点 H， ∵∠MBC=60°， ∴∠CBA=30°， ∵∠NAD=30°， ∴∠BAC=120°， ∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°， ∴BH=BC×sin∠BCA=150× 1 2 =75（海里）． 答：B 点到直线 CA 的距离是 75 海里； （2）∵BD=75 2 海里，BH=75 海里， ∴DH= 2 2BD BH =75 海里， ∵∠BAH=180°-∠BAC=60°， 在 Rt △ ABH 中，tan∠BAH= BH AH = 3 ， ∴AH=25 3 海里， ∴AD=DH-AH=（75-25 3 ）（海里）． 答：执法船从 A 到 D 航行了（75-25 3 ）海里．