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- 2021-05-10 发布
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(2017•日照)在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则 sinA 的值为( )
A. 5
13
(2017•湖州)如图,已知在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 cosB 的值是( )
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
(2017•哈尔滨)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则 cosB 的值为( )
A. 15
4 B. 1
4 C . 15
15 D. 4 17
17
(2017•宜昌)
△
ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为 1),AD⊥BC
于 D,下列选项中,错误的是( )
A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1
(2017•金华)在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 tanA 的值是( )
A. 3
4 B. 4
3 C. 3
5 D. 4
5
(2017•聊城)在 Rt
△
ABC 中,cosA= 1
2
,那么 sinA 的值是( )
A. 2
2
B. 3
2
C. 3
3
D. 1
2
(2017•云南)sin60°的值为( )
A. 3 B. 3
2
C. 2
2
D. 1
2
(2017•天津)cos60°的值等于( )
A. 3 B.1 C. 2
2
D. 1
2
(2017•威海)为了方便行人推车过某天桥,市政府在 10m 高的天桥一侧修建了 40m 长的斜道(如
图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A. B.
C. D.
(2017•安顺)如图, ⊙O 的直径 AB=4,BC 切⊙ O 于点 B, OC 平行于 弦 AD,
OC=5,则 AD 的长为( )
A. 6
5
B. 8
5 C. 7
5 D. 2 3
5
(2017•滨州)如图,在
△
ABC 中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点 D 是 CB 延长线上
的一点,且 BD=BA,则 tan∠DAC 的值为( )
A.2+ 3 B.2 3 C.3+ 3 D.3 3
(2017•怀化)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sinα
的值是( )
A.
3
5 B.
3
4 C.
4
5 D.
4
3
(2017•杭州)如图,在
△
ABC 中,AB=AC,BC=12,E 为 AC 边的中点,线段
BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BD=x,tan∠ACB=y,则( )
A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21
(2017•益阳)如图,电线杆 CD 的高度为 h,两根拉线 AC 与 BC 相互垂直,
∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(A、D、B 在同一条直线上)( )
A.
sin
h
a
(2017•绥化)某楼梯的侧面如图所示,已测得 BC 的长约为 3.5 米,∠BCA 约为 29°,则该楼梯的
高度 AB 可表示为( )
A.3.5sin29°米 B.3.5cos29°米
C.3.5tan29°米 D. 3.5
cos29
米
(2017•温州)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶 13 米,已知 cosα= 12
13
,
则小车上升的高度是( )
A.5 米 B.6 米 C.6.5 米 D.12 米
(2017•兰州)如图,一个斜坡长 130m,坡顶离水平地面的距离为 50m,那么这个斜坡与
水平地面夹角的正切值等于( )
A. 5
13 B.12
13 C. 5
12 D. 13
12
(2017•重庆)如图,已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米(点 C 与点 B 在同
一水平面上),某同学从点 C 出发,沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D
处,斜坡 CD 的坡度(或坡比)i=1:2.4,在 D 处测得该建筑物顶端 A 的俯视角
为 20°,则建筑物 AB 的高度约为(精确到 0.1 米,参考数据:sin20°≈0.342,
cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)( )
A.29.1 米 B.31.9 米 C.45.9 米 D.95.9 米
.(2017•深圳)如图,学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,他们先在点 C
处测得树顶 B 的仰角为 60°,然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°,已知斜坡 CD 的长
度为 20m,DE 的长为 10m,则树 AB 的高度是( )m.
A.20 3 B.30 C.30 3 D.40
(2017•烟台 )如图,数学实践活动小组要测 量学校附近楼房 CD 的高度,在水
平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°,向前走 20 米到 达
A′处,测得点 D 的仰角为 67.5°,已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米,则楼房 CD 的
高度约为(结果精确到 0.1 米, 2 ≈1.414)( )
A.34.14 米 B.34.1 米 C.35.7 米 D.35.74 米
(2017•百色)如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百色的“和谐号”
动车,当动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10 秒钟后,
动车车头到达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是
( )米/秒.
A.20( 3 +1) B.20( 3 -1) C.200 D.300
(2017•南宁)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向,距离灯塔 60n mile
的 A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的
B 处,这时,B 处与灯塔 P 的距离为( )
A.60 3 n mile B.60 2 n mile C.30 3 n mile D.30 2 n mile
(2017•玉林)如图,一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上,轮
船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后,此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向
上,此时轮船与灯塔 P 的距离是( )
A.15 3 海里 B.30 海里 C.45 海里 D.30 3 海里
(2017•烟台)在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,AB=2,BC= 3 ,则 sin
2
A = .
(2017•陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.如图,在
△
ABC 中,BD 和 CE 是
△
ABC 的两条角平分线.若∠A=52°,
则∠1+∠2 的度数为 .
B. 3 17 tan38°15′≈ .(结果精确到 0.01)
(2017•舟山)如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan∠BA 1C=1,
tan∠BA 2C= 1
3
,tan∠BA 3C= 1
7
,计算 tan∠BA 4C= ,…按此规律,写出 tan
∠BA nC= .
(用含 n 的代数式表示).
(2017•黑龙江)
△
ABC 中,AB=12,AC= 39 ,∠B=30°,则
△
ABC 的面积是 .
(2017•无锡)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,
B,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于 O,则 tan∠BOD 的值等于 .
(2017•广州)如图,Rt
△
ABC 中,∠C=90°,BC=15,tanA= 15
8
,则 AB= .
(2017•宁波)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡,从 A 滑行至 B,
已知 AB=500 米,则这名滑雪运动员的高度下降了 米.(参考数据:
sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)
(2017•天门)为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水
坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 米,背水坡面 CD=12 3 米,∠
B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tanE= 3 313 ,则 CE 的长为 米.
(2017•泰州)小明沿着坡度 i 为 1: 3 的直路向上走了 50m,则小明沿垂直方
向升高了 m.
(2017•东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在
A 处测得塔顶的仰角为α,在 B 处测得塔顶的仰角为β,又测量出 A、B 两点的距
离为 s 米,则塔高为 米.
(2017•山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB,其中一名小组成
员站在距离树 10 米的点 E 处,测得树顶 A 的仰角为 54°.已知测角仪的架高
CE=1.5 米,则这棵树的高度为 米.(结果保留一位小数.参考数据:
sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764)
(2017•邵阳)如图所示,运载火箭从地面 L 处垂直向上发射,当火箭到达 A 点
时,从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km,仰角是 30°,n 秒后,火箭
到达 B 点,此时仰角是 45°,则火箭在这 n 秒中上升的高度是 km.
(2017•黄石)如图所示,为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高
度,一测量人员在该建筑物附近 C 处,测得建筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°,
随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处,在 D 处测得 A 处的仰角大小为 30°,
则建筑物 AB 的高度约为 米.
(注:不计测量人员的身高,结果按四舍五入保留整数,参考数据: 2 ≈1.41,
3
3 ≈1.73)
(2017•苏州)如图,在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头,观光岛屿
C 在码头 A 北偏东 60°的方向,在码头 B 北偏西 45°的方向,AC=4km.游客小
张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B,设开往码头 A、
B 的游船速度分别为 v1、v2,若回到 A、B 所用时间相等,则 1
2
V
V = (结果
保留根号).
( 2017•大 庆 ) 如 图 , 已 知一 条 东 西 走 向 的 河 流 , 在 河 流 对 岸 有一 点 A, 小 明 在
岸 边点 B 处 测得 点 A 在 点 B 的 北偏 东 30°方 向上 , 小 明沿 河 岸 向东 走 80m 后 到
达点 C,测得点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上,则点 A 到河岸 BC 的距离为 .
(2017•葫芦岛)一艘货轮又西向东航行,在 A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60°
方向,继续航行到达 B 处,测得灯塔 P 在正南方向 4 海里的 C 处是港口,点 A,
B,C 在一条直线上,则这艘货轮由 A 到 B 航行的路程为 海里(结果保留
根号).
(2017•大连)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向,距离灯塔 86n mile
的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的
B 处,此时,B 处与灯塔 P 的距离约为 n mile.(结果取整数,参考数据:
3 ≈1.7, 2 ≈1.4)
(2017•福建)小明在某次作业中得到如下结果:
sin 27°+sin 283°≈0.12 2+0.99 2=0.9945,
sin 222°+sin 268°≈0.37 2+0.93 2=1.0018,
sin 229°+sin 261°≈0.48 2+0.87 2=0.9873,
sin 237°+sin 253°≈0.60 2+0.80 2=1.0000,
sin 245°+sin 245°≈( 2
2
) 2+( 2
2
) 2=1.
据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有 sin 2α+sin 2(90°-α)=1.
(Ⅰ)当α=30°时,验证 sin 2α+sin 2(90°-α)=1 是否成立;
(Ⅱ)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
【答案】(Ⅰ)成立,证明见解析;(Ⅱ)成立,证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)成立,当 时,将 30°与 60°的正弦值代入计算即可得证;
(Ⅱ)成立,如图,△ABC 中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α,正确地表示这两个
角的正弦并利用勾股定理即可得证.
试题解析:(Ⅰ)当 时, =sin230°+sin 260°=
= =1,所以 成立;
(Ⅱ)小明的猜想成立.证明如下:
如图,△ABC 中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α,
sin2α+sin 2(90°-α)= =1[来源:zzst&ep~@.c^o%m]
(2017•白 银 )美 丽 的黄 河 宛 如一 条 玉 带穿 城 而 过, 沿 河 两岸 的 滨 河路 风 情 线是
兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中 ,小林在南滨河路上的 A,B 两点处 ,
利 用 测 角 仪 分 别 对 北 岸 的 一 观 景 亭 D 进 行 了 测 量 . 如 图 , 测 得 ∠ DAC=45°, ∠
DBC=65°.若 AB=132 米,求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 多少米?(结
果精确到 1 米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
解:过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,设 BE=x,
在 Rt
△
DEB 中,tan∠DBE= DE
BE
,
∵∠DBC=65°,
∴DE=xtan65°.
又∵∠DAC=45°,
∴AE=DE.
∴132+x=xtan65°,
∴解得 x≈115.8,
∴DE≈248(米).
∴观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米 .
(2017•舟山)如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形 ABCD)靠墙摆
放,高 AD=80cm,宽 AB=48cm,小强身高 166cm,下半身 FG=100cm,洗漱时
下半身与地面成 80°(∠FGK=80°),身体前倾成 125°(∠EFG=125°),脚与洗
漱台距离 GC=15cm(点 D,C,G,K 在同一直线上).
(1)此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少?
(2)小强希望他的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方,他应向前或后
退多少?
(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, 2 ≈1.41,结果精确到 0.1)
解:(1)过点 F 作 FN⊥DK 于 N,过点 E 作 EM⊥FN 于 M.
∵EF+FG=166,FG=100,
∴EF=66,
∵∠FGK=80°,
∴FN=100•sin80°≈98,
∵∠EFG=125°,
∴∠EFM=180°-125°-10°=45°,
∴FM=66•cos45°=33 2 ≈46.53,
∴MN=FN+FM≈144.5,
∴此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 144.5cm.
(2)过点 E 作 EP⊥AB 于点 P,延长 OB 交 MN 于 H.
∵AB=48,O 为 AB 中点,
∴AO=BO=24,
∵EM=66•sin45°≈46.53,
∴PH≈46.53,
∵GN=100•cos80°≈17,CG=15,
∴OH=24+15+17=56,OP=OH-PH=56-46.53=9.47≈9.5,
∴他应向前 9.5cm.
(2017•淮安)A,B 两地被大山阻隔,若要从 A 地到 B 地,只能沿着如图所示
的公路先从 A 地到 C 地,再由 C 地到 B 地.现计划开凿隧道 A,B 两地直线贯
通,经测量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道开通后与隧道开通
2 ≈1.414, 3 ≈1.732)
解:过点 C 作 CD⊥AB 与 D,
∵AC=10km,∠CAB=30°,
∴CD= 1
2 AC= 1
2 ×20=10km,
AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10 3 km,
∵∠CBA=45°,
∴BD=CD=10km,BC= 2 CD=10 2 ≈14.14km
∴AB=AD+BD=10 3 +10≈27.32km.
则 AC+BC-AB≈20+14.14-27.32≈6.8km.
答:从 A 地到 B 地的路程将缩短 6.8km.
(2017,江西)如图 1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为 20°,
而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为 100°.图 2 是其侧面简化示意图,其中视
线 AB 水平,且与屏幕 BC 垂直.
(1)若屏幕上下宽 BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长;
(2)若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm,上臂 DE=30cm,下臂 EF 水平放置在键盘上,其
到地面的距离 FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的 100°?
(参考数据:sin69°≈ ,cos21°≈ ,tan20°≈ ,tan43°≈ ,所有结果精确到个位)
解:(1)∵Rt△ABC 中,tanA= ,
∴AB= = = =55(cm);
(2)延长 FE 交 DG 于点 I.
则 DI=DG﹣FH=100﹣72=28(cm).
在 Rt△DEI 中,sin∠DEI= = = ,
∴∠DEI=69°,
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°,
∴此时β不是符合科学要求的 100°.
(2017•德州)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪
器,检测点设在距离公路 10m 的 A 处,测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 处所用时
间为 0.9 秒,已知∠B=30°,∠C=45°.
(1)求 B,C 之间的距离;(保留根号)
(2)如果此地限速为 80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数
据: 3 ≈1.7, 2 ≈1.4)
解:(1)如图作 AD⊥BC 于 D.则 AD=10m,
在 Rt
△
ACD 中,∵∠C=45°,
∴AD=CD=10m,
在 Rt
△
ABD 中,∵∠B=30°,
∴tan30°= AD
BD
,
∴BD= 3 AD=10 3 m,
∴BC=BD+DC=(10+10 3 )m.
(2)结论:这辆汽车超速.
理由:∵BC=10+10 3 ≈27m,
∴汽车速度= 27
0.9 =30m/s=108km/h,
∵108>80,
∴这辆汽车超速.
(2017•台州)如图是一辆小汽车与墙平行停 放的平面示意图,汽车靠墙一侧 OB
与墙 MN 平行 且距 离为 0.8 米, 已知 小汽 车车 门宽 AO 为 1.2 米, 当车 门打 开角
度∠AOB 为 40°时,车门是否会碰 到墙?请说明理由.(参考数据 :sin40°≈0.64;
cos40°≈0.77;tan40°≈0.84)
解:过点 A 作 AC⊥OB,垂足为点 C,
在 Rt
△
ACO 中,
∵∠AOC=40°,AO=1.2 米,
∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768,
∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米,
∴车门不会碰到墙.
(2017•西宁)如图,建设“幸福西宁”,打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水
河宛如一条玉带穿城而过,已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在
数学课外实践活动中,小亮在海湖新区自行车绿道北段 AC 上的 A,B 两点分别
对南岸的体育中心 D 进行测量,分别测得∠DAC=30°,∠DBC=60°,AB=200 米,
求体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为多少米(精确到 1 米, 3 ≈1.732)?
解:过点 D 作 DH⊥AC 于点 H.
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°,而∠DAC=30°,
∴∠BDA=∠DAC=30°,
∴AB=DB=200.
在直角
△
BHD 中,sin60°= DH
BD =
200
DH = 3
2
,
∴DH=100
3
≈100×1.732≈173.
答:体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为 173 米 .
(2017•常德)如图 1,2 分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座 BC=0.60
米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°,支架 AF 的长为 2.50 米,篮板顶
端 F 点到篮框 D 的距离 FD=1.35 米,篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角
∠FHE=60°,求篮框 D 到地面的距离(精确到 0.01 米)(参考数据:cos75°≈0.2588,
sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732, 3 ≈1.732, 2 ≈1.414)
解:延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过 A 作 AG⊥FM 于 G,
在 Rt
△
ABC 中,tan∠ACB= AB
BC
,
∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392,
∴GM=AB=2.2392,
在 Rt
△
AGF 中,∵∠FAG=∠FHD=60°,sin∠FAG= FG
AF
,
∴sin60°=
2.5
FG = 3
2
,
∴FG=2.17,
∴DM=FG+GM-DF≈3.06 米.
答:篮框 D 到地面的距离是 3.06 米.
(2017•安徽)如图,游客在点 A 处坐缆车出发,沿 A-B-D 的路线可至山顶 D 处,
假设 AB 和 BD 都是直线段,且 AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求 DE 的长.
(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, 2 ≈1.41)
解:在 Rt
△
ABC 中,∵AB=600m,∠ABC=75°,
∴BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m,
在 Rt
△
BDF 中,∵∠DBF=45°,
∴DF=BD•sin45°=600× 2
2 ≈300×1.41≈423,
∵四边形 BCEF 是矩形,
∴EF=BC=156,
∴DE=DF+EF=423+156=579m.
答:DE 的长为 579m.
(2017•凉山州)如图,若要在宽 AD 为 20 米的城南大道两边安装路灯,路灯的
灯 臂 BC 长 2 米 , 且 与 灯 柱 AB 成 120°角 , 路 灯 采 用 圆 锥 形 灯 罩 , 灯 罩 的 轴 线
CO 与灯臂 BC 垂直,当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好 ,
此时,路灯的灯柱 AB 高应该设计为多少米(结果保留根号)?
解:如图,延长 OC,AB 交于点 P.
∵∠ABC=120°,
∴∠PBC=60°,
∵∠OCB=∠A=90°,
∴∠P=30°,
∵AD=20 米,
∴OA= 1
2 AD=10 米,
∵BC=2 米,
∴在 Rt
△
CPB 中,PC=BC•tan60°=2 3 米,PB=2BC=4 米,
∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°,
∴△PCB∽△PAO,
∴ PC BC
PA OA
∴PA= PC OA
BC
= 2 3 10 10 32
米,
∴AB=PA-PB=(10 3 -4)米.
答:路灯的灯柱 AB 高应该设计为(10 3 -4)米.
(2017•赤峰)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图 1 所
示.已知 AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为 17cm,宽为 8cm,
王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内?请说明你的理由.(提示:sin50°≈0.8,
cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)
解:王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内.
理由:作 AD⊥BC 于点 D,
∵∠C=50°,AC=20cm,
∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm,
CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm,
∵BC=18cm,
∴DB=BC-CD=18-12=6cm,
∴AB= 2 2 2 216 6AD BD = 292 ,
∵17= 289 292 ,
∴王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内.
( 2017•兰 州 ) “兰 州 中 山 桥 “位 于 兰 州 滨 河 路 中 段 白 塔 山 下 、 金 城 关 前 , 是 黄 河
上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥“之美誉.它像一部史诗,记载
着兰州古往今来历史的变迁.桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥.
小 芸和 小 刚分 别 在桥 面 上的 A, B 两 处, 准 备测 量 其中 一 座弧 形钢 架 拱梁
顶 部 C 处 到 桥 面 的 距 离 AB=20m, 小 芸 在 A 处 测 得 ∠ CAB=36°, 小 刚 在 B 处 测
得∠CBA=43°,求弧形钢架拱梁顶 部 C 处到桥面的距离 .(结果精确到 0.1m)(参
考 数 据 sin36°≈0.59 , cos36°≈0.81 , tan36°≈0.73 , sin43°≈0.68 , cos43°≈0.73 ,
tan43°≈0.93)
∴AD=
tan 36
x
,
在 Rt△BCD 中,tan∠B= CD
BD ,
BD=
tan 43
x
,
∴ 200.93 0.73
x x ,
解得 x=8.179≈8.2m.
答:拱梁顶部 C 处到桥面的距离 8.2m.
考点:解直角三角形的应用.
( 2017•张 家 界 ) 位 于 张 家 界 核 心 景 区 的 贺 龙 铜 像 , 是 我 国 近 百 年 来 最 大 的 铜
像.铜像由像 体 AD 和底座 CD 两部分组 成.如图,在 Rt
△
ABC 中,∠ABC=70.5°,
在 Rt
△
DBC 中 ,∠DBC=45°,且 CD=2.3 米,求像体 AD 的高度(最后结果 精确
到 0.1 米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
解:∵在 Rt
△
DBC 中,∠DBC=45°,且 CD=2.3 米,
∴BC=2.3m,
∵在 Rt
△
ABC 中,∠ABC=70.5°,
∴tan70.5°= AC
BC = 2.3
2.3
AD ≈2.824,
解得:AD≈4.2,
答:像体 AD 的高度约为 4.2m.
(2017•贵 阳 )贵 阳 市 某消 防 支 队在 一 幢 居民 楼 前 进行 消 防 演习 , 如 图所 示 , 消
防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后,发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又
有 一 名 求 救 者 , 消 防 官 兵 立 刻 升 高 云 梯 将 其 救 出 , 已 知 点 A 与 居 民 楼 的 水 平 距
离是 15 米,且在 A 点测得第一次施救时云 梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第
二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 的度数(结果精确到 1°).
解:延长 AD 交 BC 所在直线于点 E.
由题意,得 BC=17 米,AE=15 米,∠CAE=60°,∠AEB=90°,
在 Rt
△
ACE 中,tan∠CAE= CE
AE
,
∴CE=AE•tan60°=15 3 米.
在 Rt
△
ABE 中,tan∠BAE= BE
AE = 17 15 3
15
,
∴∠BAE≈71°.
答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 约为 71°.
(2017•呼和浩特)如图,地面上小山的两 侧有 A,B 两地,为了测量 A,B 两地
的距离,让一热气球从小 山西侧 A 地出发沿 与 AB 成 30°角的方向,以每分钟 40m
的速度直线飞行,10 分钟后到达 C 处,此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70°
角 , 请 你 用 测 得 的 数 据 求 A, B 两 地 的 距 离 AB 长 .( 结 果 用 含 非 特 殊 角 的 三 角
函数和根式表示即可)
解:过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M,
由题意得:AC=40×10=400(米).
在直角
△
ACM 中,∵∠A=30°,
∴CM= 1
2 AC=200 米,AM= 3
2 AC=200 3 米.
在直角
△
BCM 中,∵tan20°= BM
CM
,
∴BM=200tan20°,
∴AB=AM-BM=200 3 -200tan20°=200( 3 -tan20°),
因此 A,B 两地的距离 AB 长为 200( 3 -tan20°)米.
( 2017•上 海) 如 图 , 一 座 钢 结 构 桥 梁的 框 架 是
△
ABC, 水 平 横 梁 BC 长 18 米 ,
中柱 AD 高 6 米,其中 D 是 BC 的中点,且 AD⊥BC.
(1)求 sinB 的值;
(2) 现 需要 加 装 支 架 DE、 EF, 其 中点 E 在 AB 上 , BE=2AE, 且 EF⊥BC, 垂
足为点 F,求支架 DE 的长.
解:(1)在 Rt
△
ABD 中,∵BD=DC=9,AD=6,
∴AB= 2 2BD AD = 2 29 6 =3 13 ,
∴sinB= AD
AB = 6
2 13
= 2 13
13
(2)∵EF∥AD,BE=2AE,
∴ EF
AD = BF
BD = BE
BA = 2
3
,
∴ 2
6 9 3
EF BF ,
∴EF=4,BF=6,
∴DF=3,
在 Rt
△
DEF 中,DE= 2 2 2 24 3EF DF =5
( 2017•丽 水 ) 如 图 是 某小 区 的 一 个 健身 器 材 , 已 知 BC=0.15m, AB=2.70m, ∠
BOD=70°,求端点 A 到地面 CD 的距离(精确到 0.1m).(参考数据 :sin70°≈0.94,
cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
解:作 AE⊥CD 于 E,BF⊥AE 于 F,则四边形 EFBC 是矩形,
∵OD⊥CD,∠BOD=70°,
∴AE∥OD,
∴∠A=∠BOD=70°,
在 Rt
△
AFB 中,∵AB=2.7,
∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918,
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m,
答:端点 A 到地面 CD 的距离是 1.1m.
(2017•宜宾)如图,为了测量某条河的宽度 ,现在河边的一岸边任意取一点 A,
又在河的另一岸 边去两点 B、C 测得∠α=30°,∠β=45°,量得 BC 长为 100 米.求
河的宽度(结果保留根号).
解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,
∵∠β=45°,∠ADC=90°,
∴AD=DC,
设 AD=DC=xm,
则 tan30°= 3
100 3
x
x
,
解得:x=50( 3 +1),
答:河的宽度为 50( 3 +1)m.
( 2017•岳 阳 ) 某 太 阳 能 热 水 器 的 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示 , 已 知 真 空 热 水 管 AB
与支架 CD 所在直线相 交于点 O,且 OB=OD,支架 CD 与水平 线 AE 垂直 ,∠BAC=
∠CDE=30°,DE=80cm,AC=165cm.
(1)求支架 CD 的长;
(2)求真空热水管 AB 的长.(结果保留根号)
解:(1)在 Rt
△
CDE 中,∠CDE=30°,DE=80cm,
∴CD=80×cos30°=80× 3
2 =40 3 (cm).
(2)在 Rt
△
OAC 中,∠BAC=30°,AC=165cm,
∴OC=AC×tan30°=165× 3
3 =55 3 (cm),
∴OD=OC-CD=55 3 -40 3 =15 3 (cm),
∴AB=AO-OB=AO-OD=55 3 ×2-15 3 =95 3 (cm).
(2017•长春)如图,某商店营业大厅自动扶 梯 AB 的倾斜角为 31°,AB 的长为
12 米,求大厅的距 离 AC 的长 .(结果精确到 0.1 米)(参考数据 :sin31°=0.515,
cos31°=0.857,tan31°=0.60)
解:过 B 作地平面的垂线段 BC,垂足为 C.
在 Rt
△
ABC 中,∵∠ACB=90°,
∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3(米).
即大厅的距离 AC 的长约为 10.3 米.
(2017•贺州)如图,某武警部队在一次地震抢险救灾行动中,探险队员在相距
4 米的水平地面 A,B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象,已知在 A 处测
得探测线与地面的夹角为 30°,在 B 处测得探测线与地面的夹角为 60°,求该生
命迹象 C 处于地面的距离.(结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73)
解:过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D,
∵∠CAD=30°,∠CBD=60°,
∴∠ACB=30°,
∴∠CAB=∠ACB=30°,
∴BC=AB=4 米,
在 Rt
△
CDB 中,BC=4 米,∠CBD=60°,sin∠CBD= CD
BD
,
∴sin60°=
4
CD ,
∴CD=4sin60°=4× 3
2 =2 3 ≈3.5(米),
故该生命迹象所在位置的深度约为 3.5 米.
(2017•黔东南州)如图,某校教学楼 AB 后方有一斜坡,已知斜坡 CD 的长为
12 米,坡角α为 60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学
校为了消除安全隐患,决定对斜坡 CD 进行改造,在保持坡脚 C 不动的情况下,
学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整
数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81, 2 ≈1.41, 3 ≈1.73,
5 ≈2.24)
解:假设点 D 移到 D′的位置时,恰好∠α=39°,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,作 D′E′
⊥AC 于点 E′,
∵CD=12 米,∠DCE=60°,
∴DE=CD•sin60°=12× 3
2 =6 3 米,CE=CD•cos60°=12× 1
2 =6 米.
∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′,
∴四边形 DEE′D′是矩形,
∴DE=D′E′=6 3 米.
∵∠D′CE′=39°,
∴CE′=
tan39
D E
≈ 6 3
0.81 ≈12.8,
∴EE′=CE′-CE=12.8-6=6.8≈7(米) .
(2017•威海)图 1 是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳
能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好,假设某
用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃
吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直),请完成以下计算:
如图 2,AB⊥BC,垂足为点 B,EA⊥AB,垂足为点 A,CD∥AB,CD=10cm,
DE=120cm,FG⊥DE,垂足为点 G.
(1)若∠θ=37°50′,则 AB 的长约为 cm;
(参考数据:sin37°50′≈0.61,cos37°50′≈0.79,tan37°50′≈0.78)
(2)若 FG=30cm,∠θ=60°,求 CF 的长.
解:(1)如图,作 EP⊥BC 于点 P,作 DQ⊥EP 于点 Q,
则 CD=PQ=10,∠2+∠3=90°,
∵∠1+∠θ=90°,且∠1=∠2,
∴∠3=∠θ=37°50′,
则 EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′,
∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2,
故答案为:83.2;
(2)如图,延长 ED、BC 交于点 K,
由(1)知∠θ=∠3=∠K=60°,
在 Rt
△
CDK 中,CK= 10
tan 3
CD
R
,
在 Rt
△
KGF 中,KF= 30
sin 3
2
GF
R
= 60
3
,
则 CF=KF-KC= 60
3
- 10
3
= 50
3
= 50 3
3 .
(2017•海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,
专家提供的方 案是:水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1:1( 即
DB: EB=1: 1), 如 图 所 示 , 已 知 AE=4 米 , ∠ EAC=130°, 求 水 坝 原 来 的 高 度
BC.
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)
解:设 BC=x 米,
在 Rt
△
ABC 中,
∠CAB=180°-∠EAC=50°,
AB=
tan50
BC
≈
1.2
BC = 5
6
BC = 5
6 x
在 Rt
△
EBD 中,
∵i=DB:EB=1:1,
∴BD=BE,
∴CD+BC=AE+AB,
即 2+x=4+ 5
6 x
解得 x=12,
即 BC=12,
答:水坝原来的高度为 12 米.
(2017•宿迁)如图所示 ,飞机在一定 高度上沿水平直 线飞行,先在 点 A 处测得
正前方小岛 C 的俯角为 30°,面向小岛方向继续飞行 10km 到达 B 处,发现小岛
在其正后方,此时测得小岛的俯角为 45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行
的高度(结果保留根号).
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
设 CD=x,
∵∠CBD=45°,
∴BD=CD=x,
在 Rt
△
ACD 中,∵tan∠CAD= CD
AD
,
∴AD=
tan tan30
CD x
CAD
= 3
3
3
x x ,
由 AD+BD=AB 可得 3 x+x=10,
解得:x=5 3 -5,
答:飞机飞行的高度为(5 3 -5)km.
(2017•随 州 )风 电 已成 为 我 国继 煤 电 、水 电 之 后的 第 三 大电 源 , 风电 机 组 主要
由塔 杆和 叶片 组成 (如 图 1),图 2 是从 图 1 引出 的平 面图 .假 设你 站在 A 处测
得塔杆顶端 C 的仰角是 55°,沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处,在山 顶
B 处 发 现 正 好 一 叶 片 到 达 最 高 位 置 , 此 时 测 得 叶 片 的 顶 端 D( D、 C、 H 在 同 一
直 线 上 ) 的 仰 角 是 45°. 已 知 叶 片 的 长 度 为 35 米 ( 塔 杆 与 叶 片 连 接 处 的 长 度 忽
略不计),山高 BG 为 10 米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆 CH 的高.(参考数据:
tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
解:如图,作 BE⊥DH 于点 E,
则 GH=BE、BG=EH=10,
设 AH=x,则 BE=GH=GA+AH=43+x,
在 Rt
△
ACH 中,CH=AHtan∠CAH=tan55°•x,
∴CE=CH-EH=tan55°•x-10,
∵∠DBE=45°,
∴BE=DE=CE+DC,即 43+x=tan55°•x-10+35,
解得:x≈45,
∴CH=tan55°•x=1.4×45=63,
答:塔杆 CH 的高为 63 米.
(2017•鄂 州 )小 明 想 要测 量 学 校食 堂 和 食堂 正 前 方一 棵 树 的高 度 , 他从 食 堂 楼
底 M 处 出 发 , 向 前 走 3 米 到 达 A 处 , 测 得 树 顶 端 E 的 仰 角 为 30°, 他 又 继 续 走
下台阶到达 C 处,测得树的顶端 E 的仰角是 60°,再继续向前走到大树底 D 处,
测得食堂楼顶 N 的仰角为 45°.已知 A 点离地面的高 度 AB=2 米,∠BCA=30°,
且 B、C、D 三点在同一直线上.
(1)求树 DE 的高度;
(2)求食堂 MN 的高度.
解:(1)如图,设 DE=x,
∵AB=DF=2,
∴EF=DE-DF=x-2,
∵∠EAF=30°,
∴AF= 2
tan 3
3
EF x
EAF
= 3 (x-2),
又∵CD=
tan
DE
DCE = 3
33
x x ,BC= 2 2 3tan 3
3
AB
ACB
,
∴BD=BC+CD= 2 3 + 3
3 x
由 AF=BD 可得 33 2 2 3 3x x
解得:x=6,
∴树 DE 的高度为 6 米;
(2)延长 NM 交 DB 延长线于点 P,则 AM=BP=3,
由(1)知 CD= 3 3 6 2 33 3x ,BC=2 3 ,
∴PD=BP+BC+CD= 3 2 3 2 3 3 4 3 ,
∵∠NDP=45°,且 MP=AB=2,
∴NP=PD=3+4,
∴NM=NP-MP=3+4 3 -2=1+4 3 ,
∴食堂 MN 的高度为 1+4 3 米.
(2017•镇江)如图,小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部的俯角为
45°,顶部的仰角为 37°,已知教学楼和实验楼在 同一平面上,观测点距地面的垂
直高度 AB 为 15m,求实验楼的垂直高度即 CD 长(精确到 1m)
参考值:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75.
解:作 AE⊥CD 于 E,
∵AB=15m,
∴DE=AB=15m,
∵∠DAE=45°,
∴AE=DE=15m,
在 Rt
△
ACE 中,tan∠CAE= CE
AE
,
则 CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm,
∴AB=CE+DE=11+15=26m.
答:实验楼的垂直高度即 CD 长为 26m.
( 2017•黄 冈 ) 在 黄 冈 长 江 大 桥 的 东 端 一 处 空 地 上 , 有 一 块 矩 形 的 标 语 牌 ABCD
(如图所示),已知标语牌的高 AB=5m,在地面的点 E 处,测得标语牌点 A 的
仰角为 30°,在地面的点 F 处,测得标语牌点 A 的仰角为 75°,且点 E,F,B,
C 在同一直线上,求点 E 与点 F 之间的距离.(计算结果精确到 0.1 米,参考数
据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73)
解:如图作 FH⊥AE 于 H.由题意可知∠HAF=∠HFA=45°,
∴AH=HF,设 AH=HF=x,则 EF=2x,EH= 3 x,
在 Rt
△
AEB 中,∵∠E=30°,AB=5 米,
∴AE=2AB=10 米,
∴x+ 3 x=10,
∴x=5 3 -5,
∴EF=2x=10 3 -10≈7.3 米,
答:E 与点 F 之间的距离为 7.3 米.
( 2017•新 疆 ) 如 图 , 甲 、 乙 为 两 座 建 筑 物 , 它 们 之 间 的 水 平 距 离 BC 为 30m,
在 A 点测 得 D 点的 仰角∠ EAD 为 45°,在 B 点测 得 D 点的 仰角 ∠CBD 为 60°,
求这两座建筑物的高度(结果保留根号)
解:如图,过 A 作 AF⊥CD 于点 F,
在 Rt
△
BCD 中,∠DBC=60°,BC=30m,
∵ CD
BC =tan∠DBC,
∴CD=BC•tan60°=30 3 m,
∴乙建筑物的高度为 30 3 m;
在 Rt
△
AFD 中,∠DAF=45°,
∴DF=AF=BC=30m,
∴AB=CF=CD-DF=(30 3 -30)m,
∴甲建筑物的高度为(30 3 -30)m.
(2017•荆州)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度,沿旗杆正前
方 2 3 米处的点 C 出发,沿斜面坡度 i=1: 3 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D,
在点 D 处安置测角仪,测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°,量得仪器的高 DE 为 1.5
米.已知 A、B、C、D、E 在同一平面内,AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆 AB 的高
度.(参考数据:sin37°≈ 3
5
,cos37°≈ 4
5
,tan37°≈ 3
4
.计算结果保留根号)
解:如图,延长 ED 交 BC 延长线于点 F,则∠CFD=90°,
∵tan∠DCF=i= 1
3
= 3
3
,
∴∠DCF=30°,
∵CD=4,
∴DF= 1
2 CD=2,CF=CDcos∠DCF=4× 3
2 =2 3 ,
∴BF=BC+CF=2 3 +2 3 =4 3 ,
过点 E 作 EG⊥AB 于点 G,
则 GE=BF=4 3 ,GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5,
又∵∠AED=37°,
∴AG=GEtan∠AEG=4 3 •tan37°,
则 AB=AG+BG=4 3 •tan37°+3.5=3 3 +3.5,
故旗杆 AB 的高度为(3 3 +3.5)米.
( 2017•内 江 ) 如 图 , 某人 为 了 测 量 小山 顶 上 的 塔 ED 的 高 , 他在 山 下 的 点 A 处
测得塔尖点 D 的仰角为 45°,再沿 AC 方向前进 60m 到达山脚点 B,测得塔尖点
D 的仰角为 60°,塔底点 E 的仰角为 30°,求塔 ED 的高度.(结果保留根号)
解:由题知,∠DBC=60°,∠EBC=30°,
∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°.
又∵∠BCD=90°,
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°.
∴∠DBE=∠BDE.
∴BE=DE.
设 EC=xm,则 DE=BE=2EC=2xm,DC=EC+DE=x+2x=3xm,
BC= 2 2BE EC = 2 22x x = 3x ,
由题知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=20,
∴△ACD 为等腰直角三角形,
∴AC=DC.
∴ 3x +60=3x,
解得:x=30+10 3 ,
2x=60+20 3 .
答:塔高约为(60+20 3 )m.
(2017•广安)如图,线段 AB、CD 分别表示甲乙 两建筑物的高 ,BA⊥ AD,CD
⊥DA,垂足分别为 A、D.从 D 点测到 B 点的仰角α为 60°,从 C 点测得 B 点的
仰角β为 30°,甲建筑物的高 AB=30 米
(1)求甲、乙两建筑物之间的距离 AD.
(2)求乙建筑物的高 CD.
解:(1)作 CE⊥AB 于点 E,
在 Rt
△
ABD 中,AD= 30
tan 3
AB
=10 3 (米);
(2)在 Rt
△
BCE 中,CE=AD=10 3 米,
BE=CE•tanβ=10 3 3
3
=10(米),
则 CD=AE=AB-BE=30-10=20(米)
答:乙建筑物的高度 DC 为 20m.
( 2017•陕 西 ) 某 市 一 湖 的 湖 心 岛 有 一 棵 百 年 古 树 , 当 地 人 称 它 为 “乡 思 柳 ”, 不
乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在 “聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想
知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离,于是,有一天 ,他们俩带着侧倾器和
皮尺来测量这个距离.测量方法如下:如图,首先 ,小军站在“聚贤亭”的 A 处,
用侧倾器测得“乡思柳”顶端 M 点的仰角为 23°,此时测得小军的眼睛距地面的高
度 AB 为 1.7 米,然后,小军在 A 处蹲下,用侧倾器测得 “乡思柳”顶端 M 点的仰
角为 24°,这 时测得 小军的 眼睛 距地面 的高度 AC 为 1 米. 请你利 用以上 测得 的
数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳 ”之间的距离 AN 的长(结果精确到 1 米).(参考
数 据 : sin23°≈0.3907 , cos23°≈0.9205 , tan23°≈0.4245 , sin24°≈0.4067 ,
cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452.)
解:如图,作 BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点 D、E,
设 AN=x 米,则 BD=CE=x 米,
在 Rt
△
MBD 中,MD=x•tan23°,
在 Rt
△
MCE 中,ME=x•tan24°,
∵ME-MD=DE=BC,
∴x•tan24°-x•tan23°=1.7-1,
∴x= 0.7
tan 24 tan 23
,解得 x≈34(米).
答:“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 AN 的长约为 34 米.
(2017•眉山 )如图,为了测得一棵树的 高度 AB,小明在 D 处用高为 1m 的测角
仪 CD,测得树顶 A 的仰角为 45°,再向树方向前进 10m,又测得树顶 A 的仰角
为 60°,求这棵树的高度 AB.
解:设 AG=x.
在 Rt
△
AFG 中,
∵tan∠AFG= AG
FG
,
∴FG=
3
x ,
在 Rt
△
ACG 中,∵∠GCA=45°,
∴CG=AG=x,
∵DE=10,
∴x-
3
x =10,
解得:x=15+5 3
∴AB=15+5 3 +1=16+5 3 (米).
答:这棵树的高度 AB 为(16+5 3 )米.
(2017•南通)热气球的探测器显示,从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角α为 45°,
看这栋楼底部 C 的俯角β为 60°,热气球与楼的水平距离为 100m,求这栋楼的高
度(结果保留根号).
解:在 Rt
△
ADB 中,∠BAD=45°,
∴BD=AD=100m,
在 Rt
△
ADC 中,CD=AD×tan∠DAC=100 3 m
∴BC=(100+100 3 )m,
答:这栋楼的高度为(100+100 3 )m.
( 2017•绍 兴 ) 如 图 , 学 校 的 实 验 楼 对 面 是 一 幢 教 学 楼 , 小 敏 在 实 验 楼 的 窗 口 C
测得教学楼顶部 D 的仰角为 18°,教学楼底部 B 的俯角为 20°,量得实验楼与教
学楼之间的距离 AB=30m.
(1)求∠BCD 的度数.
(2)求教学楼的高 BD.(结果精确到 0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
解:(1)过点 C 作 CE⊥BD,则有∠DCE=18°,∠BCE=20°,
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°;
(2)由题意得:CE=AB=30m,
在 Rt
△
CBE 中,BE=CE•tan20°≈10.80m,
在 Rt
△
CDE 中,DE=CD•tan18°≈9.60m,
∴教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m,
则教学楼的高约为 20.4m.
(2017•吉林)如图,一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射,当火
箭到达点 A,B 时,在雷达站 C 处测得点 A,B 的仰角分别 为 34°,45°,其中点
O,A,B 在同一条直线上.求 A,B 两点间的距离(结果精确到 0.1km).
(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)
解:由题意可得:∠AOC=90°,OC=5km.
在 Rt
△
AOC 中,
∵tan34°= OA
OC
,
∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km,
在 Rt
△
BOC 中,∠BCO=45°,
∴OB=OC=5km,
∴AB=5-3.35=1.65≈1.7km,
答:求 A,B 两点间的距离约为 1.7km.
(2017•临沂)如图,两座建筑 物的水平距离 BC=30m,从 A 点测得 D 点的俯角
α为 30°,测得 C 点的俯角β为 60°,求这两座建筑物的高度.
解:延长 CD,交 AE 于点 E,可得 DE⊥AE,
在 Rt
△
AED 中,AE=BC=30m,∠EAD=30°,
∴ED=AEtan30°=10 3 m,
在 Rt
△
ABC 中,∠BAC=30°,BC=30m,
∴AB=30 3 m,
则 CD=EC-ED=AB-ED=30 3 -10 3 =20 3 m.
(2017•荆门)金桥学校“科技体艺节”期间,八年级数学活动小组的任务是测量
学校旗杆 AB 的高,他们在旗杆正前方台阶上的点 C 处,测得旗杆顶端 A 的仰
角为 45°,朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处,测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°,
已知升旗台的高度 BE 为 1 米,点 C 距地面的高度 CD 为 3 米,台阶 CF 的坡角
为 30°,且点 E、F、D 在同一条直线上,求旗杆 AB 的高度(计算结果精确到 0.1
米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73)
解:过点 C 作 CM⊥AB 于 M.则四边形 MEDC 是矩形,
∴ME=DC=3.CM=ED,
在 Rt
△
AEF 中,∠AFE=60°,设 EF=x,则 AF=2x,AE= 3 x,
在 Rt
△
FCD 中,CD=3,∠CFD=30°,
∴DF=3 3 ,
在 Rt
△
AMC 中,∠ACM=45°,
∴∠MAC=∠ACM=45°,
∴MA=MC,
∵ED=CM,
∴AM=ED,
∵AM=AE-ME,ED=EF+DF,
∴ 3 x-3=x+3 3 ,
∴x=6+3 3 ,
∴AE= 3 (6+3 3 )=6 3 +9,
∴AB=AE-BE=9+6 3 -1≈18.4 米.
答:旗杆 AB 的高度约为 18.4 米.
(2017•乐山)如图,在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE,在地面观测点
A 处测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别 是 45°与 60°,∠CAD=60°,在屋顶 C 处测
得∠DCA=90°.若房屋的高 BC=6 米,求树高 DE 的长度.
解:如图 3,在 Rt
△
ABC 中,∠CAB=45°,BC=6m,
∴AC=
sin
BC
CAB
=6 2 (m);
在 Rt
△
ACD 中,∠CAD=60°,
∴AD=
cos
AC
CAD
=12 2 (m);
在 Rt
△
DEA 中,∠EAD=60°,DE=AD•sin60°=12 2 3
2
=6 6 (m),
答:树 DE 的高为 6 6 米.
(2017•遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥 AB 和引桥
BC 两部分组成(如图所示),建造前工程师用以下方式做了测量;无人机在 A
处正上方 97m 处的 P 点,测得 B 处的俯角为 30°(当时 C 处被小山体阻挡无法
观测),无人机飞行到 B 处正上方的 D 处时能看到 C 处,此时测得 C 处俯角为
80°36′.
(1)求主桥 AB 的长度;
(2)若两观察点 P、D 的连线与水平方向的夹角为 30°,求引桥 BC 的长.
(长度均精确到 1m,参考数据: 3 ≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,
tan80°36′≈6.06)
解:(1)由题意知∠ABP=30°、AP=97,
∴AB=
tan
AP
ABP = 97
tan30 = 3
3 = 97 3 ≈168m,
答:主桥 AB 的长度约为 168m;
(2)∵∠ABP=30°、AP=97,
∴PB=2PA=194,
又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°,
∴∠DBP=∠DPB=60°,
∴△PBD 是等边三角形,
∴DB=PB=194,
在 Rt
△
BCD 中,∵∠C=80°36′,
∴BC=
tan
DB
C = 194
tan80 36 ≈32,
答:引桥 BC 的长约为 32m.
(2017•衡 阳 )衡 阳 市 城市 标 志 来雁 塔 坐 落在 衡 阳 市雁 峰 公 园内 , 如 图, 为 了 测
量来雁塔的高度,在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE,测得塔顶 C 的仰角为 30°,
再向塔身前进 10.4 米,又测得塔顶 C 的仰角为 60°,求来雁塔的高 度.(结果精
确到 0.1 米)
解:如图,由题意∠CAB=30°,∠CBD=60°,DF=AE=1.5 米
∵∠CBD=∠CAB+∠ACB,
∴∠ACB=∠CAB=30°,
∴AB=BC=10.4 米,
在 Rt
△
CBD 中,CD=BC•sin60°=10.3•≈8.9 米,
∴来雁塔的高度=CD+DF=8.9+1.5=10.4 米.
(2017•株洲)如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的
左端点 P 的
俯角为α其中 tanα=2 3 ,无人机的飞行高度 AH 为 500 3 米,桥的长度为 1255
米.
①求点 H 到桥左端点 P 的距离;
②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°,求这架无人机的
长度 AB.
解:①在 Rt
△
AHP 中,∵AH=500 3 ,
由 tan∠APH=tanα= 500 3 2 3AH
HP PH
,可得 PH=250 米.
∴点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米.
②设 BC⊥HQ 于 C.
在 Rt
△
BCQ 中,∵BC=AH=500 3 ,∠BQC=30°,
∴CQ=
tan30
BC
=1500 米,
∵PQ=1255 米,
∴CP=245 米,
∵HP=250 米,
∴AB=HC=250-245=5 米.
答:这架无人机的长度 AB 为 5 米.
(2017•潍坊)如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度.该楼
底层为车库,高 2.5 米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地 1.5 米,
在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60°,在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°,
AB=14 米.求居民楼的高度(精确到 0.1 米,参考数据: 3 ≈1.73)
解:设每层楼高为 x 米,
由题意得:MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1 米,
∴DC′=5x+1,EC′=4x+1,
在 Rt
△
DC′A′中,∠DA′C′=60°,
∴C′A′= 3
tan 60 3
DC
(5x+1),
在 Rt
△
EC′B′中,∠EB′C′=30°,
∴C′B′=
tan30
EC
= 3 (4x+1),
∵A′B′=C′B′-C′A′=AB,
∴ 3 (4x+1)- 3
3
(5x+1)=14,
解得:x≈3.17,
则居民楼高为 5×3.17+2.5≈18.4 米 .
(2017•通辽)如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在 OA
的位置时俯角∠EOA=30°,在 OB 的位置时俯角∠FOB=60°,若 OC⊥EF,点 A
比点 B 高 7cm.求:
(1)单摆的长度( 3 ≈1.7);
(2)从点 A 摆动到点 B 经过的路径长(π≈3.1).
解:(1)如图,过点 A 作 AP⊥OC 于点 P,过点 B 作 BQ⊥OC 于点 Q,
∵∠EOA=30°、∠FOB=60°,且 OC⊥EF,
∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°,
设 OA=OB=x,
则在 Rt
△
AOP 中,OP=OAcos∠AOP= 1
2 x,
在 Rt
△
BOQ 中,OQ=OBcos∠BOQ= 3
2 x,
由 PQ=OQ-OP 可得 3
2 x- 1
2 x=7,
解得:x=7+7 3 ≈18.9(cm),
答:单摆的长度约为 18.9cm;
(2)由(1)知,∠AOP=60°、∠BOQ=30°,且 OA=OB=7+7 3 ,
∴∠AOB=90°,
则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 90 7 7 3
180
≈29.295,
答:从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm.
(2017•菏泽 ) 如图 ,某 小区① 号楼 与
⑪
号楼 隔河 相望, 李明 家住在① 号楼 ,他
很想知道
⑪
号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在 B 点测得 C 点的仰角为
60°,然后到 42 米高的楼顶 A 处,测得 C 点的仰角为 30°,请你帮助李明计算
⑪
号楼的高度 CD.
解:作 AE⊥CD,
∵CD=BD•tan60°= 3 BD,CE=BD•tan30°= 3
3 BD,
∴AB=CD-CE= 2 3
3 BD,
∴BD=21 3 m,
CD=BD•tan60°= 3 BD=63m.
答:
⑪
建筑物的高度 CD 为 63m.
(2017•营口)如图,一艘船以每小时 30 海里的速度向北偏东 75°方向航行,在
点 A 处测得码头 C 在船的东北方向,航行 40 分钟后到达 B 处,这时码头 C 恰
好在船的正北方向,在船不改变航向的情况下,求出船在航行过程中与码头 C
的最近距离.(结果精确到 0.1 海里,参考数据 2 ≈1.41, 3 ≈1.73)
解:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D,
由题意可知:船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE,
AB=30× 40
60 =20,
∵∠NAC=45°,∠NAB=75°,
∴∠DAB=30°,
∴BD= 1
2 AB=10,
由勾股定理可知:AD=10 3
∵BC∥AN,
∴∠BCD=45°,
∴CD=BD=10,
∴AC=10 3 +10
∵∠DAB=30°,
∴CE= 1
2 AC=5 3 +5≈13.7
(2017•恩施州)如图,小明家在学校 O 的北偏东 60°方向,距离学校 80 米的 A
处,小华家在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处,小华家在小明家的正南方向,求
小华家到学校的距离.(结果精确到 1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6
≈2.45)
解:由题意可知:作 OC⊥AB 于 C,
∠ACO=∠BCO=90°,∠AOC=30°,∠BOC=45°.
在 Rt
△
ACO 中,
∵∠ACO=90°,∠AOC=30°,
∴AC= 1
2 AO=40m,OC= 3 AC=40 3 m.
在 Rt
△
BOC 中,
∵∠BCO=90°,∠BOC=45°,
∴BC=OC=40 3 m.
∴OB= 2 2 40 6OC BC ≈40×2.45≈82(米).
答:小华家到学校的距离大约为 82 米.
(2017,青岛)如图,C 地在 A 地的正东方向,因有大山阻隔,由 A 地到 C 地需要绕行 B 地,
已知 B 位于 A 地北偏东 67°方向,距离 A 地 520km,C 地位于 B 地南偏东 30°方向,若打通
穿山隧道,建成两地直达高铁,求 A 地到 C 地之间高铁线路的长(结果保留整数)
(参考数据: )
解:如图,作 BD⊥AC 于点 D,
在 Rt△ABD 中,∠ABD=67°
,∴ [来源@~^:&中教网*]
,∴
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°
,∴
∴
答:AC 之间的距离约为 596km。
(2017•乌鲁木齐)一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60°方向,距离港口 20 海里 B
处,它沿北偏西 37°方向航行至 C 处突然出现故障,在 C 处等待救援,B,C 之
间的距离为 10 海里,救援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处,求救援的艇的航
行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, 3 ≈1.732,结果取整数)
解:辅助线如图所示:
BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,
有题意知,∠FAB=60°,∠CBE=37°,
∴∠BAD=30°,
∵AB=20 海里,
∴BD=10 海里,
在 Rt
△
ABD 中,AD= 2 2 10 3AB BD ≈17.32 海里,
在 Rt
△
BCE 中,sin37°= CE
BC
,
∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6 海里,
∵cos37°= EB
BC
,
∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8 海里,
EF=AD=17.32 海里,
∴FC=EF-CE=11.32 海里,
AF=ED=EB+BD=18 海里,
在 Rt
△
AFC 中,
AC= 2 2AF FC = 2 218 11.32 ≈21.26 海里,
21.26×3≈64 海里/小时.
答:救援的艇的航行速度大约是 64 海里/小时.
( 2017•十 堰 )如 图 , 海 中 有 一 小岛 A, 它 周 围 8 海 里 内 有 暗 礁 , 渔船 跟 踪 鱼 群
由西向东航行,在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上 ,航行 12 海里到达 D 点,
这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行 ,有没
有触礁的危险?
解:只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心,以 8 海里的圆内或圆上
即可,
如图,过 A 作 AC⊥BD 于点 C,则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离,
∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,
∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠BAD,
∴BD=AD=12 海里,
∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,
∴CD= 1
2 AD=6 海里,
由勾股定理得:AC= 2 212 6 =6 3 ≈10.392>8,
即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险.
( 2017•泸 州 ) 如 图 , 海 中 一 渔 船 在 A 处 且 与 小 岛 C 相 距 70nmile, 若 该 渔 船 由
西向东航行 30nmile 到达 B 处,此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上;求
该渔船此时与小岛 C 之间的距离.
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,由题意得:
∠BCD=30°,设 BC=x,则:
在 Rt
△
BCD 中,BD=BC•sin30°= 1
2 x,CD=BC•cos30°= 3
2 x;
∴AD=30+ 1
2 x,
∵AD2+CD2=AC2,即:(30+ 1
2 x) 2+( 3
2 x) 2=702,
解之得:x=50(负值舍去),
答:渔船此时与 C 岛之间的距离为 50 海里.
(2017•成 都 )科 技 改变 生 活 ,手 机 导 航极 大 方 便了 人 们 的出 行 , 如图 , 小 明一
家 自 驾 到 古 镇 C 游 玩 , 到 达 A 地 后 , 导 航 显 示 车 辆 应 沿 北 偏 西 60°方 向 行 驶 4
千米至 B 地,再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到达古镇 C,小明发现古镇 C 恰
好在 A 地的正北方向,求 B,C 两地的距离.
解:过 B 作 BD⊥AC 于点 D.
在 Rt
△
ABD 中,AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4× 1
2 =2(千米),
BD=AB•sin∠BAD=4× 3
2 =2 3 (千米),
∵△BCD 中,∠CBD=45°,
∴△BCD 是等腰直角三角形,
∴CD=BD=2 3 (千米),
∴BC= 2 BD=2 6 (千米).
答:B,C 两地的距离是 2 6 千米.
(2017•天水)一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处,它向东航行 20 海里
到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处,若轮船继续沿正东方向航行 ,求轮船航行
途中与灯塔 P 的最短距离.(结果保留根号)
解:如图,AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AB=20 海里,设 BC=x 海里,则
AC=AB+BC=(20+x)海里.
在
△
PBC 中,∵∠BPC=45°,
∴△PBC 为等腰直角三角形,
∴PC=BC=x 海里,
在 Rt
△
APC 中,∵tan∠APC= AC
PC
,
∴AC=PC•tan60°= 3 x,
∴ 3 x=20+x,
解得 x=10 3 +10,
则 PC=(10 3 +10)海里.
答:轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是(10 3 +10)海里.
(2017•连云港)如图,湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C,已知 AB=1400
米,AC=1000 米,B 点位于 A 点的南偏西 60.7°方向,C 点位于 A 点的南偏东 66.1°
方向.
(1)求
△
ABC 的面积;
(2)景区规划在线段 BC 的中点 D 处修建一个湖心亭,并修建观景栈道 AD,
试求 A、D 间的距离.(结果精确到 0.1 米)
(参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin60.7°≈0.87,cos60.7°≈0.49,
sin66.1°≈0.91,cos66.1°≈0.41, 2 ≈1.414).
解:(1)作 CE⊥BA 于 E.
在 Rt
△
AEC 中,∠CAE=180°-60.7°-66.1°=53.2°,
∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800 米.
∴S
△
ABC= 1
2 •AB•CE= 1
2 ×1400×800=560000 平方米.
(2)连接 AD,作 DF⊥AB 于 F.,则 DF∥CE.
∵BD=CD,DF∥CE,
∴BF=EF,
∴DF= 1
2 CE=400 米,
∵AE=AC•cos53.2°≈600 米,
∴BE=AB+AE=2000 米,
∴AF= 1
2 EB-AE=400 米,
在 Rt
△
ADF 中,AD= 2 2AF DF =400 2 =565.6 米.
(2017•河南)如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某一时刻,
两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在 A 船的正南
方向 5 海里处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向,B 船测得渔船 C 在其南偏
东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里/小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问
C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈ 4
5
,cos53°≈ 3
5
,
tan53°≈ 4
3
, 2 ≈1.41)
解:如图作 CE⊥AB 于 E.
在 Rt
△
ACE 中,∵∠A=45°,
∴AE=EC,设 AE=EC=x,则 BE=x-5,
在 Rt
△
BCE 中,
∵tan53°= EC
BE
,
∴ 4
3 =
5
x
x
,
解得 x=20,
∴AE=EC=20,
∴AC=20 2 =28.2,
BC=
sin53
EC
=25,
∴A 船到 C 的时间≈ 28.2
30 =0.94 小时,B 船到 C 的时间= 25
25 =1 小时,
∴C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援.
(2017•长沙)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常 态化
巡航 管理, 如图, 正在执 行巡航 任务的 海监船 以每小 时 50 海里 的速度 向正东 方
航行,在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上 ,继续航行 1 小时到达 B 处,此时
测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上.
(1)求∠APB 的度数;
(2)已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否
安全?
解:(1)∵∠PAB=30°,∠ABP=120°,
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.
(2)作 PH⊥AB 于 H.
∵∠BAP=∠BPA=30°,
∴BA=BP=50,
在 Rt
△
PBH 中,PH=PB•sin60°=50× 3
2 =25 3 ,
∵25 3 >25,
∴海监船继续向正东方向航行是安全的.
( 2017•南 京 ) 如 图 , 港 口 B 位 于 港 口 A 的 南 偏 东 37°方 向 , 灯 塔 C 恰 好 在 AB
的中点 处,一艘 海轮位于 港口 A 的正南 方向,港 口 B 的正西 方向的 D 处,它 沿
正北方向航行 5km 到达 E 处,测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,这时,E 处距离
港口 A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
解:如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm,
在 Rt
△
ACH 中,∠A=37°,∵tan37°= CH
AH
,
∴AH=
tan37
CH
=
tan37
x
,
在 Rt
△
CEH 中,∵∠CEH=45°,
∴CH=EH=x,
∵CH⊥AD,BD⊥AD,
∴CH∥BD,
∴ AH AC
HD CB
,
∵AC=CB,
∴AH=HD,
∴
tan37
x
=x+5,
∴x= 5 tan37
1 tan37
≈15,
∴AE=AH+HE= 15
tan37 +15≈35km,
∴E 处距离港口 A 有 35km.
(2017•郴州)如图所示,C 城市在 A 城市正东方向,现计划在 A、C 两城市间
修建一条高速公路(即线段 AC),经测量,森林保护区的中心 P 在 A 城市的北
偏东 60°方向上,在线段 AC 上距 A 城市 120km 的 B 处测得 P 在北偏东 30°方向
上,已知森林保护区是以点 P 为圆心,100km 为半径的圆形区域,请问计划修建
的这条高速公路是否穿越保护区,为什么?(参考数据: 3 ≈1.73)
解:结论;不会.理由如下:
作 PH⊥AC 于 H.
由题意可知:∠EAP=60°,∠FBP=30°,
∴∠PAB=30°,∠PBH=60°,
∵∠PBH=∠PAB+∠APB,
∴∠BAP=∠BPA=30°,
∴BA=BP=120,
在 Rt
△
PBH 中,sin∠PBH= PH
PB
,
∴PH=PB•sin60°=120× 3
2 ≈103.80,
∵103.80>100,
∴这条高速公路不会穿越保护区.
(2017•天津)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64°方向,距离灯塔 120 海里
的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的
B 处,求 BP 和 BA 的长(结果取整数).
参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05, 2 取 1.414.
解:如图作 PC⊥AB 于 C.
由题意∠A=64°,∠B=45°,PA=120,
在 Rt
△
APC 中,sinA= PC
PA
,cosA= AC
PC
,
∴PC=PA•sinA=120•sin64°,
AC=PA•cosA=120•cos64°,
在 Rt
△
PCB 中,∵∠B=45°,
∴PC=BC,
∴PB=
sin 45
PC
= 120 0.9
2
2
≈153.
∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°
≈120×0.90+120×0.44
≈161.
答:BP 的长为 153 海里和 BA 的长为 161 海里.
(2017•辽阳)今年,我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾”
拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到 A 港口正西方的 B 处时,发
现在 B 的北偏东 60°方向,相距 150 海里处的 C 点有一可疑船只正沿 CA 方向行
驶,C 点在 A 港口的北偏东 30°方向上,海监船向 A 港口发出指令,执法船立即
从 A 港口沿 AC 方向驶出,在 D 处成功拦截可疑船只,此时 D 点与 B 点的距离
为 75 2 海里.
(1)求 B 点到直线 CA 的距离;
(2)执法船从 A 到 D 航行了多少海里?(结果保留根号)
解:(1)过点 B 作 BH⊥CA 交 CA 的延长线于点 H,
∵∠MBC=60°,
∴∠CBA=30°,
∵∠NAD=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°,
∴BH=BC×sin∠BCA=150× 1
2 =75(海里).
答:B 点到直线 CA 的距离是 75 海里;
(2)∵BD=75 2 海里,BH=75 海里,
∴DH= 2 2BD BH =75 海里,
∵∠BAH=180°-∠BAC=60°,
在 Rt
△
ABH 中,tan∠BAH= BH
AH = 3 ,
∴AH=25 3 海里,
∴AD=DH-AH=(75-25 3 )(海里).
答:执法船从 A 到 D 航行了(75-25 3 )海里.