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- 2021-05-10 发布
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几何探究题
1题(1)如图1,图2,图3,在中,分别以为边,向外作正三角形,正四边形,正五边形,相交于点.
①如图1,求证:;
②探究:如图1, ;如图2, ;
如图3, .
(2)如图4,已知:是以为边向外所作正边形的一组邻边;是以为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相交于点.
①猜想:如图4, (用含的式子表示);
②根据图4证明你的猜想.
2题.请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
问题:(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).
3题。如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AD的长;
(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;
(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.
(第25题图)
)
(备用图)
4题已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,
又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.
答:对图(2)的探究结论为____________________________________.
对图(3)的探究结论为_____________________________________.
证明:如图(2)
5题如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(第22题)
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
6题如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (ab,k0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结、,且a=3,b=2,k=,求的值.
7题正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F。如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
⑴如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证:DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
⑵若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)
O
D
C
B
A
图3
P
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
F
P(O)
D
C
B
A
图1
8题将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示;
(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;
(3)连结,将沿翻折,得到,如图2.问:与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E
A
B
D
C
图 1
9题(1)探究新知:如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等, 试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)结论应用:
① 如图2,点M,N在反比例函数(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F. x
O
y
D
M
图 3
N
试证明:MN∥EF.
② 若①中的其他条件不变,只改变点M,N 的位置如图3所示,请判断 MN与EF是否平行.
x
O
y
N
M
图 2
E
F
x
N
1题。(1)①证法一:与均为等边三角形,
,且
,即
证法二:与均为等边三角形,
,且
可由绕着点按顺时针方向旋转得到.
②,,.(2)①
②证法一:依题意,知和都是正边形的内角,,,
,即. 11分
. 12分
,, 13分
14分
证法二:同上可证 . 12分
,如图,延长交于,
13分
14分
证法三:同上可证 . 12分
13分
即 14分
证法四:同上可证 . 12分
.如图,连接,
. 13分
即 14分
2题⑴ 线段与的位置关系是;
. 2分
⑵ 猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长交于点,连结.
是线段的中点,
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知.
四边形是菱形,
由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,
可得.
四边形是菱形,
即.
. 6分
⑶ . 8分
3题(1)解法一:如图25-1
过A作AE⊥CD,垂足为E .
依题意,DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中,AD=. ………5分
图25-1
解法二:如图25-2
过点A作AE∥BC交CD于点E,则CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9-4=5 . …………………………………5分
(2)解:如图25-1
图25-2
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:
S=PD·h ………………………………………6分
=(9-x)·x·sin60°
=(9x-x2)
=-(x-)2+. ………………………………………………… 8分
由题意,知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分
当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=. …………………………… 10分
(3)证法一:如图25-3
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM∥DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形 .
图25-3
易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=. ………………… 14分
[注] 本题仅回答存在,给1分.
证法二:如图25-4
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ, ∴MC⊥MD
图25-4
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-= ……………… 14分
4题结论均是PA2+PC2=PB2+PD2(图2 2分,图3 1分)
证明:如图2过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,
因为AD∥BC,MN⊥AD,所以MN⊥BC
在Rt△AMP中,PA2=PM2+MA2
在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2
在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2
在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2
所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
因为MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,所以四边形MNCD是矩形
所以MD=NC,同理AM = BN,
所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2
即PA2+PC2=PB2+PD2
5题解:(1);.
(2)在中,,
设点的坐标为,其中,
顶点,
设抛物线解析式为.
①如图①,当时,,
解得(舍去);.
解得.
抛物线的解析式为
②如图②,当时,,
解得(舍去).
③当时,,这种情况不存在.
综上所述,符合条件的抛物线解析式是.
(3)存在点,使得四边形的周长最小.
如图③,作点关于轴的对称点,作点关于轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于点,则点就是所求点.
又,
,此时四边形的周长最小值是.
6题(1)① ………………………………………………………………2分
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在图(2)中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴…………………………………………………………………1分
∴ (SAS)………………………………………………………1分
又∵
∴ …………………………………………………………………………1分
(2)成立,不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形,
且,,,(,)
∴………………………………………………………………………1分
又∵
∴ ……………………………………………………………………………1分
(3)∵ ∴
又∵,,
∴ ………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………………1分
7题⑴ ①略;②PC-PA=CE;⑵结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=CE;
8题解:(1),.
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
图3
O
F
A
x
B
C
y
E
Q
P
(2)当时,过点作,交于,如图1,
则,,
(3)①能与平行.
若,如图2,则,
即,,而,
②不能与垂直.
若,延长交于,如图3,
则.
又,,
,而,
不存在.
9题(1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,
垂足为G,H,则∠CGA=∠DHB=90°.……1分
∴ CG∥DH.
∵ △ABC与△ABD的面积相等,
∴ CG=DH. …………………………2分
x
O
y
N
M
图 2
E
F
∴ 四边形CGHD为平行四边形.
∴ AB∥CD. ……………………………3分
(2)①证明:连结MF,NE. …………………4分
设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2).
∵ 点M,N在反比例函数(k>0)的图象上,
∵ ME⊥y轴,NF⊥x轴,
x
O
y
D
N
M
图 3
E
F
∴ OE=y1,OF=x2.
∴ S△EFM=, ………………5分
S△EFN=. ………………6分
∴S△EFM =S△EFN. ……………… 7分
由(1)中的结论可知:MN∥EF. ………8分
② MN∥EF. …………………10分
(若学生使用其他方法,只要解法正确,皆给分.)