上海市中考数学试卷word版含解析答案 17页

‎2010年上海市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎1．（2010•上海）下列实数中，是无理数的为（　　）‎ ‎ A．3.14 B． C． D．‎ ‎2．（2010•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0）图象的两支分别在（　　）‎ ‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 ‎3．（2010•上海）已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）‎ ‎ A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 ‎4．（2010•上海）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎ A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃‎ ‎5．（2010•上海）下列命题中，是真命题的为（　　）‎ ‎ A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 ‎6．（2010•上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1=3，则圆O1与圆O2的位置关系是（　　）‎ ‎ A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎7．（2010•上海）计算：a3÷a•=　_________　．‎ ‎8．（2010•上海）计算：（x+1）（x﹣1）=　_________　．‎ ‎9．（2010•上海）分解因式：a2﹣ab=　_________　．‎ ‎10．（2010•上海）不等式3x﹣2＞0的解集是　_________　．‎ ‎11．（2010•上海）方程=x的根是　_________　．‎ ‎12．（2010•上海）已知函数f（x）=，那么f（﹣1）=　_________　．‎ ‎13．（2010•上海）将直线y=2x﹣4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是　_________　．‎ ‎14．（2010•上海）若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是　_________　．‎ ‎15．（2010•上海）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O设向量=，=，则向量=　_________　．（结果用、表示）‎ ‎16．（2010•上海）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=　_________　．‎ ‎17．（2010•上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示当时 ‎0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为　_________　．‎ ‎18．（2010•上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　_________　．‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎19．（2010•上海）计算：．‎ ‎20．（2010•上海）解方程：．‎ ‎21．（2010•上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．‎ ‎（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．‎ ‎（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）‎ ‎22．（2010•上海）某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成图．‎ ‎（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的　_________　%．‎ ‎（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？‎ ‎（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示．若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数为多少万？‎ 出 口 B C 人均购买饮料数量（瓶）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎23．（2010•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．‎ ‎（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；‎ ‎（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．‎ ‎24．（2010•上海）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．‎ ‎25．（2010•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．‎ ‎2010年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎1．（2010•上海）下列实数中，是无理数的为（　　）‎ ‎ A．3.14 B． C． D．‎ 考点：无理数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．‎ 解答：解：A、B、D中3.14，，=3是有理数，C中是无理数．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：‎ ‎（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．‎ ‎（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．‎ ‎（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．‎ ‎2．（2010•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0）图象的两支分别在（　　）‎ ‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 考点：反比例函数的性质。‎ 分析：根据反比例函数的性质作答．‎ 解答：解：∵反比例函数（k＜0），‎ ‎∴图象的两支分别在第二、四象限．‎ 故选B．‎ 点评：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线．‎ ‎（1）k＞0时，图象是位于一、三象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而减小．‎ ‎（2）k＜0时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．‎ ‎3．（2010•上海）已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）‎ ‎ A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 考点：根的判别式。‎ 分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．‎ 解答：解：∵a=1，b=1，c=﹣1，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等实数根．故选B．‎ 点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎4．（2010•上海）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎ A．22℃，26℃ B．22℃，20℃ C．21℃，26℃ D．21℃，20℃‎ 考点：中位数；众数。‎ 分析：首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和众数定义即可求出．‎ 解答：解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20、20、21、23、26，‎ ‎∴中位数为21，众数为20．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了中位数、众数的求法：‎ ‎①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．‎ ‎②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不一定存在众数的；如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．‎ ‎5．（2010•上海）下列命题中，是真命题的为（　　）‎ ‎ A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 考点：相似三角形的判定。‎ 专题：常规题型。‎ 分析：可根据相似三角形的判定方法进行解答．‎ 解答：解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A错误；‎ B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B错误；‎ C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C错误；‎ D、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是60°），所以它们都相似，故D正确；‎ 故选D．‎ 点评：此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：‎ ‎①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．‎ ‎6．（2010•上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1=3，则圆O1与圆O2的位置关系是（　　）‎ ‎ A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论．‎ 解答：解：当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，‎ 当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，‎ 所以，两圆相交或相切．故选A．‎ 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．‎ 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎7．（2010•上海）计算：a3÷a•=　a　．‎ 考点：整式的混合运算。‎ 分析：根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．‎ 解答：解：a3÷a•=a3﹣1•=a2•=a．‎ 点评：本题主要考查的是同底数幂的除法运算，要按照从左到右的顺序依次进行运算．‎ ‎8．（2010•上海）计算：（x+1）（x﹣1）=　x2﹣1　．‎ 考点：平方差公式。‎ 分析：根据平方差公式计算即可．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．‎ 解答：解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1．‎ 点评：本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．‎ ‎9．（2010•上海）分解因式：a2﹣ab=　a（a﹣b）　．‎ 考点：因式分解-提公因式法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：直接把公因式a提出来即可．‎ 解答：解：a2﹣ab=a（a﹣b）．‎ 点评：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．‎ ‎10．（2010•上海）不等式3x﹣2＞0的解集是　x＞　．‎ 考点：解一元一次不等式。‎ 分析：先移项，再不等式两边同除以3．‎ 解答：解：移项，得3x＞2，‎ 两边同除以3，得x＞．‎ 点评：注意移项要变号．‎ ‎11．（2010•上海）方程=x的根是　x=3　．‎ 考点：无理方程。‎ 分析：把方程两边平方去根号后求解．‎ 解答：解：由题意得：x＞0‎ 两边平方得：x+6=x2，‎ 解之得x=3或x=﹣2（不合题意舍去）．‎ 点评：在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．‎ ‎12．（2010•上海）已知函数f（x）=，那么f（﹣1）=　　．‎ 考点：函数值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：将x=﹣1代入函数f（x）=，即可求得f（﹣1）的值．‎ 解答：解：∵f（x）=，‎ ‎∴当x=﹣1时，f（﹣1）==‎ 点评：本题比较容易，考查求函数值．‎ ‎（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；‎ ‎（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．‎ ‎13．（2010•上海）将直线y=2x﹣4向上平移5个单位后，所得直线的表达式是　y=2x+1　．‎ 考点：一次函数图象与几何变换。‎ 分析：根据平移的性质，向上平移几个单位b的值就加几．‎ 解答：解：由题意得：向上平移5个单位后的解析式为：y=2x﹣4+5=2x+1．‎ 故填：y=2x+1．‎ 点评：本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，要熟练掌握平移的性质．‎ ‎14．（2010•上海）若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是　　．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让组成“城市让生活更美好”的情况数除以总情况数即为所求的概率．‎ 解答：解：∵将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入两个框中，只有两种情况，‎ 恰好组成“城市让生活更美好”的情况只有一种，‎ ‎∴其概率是：．‎ 点评：明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．‎ ‎15．（2010•上海）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O设向量=，=，则向量=　　．（结果用、表示）‎ 考点：*平面向量；平行四边形的性质。‎ 分析：根据平行四边形的性质，可知==，O是AC的中点．再根据中点距离公式求解即可．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴==，O是AC的中点．‎ ‎∵=，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质和中点距离公式，是基础题型，比较简单．‎ ‎16．（2010•上海）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=　3　．‎ 考点：相似三角形的判定与性质。‎ 分析：由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．‎ 解答：解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，‎ ‎∴△ABC∽△ACD，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC=2，AD=1，‎ ‎∴，‎ 解得DB=3．‎ 点评：本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．‎ ‎17．（2010•上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示当时 ‎0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为　y=100x﹣40　．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：综合题。‎ 分析：由图象可知在前一个小时的函数图象可以读出一个坐标点，再和另一个坐标点就可以写出函数关系式．‎ 解答：解：∵当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=60x，‎ ‎∴当x=1时，y=60．‎ 又∵当x=2时，y=160，‎ 当1≤x≤2时，‎ 由两点式可以得y关于x的函数解析式y=100x﹣40．‎ 点评：本题主要考查一次函数的性质和图象问题，能够根据函数解析式求得对应的y的值．‎ ‎18．（2010•上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　1或5　．‎ 考点：旋转的性质；正方形的性质。‎ 分析：题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．‎ 解答：解：顺时针旋转得到F1点，‎ ‎∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，‎ ‎∴△ADE≌△ABF1，‎ ‎∴F1C=1；‎ 逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，‎ ‎∴F2B=DE=2，‎ F2C=F2B+BC=5．‎ 点评：本题主要考查了旋转的性质．‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎19．（2010•上海）计算：．‎ 考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂。‎ 分析：本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：原式=3+4﹣2﹣2+‎ ‎=5﹣2+2﹣2‎ ‎=3．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎20．（2010•上海）解方程：．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：观察可得x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以方程最简公分母为（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：解：方程两边都乘以x2﹣1，‎ 得：x（x+1）﹣2=x2﹣1，‎ 去括号得x2+x﹣2=x2﹣1，‎ 移项合并得x=1．‎ 检验：当x=1时，方程的分母等于0，所以原方程无解．‎ 点评：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．‎ ‎21．（2010•上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．‎ ‎（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．‎ ‎（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理；垂径定理。‎ 分析：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠AOB=90°﹣67.4°=22.6°．在Rt△AOD中，利用∠AOB的三角函数值即可求出OD，AD的长；‎ ‎（2）求出BD的长，根据勾股定理即可求出BO的长．‎ 解答：解：（1）连接OB，过点O作OD⊥AB，‎ ‎∵AB∥SN，∠AON=67.4°，‎ ‎∴∠A=67.4°．‎ ‎∴OD=AO•sin 67.4°=13×=12．‎ 又∵BE=OD，‎ ‎∴BE=12．‎ 根据垂径定理，BC=2×12=24（米）．‎ ‎（2）∵AD=AO•cos 67.4°=13×=5，‎ ‎∴OD==12，‎ BD=AB﹣AD=14﹣5=9．‎ ‎∴BO==15．‎ 故圆O的半径长15米．‎ 点评：（1）将解直角三角形和勾股定理的应用相结合，求出BE，再根据垂径定理求出BC的长即可，有一定的综合性；‎ ‎（2）利用（1）的结论，再根据勾股定理，即可求出半径．‎ ‎22．（2010•上海）某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成图．‎ ‎（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的　60　%．‎ ‎（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？‎ ‎（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示．若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数为多少万？‎ 出 口 B C 人均购买饮料数量（瓶）‎ ‎3‎ ‎2‎ 考点：加权平均数；一元一次方程的应用；条形统计图。‎ 专题：工程问题。‎ 分析：（1）根据条形统计图即可求得总人数和购买2瓶及2瓶以上的人数，从而求得购买2瓶及2瓶以上所占的百分比；‎ ‎（2）根据加权平均数进行计算；‎ ‎（3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人．‎ 根据B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，列方程求解．‎ 解答：解：（1）由图可知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人），‎ 而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人），‎ 所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的．‎ ‎（2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶）．‎ 人均购买=．‎ ‎（3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人．‎ 则有3x+2（x+2）=49，‎ 解之得x=9．‎ 所以B出口游客人数为9万人．‎ 点评：本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎23．（2010•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．‎ ‎（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；‎ ‎（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．‎ 考点：菱形的判定；勾股定理；梯形。‎ 专题：作图题。‎ 分析：（1）分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，连接AP，则AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E；‎ 可通过证△BOE≌△BOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得所求的结论；‎ ‎（2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，进而表示出FC的长；在Rt△CFD中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，进而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理证得DE⊥DC．‎ 解答：（1）解：作图如图．‎ 证明：∵AB=AD，‎ ‎∴△ABO≌△ADO，‎ ‎∴BO=OD，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，‎ ‎∴△BOE≌△DOA，‎ ‎∴BE=AD（平行且相等），‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形，另AB=AD，‎ ‎∴四边形ABED为菱形；‎ ‎（2）证明：设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC，‎ ‎∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，‎ ‎∴∠EDF=30°，∴EF=DE=a，‎ 则DF=，CF=CE﹣EF=4a﹣a=3a，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=2a，EC=4a，CD=，构成一组勾股数，‎ ‎∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC．‎ 点评：此题主要考查了梯形的性质、尺规作图﹣角平分线的作法、菱形的判定和性质、勾股定理的应用等知识．‎ ‎24．（2010•上海）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；将所求得的二次函数解析式化为顶点式，即可得到其对称轴方程及顶点坐标；‎ ‎（2）首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再代入抛物线的解析式中即可求出m的值．‎ 解答：解：（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：，‎ 解之得：b=4，c=0；‎ 所以抛物线的表达式为：y=﹣x2+4x，‎ 将抛物线的表达式配方得：y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，‎ 所以对称轴直线为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；‎ ‎（2）点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4﹣m，n），‎ 则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m﹣4，n），‎ 则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，‎ 所以四边形OAPF是平行四边形；‎ S=OA•|n|=20，即|n|=5；‎ 因为点P为第四象限的点，‎ 所以n＜0，‎ 所以n=﹣5；‎ 代入抛物线方程得m=﹣1（舍去）或m=5，‎ 故m=5，n=﹣5．‎ 点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及图形面积的求法，难度适中．‎ ‎25．（2010•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。‎ 专题：几何综合题；压轴题。‎ 分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；‎ ‎（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；‎ ‎（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．‎ 解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BAC=60°．‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴∠AED=60°=∠CEP，‎ ‎∴∠EPC=30°．‎ ‎∴△BDP为等腰三角形．‎ ‎∵△AEP与△BDP相似，‎ ‎∴∠EPA=∠DPB=30°，‎ ‎∴AE=EP=1．‎ ‎∴在Rt△ECP中，EC=EP=；‎ ‎（2）设BD=BC=x．‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得：‎ ‎（x+1）2=x2+（2+1）2，‎ 解之得x=4，即BC=4．‎ 过点C作CF∥DP．‎ ‎∴△ADE与△AFC相似，‎ ‎∴，即AF=AC，即DF=EC=2，‎ ‎∴BF=DF=2．‎ ‎∵△BFC与△BDP相似，‎ ‎∴，即：BC=CP=4．‎ ‎∴tan∠BPD=．‎ ‎（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．‎ 则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a．‎ ‎∴且，‎ ‎∴DQ=3（1﹣a）．‎ ‎∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2‎ 即：12=a2+[3（1﹣a）]2，‎ 解之得．‎ ‎∵△ADQ与△ABC相似，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴△ABC的周长，‎ 即：y=3+3x，其中x＞0．‎ 点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大．‎