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- 2021-05-10 发布
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2019年中考数学提分训练: 平移与旋转
一、选择题
1.在下列四个新能源汽车车标的设计图中,属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形
3.如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',那么A(-2,5)的对应点A′的坐标是( )
A. (2,5) B. (5, 2) C. (2,-5) D. (5,-2)
18
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC= ,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连结BM,则BM的长是( )
A. 4 B. C. D.
5.已知点A(a,2017)与点A′(-2018,b)是关于原点O的对称点,则 的值为( )
A. 1 B. 5 C. 6 D. 4
6.如图,将半径为2,圆心角为 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 ,点 的对应点分别为 ,连接 ,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
18
7.如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则旋转角α的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
8.将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,如图,则 的大小为( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 不能确定
9.如图,将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°,得到平行四边形AB′C′D′,若点B′恰好落在BC边上,则∠DC′B′的度数为( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
18
10.如图,半径为1的 的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上,AB∥x轴交 于点B(点B在点A的右侧),当点A在抛物线上运动时,点B随之运动得到的图象的函数表达式为( )
A. y=(x-4)2-1 B. y=(x-3)2 C. y=(x-2)2-1 D. y=(x-3)2-2
11.已知对应关系 ,其中,(x,y)、(x′,y′)分别表示△ABC、△A′B′C′的顶点坐标.若△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,则△A′B′C′的面积为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
二、填空题
12.在平面直角坐标系中,点P(-5,3)关于原点对称点P′的坐标是________。
13.如图,A点的坐标为(﹣1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,﹣1),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是________.
18
14.如图,在△ABC中,BC=10,将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′,连接AA′,若A′B′恰好经过AC的中点O,则AA′的长度为__.
15.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则FM的长为________.
16.如图,在△ABC中,∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′,则∠B′AC的度数为________.
17.如图示直线 与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动到点 ,线段 长度为________.
18.如图,点A(m,2),B(5,n)在函数y= (k>0,x>0)的图象上,将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,点A、B的对应点分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8,则k的值为________.
18
19.如图,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积等于________
三、解答题
20.如图,两个大小一样的直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF. 若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
18
22.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(1,0),点B(0, ),把△ABO绕点O顺时针旋转,得A′B′O,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=30°时,求点B′的坐标;
(Ⅱ)设直线AA′与直线BB′相交于点M.
如图②,当α=90°时,求点M的坐标;
②点C(﹣1,0),求线段CM长度的最小值.(直接写出结果即可)
18
答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 :A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故A不符合题意;B.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故B不符合题意;
C.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故C不符合题意;
D.是中心对称图形,故D符合题意;
故答案为:D.
【分析】观察图形是否能绕一点旋转180度后能否与自身重合的图形.如果能重合即为中心对称图形.
2.【答案】D
【解析】 :A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故不符合题意;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故不符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故符合题意.
故答案为:D.
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形;把一个图形绕着某点旋转180后能与其自身重合的图形就是中心对称图形;根据定义一一判断即可。
3.【答案】B
【解析】 :∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,
∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90∘ ,
∴AO=A′O.
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,
∴∠ACO=∠A′C′O=90∘.
∵∠COC′=90∘ ,
∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′,
18
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中,
∠ACO=∠A′C′O ∠AOC=∠A′OC′ AO=A′O,
∴△ACO≌△A′C′O(AAS),
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(−2,5),
∴AC=2,CO=5,
∴A′C′=2,OC′=5,
∴A′(5,2).
故应选 :B。【分析】根据旋转的性质 :△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°,根据全等三角形对应边相等得出AO=A′O.作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠AOC=∠A′OC′.然后利用AAS判断出△ACO≌△A′C′O,根据全等三角形对应边相等得出AC=A′C′,CO=C′O.从而即可得出答案。
4.【答案】B
【解析】 如图,连接AM,
由题意得:CA=CM,∠ACM=60°,
∴△ACM为等边三角形,
∴AM=CM,∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°;
∵∠ABC=90°,AB=BC= ,
∴AC=2=CM=2,
∵AB=BC,CM=AM,
∴BM垂直平分AC,
∴BO= AC=1,OM=CM•sin60°= ,
∴BM=BO+OM=1+ ,
故答案为:B.
18
【分析】连接AM,CA=CM,∠ACM=60°,△ACM为等边三角形根据AB=BC,CM=AM,得出BM垂直平分AC,于是求出BO,OM=CM•sin60°,最终得到BM=BO+OM.
5.【答案】A
【解析】 :∵点A(a,2017)与点A′(-2018,b)是关于原点O的对称点
∴a-2018=0且b+2017-0
解之:a=2018且b=-2017
∴a+b=2018-2017=1
故答案为:A【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是:横纵坐标都互为相反数。建立关于a、b的方程组,解方程组求解,再求出a与b之和即可。
6.【答案】C
【解析】 连接OO′,BO′,
由题意得,∠OAO′=60°,所以△OAO′是等边三角形,所以∠AOO′=60°,因为∠AOB=120°,所以∠BOO′=60°,所以△BOO′是等边三角形,所以∠AO′B=120°,所以∠AO′B′=120°,所以∠BO′B′=120°,所以∠OBB′=∠OB′B=30°,所以阴影部分的面积=S△B′O′B-(S扇形OO′B-S△OO′B)= ×1× -( - ×2× )= ,故答案为:C.
【分析】连接OO′,BO′,根据等边三角形的判定得出△OAO′是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°,进而得出∠BOO′=60°,再判断出△BOO′是等边三角形,根据角的和差及旋转的性质得出∠AO′B=120°,∠AO′B′=120°,∠BO′B′=120°,根据等边对等角,及三角形的内角和得出∠OBB′=∠OB′B=30°,从而利用阴影部分的面积=S△B′O′B-(S扇形OO′B-S△OO′B),即可算出答案。
7.【答案】C
【解析】 :如图,
18
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,
∵矩形ABCD绕点A顺时针得到矩形AB'C'D',
∴∠D'=∠D=90°,∠4=α,
∵∠1=∠2=110°
∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°
∴∠4=90°-70°=20°
∴∠α=20°
故答案为:C
【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°,根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°,∠4=α,利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°,再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°,然后利用互余即可得到∠α的度数.
8.【答案】B
【解析】 :由旋转的性质可知:∠ADE=∠B=40°,AB=AD,∠BAD=100°.
∵AB=AD,∠BAD=100°,
∴∠B=∠ADB=40°,
∴∠EDB=∠ADE +∠ADB=40°+40°=80°,
∴∠EDP=180°-∠EDB=180°-80°=100°.
故答案为:B.
【分析】由旋转的性质可知:∠ADE=∠B=40°,AB=AD,∠BAD=100°.根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB=40°,根据角的和差得出∠EDB的度数,根据平角的定义得出∠EDP的度数。
9.【答案】C
【解析】 设AD与B'C'相交于点O,由旋转得,∠BAB′=40°,AB=AB′,∠B=∠AB′C′,
∴∠B=∠AB′B=∠AB′C′=70°,
∵AD∥BC,
∴∠DAB′=∠AB′B=70°
18
∴∠DAB′=70°=∠AB′C′,
∴AO=B′O,∠AOB'=∠DOC′=40°,
又∵AD=B′C′,
∴OD=OC′,
∴△ODC′中,∠DC′O=70° ,
故答案为:C【分析】先根据旋转得出∠BAB′=40° , AB=AB′,∠B=∠AB′C′,根据等边对等角得出∠B=∠AB′B=∠AB′C′=70°,根据二直线平行,内错角相等得出∠DAB′=∠AB′B=70°,根据等量代换得出∠DAB′=∠AB′C′=70°,根据等角对等边得出AO=B′O,根据三角形的内角和及对顶角相等得出∠AOB'=∠DOC′=40°,根据等式的性质得出OD=OC′,最后根据等边对等角得出答案。
10.【答案】A
【解析】 :∵半径为1的 ⊙ A 的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上,AB∥x轴
∴点B运动的抛物线就是将抛物线y=(x-3)2-1向右平移一个单位
∴点B随之运动得到的图象的函数表达式为:y=(x-4)2-1故答案为:A
【分析】根据题意可知点B运动的抛物线就是将抛物线y=(x-3)2-1向右平移一个单位,根据二次函数平移的规律:上加下减,左加右减,可解答此题。
11.【答案】B
【解析】 由对应关系可知:△ABC向左平移一个单位长度,向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′,因为△ABC的面积与△A′B′C′面积相等,所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积= ×6×2=6.
故答案为:B.
【分析】由已知条件中的对应关系可知:△ABC向左平移一个单位长度,向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′,根据平移的性质可得△ABC的面积=△A′B′C′面积,所以△A′B′C′的面积=△ABC的面积=×6×2=6.
二、填空题
12.【答案】(5,-3)
【解析】 :∵点P(-5,3)
∴点P关于原点对称点P′的坐标为(5,-3)【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数,即可求解。
13.【答案】(1,1)(4,4)
18
【解析】 :如图
①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,如图1所示,
∵A点的坐标为(−1,5),B点的坐标为(3,3),
∴E点的坐标为(1,1);
②当点A的对应点为点D时,连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,如图2所示,
∵A点的坐标为(−1,5),B点的坐标为(3,3),
∴M点的坐标为(4,4).
∴这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为:(1,1)或(4,4).
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑:①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,点E即为旋转中心;②当点A的对应点为点D时,连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,点M即为旋转中心,即可求解。
14.【答案】5
【解析】 ∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置,
∴A′B′∥AB,
∵O是AC的中点,
∴B′是BC的中点,
∴BB′=10÷2=5,
故△ABC平移的距离为5,所以AA′=5,
故答案为:5.
【分析】根据平移的性质知 :A′B′∥AB,根据中位线定理得出B′是BC的中点,从而得出BB′的长度,得出平移距离,根据平移的性质得出AA′的长度。
15.【答案】2.5
【解析】 ∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴F、C、M三点共线,∴DE=DM,∠EDM=90°,∴∠EDF+∠FDM=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF=45°,
18
在△DEF和△DMF中, ,∴△DEF≌△DMF(SAS),∴EF=MF,设EF=MF=x,
∵AE=CM=1,且BC=3,∴BM=BC+CM=3+1=4,∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x,
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2 , 即22+(4﹣x)2=x2 ,
解得:x= , ∴FM= .
【分析】由旋转的性质可得∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,AE=CM=1,所以F、C、M三点共线,由已知条件用边角边易证△DEF≌△DMF,所以EF=MF,设EF=MF=x,所以BM=BC+CM=3+1=4,则BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2 , 即22+(4﹣x)2=x2 , 解这个方程即可求解。
16.【答案】17°
【解析】 ∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′,
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°,
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为:17°.
【分析】根据旋转的性质得出∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°,根据角的和差得出∠B′AC的度数。
17.【答案】2
【解析】 当y=0时, x+ =0,解得x=-1,则A(-1,0),
当x=0时,y= x+ = ,则B(0, ),
∴OB= ,OA=1
∴AB= ,
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,AB1=AB=2
∴OB1=1
∴ =
故答案为:2.
【分析】因为直线 y =x +与x轴、y轴分别交于点A、B,所以易得A(-1,0),B(0,),则OB= ,OA=1;根据勾股定理可求得AB=2,由旋转的性质可得AB1=AB=2,所以OB1=1,在直角三角形OBB1中,由勾股定理可得BB1=2.
18.【答案】2
18
【解析】 :∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,点A. B的对应点分别为A′、B′,图中阴影部分的面积为8,
∴5−m=4,
∴m=1,
∴A(1,2),
∴k=1×2=2.
故答案为:2.
【分析】根据平行四边形的面积公式及反比例函数图像上的点的性质,可求出k的值。
19.【答案】
【解析】 连接AW,如图所示:
根据旋转的性质得:AD=AB′,∠DAB′=60°,
在Rt△ADW和Rt△AB′W中,
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W(HL),
∴∠B′AW=∠DAW=30º
又AD=AB′=1,
∴DW=
∴△ADW面积为
∴阴影部分的面积是
【分析】先连接AW,将阴影部分的分为两个全等直角三角形,再利用旋转的性质及勾股定理求得直角三角形的两条直角边的长,即可求得直角三角形的面积,进而可求得阴影部分的面积.
三、解答题
20.【答案】解:由题意知阴影部分的面积=梯形ABEH的面积
根据平移的性质知DE=AB=10
又∵DH=4
∴HE=6
18
∵平移距离为6
∴BE=6
∴阴影部分的面积=梯形ABEH的面积=(AB+EH)BE÷2=(10+6)×6÷2=48.
【解析】【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积=梯形ABEH的面积,然后根据梯形面积计算方法计算即可。
21.【答案】解:由旋转的性质得:∠DCF=90°∠DCE+∠ECF=90°
∵∠ACB=90°
∴∠DCE+∠BCD=90°
∴∠ECF=∠BCD
∵EF|DC,
∴,∠EFC+∠DCF=180°
∴,∠EFC=90°
在△BDC和△EFC中
∴△BDC≌△EFC(SAS)
∴∠BDC=∠EFC=90°
【解析】【分析】根据旋转的性质可得出∠DCE+∠ECF=90°,再根据同角的余角相等,可证得∠ECF=∠BCD,从而可证得∠EFC=90°,然后证明△BDC≌△EFC,利用全等三角形的性质,可证得结论。
22.【答案】解:(Ⅰ)记A′B′与x轴交于点H.
∵∠HOA′=α=30°,
∴∠OHA′=90°,
∴OH=OA′•cos30°= ,B′H=OB′•cos30°= ,
18
∴B′( , ).
(Ⅱ)①∵OA=OA′,
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形,
∵OB=OB′,
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形,
显然△AMB′是等腰直角三角形,
作MN⊥OA于N,
∵OB′=OA+AB′=1+2AN= ,
∴MN=AN= ,
∴M( , ).
②如图③中,
∵∠AOA′=∠BOB′,OA=OA′,OB=OB′,
∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B,
∵∠OAA′+∠OAM=180°,
∴∠OBB′+∠OAM=180°,
∴∠AOB+∠AMB=180°,
∵∠AOB=90°,
18
∴∠AMB=90°,
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′,
当C、M、O′共线时,CM的值最小,最小值=CO′﹣ AB= ﹣1.
【解析】【分析】 (Ⅰ)记A′B′与x轴交于点H,利用解直角三角形出OH,B′H即可解决问题。
(Ⅱ)①作MN⊥OA于N,易证Rt△OAA′、Rt△OBB′、△AMB′都是等腰直角三角形,再求出ON,MN的长,即可解决问题。
②根据题意易证点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′,当C、M、O′共线时,CM的值最小,最小值=CO′-AB,即可解答。
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