中考数学总复习 二十五 图形的对称精练精析1 华东师大版 15页

图形的变化——图形的对称 1 一．选择题（共 9 小题） 1．如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上， 点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上．若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（　　） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 2．如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2 的图形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4 下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．点 A（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2） 6．点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 7．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 8．已知点 A（a，2013）与点 B（2014，b）关于 x 轴对称，则 a+b 的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 9．将一张正方形纸片按如图 1，图 2 所示的方向对折，然后沿图 3 中的虚线剪裁得到图 4，将图 4 的纸片展开铺平 ，再得到的图案是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共 7 小题） 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值是　_________　． 11．点 P（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 P′的坐标为　_________　． 12．点 P（2，3）关于 x 轴的对称点的坐标为　_________　． 13．点 P（1，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标为　_________　． 14．若点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称，则 m+n=　_________　． 15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑， 使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有　_________　种． 16．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，M、N 分别是 BC、CD 的中点，P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是　_________　． 三．解答题（共 6 小题） 17．在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC 关于 y 轴对称的图形． 18．如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4），抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D 两点，点 P 是 x 轴 上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标． 19．如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 与 DC 的交点为 O，连接 DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：DE∥AC． 20．如图，将矩形 ABCD 沿 BD 对折，点 A 落在 E 处，BE 与 CD 相交于 F，若 AD=3，BD=6． （1）求证：△EDF≌△CBF； （2）求∠EBC． 21．如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，CE 与 AD 相交于点 O． （1）求证：△AOE≌△COD； （2）若∠OCD=30°，AB= ，求△AOC 的面积． 22．准备一张矩形纸片，按如图操作： 将△ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点，将△CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点． （1）求证：四边形 BFDE 是平行四边形； （2）若四边形 BFDE 是菱形，AB=2，求菱形 BFDE 的面积． 图形的变化——图形的对称 1 参考答 案与试题解析 一．选择题（共 9 小题） 1．如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上， 点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上．若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（　　） A． 4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 考点： 轴对称的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ，PN=NR，进而利用 MN=4cm，得出 NQ 的长，即可得出 QR 的长． 解答： 解：∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上， ∴PM=MQ，PN=NR， ∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， ∴RN=3cm，MQ=2.5cm， 即 NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm）， 则线段 QR 的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）． 故选：A． 点评： 此题主要考查了轴对称图形的性质，得出 PM=MQ，PN=NR 是解题关键． 2．如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（　　） A． 第一象限 B 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点： 轴对称的性质． 分析： 根据轴对称的性质作出选择． 解答： 解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限． 故选：A． 点评： 本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想． 3．下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2 的图形的个数是（　　） A． 1 B．2 C3 D． 4 考点： 轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形及对称轴的定义求解． 解答： 解：第一个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第二个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第三个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第四个是轴对称图形，有 3 条对称轴； ∴对称轴的条数为 2 的图形的个数是 3； 故选：C． 点评： 本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重 合； 4 下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（　　） A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点： 轴对称图形． 分析： 利用关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 解答： 解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形． 故选：C． 点评： 此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直 线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 5．点 A（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标是（　　） A． （1，﹣2） B．（﹣1，2） C（﹣1，﹣2） D．（1，2） 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 解答： 解：点 A（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标是（1，2）， 故选：D． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6 点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标为（　　） A． （﹣2，5） B（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，y）关于 x 轴的对 称点 P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 解答： 解：∵点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称， ∴对称点的坐标为：（2，5）． 故选：B． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键． 7．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（　　） A． （3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，y）关于 x 轴的对 称点 P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 解答： 解：∵点 A（2，3）， ∴点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故选：B． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 8 已知点 A（a，2013）与点 B（2014，b）关于 x 轴对称，则 a+b 的值为（　　） A． ﹣1 B．1 C．2 D．3 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标的特点，可以得到点 A 的坐标与点 B 的坐标的关系． 解答： 解：∵A（a，2013）与点 B（ 2014，b）关于 x 轴对称， ∴a=2014，b=﹣2013 ∴a+b=1， 故选：B． 点评： 此题主要考查了关于 x、y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 9．（将一张正方形纸片按如图 1，图 2 所示的方向对折，然后沿图 3 中的虚线剪裁得到图 4，将图 4 的纸片展开铺 平，再得到的图案是（　　） A． B C． D． 考点： 剪纸问题． 分析： 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 解答： 解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论． 故选：B． 点评： 本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生 只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 二．填空题（共 7 小题） 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值是　2 　． 考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D′，再过 D′作 AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出 D′是 D 关于 AE 的对称点，进而可知 D′P′即为 DQ+PQ 的最小值． 解答： 解：作 D 关于 AE 的对称点 D′，再过 D′作 D′P′⊥AD 于 P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD=∠AFD′， ∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是 D 关于 AE 的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P′即为 DQ+PQ 的最小值， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′， ∴在 Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16， ∵AP′=P′D'， 2P′D′2=AD′2，即 2P′D′2=16， ∴P′D′=2 ， 即 DQ+PQ 的最小值为 2 ， 故答案为：2 ． 点评： 本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称﹣最短路线问题 ，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 11．点 P（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 P′的坐标为　（﹣2，﹣3）　． 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 让点 P 的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点 P 关于 x 轴的对称点 P′的坐标． 解答： 解：∵点 P（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 P′， ∴点 P′的横坐标不变，为﹣2；纵坐标为﹣3， ∴点 P 关于 x 轴的对称点 P′的坐标为（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于 x 轴对称，横纵坐标不变，纵 坐标互为相反数． 12．点 P（2，3）关于 x 轴的对称点的坐标为　（2，﹣3）　． 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 P（x，y）关于 x 轴的对 称点 P′的坐标是（x，﹣y）得出即可． 解答： 解：∵点 P（2，3） ∴关于 x 轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键． 13．点 P（1，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标为　（﹣1，﹣2）　． 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 专题： 常规题型． 分析： 根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 解答： 解：点 P（1，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 点评： 本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 14．若点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称，则 m+n=　0　． 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 分析： 根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可． 解答： 解：∵点 A（m+2，3）与点 B（﹣4，n+5）关于 y 轴对称， ∴m+2=4，3=n+5， 解得：m=2，n=﹣2， ∴m+n=0， 故答案为：0． 点评： 本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑， 使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有　3　种． 考点： 利用轴对称设计图案． 专题： 几何图形问题． 分析： 根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的 对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果． 解答： 解：在 1，2，3 处分别涂黑都可得一个轴对称图形， 故涂法有 3 种， 故答案为：3． 点评： 考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可 以涂黑的正方形． 16 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，M、N 分别是 BC、CD 的中点，P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的 最小值是　5　． 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC，求出 CP、 PB，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC，即可得出答案． 解答： 解：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即 Q 在 AB 上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M 为 BC 中点， ∴Q 为 AB 中点， ∵N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形 BQNC 是平行四边形， ∴NQ=BC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CP= AC=3，BP= BD=4， 在 Rt△BPC 中，由勾股定理得：BC=5， 即 NQ=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为：5． 点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解 此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置． 三．解答题（共 6 小题） 17．在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣ 1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC 关于 y 轴对称的图形． 考点： 作图-轴对称变换． 专题： 作图题． 分析： 根据关于 y 轴对称点的性质得出 A，B，C 关于 y 轴对称点的坐标，进而得出答案． 解答： 解：如图所示：△DEF 与△ABC 关于 y 轴对称的图形． 点评： 此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键． 18．如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4），抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D 两点，点 P 是 x 轴 上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标． 考点： 轴对称-最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式． 专题： 数形结合． 分析： （1）设抛物线顶点式解析式 y=a（x﹣1）2+4，然后把点 B 的坐标代入求出 a 的值，即可得解； （2）先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标，连接 AB′与 x 轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为 所求的点 P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线 AB′的解析式，再求出与 x 轴的交点即可． 解答： 解：（1）∵抛物线的顶点为 A（1，4）， ∴设抛物线的解析式 y=a（x﹣1）2+4， 把点 B（0，3）代入得，a+4=3， 解得 a=﹣1， ∴抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4； （2）点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为（0，﹣3）， 由轴对称确定最短路线问题，连接 AB′与 x 轴的交点即为点 P， 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， ∴直线 AB′的解析式为 y=7x﹣3， 令 y=0，则 7x﹣3=0， 解得 x= ， 所以，当 PA+PB 的值最小时的点 P 的坐标为（ ，0）． 点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析 式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点 P 的确定方法是解题的关键． 19．如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 与 DC 的交点为 O，连接 DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：DE∥AC． 考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得 BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据 SSS 可证△ADE≌△CED（SSS） ； （2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE 与△ACB 关于 AC 所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根 据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解． 解答： 证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=CD， 又∵AC 是折痕， ∴BC=CE=AD， AB=AE=CD， 在△ADE 与△CED 中， ， ∴△ADE≌△CED（SSS）； （2）∵△ADE≌△CED， ∴∠EDC=∠DEA， 又∵△ACE 与△ACB 关于 AC 所在直线对称， ∴∠OAC=∠CAB， ∵∠OCA=∠CAB， ∴∠OAC=∠OCA， ∴2∠OAC=2∠DEA， ∴∠OAC=∠DEA， ∴DE∥AC． 点评： 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形 全等是关键． 20．如图，将矩形 ABCD 沿 BD 对折，点 A 落在 E 处，BE 与 CD 相交于 F，若 AD=3，BD=6． （1）求证：△EDF≌△CBF； （2）求∠EBC． 考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得 DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用 AAS 可判定△DEF≌△BCF； （2）在Rt△ABD 中，根据 AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC 的度数． 解答： （1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°， 在△DEF 和△BCF 中， ， ∴△DEF≌△BCF（AAS ）； （2）解：在 Rt△ABD 中， ∵AD=3，BD=6， ∴∠ABD=30°， 由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°， ∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°． 点评： 本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 ． 21．如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，CE 与 AD 相交于点 O． （1）求证：△AOE≌△COD； （2）若∠OCD=30°，AB= ，求△AOC 的面积． 考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 证明题． 分析： （1）根据矩形的对边相等可得 AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得 AB=AE，∠B=∠E， 然后求出 AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得 AO=CO，解直角三角形求出 CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得 解． 解答： （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠D=90°， ∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠点 B 落在点 E 处， ∴AB=AE，∠B=∠E， ∴AE=CD，∠D=∠E， 在△AOE 和△COD 中， ， ∴△AOE≌△COD（AAS）； （2）解：∵△AOE≌△COD， ∴AO=CO， ∵∠OCD=30°，AB= ， ∴CO=CD÷cos30°= ÷ =2， ∴△AOC 的面积= AO•CD= ×2× = ． 点评： 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形 全等的条件是解题的关键． 22．准备一张矩形纸片，按如图操作： 将△ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点，将△CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点． （1）求证：四边形 BFDE 是平行四边形； （2）若四边形 BFDE 是菱形，AB=2，求菱形 BFDE 的面积． 考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质． 分析： （1）根据四边形 ABCD 是矩形和折叠的性质可得 EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可． （2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出 AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案． 解答： （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∴∠EBD= ∠ABD=∠FDB， ∴EB∥DF， ∵ED∥BF， ∴四边形 BFDE 为平行四边形． （2）解：∵四边形 BFDE 为菱形， ∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABE=30°， ∵∠A=90°，AB=2， ∴AE= = ，BF=BE=2AE= ， 故菱形 BFDE 的面积为： ×2= ． 点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用， 主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．