全国各地中考数学压轴题目专集答案圆 90页

2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案 圆 八、圆 1．（北京模拟）在△ABC 中，分别以 AB、AC 为直径在△ABC 外作半圆 O1 和半圆 O2，其中 O1 和 O2 分别 为两个半圆的圆心．F 是边 BC 的中点，点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图 1，连接 O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E； （2）如图 2，过点 A 分别作半圆 O1 和半圆 O2 的切线，交 BD 的延长线和 CE 的延长线于点 P 和点 Q，连 接 PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段 PQ 的长； （3）如图 3，过点 A 作半圆 O2 的切线，交 CE 的延长线于点 Q，过点 Q 作直线 FA 的垂线，交 BD 的延长 线于点 P，连接 PA．求证：PA 是半圆 O1 的切线． （1）证明：∵O1，O2，F 分别是 AB，AC，BC 边的中点 ∴O1F∥AC 且 O1F＝AO2，O2F∥AB 且 O2F＝AO1 ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC ∴∠BO1F＝∠CO2F ∵点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点 ∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90° ∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E ∴△DO1F≌△FO2E （2）解：延长 CA 至 G，使 AG＝AQ，连接 BG、AE ∵点 E 是半圆 O2 圆弧的中点，∴AE＝CE＝3 ∵AC 为半圆 O2 的直径，∴∠AEC＝90° ∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3 2 ∵AQ 是半圆 O2 的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90° ∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3 2 同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5 2 ∴CG＝6 2，∠GAB＝∠QAP ∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG ∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB 2－AC 2 ＝4 2 ∴BG＝ BC 2＋GC 2 ＝2 26，∴PQ＝2 26 （3）设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M，过 C 作 CG⊥MF 于 G，过 B 作 BH⊥MF 于 H，连接 DH、AD、DM ∵F 是 BC 边的中点，∴S△ABF ＝S△ACF ，∴BH＝CG 由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90° A O1 CB O2 E D F 图 1 A O1 CB O2 E D F P Q 图 2 图 3 A O1 CB O2 E D F P Q A O1 CB O2 E D F A O1 CB O2 E D F P Q G ∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4 ∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH 同（2）可证 AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90° ∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90° ∴A、D、B、H 四点在以 AB 为直径的圆上 A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆上 且∠DBH＋∠DAH＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM ∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB 又 AB 是半圆 O1 的直径，∴PA 是半圆 O1 的切线 2．（上海）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，点 C 是AB ︵ 上的一个动点（不与点 A、B 重合）， OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E． （1）当 BC＝1 时，求线段 OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设 BD＝x，△DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域． 解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝ 1 2 BC＝ 1 2 在 Rt△BOD 中，OD＝ OB 2－BD 2 ＝ 15 2 （2）存在，长度保持不变的边为 DE 连接 AB ∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝ OA 2＋OB 2 ＝2 2 ∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D 是 BC 中点，E 是 AC 中点 ∴DE＝ 1 2 AB＝ 2 （3）连接 OC，过 D 作 DF⊥OE 于 F ∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝ 4－x 2 ∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45° 在 Rt△DOF 中，DF＝OF＝ 4－x 2 2 在 Rt△DFE 中，EF＝ DE 2－DF 2 ＝ 2－4－x 2 2 ＝ 2 2 x A E C D O B A O1 CB O2 E D F P Q M G H 1 3 26 8 4 7 5 9 A E C D O B A E C D O B F ∴y＝ 1 2 OE·DF＝ 1 2 ( 4－x 2 2 ＋ 2 2 x)· 4－x 2 2 即 y＝4－x 2＋x 4－x 2 4 （0＜x＜ 2） 3．（上海模拟）如图，已知在△ABC 中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P 是边 AB 上的一个动点，⊙P 的 半径为定长．当点 P 与点 B 重合时，⊙P 恰好与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合，且⊙P 与边 AC 相交 于点 M 和点 N 时，设 AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当 AP＝6 5 时，试比较∠CPN 与∠A 的大小，并说明理由． 解：（1）过 B 作 BD⊥AC 于 D ∵⊙P 与边 AC 相切，∴BD 是⊙P 的半径 ∵cotA＝2，∴sinA＝ 5 5 又∵sinA＝ BD AB ，AB＝15，∴BD＝3 5 （2）过 P 作 PH⊥MN 于 H 则 PH＝ 5 5 x，PM＝BD＝3 5 ∴MH＝ PM 2－PH 2 ＝ 45－ 1 5 x2 ∴y＝2MH＝2 45－ 1 5 x2 即 y＝ 2 5 1125－5x2 （3 5≤x＜15） （3）当 AP＝6 5 时，∠CPN＝∠A 理由如下： 当 AP＝6 5 时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9 ∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5 ∵ AM MP ＝ 9 3 5 ＝3 5 5 ， PN CN ＝3 5 5 ，∴ AM MP ＝ PN CN 又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM ∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC ∴∠CPN＝∠A 4．（上海模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD 的两边相切，点 N 在射线 AB 上，⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切． （1）设 AN＝x，⊙M 的半径为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 x 为何值时，⊙M 与 CD 相切？ （3）直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求 BA C N P M BA C N P M DH 的 x 的值；如果不能，请说明理由． 解：（1）连接 AM、MN，设⊙M 与 AB 相切于点 E，连接 ME ∵⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切 ∴在 Rt△MNE 中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30° ∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120° ∵⊙M 与∠BAD 的两边相切 ∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90° ∴在 Rt△AMN 中 AM＝ 1 2 AN＝ 1 2 x ∴ME＝AM·sin60°＝ 3 4 x 即 y＝ 3 4 x（x ＞0） （2）设⊙M 分别与 AD、CD 相切于点 F、G，连接 MA、MF、MG 则 MF＝FD＝MG＝y 且 AF＝MF·cot60°＝ 3 3 y＝ 3 3 · 3 4 x＝ 1 4 x ∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴ 1 4 x＋ 3 4 x＝4 ∴x＝8( 3－1) （3）作 NH⊥BC 于点 H 若直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长相等，则弦心距 MG＝NH ①当点 N 在线段 AB 上时 ∵AB＝10，∴BN＝10－x ∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝ 3 2 (10－x) ∵AF＝ 1 4 x，AF＋FD＝AD，∴ 1 4 x＋ 3 2 (10－x)＝4 ∴x＝104－12 3 11 ②当点 N 在 AB 延长线上时 则 FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝ 3 2 (x－10) 1 4 x＋ 3 2 (x－10)＝4 ∴x＝104＋12 3 11 A M CB D N A M CB D N G F A M CB D N E A M C B D N H F G A M CB D N H F G ∴当 x＝104－12 3 11 或 x＝104＋12 3 11 时，直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长相等 5．（上海模拟）已知：半圆 O 的半径 OA＝4，P 是 OA 延长线上一点，过线段 OP 的中点 B 作 OP 的垂线 交半圆 O 于点 C，射线 PC 交半圆 O 于点 D，连接 OD． （1）当AC ︵ ＝CD ︵ 时，求弦 CD 的长； （2）设 PA＝x，CD＝y，求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （3）设 CD 的中点为 E，射线 BE 与射线 OD 交于点 F，当 DF＝1 时，求 tan∠P 的值． 解：（1）连接 OC 当AC ︵ ＝CD ︵ 时，∠POC＝∠DOC ∵BC 垂直平分 OP，∴PC＝OC＝4 ∴∠P＝∠POC＝∠DOC ∴△DOC∽△DPO，∴ DO DP ＝ CD DO 即 4 4＋CD ＝ CD 4 ，解得 CD＝2 5－2 （2）作 OE⊥CD 于 E，则 CE＝DE＝ 1 2 y ①当点 C 在AD ︵ 上时 ∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P ∴△PBC∽△PEO，∴ PB PE ＝ PC PO 即 x＋4 2 4＋ y 2 ＝ 4 x＋4 ，∴y＝ 1 4 x2＋2x－4 显然，B 不与 A 重合，∴x＜4 当 D 与 C 重合时，PC 是半圆 O 的切线 ∴PC⊥OC，∠PCO＝90° 此时△PCO 是等腰直角三角形 ∴OP＝ 2OC，即 x＋4＝4 2，x＝4 2－4 ∵D 不与 C 重合，∴x＞4 2－4 ∴4 2－4＜x＜4 BA OP C D A O 备用图 A O 备用图 BA OP C DE ∴y＝ 1 4 x2＋2x－4（4 2－4＜x＜4） ②当点 C 在AD ︵ 外时 同理，△PBC∽△PEO，∴ PB PE ＝ PC PO 即 x＋4 2 4－ y 2 ＝ 4 x＋4 ，∴y＝－ 1 4 x2－2x＋4（0＜x＜4 2－4） （3）①当点 C 在AD ︵ 上时，过 D 作 DG∥OP 交 BF 于 G 则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF ∴ DE PE ＝ DG PB ＝ DG OB ＝ DF OF ＝ 1 4＋1 ∴ DE PE ＝ 1 5 ，即 y 2 4＋ y 2 ＝ 1 5 ，解得 y 2 ＝1 ∴CE＝1，PE＝5，OE＝ 42－12 ＝ 15 ∴tan∠P＝ OE PE ＝ 15 5 ②当点 C 在AD ︵ 外时，过 D 作 DG∥OP 交 BE 于 G 则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO ∴ DE PE ＝ DG PB ＝ DG OB ＝ DF OF ＝ 1 4－1 ∴ DE PE ＝ 1 3 ，即 y 2 4－ y 2 ＝ 1 3 ，解得 y 2 ＝1 ∴CE＝1，PE＝3，OE＝ 42－12 ＝ 15 ∴tan∠P＝ OE PE ＝ 15 3 6．（上海模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ 3 5 ，⊙B 的半径长为 1，⊙B 交边 BC 于点 P， 点 O 是边 AB 上的动点． （1）如图 1，将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M，请判断⊙M 与直线 AB 的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长； （3）如图 2，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切，设 NB＝y， OA＝x，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域． BA OP C D E F G BA OP C D E BA OP C D E F G A B C P 图 1 A B C N 图 2 O 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ 3 5 ∴AB＝10，BC＝ AB 2－AC 2 ＝ 102－62 ＝8 过点 M 作 MD⊥AB 于 D 在 Rt△MDB 中，∠MDB＝90°，∴sinB＝ MD MB ＝ 3 5 ∵MB＝2，∴MD＝ 3 5 ×2＝ 6 5 ＞1 ∴⊙M 与直线 AB 相离 （2）∵MD＝ 6 5 ＞1＝MP，∴OM ＞MP 若 OP＝MP，易得∠MOB＝90° ∴cosB＝ OB BM ＝ BC AB ＝ 8 10 ，∴OB＝ 8 5 ∴OA＝10－ 8 5 ＝42 5 若 OM＝OP，过 O 作 OE⊥BC 于 E ∴cosB＝ EB OB ＝ BC AB ＝ 8 10 ，∴OB＝15 8 ∴OA＝10－15 8 ＝65 8 ∴当△OMP 是等腰三角形时，OA 的长为 42 5 或 65 8 （3）连接 ON，过 N 作 NF⊥AB 于 F 在 Rt△NFB 中，∠NFB＝90°，sinB＝ 3 5 ，NB＝y ∴NF＝ 3 5 y，BF＝ 4 5 y，∴OF＝10－x－ 4 5 y ∵⊙N 和⊙O 外切，∴ON＝x＋y 在 Rt△NFB 中，ON 2＝OF 2＋NF 2 ∴(x＋y)2＝(10－x－ 4 5 y)2＋( 3 5 y)2 ∴y＝250－50x x＋40 （0＜x ＜5） 7．（上海模拟）如图，⊙O 的半径为 6，线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB 与⊙ O 相交于点 E，设 OA＝x，CD＝y． （1）求 BD 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当 CE⊥OD 时，求 AO 的长． A B C P M O A B C P M O E A B C P M D A B C N O F A BDC E O 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB ∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴ BD OC ＝ OD AC ∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD 6 ＝ 6 4 ，∴BD＝9 （2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B 又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ AB AO ＝ AO AC ∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴ y＋13 x ＝ x 4 ∴y＝ 1 4 x2－13 ∵0＜y＜8，∴0＜ 1 4 x2－13＜12，解得 2 13＜x ＜10 ∴定义域为 2 13＜x ＜10 （3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A ∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO ∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴ 1 4 x2－13＋4＝x ∴x＝2±2 10（舍去负值） ∴AO＝2±2 10 8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC 的内心为 I，过点 A 作直线 BI 的垂线，垂足为 H，且直线 AH 交 BC 于 F．设 D、E、G 分别为内切圆 I 与边 BC、CA、AB 的切点，求证： （1）AG＝DF； （2）D、H、E 三点共线． 证明：（1）由题意 I 为△ABC 的内心，所以∠ABH＝∠HBF ∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90º 又 BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF 又由切线长定理，得 BG＝BD ∴AG＝DF （2）连接 DE、EH、AI、EI ∵∠AEI＝∠AHI＝90º，∴A、E、H、I 四点在以 AI 为直径的圆上 ∴∠AEH＝∠AIB ∵I 为△ABC 的内心，∴∠AIB＝90º＋ 1 2 ∠C ∴∠AEH＝90º＋ 1 2 ∠C G E I A H FD CB G E I A H FD CB A BDC E O ∵CD＝CE，∴∠DEC＝180º－∠C 2 ＝90º－ 1 2 ∠C ∴∠AEH＋∠DEC＝180º ∴D、H、E 三点共线 9．（安徽某校自主招生）如图，扇形 OMN 的半径为 1，圆心角 90°，点 B 是MN ︵ 上一动点，BA⊥OM 于点 A，BC⊥ON 于点 C，点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点，GF 与 CE 相交于点 P，DE 与 AG 相交于点 Q． （1）求证：四边形 EPGQ 是平行四边形； （2）探索 OA 的长为何值时，四边形 EPGQ 是矩形； （3）试说明 3PQ 2＋OA 2 是定值． （1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON ∴四边形 OABC 是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC ∵E、G 分别是 AB、CO 的中点 ∴AE∥GC，AE＝GC ∴四边形 AECG 为平行四边形，∴CE∥AG 连接 OB ∵点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点 ∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ ∴四边形 EPGQ 是平行四边形 （2）当∠CED＝90°时，□EPGQ 是矩形 此时∠AED＋∠CEB＝90° 又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE ∴△AED∽△BCE，∴ AD BE ＝ AE BC 设 OA＝x，AB＝y，则 x 2 y 2 ＝ y 2 x ，得 y2＝2x2 又 OA 2＋AB 2＝OB 2，即 x2＋y2＝12 ∴x2＋2x2＝1，解得 x＝ 3 3 ∴当 OA 的长为 3 3 时，四边形 EPGQ 是矩形 （3）连接 GE 交 PQ 于点 O′，则 O′P＝O′Q，O′G＝O′E 过 P 作 OC 的平行线分别交 BC、GE 于点 B′、A′ 由△PCF∽△PEG 得， PG PF ＝ PE PC ＝ GE FC ＝2 N O M BC G F D A Q E P N O M 备用图 N O M BC G F D A Q E P N O M BC G F D A Q E P N O M BC G F D A Q E P B′ A′ O′ ∴PA′＝ 2 3 A′B′＝ 1 3 AB，GA′＝ 1 3 GE＝ 1 3 OA ∴A′O′＝ 1 2 GE－GA′＝ 1 6 OA 在 Rt△PA′O′ 中，PO′ 2＝PA′ 2＋A′O′ 2，即 PQ 2 4 ＝ AB 2 9 ＋ OA 2 36 又 AB 2＋OA 2＝12，∴3PQ 2＝AB 2＋ 1 3 ∴3PQ 2＋OA 2＝AB 2＋ 1 3 ＋OA 2＝1＋ 1 3 ＝ 4 3 10．（浙江杭州）如图，AE 切⊙O 于点 E，AT 交⊙O 于点 M、N，线段 OE 交 AT 于点 C，OB⊥AT 于点 B， 已知∠EAT＝30°，AE＝3 3，MN＝2 22． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径 R； （3）点 F 在⊙O 上（FME ︵ 是劣弧），且 EF＝5，将△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶 点分别与点 E、F 重合．在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比． 解：（1）∵AE 切⊙O 于点 E，∴OE⊥AE ∵OB⊥AT 于点 B，∴∠AEC＝∠OBC＝90° 又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB ∴∠COB＝∠EAT＝30° （2）在 Rt△AEC 中，CE＝AE·tan30°＝3 ∠OCB＝∠ACE＝60° 设 BC＝x，则 OB＝ 3x，OC＝2x 连接 ON，得( 3x)2＋( 22 )2＝(2x＋3)2 解得 x＝1 或 x＝－13（舍去），∴x＝1 ∴R＝2x＋3＝5 （3）这样的三角形有 3 个 画直径 FG，连接 GE ∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO ∴△GEF 即为所要画出的三角形 ∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长 FG＝2R＝10，OC＝2 ∴△GEF 与△OBC 的周长之比为 5 :1 A BC E F M O N T A BC E F M O N TG (B′) (C′) (O′) 11．（浙江台州）定义：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值．．．叫做线段．．a．与线．． 段．b．的距离．．．． 已知 O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，当 m＝2，n＝2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是___________； 当 m＝5，n＝2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为___________． （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d，求 d 关于 m 的 函数解析式． （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M． ①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点 D 的坐标为（0，2），m ≥0，n ≥0．作 MH⊥x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）2 （2）当 4≤m≤6 时，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙A 半径，即 d＝2 当 2≤m＜4 时，作 BN⊥x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长 ∴d＝ 22－(4－m)2 ＝ －m2＋8m－12 ∴d 关于 m 的函数解析式为：d＝ －m2＋8m－12 （2≤m＜4） 2（4≤m≤6） （3）①由题意可知，由线段 PE，EFG，线段 GK，KNP 所围成的封闭图形就是点 M 随线段 BC 运动所围 成的 AO B y x C （图 1） AO B y x C （图 2） AO y x （图 3） B C AO y x C （备用图 1） M AO y x （备用图 2） AO y x B C B C N AO y x CM EBP N F K G ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π ②∵m ≥0，n ≥0，∴点 M 随线段 BC 运动所形成图形的是线段 M0E 和EF ︵ 易知△AOD 是两直角边为 1 :2 的直角三角形 若△AMH 与△AOD 相似，则 MH HA ＝ 1 2 或 MH HA ＝2 当 2≤m＋2＜4 时，显然 M1H1＞H1A，∴ M1H1 H1A ＝2 ∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3 ∴m1＝3－2＝1 当 4≤m＋2≤6 即 M2 在线段 CE 上时，同理可求 m2＝5－2＝3 当 6＜m＋2≤8 即 M3 在线段EF ︵ 上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴ M3H3 H3A ＝ 1 2 设 M3H3＝x，则 AH3＝2x，∴AH3＝2x－2 又∵RH3＝2，∴(2x－2)2＋x2＝22，∴x1＝ 8 5 ，x2＝0（不合题意，舍去） ∴OH3＝4＋2x＝36 5 ，∴m3＝36 5 －2＝26 5 综上可知，存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，相应 m 的值为 1，3，26 5 12．（浙江某校自主招生）已知矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝5，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE、CE， 以 BE 为直径作⊙O，交 BC 于点 F，过点 F 作 FH⊥CE 于 H，直线 FH 交⊙O 于点 G． （1）当直线 FH 与⊙O 相切时，求 AE 的长； （2）当 FH∥BE 时，求 FG 的长； （3）在点 E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时 AE 的长；如果不能，说 明理由． 解：（1）连接 OF、EF ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BFE＝90° 又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形 ABFE 为矩形 ∴AE＝BF，∴DE＝CF ∵FH 与⊙O 相切，∴OF⊥FH ∵FH⊥CE，∴OF∥CE ∵BO＝OE，∴BF＝CF ∴AE＝DE＝ 1 2 AD＝ 5 2 （2）作 OM⊥FG 于 M，连接 OF ∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90° B D B A C O F E H D B A C O F E H AO y x CM0 EB F M1 M2 M3 H3H2H1 R (D) x 易证△ABE∽△DEC，∴ AE DC ＝ AB DE 即 AE 2 ＝ 2 5－AE ，解得 AE＝1 或 4 ①当 AE＝1 时，BF＝1，DE＝CF＝4 ∴BE＝ 5，CE＝2 5，OF＝ 5 2 由△CFH∽△CBE，得 CH＝8 5 5 ∴OM＝EH＝CE－CH＝2 5 5 ，∴FM＝ OF 2－OM 2 ＝3 5 10 ∴FG＝2FM＝3 5 5 ②当 AE＝4 时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝2 5，CE＝ 5，OG＝ 5 由△CFH∽△CBE，得 CH＝ 5 5 ∴OM＝EH＝CE－CH＝4 5 5 ，∴FM＝ OG 2－OM 2 ＝3 5 5 ∴FG＝2FM＝6 5 5 （3）连接 EF，设 AE＝x 则 EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG＝90° ①当点 G 在点 F 上方时 连接 BG、EG，设 BG、EF 交于点 K，作 GM⊥EF 于 M 则∠FBG＝∠FEG＝45° ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形 ∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝ 1 2 EK＝1－ 1 2 x FM＝x＋1－ 1 2 x＝1＋ 1 2 x ∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC ∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴ GM FM ＝ EF CF ∴ 1－ 1 2 x 1＋ 1 2 x ＝ 2 5－x ，解得 x1＝9－ 57 2 ，x2＝9＋ 57 2 ＞5（舍去） ②当点 G 在点 F 下方时 连接 BG、EG，设 BC、EG 交于点 K，作 GM⊥BF 于 M 则∠GBF＝∠GEF＝45° ∴△BGK 和△EFK 都是等腰直角三角形 ∴KF＝EF＝2，EK＝2 2 BK＝x－2，GM＝KM＝ 1 2 (x－2)，FM＝2＋ 1 2 (x－2)＝ 1 2 (x＋2) D B A C O F E H M G D B A C O F E H M G O D B A C H G E F M K D B A C H G E FK O M ∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF ∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴ FM GM ＝ EF CF ∴ 1 2 (x＋2) 1 2 (x－2) ＝ 2 5－x ，解得 x1＝1＋ 57 2 ，x2＝1－ 57 2 （舍去） 综上所述，△OFG 能成为等腰直角三角形，此时 AE 的长为 9－ 57 2 或 1＋ 57 2 13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点 A（10，0）、B（6，8），点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A、 点 O 重合），以 PA 为半径的⊙P 与线段 AB 的另一个交点为 C，作 CD⊥OB 于 D（如图 1）． （1）求证：CD 是⊙P 的切线； （2）当⊙P 与 OB 相切时，求⊙P 的半径； （3）在（2）的条件下，设⊙P 与 OB 相切于点 E，连接 PB 交 CD 于 F（如图 2）． ①求 CF 的长； ②在线段 DE 上是否存在点 G 使∠GPF＝45°？若存在，求出 EG 的长；若不存在，请说明理由． （1）证明：连接 PC，过 B 作 BN⊥x 轴于 N ∵PC＝PA，∴∠1＝∠2 ∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6 在 Rt△OBN 中，OB＝ ON 2＋BN 2 ＝ 62＋82 ＝10 ∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1 ∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB ∵CD⊥OB，∴CD⊥PC ∴CD 是⊙P 的切线 （2）解：设⊙P 的半径为 r ∵⊙P 与 OB 相切于点 E，∴OB⊥PE ∴在 Rt△OPE 中，sin∠EOP＝ PE OP ＝ r 10－r 在 Rt△OBN 中，sin∠BON＝ BN OB ＝ 8 10 ＝ 4 5 ∴ r 10－r ＝ 4 5 ，解得 r＝ 40 9 AO P B D y x C 图 1 AO P B D y x C 图 2 E F AO P B D y x C N 1 2 AO P B D y x C E F N （3）①由（2）知 r＝ 40 9 ，∴OP＝10－ 40 9 ＝ 50 9 ∴OE＝ OP 2－PE 2 ＝ 10 3 ∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90° ∴四边形 PCDE 是矩形 ∵PE＝PC，∴矩形 PCDE 是正方形 ∴PE＝DC＝ 40 9 ∴BD＝OB－OE－DE＝10－ 10 3 － 40 9 ＝ 20 9 ∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90° ∴△BDF∽△PCF，∴ DF CF ＝ BD PC 即 40 9 －CF CF ＝ 20 9 40 9 ，解得 CF＝ 80 27 ②存在 在 DE 延长线上截取 ET＝CF ∵四边形 PCDE 是正方形 ∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC ∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF ∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45° ∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45° 即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF 又 PG＝PG，∴△PGT≌△PGF ∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF 设 GE＝a，则 DG＝ 40 9 －a，GF＝ 80 27 ＋a 又 DF＝DC－CF＝ 40 9 － 80 27 ＝ 40 27 在 Rt△DFG 中，DF 2＋DG 2＝GF 2 ∴( 40 27 )2＋( 40 9 －a)2＝( 80 27 ＋a)2，解得 a＝ 8 9 即 EG 的长为 8 9 14．（浙江模拟）如图，以△ABC 的边 BC 为弦，在点 A 的同侧画BC ︵ 交 AB 于 D，且∠BDC＝90°＋ 1 2 ∠A， 点 P 是BC ︵ 上的一个动点． （1）判定△ADC 的形状，并说明理由； （2）若∠A＝70°，当点 P 运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB 和∠ACP 的度数； （3）当点 P 在BC ︵ 运动时，过点 P 作直线 MN⊥AP，分别交 AB、AC 于点 M、N，是否存在这样的点 P， 使得△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似？请说明理由． AO P B D y x C E F G T 3 4 解：（1）△ADC 是等腰三角形 ∵∠BDC＝90°＋ 1 2 ∠A ∴∠ADC＝90°－ 1 2 ∠A，∠ACD＝90°＋ 1 2 ∠A－∠A＝90°－ 1 2 ∠A ∴∠ACD＝∠ADC，∴△ADC 是等腰三角形 （2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15° ∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80° ∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋ 1 2 ∠A＝90°＋ 1 2 ×70°＝125° ∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40° ∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40° （3）存在．当点 P 运动至CD ︵ 的中点时，△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似 ∵P 是CD ︵ 的中点，∴∠ABP＝∠CBP 设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y° 则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋ 1 2 x)＝90°－y－ 1 2 x ∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－ 1 2 x)＝90°－y－ 1 2 x ∴∠PCB＝∠ACP，∴PC 平分∠ACB ∴当点 P 运动至CD ︵ 的中点时，点 P 是△ABC 的角平分线的交点 连接 AP，则 AP 平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋ 1 2 x＝∠BPC ∴△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似 15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝4AD＝4 2，∠B＝45°．将直角三角板含 45° 角的顶点 E 放在边 BC 上移动（不与点 C 重合），一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F． （1）在点 E 移动过程中，当△ABE 为等腰三角形时，求 CF 的长； （2）在点 E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值． 解：（1）∵BC＝4AD＝4 2，∴AD＝ 2 ∵等腰梯形 ABCD，∠B＝45°，∴AB＝ 2× 1 2 (BC－AD)＝ 2 × 1 2 (4 2－ 2)＝3 ∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135° ∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135° B A C D 备用图 P B A C D P B A C DM N B C A E F D ∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C ∴△BAE∽△CEF，∴ BE CF ＝ AB EC ∴CF＝ EC AB ·BE＝ BC－BE AB ·BE＝ 4 2－BE 3 ·BE （1） 若 AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝ 2 2 AB＝3 2 2 ，代入（1）得 CF＝ 5 2 若 AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝ 2AB＝3 2，代入（1）得 CF＝2 若 AB＝BE，则 BE＝3，代入（1）得 CF＝4 2－3 （2）设△ADF 外接圆的圆心为 O ∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝ 2r 当 AF 最小时，r 也最小；又当 CF 最大时，AF 最小 由（1）知 CF＝ 4 2－BE 3 ·BE＝－ 1 3 BE 2＋ 4 2 3 BE＝－ 1 3 (BE－2 2)2＋ 8 3 当 BE＝2 2 即 E 为 BC 中点时，CF 最大，为 8 3 此时 DF＝3－ 8 3 ＝ 1 3 作 FG⊥AD 于 G，则 FG＝DG＝ 2 6 ，AG＝AD＋DG＝ 7 2 6 ∴AF 长的最小值为： AG 2＋FG 2 ＝ 5 3 ∴△ADF 外接圆半径的最小值为 2 2 AF＝ 5 2 6 16．（浙江模拟）已知直线 y＝x－2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，C 是 x 轴上异于 A 的一点，以 C 为圆 心的⊙C 过点 A，D 是⊙C 上的一点，如果以 A、B、C、D 为顶点四边形为平行四边形，求 D 点的坐标． 解：由题意，得 A（2，0），B（0，－2） ∴OA＝OB＝2，AB＝2 2 ①若 CD 是平行四边形的边，则 CA＝CD＝AB＝2 2 ∴点 C 的坐标为（2＋2 2，0）或（2－2 2，0） 当 C（2＋2 2，0）时，点 D 的坐标为（4＋2 2，2）或（2 2，－2） 当 C（2－2 2，0）时，点 D 的坐标为（4－2 2，2）或（－2 2，－2） ②若 CD 是平行四边形的对角线，设 AB、CD 相交于点 M 则 CA＝CD＝2CM B C A E F D B C A E F D G O AO B x y 1 1 A O B x y D C 而点 C 到直线 AB 的距离为 2 2 CA，所以 CM≥ 2 2 CA，即 CA≤ 2CM 故此时 A、B、C、D 四点不能构成平行四边形 综上，若以 A、B、C、D 为顶点四边形为平行四边形，则 D 点的坐标为： 17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A（8，0），以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上一动点，连接 AB 并延长 AB 至点 D，使 DB＝AB，连接 OB、DC 相交于点 E，过点 E 作 EF ⊥OA 于 F，连接 AE． （1）如果以点 A、C、D 为顶点的三角形为等腰三角形，求点 E 的坐标； （2）如果以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点 E 的坐标； （3）如果以点 E、C、F 为顶点的三角形与△ABE 相似，求点 E 的坐标． 解：（1）由题意，∠OBA＝90°，OC＝CA＝4，CD＞CA ①若 DC＝DA 作 DH⊥CA 于 H，则 CH＝HA＝ 1 2 CA＝2 ∵∠DHA＝∠OBA＝90°，∠DAH＝∠OAB ∴△DHA∽△OBA，∴DA HA ＝ OA BA 即 2BA 2 ＝ 8 BA ，∴BA＝2 2 ∴OB＝ OA 2－BA 2 ＝2 14，DC＝DA＝4 2，∴DH＝ DC 2－CH 2 ＝2 7 ∵EF⊥OA，∴△ECF∽△DCH ∴ EF CF ＝ DH CH ＝ 2 7 2 ＝ 7 设 CF＝x，则 EF＝ 7x ∵∠OFE＝∠OBA＝90°，∠EOF＝∠AOB ∴△OEF∽△OAB，即 EF OF ＝ AB OB ∴ 7x 4＋x ＝ 2 2 2 14 ，解得 x＝ 2 3 ∴OF＝4＋x＝14 3 ，EF＝ 7x＝2 7 3 A O B x y D C AO B x y D C AO B x y D C x y M O M C M F M A M E M B M D M x y M O M C M F M A M E M B M D M H M ∴E（14 3 ，2 7 3 ） ②若 CA＝DA 则 BA＝ 1 2 DA＝ 1 2 CA＝2，OB＝ OA 2－BA 2 ＝2 15 作 DH⊥CA 于 H，则△DHA∽△OBA ∴ DA HA ＝ OA BA ，即 4 HA ＝ 8 2 ，∴HA＝1 ∴CH＝3，DH＝ DA 2－HA 2 ＝ 15 由△ECF∽△DCH，得 EF CF ＝ DH CH ＝ 15 3 设 CF＝3x，则 EF＝ 15x 由△OEF∽△OAB，得 EF OF ＝ AB OB ∴ 15x 4＋3x ＝ 2 2 15 ，解得 x＝ 1 3 ∴OF＝4＋3x＝5，EF＝ 15x＝ 15 3 ∴E（5，15 3 ） （2）①当点 F 在 O、C 之间时 ∵∠ECF＞∠BAO，∴要使△ECF 与△AOB 相似，只能∠ECF＝∠AOB 此时△OCE 为等腰三角形，点 F 为 OC 中点，即 OF＝2 过 B 作 BG∥DC 交 OA 于 G ∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 ∵BG∥DC，∴△OEC∽△OBG ∴ OE OB ＝ OC OG ＝ 4 6 ＝ 2 3 设 OE＝2x，则 OB＝3x 由△OEF∽△OAB，得 OE OF ＝ OA OB ∴ 2x 2 ＝ 8 3x ，解得 x＝ 2 6 3 ∴OE＝2x＝ 4 6 3 ，∴EF＝ OE 2－OF 2 ＝2 15 3 ∴E（2，2 15 3 ） ②当点 F 在 C、A 之间时 ∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△CEF 与△AOB 相似，只能∠ECF＝∠OAB 此时 DC＝DA 由（1）知，E（14 3 ，2 7 3 ） （3）①若∠FEC＝∠BAE，则△EFC∽△ABE ∵OB 垂直平分 AD，∴AE＝DE ∴∠D＝∠BAE，∴∠FEC＝∠D ∴∠ECF＝∠DEB＝∠OEC，∴OE＝OC＝4 过 B 作 BG∥DC 交 OA 于 G ∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 由△OEC∽△OBG，得 OB＝OG＝6 ∴BE＝2，AB＝ OA 2－OB 2 ＝2 7 x y M O M C M F M A M E M B M D M H M x y M O M C M F M A M E M B M D M G M x y M O M C M F M A M E M B M D M H M 由△OEF∽△OAB，得 EF＝ 1 2 AB＝ 7，OF＝ 1 2 OB＝3 ∴E（3，7） ②若∠ECF＝∠EAB，则△CFE∽△ABE ∵∠D＝∠EAB，∴∠ECF＝∠D ∴CA＝DA 由（1）知，此时 E（5，15 3 ） 18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1 和扇形 O2CD 中，⊙O1 与 O2C、 O2D 分别相切于点 A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F 是直线 O1O2 与⊙O1、扇形 O2CD 的两个交点，EF＝ 24 cm．设⊙O1 的半径为 x cm． （1）用含 x 的代数式表示扇形 O2CD 的半径； （2）若⊙O1 和扇形 O2CD 两个区域的制作成本分别为 0.45 元/cm2 和 0.06 元/cm2，当⊙O1 的半径为多少 时，该玩具的制作成本最小？ 解：（1）连接 O1A ∵⊙O1 与 O2C、O2D 分别相切于点 A、B ∴O1A⊥O2C，O2E 平分∠CO2D ∴∠AO2O1＝ 1 2 ∠CO2D＝30° 在 Rt△O1AO2 中，sin∠AO2O1＝ AO1 O1O2 ∴O1O2＝ AO1 sin∠AO2O1 ＝ x sin30° ＝ AO1 O1O2 ＝2x ∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形 O2CD 的半径为(24－3x)cm （2）设该玩具的制作成本为 y 元，则 y＝0.45πx2＋0.06×(360－60)×π×(24－3x)2 360 ＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π ＝0.9π(x－4)2＋14.4π 所以当 x＝4 时，y 的值最小． 答：当⊙O1 的半径为 4cm 时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于 A、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点 A、B 的滑动角． ①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB＝___________° ； ②若⊙O 的半径是 1，AB＝ 2，求∠APB 的度数； （2）已知 O2 是⊙O1 外一点，以 O2 为圆心作一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点，∠APB 是⊙O1 上关于点 A、 A B C FO2 D E O1 x y M O M C M F M A M E M B M D M G M A B C FO2 D E O1 B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙O2 于点 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连接 AN，试探 索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系． 解：（1）①90 ②如图，连接 AB、OA、OB 在△AOB 中，∵OA＝OB＝1，AB＝ 2 ∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB＝90° 当点 P 在优弧AB ︵ 上时，∠AP1B＝ 1 2 ∠AOB＝45° 当点 P 在劣弧AB ︵ 上时，∠AP2B＝ 1 2 (360°－∠AOB)＝135° （2）根据点 P 在⊙O1 上的位置分为以下四种情况 第一种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图① ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB，∴∠APB＝∠MAN－∠ANB 第二种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图② ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB＝∠APB＋(180°－∠ANB) ∴∠APB＝∠MAN＋∠ANB－180° 第三种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图③ ∵∠APB＋∠ANB＋∠MAN＝180° ∴∠APB＝180°－∠ANB－∠MAN 第四种情况：点 P 在⊙O2 内，如图④ ∠APB＝∠MAN＋∠ANB A B P O A B P1 O P2 A B P O2 ② N MO1 A B P O2 ① N M O1 A BP O2 ③ NMO1 A B P O2 ④ N M O1 20．（江苏泰州）如图，已知直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，OA＝5，OA 与⊙O 相交于点 P，AB 与⊙ O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C． （1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由； （2）若 PC＝2 5，求⊙O 的半径和线段 PB 的长； （3）若在⊙O 上存在点 Q，使△QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径 r 的取值范围． （1）AB＝AC．理由如下： 连接 OB ∵AB 与⊙O 相切于点 B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90° ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90° ∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB ∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP ∴AB＝AC （2）设⊙O 的半径为 r，则 OP＝OB＝r，PA＝5－r ∴AB 2＝OA 2－OB 2＝52－r 2 AC 2＝PC 2－PA 2＝(2 5)2－(5－r)2 ∵AB＝AC，∴52－r 2＝(2 5)2－(5－r)2 解得 r＝3 ∴AB＝ 52－32 ＝4，∴sin∠BOP＝ AB OA ＝ 4 5 ，cos∠BOP＝ OB OA ＝ 3 5 过 B 作 BD⊥OP 于 D 则 DB＝OB·sin∠BOP＝3× 4 5 ＝12 5 ，OD＝OB·cos∠BOP＝3× 3 5 ＝ 9 5 ∴DP＝OP－OD＝3－ 9 5 ＝ 6 5 ∴PB＝ DB 2＋DP 2 ＝ 6 5 5 （3）作线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OE⊥MN 则 OE＝ 1 2 AC＝ 1 2 AB＝ 1 2 52－r2 由题意，⊙O 与直线 MN 有交点 ∴OE≤r，即 1 2 52－r2 ≤r，∴r≥ 5 又∵直线 l 与⊙O 相离，∴r＜5 ∴ 5≤r＜5 C P O B A l O A l （备用图） C P O B A l D C P O B A l E M N 21．（江苏常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P 在正比例函数 y＝x 的图象上，点 P 的横坐标为 m （m＞0）．以点 P 为圆心， 5m 为半径的圆交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于 C、D 两 点（点 D 在点 C 的上方），点 E 为平行四边形 DOPE 的顶点（如图）． （1）写出点 B、E 的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）连接 DB、BE，设△BDE 的外接圆交 y 轴于点 Q（点 Q 异于点 D），连接 EQ、BQ．试问线段 BQ 与 线段 EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接 BC，求∠DBC－∠DBE 的度数． 解：（1）B（3m，0），E（m，4m） （2）BQ 与 EQ 相等，理由如下： 易得 D（0，3m），作 EK⊥y 轴于 K 则得 OB＝OD，EK＝DK ∴△BOD 和△EKD 均为等腰直角三角形 ∴∠EDB＝90° ∴BE 为△EDB 外接圆的直径 ∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45° ∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE ∴BQ＝EQ （3）由（2）知，△BDE 为直角三角形 易得 DE＝ 2m，BD＝3 2m 在 Rt△BOC 中，BO＝3CO＝3m 在△BDE 和△BOC 中 ∠BDE＝∠BOC＝90°，且 DE BD ＝ CO BO ＝ 1 3 ∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC ∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45° 22．（江苏扬州）如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且 OA＝2，OC＝1，矩形对角线 AC、OB 相交于点 E，过点 E 的直线与边 OA、BC 分别相交于点 G、H． （1）①直接写出点 E 的坐标：____________； ②求证：AG＝CH； （2）如图 2，以 O 为圆心、OC 为半径画弧交 OA 于点 D，若直线 GH 与弧 CD 所在的圆相切于矩形内一 点 F，求直线 GH 的函数关系式； （3）在（2）的结论下，梯形 ABHG 的内部有一点 P，当⊙P 与 HG、GA、AB 都相切时，求⊙P 的半径． C B P O x D y E A C B P O x D y E A （备用图） C B P O x D y E A F K 解：（1）①（1，1 2 ） ②证明：在矩形 OABC 中，∵EA＝EC，OA∥BC ∴∠GAE＝∠HCE 又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE ∴AG＝CH （2）连接 ED、OF、OB ∵D 为 OA 中点，E 为 OB 中点 ∴ED＝ 1 2 AB＝ 1 2 ，且 ED∥AB ∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED 切⊙O 于 D 又直线 GH 切⊙O 于 F，∴EF＝ED＝ 1 2 又∵HC 是⊙O 的切线，∴HF＝HC 设 AG＝m，则 HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m 由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝ 1 2 ＋m，FG＝1＋m 在 Rt△OFG 中，OG 2＝OF 2＋FG 2 ∴(2－m)2＝12＋(1＋m)2，解得 m＝ 1 3 ∴OG＝2－m＝ 5 3 ，∴点 G 坐标为（ 5 3 ，0） 设直线 GH 的函数关系式为 y＝kx＋b，将点 E（1，1 2 ）、G（5 3 ，0）代入 得 1 2 ＝k＋b 0＝ 5 3 k＋b 解得 k＝－ 3 4 b＝ 5 4 ∴直线 GH 的函数关系式为 y＝－ 3 4 x＋ 5 4 （3）连接 BG，作∠BAO 的平分线交 BC 于点 M，交 BG 于点 P 由（2）知，BH＝ 5 3 ，GH＝ 5 3 ，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB ∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB 即 GB 平分∠HGA，∴点 P 即为所求圆的圆心 ∵AM 平分∠BAO，∴∠BAM＝45° B GO x H y E A C 图 1 B GO x H y E A C 图 2 F D B GO x H y E A C 备用图 F D B GO x H y E A C F D ∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1） 设直线 AM 的函数关系式为 y＝k1x＋b1 则 0＝2k1＋b1 1＝k1＋b1 解得 k1＝－1 b1＝2 ∴y＝－x＋2 设直线 BG 的函数关系式为 y＝k2x＋b2 ∵B（2，1）、G（ 5 3 ，0） ∴ 1＝2k2＋b2 0＝ 5 3 k2＋b2 解得 k2＝3 b1＝－5 ∴y＝3x－5 由 y＝－x＋2 y＝3x－5 解得 x＝ 7 4 y＝ 1 4 ∴点 P 坐标为（ 7 4 ，1 4 ） ∴⊙P 的半径为 1 4 23．（江苏连云港）如图，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为 2，直线 y＝x＋b（b＞0）与⊙O 交于 A，B 两 点，点 O 关于直线 y＝x＋b 的对称点为点 O′． （1）求证：四边形 OAO′B 是菱形； （2）当点 O′ 落在⊙O 上时，求 b 的值． （1）证明：∵点 O 与点 O′ 关于直线 y＝x＋b 对称 ∴直线 y＝x＋b 是线段 OO′ 的垂直平分线 ∴AO＝AO′，BO＝BO′ 又∵OA，OB 都是⊙O 的半径，∴OA＝OB ∴AO＝AO′＝BO＝BO′ ∴四边形 OAO′B 是菱形 （2）解：如图，连接 OO′ 交直线 y＝x＋b 于点 M 当点 O′ 落在⊙O 上时，有 OM＝ 1 2 OO′＝1 ∵直线 y＝x＋b 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是 N（－b，0）、P（0，b） ∴△ONP 为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45° 又∵OM＝1，∴OP＝ 2，即 b＝ 2 B O x y A O′ B GO x H y E A C F D P M B O x y A O′ M N P 24．（江苏盐城）如图所示，AC⊥AB，AB＝2 3，AC＝2，点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一动点，DE⊥ CD 交直线 AB 于点 E，设∠DAB＝α（0°＜α ＜90°）． （1）当α＝18°时，求BD ︵ 的长； （2）当α＝30°时，求线段 BE 的长； （3）若要使点 E 在线段 BA 的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案） 解：（1）连接 OD 在⊙O 中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36° ∵AB＝2 3，∴BD ︵ 的长为 36π× 3 180 ＝ 3π 5 （2）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90° ∵α＝30°，AB＝2 3，∴BD＝ 3，AD＝AB·cos30°＝3 ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90° ∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B ∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90° ∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB ∴△CDA∽△EDB，∴ AC BE ＝ AD BD ∴ 2 BE ＝ 3 3 ，∴BE＝2 3 3 （3）60°＜α＜90° 提示：如图，当 E 与 A 重合时 ∵AB 是直径，AD⊥CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90° ∴C、D、B 三点共线 在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2 ∴tan∠ABC＝ AC AB ＝ 3 3 ，∴∠ABC＝30° ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60° 当 E′ 在 BA 的延长线上时，有∠D′AB＞∠DAB ∴α＞60° 又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 25．（江苏宿迁）如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD 与以 AB 为直径的半圆相切于点 E， EF⊥AB 于点 F，EF 交 BD 于点 G．设 AD＝a，BC＝b． （1）求 CD 的长度（用 a、b 表示）； （2）求 EG 的长度（用 a、b 表示）； （3）试判断 EG 与 FG 是否相等，并说明理由． D O BA E C α C A BO D E F G D O BA E C α D O BAE′ C α D′ (E) 解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA 为⊙O 的切线 又∵CD 为⊙O 的切线，∴DA＝DE 同理，CE＝CB 又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b （2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90° 又∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝∠ABC＝90° ∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC ∴ EG CB ＝ DE DC ，即 EG b ＝ a a＋b ∴EG＝ ab a＋b （3）EG＝FG 理由：∵△DGE∽△DBC，∴ DG DB ＝ DE DC ＝ a a＋b ∴ DB DG ＝ a＋b a ，∴ DB DG －1＝ a＋b a －1，即 BG DG ＝ b a ∴ DG BG ＝ a b ，∴ DG BG ＋1＝ a b ＋1，即 BD BG ＝ a＋b b ∴ BG BD ＝ b a＋b 由（2）同理可得，△BFG∽△BAD， ∴ FG AD ＝ BG BD ，即 FG a ＝ b a＋b ，∴FG＝ ab a＋b 又 EG＝ ab a＋b ，∴EG＝FG 26．（江苏模拟）用一块边长为 20cm 的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下 一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所 示）． （1）试说明方案一、方案四不可行； （2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线长及其底面圆 的半径；如果不可行，请说明理由． 解：（1）设圆的半径为 r 方案一：∵扇形的弧长＝20× π 2 ＝10π，∴圆的半径应为 5cm 又∵r＋ 2 r＋20＝20 2 ，∴r＝(60－40 2)cm ∵60－40 2＜5 ，∴方案一不可行 方案一 方案二 方案三 方案四 C A BO D E F G 方案四：∵扇形的弧长＝20× π 3 ＝20 3 π，∴圆的半径应为 10 3 cm 又∵ 1 2 ×10×r＋ 1 2 ×10 3×r＋ 1 2 ×20×r＝ 1 2 ×10×10 3，∴r＝(5 3－5)cm ∵10 3 ＜5 3－5，∴方案四不可行 （2）方案二、方案三可行 显然，方案二铁皮的利用率最大 设圆锥的母线长为 l cm，底面圆的半径为 r cm，则： r＋ 2r＋l＝ 2a ① 2πr＝90πl 180 ② 由①②得：l＝400 2－160 23 ，r＝100 2－40 23 故所求圆锥的母线长为 400 2－160 23 ，底面圆的半径为 100 2－40 23 ····························10 分 27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为 18cm、圆心角是 60°的扇形 OAB 剪去一半径为 12cm 的同心圆扇形 OCD 所围成的（不计接缝）． （1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）； （2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图 2 所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？ （3）如图 3，若在一张半径为 18cm 的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？ 解：（1）设纸杯底面半径为 r 依题意，2πr＝60×2π×12 360 ，∴r＝2（cm） S 侧 ＝60×π 360 (OA 2－OB 2)＝ π 6 (182－122)＝30π（cm2） （2）连接 AB，过 O 作 OE⊥CD，交弧 AB 于 F ∵OA＝OB，∠AOB＝60° ∴△AOB 是等边三角形，∴AB＝OA＝18 同理，△COD 也是等边三角形 ∴∠DCO＝∠BAO，∴AB∥CD ∴AB 即为长方形的长 A C O B D 60° 图 2 A C O B D 60° 图 1 （1） （2） 图 3 A C O B D 60° F E ∵OC＝12，OE⊥CD，∴CE＝DE＝6 ∴OE＝6 3，∴EF＝18－6 3 即所需矩形纸片的长至少为 18cm，宽至少为 18－6 3cm （3）∵扇形 OAB 的圆心角为 60° ∴在以 O 为圆心，18cm 为半径的大圆和以 12cm 为半径的小圆组成的圆环中可剪出 6 个圆环（即小纸杯 的侧面），如图 剩下的一个半径 12cm 的圆中可按照如下方法剪圆环： 作正六边形 DEFGHI，显然边长为 12cm，将 DE、FG、HI 两边延长，相交于点 A、B、C 以 A、B、C 为圆心，18cm 为半径画弧，三条弧相切于 DE、FG、HI 的中点，显然又可剪 3 个， 故最多可剪出 9 个纸杯的侧面 28．（江苏模拟）如图，⊙M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴交于点 A（2－ 3，0）、点 B（2＋ 3，0），D 是劣 弧AB ︵ 上一点，且AD ︵ ＝ 1 2 BD ︵ （1）求⊙M 的半径； （2）P 是⊙M 上一个动点，如果以 P、A、D、B 为顶点的四边形 是梯形，求∠PAD 的度数． 解：（1）如图 1，作 ME⊥x 轴于 E，连接 MD ∵A（2－ 3，0）、点 B（2＋ 3，0） ∴E（2，0），AB＝2 3，∴AE＝BE＝ 3 即点 M 的横坐标为 2 ∵⊙M 与 y 轴相切于点 C ∴MC＝2，即⊙M 的半径为 2 （2）连接 MA、MB，则 MA＝MB＝2 ∴在 Rt△MAE 中，∴∠AME＝60° ∴∠AMB＝120° ∵D 是劣弧AB ︵ 上一点，且AD ︵ ＝ 1 2 BD ︵ ∴∠AMD＝40° 若以 P、A、D、B 为顶点的四边形是梯形 ①当 PD∥BA 时，如图 2 则 ME⊥DP，∠DMP＝2∠DME ∵∠AME＝60°，∠AMD＝40° ∴∠DME＝20°，∴∠DMP＝40° ∴∠PAD＝20° A C E B D F G H I O A C B D A C D B M O y xE 图 1 A C D B M O y xE 图 2 P A C D B M O y x ②当 PA∥BD 时，如图 3 则∠PAD＋∠ADB＝180° ∵∠AMB＝120°，∴∠ADB＝120° ∴∠PAD＝60° ③当 PB∥AD 时，如图 4 则∠PAD＋∠APB＝180° ∵∠AMB＝120°，∴∠APB＝60° ∴∠PAD＝120° 29．（山东莱芜）已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2 3，∠A＝60°，以点 D 为圆心的⊙D 与边 AB 相切 于点 E． （1）求证：⊙D 与边 BC 也相切； （2）设⊙D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）⊙D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当 S△HDF ＝ 3S△MDF 时，求动点 M 经过的弧 长（结果保留π）． （1）证明：连接 DE，过点 D 作 DN⊥BC 于 N ∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC ∵边 AB 与⊙D 相切于点 E，∴DE⊥AB ∴DN＝DE ∴⊙D 与边 BC 也相切 （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝AB＝2 3 ∵∠A＝60°，∴DE＝AD·sin60°＝3 即⊙D 的半径是 3 又∵∠HDF＝ 1 2 ∠CDA＝60°，DH＝DF，∴△HDF 是等边三角形 过 H 作 HG⊥DF 于 G，则 HG＝3×sin60°＝3 3 2 ∴S△HDF ＝ 1 2 ×3×3 3 2 ＝9 3 4 ，S 扇形 HDF ＝60×π×32 360 ＝3π 2 ∴S 阴影 ＝S 扇形 HDF － S△HDF ＝3π 2 － 9 3 4 ＝6π－9 3 4 （3）假设点 M 运动到点 M1 时，满足 S△HDF ＝ 3S△M1DF 过点 M1 作 M1P⊥DF 于 P，则 9 3 4 ＝ 3× 1 2 ×3×M1P ∴M1P＝ 3 2 ，∴∠FDM1＝30° D C BA E M H F A C D B M O y xE 图 3 P A C D B M O y xE 图 4 P D C BA E M H F N G D C BA M1 H F M2 P 此时点 M 经过的弧长为：l1＝30×π×3 180 ＝ π 2 过点 M1 作 M1M2∥DF 交⊙D 于点 M2，则满足 S△HDF ＝ 3S△M1DF ＝ 3S△M2DF 此时∠FDM2＝150°，点 M 经过的弧长为：l,2＝150×π×3 180 ＝5π 2 综上所述，当 S△HDF ＝ 3S△MDF 时，动点 M 经过的弧长为 π 2 或 5π 2 30．（山东日照）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），点 M（4，4），直线 y＝－ 3 4 x＋b 过点 M， 分别交 x 轴、y 轴于 B、C 两点，以点 A 为圆心，AM 为半径作⊙A． （1）⊙M 的半径为_________，b＝_________； （2）判断直线 BC 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）若 EF 切⊙A 于点 F，分别交线段 AB、BC 于点 G、E，且 FE⊥BC，求 FG EG 的值． （4）若点 P 在⊙A 上，点 Q 是 y 轴上一点且在点 C 下方，当△PQM 为等腰直角三角形时，直接写出点 Q 的坐标． （1）5 7 （2）直线 BC 与⊙A 相切 理由如下： 对于 y＝－ 3 4 x＋7，当 x＝0 时，y＝7；当 y＝0 时，x＝28 3 ∴B（28 3 ，0），C（0，7），∴OB＝28 3 ，OC＝7 连接 AM，过 M 作 MH⊥x 轴于 H 则 AH＝3，BH＝28 3 －4＝16 3 ，MH＝4 ∴ AH MH ＝ MH BH ＝ 3 4 又∠AHM＝∠MHB＝90°，∴△AMH∽△MBH ∴∠MAH＝∠BMH ∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠AMH＋∠BMH＝90° 即 AM⊥BC ∴直线 BC 与⊙A 相切 BA M O x y C H C A B M O x y C A B M O x y 备用图 C A B M O x y 备用图 （3）连接 AM，AF ∵EF 切⊙A 于点 F，∴∠AFG＝90° 又∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴四边形 AFEM 是矩形 ∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC ∴∠GAF＝∠CBO ∴FG＝AF·tan∠GAF＝AF·tan∠CBO＝5× 3 4 ＝15 4 ∴EG＝EF－FG＝5－15 4 ＝ 5 4 ，∴ FG EG ＝3 （4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－ 41） 提示： ①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ ∵M（4，4），∴∠MOB＝45° 由对称性知，M、P 两点关于 x 轴对称 ∴点 Q 与原点 O 重合 ∴Q（0，0） ②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP 作 MH⊥x 轴于 H，MG⊥y 轴于 G，则 MG＝MH，∠GMH＝90° ∴∠GMQ＝∠HMP＝90°－∠QMH ∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝90° ∴点 P 在 x 轴的正半轴上，即点 P 是⊙A 与 x 轴正半轴的交点 ∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2 ∴Q（0，2） ③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ 设 P（m，n），Q（0，t），分两种情况： i）若点 P 在 y 轴右侧的⊙A 上 作 PG⊥y 轴于 G，MH⊥PG 于 H，则△PGQ≌△MHP，得： m－4＝n－t ① 4－n＝m ② (m－1)2＋n 2＝5 2 ③ 由②、③解得 m＝5－ 41 2 n＝3＋ 41 2 （舍去） m＝5＋ 41 2 n＝3－ 41 2 把 m＝5＋ 41 2 ，n＝3－ 41 2 代入①，得 t＝3－ 41 ∴Q（0，3－ 41） ii）若点 P 在 y 轴左侧的⊙A 上，则： 4－m＝n－t ④ 4－n＝－m ⑤ (m－1)2＋n 2＝5 2 ⑥ 由⑤、⑥解得 m＝1 n＝5 （舍去） m＝－4 n＝0 把 m＝－4，n＝0 代入④，得 t＝－8 A M O x y P Q G H A M O x y P H Q A M O x y PH Q G A M O x y P H Q G A M O x y P (Q) C A B M O x E y F G ∴Q（0，－8） 综上所述，点 Q 的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－ 41） 31．（陕西某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点 A（－ 3，0），点 B（－2 3，1），连接 AB，将 线段 AB 向右平移，得到线段 A′B′，设 A′（t，0）． （1）若在 y 轴上始终存在点 P，使得∠A′PB′＝90°，求 t 的取值范围； （2）若在 y 轴上始终存在点 P，使得∠A′PB′＝60°，求 t 的取值范围； （3）若在 y 轴上存在三个点 P，使得∠A′PB′＝30°，求 t 的值． 解：（1）由 A（－3，0），B（－2，3），得 A′B′＝AB＝2，∠2＝∠1＝30° 当 A′B′ 在 y 轴左侧时，以 A′B′ 为直径作⊙C1 当⊙C1 与 y 轴相切于点 P 时，∠A′PB′＝90° ∴C1A′＝C1P＝ 1 2 A′B′＝1，∴OA′＝C1P－C1A′·cos30°＝1－ 3 2 ∴t1＝ 3 2 －1 当 A′B′ 在 y 轴右侧时，以 A′B′ 为直径作⊙C2 当⊙C2 与 y 轴相切于点 P 时，∠A′PB′＝90° ∴C2A′＝C2P＝ 1 2 A′B′＝1，∴OA′＝C2P＋C2A′·cos30°＝1＋ 3 2 ∴t2＝ 3 2 ＋1 ∴t 的取值范围是： 3 2 －1≤t≤ 3 2 ＋1 （2）当 A′B′ 在 y 轴左侧时，以 A′B′ 为边在 A′B′ 上方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D 的外接圆⊙C1 当⊙C1 与 y 轴相切于点 P 时，∠A′PB′＝60° 易知此时 DA′⊥x 轴，∴C1P⊥DA′ ∴C1A′＝C1P＝ 1 2 A′B′ cos30° ＝2 3 3 ，OA′＝ 1 2 C1P＝ 3 3 ∴t1＝－ 3 3 当 A′B′ 在 y 轴右侧时，以 A′B′ 为边在 A′B′ 下方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D 的外接圆⊙C2 当⊙C2 与 y 轴相切于点 P 时，∠A′PB′＝60° 易知此时 B′D⊥x 轴，∴C2P⊥B′D，点 C2 在 x 轴正半轴上，点 P 与原点 O 重合 O y xA B O y xA′ B′ C2 (P) D O y x C1 A′ B′ P D O y x C2 A′ B′ P O y x C1 A′ B′ P A B 21 ∴OA′＝ A′B′ cos30° ＝4 3 3 ∴t2＝4 3 3 ∴t 的取值范围是：－ 3 3 ≤t≤4 3 3 （3）以 A′B′ 为边分别在 A′B′ 上方和下方作等边△A′B′C1 和等边△A′B′C2，分别以 C1、C2 为圆心，A′B′ 长 为半径作⊙C1 和⊙C2 当 A′B′ 在 y 轴左侧时，若⊙C1 与 y 轴相交于点 P1、P2，⊙C2 与 y 轴相切于点 P3，则在 y 轴上存在三个点 P， 使得∠A′PB′＝30° 易知此时 B′C2⊥x 轴，C2P3＝C2A′＝A′B′＝2 ∴OA′＝C2P3－C2A′·cos30°＝2－ 3 ∴t1＝ 3－2 当 A′B′ 在 y 轴右侧时，若⊙C1 与 y 轴相切于点 P1，⊙C2 与 y 轴相交于点 P2、P3，则在 y 轴上存在三个点 P， 使得∠A′PB′＝30° 易知此时 B′C2⊥x 轴，OA′＝C1P1＝C1A′＝A′B′＝2 ∴t2＝2 32．（陕西模拟）如图，直线 l1、l2 相交于点 O，∠l1Ol2＝60°，长为 2 的线段 AB 在直线 l2 上从右向左移动， 点 P 是直线 l1 上一点，且∠APB＝30°． （1）请在图中作出符合条件的点 P（不写画法，保留作图痕迹）； （2）当 OA 的长为多少时，符合条件的点 P 有且只有一个？请说明理由； （3）是否存在符合条件的点 P 有三个的情况？若存在，求出 OA 的长；若不存在，请说明理由． l1l1 O y x C1 A′ B′ C2 P3 P2 P1 O y xA B C1 A′ B′ C2 P3 P2 P1 解：（1）如图（以 AB 为边在 x 轴上方作等边三角形 ABC，以 C 为圆心，AB 长为半径作圆，与直线 l1 有 两个交点 P1、P2，则 P1、P2 是符合条件的点） （2）当 A 在 O 的右侧，OA＝ 4 3 3 或 A 在 O 的左侧，OA＝ 4 3 3＋2 时符合条件的点 P 有且只有一个 理由如下： 当直线 l1 与⊙C 相切于点 P，且 A 在 O 的右侧时，则∠APB＝30° 连接 CP，过 A 作 AD⊥l1 于 D 则 AD＝CP＝2，∴OA＝ AD sin60° ＝ 4 3 3 当直线 l1 与⊙C 相切于点 P，且 A 在 O 的左侧时，则∠APB＝30° 连接 CP，过 B 作 BE⊥l1 于 E 则 BE＝CP＝2，∴OB＝ BE sin60° ＝ 4 3 3 ∴OA＝ 4 3 3＋2 （3）存在 当 A 在 O 的右侧，OA＝ 4 3 3－2 或 A 在 O 的左侧，OA＝ 4 3 3 时， 符合条件的点 P 有三个 当直线 l1 与⊙C1 相交于点 P1、P2，与⊙C2 相切于点 P3 时 连接 C2P3，过 O 作 OF⊥BC2 于 F 则 OF＝C2P3＝2，∴OB＝ BE sin60° ＝ 4 3 3 ∴OA＝ 4 3 3－2 当直线 l1 与⊙C1 相切于点 P1，与⊙C2 相交于点 P2、P3 时 连接 C1P1，过 A 作 AG⊥l1 于 G 则 AG＝C1P1＝2，∴OA＝ AG sin60° ＝ 4 3 3 A B C O P l1 l2 D A B C O P1 P2 l1 l2 A B O P l1 l2 C E l1 l2 C1 C2 P1P2 P3 G BA O l1 l2 C1 C2 P1 P2 P3 F BA O 33．（陕西模拟）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，点 P 是⊙O 上的任意一点（不与 A、B、C 重合），⊙P 在 △ABC 的外部且与△ABC 相邻的一边相切，⊙P 称为△ABC 的“卫星圆”．过与 P 相邻的△ABC 的两个 顶点作⊙P 的切线交于 S，两切线和与⊙P 相切的一边组成的三角形称为△ABC 的“卫星三角形”（如图 1 中的△SAC）． （1）如图 1，若△ABC 为等边三角形，⊙O 的半径为 r． ①∠S 的大小是否发生变化，若无变化，求∠S 的大小，若有变化，说明变化趋势； ②当点 P 在劣弧 AC 上运动时，⊙P 与边 AC 相切于 D 点，设 AD＝x，⊙P 的半径为 y，求 y 关于 x 的函数 关系式； （2）如图 2，若△ABC 中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O 的半径为 r，点 P 在优弧 AB 上，⊙P 与直线 AB 相切（切点不是 A、B），求“卫星三角形”的面积最大值． 解：（1）①∠S 的大小不变 连接 PA、PC ∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝60° ∴∠APC＝120° 在△APC 中，∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA) ＝180°－ 1 2 (∠SAC＋∠SCA) ＝180°－ 1 2 (180°－∠S) ＝90°＋ 1 2 ∠S ∴90°＋ 1 2 ∠S＝120°，∴∠S＝60° ∴∠S 的大小不变，始终等于 60° ②连接 OC、OP、PD，作 OM⊥AC 于 M，ON⊥PD 于 N 则四边形 OMDN 是矩形，∴DN＝OM，ON＝DM ∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCM＝30° ∴OM＝ 1 2 r，AM＝CM＝ 3 2 r 当 x＜ 3 2 r 时，ON＝ 3 2 r－x，PN＝y＋ 1 2 r 在 Rt△ONP 中，ON 2＋PN 2＝OP 2 ∴( 3 2 r－x)2＋(y＋ 1 2 r)2＝r 2 P B A C O S 图 1 D A C B O 图 2 P B A C O S D P B A C O S D M N P B A C O S D MN ∴y＝ －x2＋ 3r＋ 1 4 r2 － 1 2 r 当 3 2 r≤x＜ 3r 时，ON＝x－ 3 2 r，PN＝y＋ 1 2 r 同理可得 y＝ －x2＋ 3r＋ 1 4 r2 － 1 2 r 综上，y＝ －x2＋ 3r＋ 1 4 r2 － 1 2 r （2）当 P 点运动到优弧 AB 中点时，⊙P 的半径最大，从而“卫星三角形”的面积最大 分别过点 A、B 作⊙P 的切线交于 S，则△SAB 是△ABC 的“卫星三角形” 连接 PA、PB、OA、OC，设 OC 与 AB 相交于点 D ∵AC＝BC，∴OC⊥AB，AD＝BD ∵∠ACB＝120°，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60° ∵OA＝OC，∴△OAC 是等边三角形 ∴∠OAD＝30°，AD＝ 3 2 r，∴AB＝ 3r ∵∠ACB＝120°，∴∠P＝60°，△PAB 是等边三角形 ∵SA、AB 是⊙P 的切线，∴∠PAE＝∠PAB＝60° ∴∠SAB＝60° 同理，∠SBA＝60°，∴△SAB 是等边三角形 ∴S△SAB ＝ 3 4 AB2＝3 3 4 r2 即“卫星三角形”面积的最大值为 3 3 4 r2 34．（江西）已知纸片⊙O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作． （1）如图 2，当折叠后的AB ︵ 经过圆心 O 时，求AB ︵ 的长； （2）如图 3，当弦 AB＝2 时，求折叠后AB ︵ 所在圆的圆心 O′ 到弦 AB 的距离； （3）在图 1 中，再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作． ①如图 4，当 AB∥CD，折叠后的CD ︵ 与AB ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和为 d，求 d 的值； ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的CD ︵ 与AB ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点．试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论． 图 2 B A OO B A 图 1 图 3 O B A O′ A C B O P D S E O A B C D P A B D OP M C N 解：（1）如图 1，过点 O 作 OE⊥AB 交⊙O 于点 E，连接 OA、OB、AE、BE ∵点 E 与点 O 关于 AB 对称，∴△OAE、△OBE 为等边三角形 ∴∠OEA＝∠OEB＝60° ∴AB ︵ 的长为：120π×2 180 ＝4π 3 （2）如图 2，连接 O′A、O′B ∵AB ︵ 折叠前后所在的圆⊙O 与⊙O′ 是等圆 ∴O′A＝O′B＝OA＝AB＝2 ∴△AO′B 为等边三角形 ∴O′E＝O′B·sin60°＝ 3 （3）①如图 3，当CPD ︵ 与APB ︵ 所在圆外切于点 P 时 过点 O 作 EF⊥AB 交AEB ︵ 于点 E，交CFD ︵ 于点 F ∵AB∥CD，∴EF 垂直平分 CD，且必过点 P 根据垂径定理及折叠，可知 PH＝ 1 2 PE，PG＝ 1 2 PF 又∵EF＝4，∴点 O 到 AB、CD 的距离之和 d 为： d＝PH＋PG＝ 1 2 PE＋ 1 2 PF＝ 1 2 (PE＋PF)＝2 ②如图 4，当 AB 与 CD 不平行时 四边形 OMPN 是平行四边形 证明如下： 设 O′、O″ 为APB ︵ 和CPD ︵ 所在圆的圆心 ∵O′ 与 O 关于 AB 对称，O″ 与 O 关于 CD 对称 ∴M 为 OO′ 的中点，N 为 OO″ 的中点 ∵CPD ︵ 与APB ︵ 所在圆外切，∴连心线 O′O″ 必过切点 P ∵CPD ︵ 与APB ︵ 所在圆与⊙O 都是等圆 ∴O′P＝O″P＝2 ∴PM＝ 1 2 OO″＝ON，PM∥OO″，也即 PM∥ON ∴四边形 OMPN 是平行四边形 35．（江西南昌）已知纸片⊙O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作． （1）①折叠后的AB ︵ 所在圆的圆心为 O′ ，求 O′A 的长度； ②如图 2，当折叠后的AB ︵ 经过圆心 O 时，求AOB ︵ 的长度； ③如图 3，如图 3，当弦 AB＝2 时，求圆心 O 到弦 AB 的距离； （2）在图 1 中，再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作． ①如图 4，当 AB∥CD，折叠后的AB ︵ 与CD ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和 为 d，求 d 的值； O A B 图 3 C D P E H G F A B 图 4 D OP O′ O″ N M C 图 1 B A OE 图 2 O B A O′ E ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的AB ︵ 与CD ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点．试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论． 解：（1）①∵折叠后的 AB ︵ 所在圆 O′ 与⊙O 是等圆 ∴O′A＝OA＝2 ②当AB ︵ 经过圆心 O 时，折叠后的AB ︵ 所在圆的圆心 O′ 在⊙O 上 如图 2，连接 O′A、OA、O′B、OB、O′O ∵△OO′A、△OO′B 为等边三角形 ∴∠AO′B＝∠AO′O＋∠BO′O＝60°＋60°＝120° ∴AOB ︵ 的长度为：120π×2 180 ＝4π 3 ③如图 3，连接 OA、OB ∵OA＝OB＝AB＝2，∴△AOB 为等边三角形 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E ∴OE＝OA·sin60°＝ 3 （2）①如图 4，当折叠后的AB ︵ 与CD ︵ 所在圆外切于点 P 时 过点 O 作 EF⊥AB 交 AB 于点 H，交AEB ︵ 于点 E，交 CD 于点 G，交CFD ︵ 于点 F 即点 E、H、P、O、G、F 在直径 EF 上 ∵AB∥CD，∴EF 垂直平分 AB 和 CD 根据垂径定理及折叠，可知 PH＝ 1 2 PE，PG＝ 1 2 PF 又∵EF＝4，∴点 O 到 AB、CD 的距离之和 d 为： d＝PH＋PG＝ 1 2 PE＋ 1 2 PF＝ 1 2 (PE＋PF)＝2 ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行时 四边形 OMPN 是平行四边形 证明如下： 设 O′、O″ 为APB ︵ 和CPD ︵ 所在圆的圆心 ∵点 O′ 与点 O 关于 AB 对称，点 O″ 与点 O 关于 CD 对称 图 2 B A OO B A 图 1 图 3 O B A O A B 图 4 C D P A B 图 5 D OP M C N O A B 图 4 C D P E H G F A B D OP O′ O″ N M C 图 2 B A OO′ 图 3 O B A E ∴点 M 为 OO′ 的中点，点 N 为 OO″ 的中点 ∵折叠后的APB ︵ 与CPD ︵ 所在圆外切，∴连心线 O′O″ 必过切点 P ∵折叠后的APB ︵ 与CPD ︵ 所在圆与⊙O 是等圆 ∴O′P＝O″P＝2，∴PM＝ 1 2 OO″＝ON，PM∥ON ∴四边形 OMPN 是平行四边形 36．（青海西宁）如图（1），AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，若直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AD⊥CD， 垂足为 D． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）如果把直线 CD 向下平行移动，如图（2），直线 CD 交⊙O 于 C、G 两点，若题目中的其他条件不变， 且 AG＝4，BG＝3，求 tan∠DAC 的值． （1）证明：连接 OC ∵DC 与⊙O 相交于点 C，OC 是⊙O 的半径 ∴DC⊥OC 又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠DCO＝90° ∴AD∥OC，∴∠2＝∠3 ∵OA＝OC，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠3 ∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB＝90° 在△ADC 与△ACB 中 ∵∠1＝∠3，∠ACB＝∠ADC＝90° ∴△ADC∽△ACB （2）解：∵四边形 ABGC 是圆内接四边形 ∴∠B＋∠ACG＝180°，∴∠ACG＋∠ACD＝180° ∴∠B＝∠ACD ∵∠AGB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠GAB 在 Rt△GAB 中，tan∠GAB＝ GB AG ＝ 3 4 ∴tan∠DAC＝ 3 4 37．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，AD⊥EC 于点 D 且交⊙O 于点 F，连接 BC，CF，AC． （1）求证：BC＝CF； （2）若 AD＝6，DE＝8，求 BE 的长； （3）求证：AF＋2DF＝AB． （1）证明：连接 OC，∵ED 切⊙O 于点 C，∴OC⊥ED ∵AD⊥EC，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD O C F E A B D O C A B D 图（2） G O C A B D 图（1） O C A B D G O C A B D 2 1 3 又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA ∴∠OAC＝∠CAD。∴BC ︵ ＝CF ︵ ，∴BC＝CF （2）在 Rt△ADE 中，∵AD＝6，DE＝8 根据勾股定理得 AE＝10 ∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴ EO EA ＝ OC AD 设⊙O 的半径为 r，∴OE＝10－r ∴ 10－r 10 ＝ r 6 ，∴r＝ 15 4 ∴BE＝10－2r＝ 5 2 （3）证明：过点 C 作 CG⊥AB 于点 G ∵∠OAC＝∠CAD，AD⊥EC，∴CG＝CD 又∵AC＝AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC ∴AG＝AD 又∵BC＝CF，∴Rt△CGB≌Rt△CDF，∴GB＝DF ∵AG＋GB＝AB，∴AD＋DF＝AB ∴AF＋2DF＝AB 38．（黑龙江大庆）已知半径为 1cm 的圆，在下面三个图中 AC＝10cm，AB＝6cm，BC＝8cm，在图 2 中 ∠ABC＝90°． （1）如图 1，若将圆心由点 A 沿 A→C 方向运动到点 C，求圆扫过的区域面积； （2）如图 2，若将圆心由点 A 沿 A→B→C 方向运动到点 C，求圆扫过的区域面积； （3）如图 3，若将圆心由点 A 沿 A→B→C→A 方向运动回到点 A． 则Ⅰ）阴影部分面积为_____________；Ⅱ）圆扫过的区域面积为_____________． 解：（1）圆经过的区域可分为两个半圆和一个矩形，面积为 10×2＋π×12＝20＋π （2）仿照（1）A 到 B 的过程中圆扫过的面积为 6×2＋π×12＝12＋π B 到 C 的过程中圆扫过的面积为 8×2＋π×12＝16＋π 圆中阴影部分被计算了两次 所以此圆经过的区域面积为 12＋π＋16＋π－1－3π 4 ＝27＋5π 4 （3）6；42＋π B C 图 3 A A C 图 1 B C 图 2 A O C F E A B D G 39．（辽宁鞍山）如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝4，过圆心 O 的直线垂直 AB 于点 D，交⊙O 于点 C 和点 E， 连接 AC、BC、OB，cos∠ACB＝ 1 3 ，延长 OE 到点 F，使 EF＝2OE． （1）求⊙O 的半径； （2）求证：BF 是⊙O 的切线． （1）解：∵CE 是⊙O 的直径，CE⊥AB ∴BD＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×4＝2，∠BOD＝∠ACB ∵cos∠ACB＝ 1 3 ，∴在 Rt△BOD 中，cos∠BOD＝ OD OB ＝ 1 3 设 OD＝x ，则 OB＝3x ∵OB 2＝OD 2＋BD 2，∴9x2＝x2＋22 解得：x1＝ 2 2 ，x2＝－ 2 2 （舍去） ∴OB＝3x＝3 2 2 ，即⊙O 的半径为 3 2 2 （2）证明：∵EF＝2OE，OE＝OB ∴OF＝3OB，∴OB OF ＝ 1 3 ∵ OD OB ＝ 1 3 ，∴ OD OB ＝ OB OF 又∵∠BOD＝∠FOB，∴△BOD∽△FOB ∴∠OBF＝∠ODB＝90°，∴OB⊥BF ∵OB 为⊙O 的半径，BF 是⊙O 的切线 40．（四川成都）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE＝GE； （2）若 KG 2＝KD·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE＝ 3 5 ，AK＝2 5，求 FG 的长． 解：（1）连接 OG ∵EF 为⊙O 的切线，∴OG⊥EF ∴∠OGA＋∠KGE＝90° ∵CD⊥AB，∴∠OAG＋∠HKA＝90° ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG ∴∠KGE＝∠HKA，∴KE＝GE （2）AC 与 EF 的位置关系是 AC∥EF 理由如下： 连接 DG O G D E AC B F H K O C F E A BD O G D E AC B F H K ∵KG 2＝KD·GE＝KD·KE，∴ KG KD ＝ KE KG ∵∠DKG＝∠GKE，∴△KDG∽△KGE ∴∠AGD＝∠E 又∵在⊙O 中，∠AGD＝∠ACD ∴∠E＝∠ACD，∴AC∥EF （3）∵∠ACH＝∠E，∴sin∠ACH＝sinE＝ 3 5 在 Rt△ACH 中，设 AH＝3t，则 AC＝5t，CH＝4t 由 AC∥EF，易得△ACK 是等腰三角形，CK＝AC＝5t ∴HK＝CK－CH＝t 在 Rt△AHK 中，由勾股定理得 AH 2＋HK 2＝AK 2 即(3t)2＋t 2＝(2 5)2，解得 t＝ 2 ∴AH＝3 2，CA＝CK＝5 2 连接 BC 由△ACH∽△ABC，得 AC 2＝AH·AB（或由射影定理得） ∴AB＝ AC 2 AH ＝ (5 2 )2 3 2 ＝25 2 3 在 Rt△EFH 中，由 sinE＝ 3 5 可得 tanF＝ 4 3 在 Rt△OFG 中，tanF＝ OG FG ＝ 4 3 ∴FG＝ 3 4 OG＝ 3 8 AB＝25 2 8 41．（成都某校自主招生）如图，以△ABC 的 BC 边为直径作⊙O，分别交 AC、AB 于 E、F 两点，过 A 作 ⊙O 的切线，切点为 D，且点 E、F 为劣弧CD ︵ 的三等分点． （1）求证：AD∥BC； （2）求∠DAC 的大小． （1）证明：连接 BD、BE、OD、DF，设⊙O 的半径为 r，EC 长为 l ∵BC 是⊙O 的直径，∴BE⊥AC ∵E、F 为劣弧CD ︵ 的三等分点，∴∠ABE＝∠CBE ∴△ABC 是等腰三角形，∴AB＝BC＝2r，AE＝EC＝l ∵E、F 为劣弧CD ︵ 的三等分点，∴DF＝EC＝l ∵AD、AC 分别是⊙O 的切线和割线 ∴AD 2＝AE·AC，∴AD＝ 2l ∵∠ADF＝∠ABD，∠DFA＝∠BDA ∴△ADF∽ABD，∴ AD DF ＝ AB BD ，得 BD＝ 2r ∴BD 2＝OB 2＋OD 2，∴∠BOD＝90° ∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ADO＝90° B O A C E F D B O A C E F D ∴AD∥BC （2）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴∠DBO＝45° ∵∠DBF＝∠FBE＝∠EBC，AD∥BC ∴∠DAB＝∠ABC＝30° ∵AB＝BC，∴∠BAC＝75° ∴∠DAC＝105° 42．（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点 B（－1－ 3，0），C（1＋ 3，0），△ABC 的内切圆 的圆心是 I（－1，1），求△ABC 的面积． 解：设⊙I 切 BC 边于点 D，连接 IB、IC、ID，则 ID＝OD＝1 ∵B（－1－ 3，0），C（1＋ 3，0），∴BD＝ 3，DC＝2＋ 3，BC＝2＋2 3 ∴tan∠IBD＝ ID BD ＝ 1 3 ＝ 3 3 ，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60° 过 I 作 IE∥AC，交 DC 于 E，则∠IED＝∠ACB＝2∠ICD ∴∠EIC＝∠ECI，IE＝EC 设 IE＝x，则 EC＝x，DE＝2＋ 3－x 在 Rt△IDE 中，IE 2＝ID 2＋DE 2 ∴x2＝12＋(2＋ 3－x)2，解得 x＝2 ∴∠IED＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠A＝90° ∴AB＝ 1 2 BC，AC＝ 3 2 BC S△ABC ＝ 1 2 AB·AC＝ 3 8 BC 2＝ 3 8 (2＋2 3)2＝3＋2 3 43．（四川德阳）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，CH⊥AB 于点 H，过点 B 作⊙O 的切线交 直线 AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交 AB 的延长线于 G． （1）求证：FC＝FB； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB＝FE＝2，求⊙O 的半径． （1）证明：连接 BC ∵AB 是⊙O 的直径，BD 是切线，∴BD⊥AB 又∵CH⊥AB，∴CH∥BD ∴△ACE∽△ADF，△AEH∽△AFB BA C H D E F GO C I OB x y A C I OB x y A D E ∴ CE DF ＝ AE AF ＝ EH FB ∵点 E 为 CH 的中点，∴CE＝EH ∴DF＝FB ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠DCB＝90° 在 Rt△BCD 中，F 是斜边 BD 的中点 ∴FC＝FB （2）连接 OC ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC ∵FC＝FB，∴∠FBC＝∠FCB ∵BD⊥AB，∴∠OBC＋∠FBC＝90° ∴∠OCB＋∠FCB＝90°，即∠OCG＝90° ∵OC 是半径，∴CG 是⊙O 的切线 （3）过点 F 作 FK⊥CH 于点 K ∵FB＝FC，FB＝FE，∴FC＝FE ∴CK＝EK，∴CE＝2EK ∵CE＝EH，∴EH＝2EK ∵FK⊥CH，AH⊥CH，∴FK∥AH ∴△AEH∽△FEK，∴ AE FE ＝ EH EK ＝2 ∵FE＝2，∴AE＝2FE＝4，∴AF＝AE＋FE＝6 在 Rt△AFB 中，AB＝ AF 2－FB 2 ＝ 62－22 ＝4 2 ∴⊙O 的半径为 2 2 44．（四川广安）如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N， 点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP． （1）求证：直线 CP 是⊙O 的切线． （2）若 BC＝2 5，sin∠BCP＝ 5 5 ，求点 B 到 AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长． （1）证明：连接 AN ∵∠ABC＝∠ACB，∴且 AB＝AC ∵AC 是⊙O 的直径，∴AN⊥BC ∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN ∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠CAN＝∠BCP ∵∠CAN＋∠ACN＝90°，∴∠BCP＋∠ACN＝90° ∴CP 是⊙O 的切线 （2）解：过点 B 作 BD⊥AC 于点 D O N A C B M P BA C H D K F GO E 由（1）得 BN＝CN＝ 1 2 BC＝ 5 ∵AN⊥BC，∴sin∠CAN＝ CN AC 又∵∠CAN＝∠BCP，sin∠BCP＝ 5 5 ∴CN AC ＝ 5 5 ，∴AC＝5 在 Rt△CAN 中，AN＝ AC 2－CN 2 ＝2 5 在△CAN 和△CBD 中 ∠ANC＝∠BDC＝90° ∠ACN＝∠BCD ∴△CAN∽△CBD ∴ AN BD ＝ AC BC ，∴ 2 5 BD ＝ 5 2 5 ，∴BD＝4 即点 B 到 AC 的距离为 4 （3）在 Rt△BCD 中，CD＝ BC 2－BD 2 ＝2 ∴AD＝AC－CD＝5－2＝3 ∵BD∥CP，∴ BD CP ＝ AD AC ，∴ 4 CP ＝ 3 5 ，∴CP＝20 3 在 Rt△APC 中，AP＝ AC 2＋CP 2 ＝25 3 因此，△ACP 的周长为：AC＋CP＋AP＝20 45．（四川泸州）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，C 是AD ︵ 的中点，弦 CE⊥AB 于点 H，连接 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q，连接 BD． （1）求证：P 是线段 AQ 的中点； （2）若⊙O 的半径为 5，AQ＝15 2 ，求弦 CE 的长． （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CE⊥AB，∴AC ︵ ＝AE ︵ 又∵C 是AD ︵ 的中点，∴AC ︵ ＝CD ︵ ，∴AE ︵ ＝CD ︵ ∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° ∴∠PCO＝90°－∠ACP，∠CQP＝90°－∠CAP ∴∠PCQ＝∠CQP，∴PC＝PQ ∴PA＝PQ，即 P 是 AQ 的中点 （2）解：∵AC ︵ ＝CD ︵ ，∴∠CAQ＝∠ABC 又∵∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA ∴ AC BC ＝ AQ AB ＝ 15 2 10 ＝ 3 4 O Q A C B D E P H O N A C B M P D 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝ AC BC ＝ 3 4 又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8，根据直角三角形面积公式，得 AC·BC＝AB·CH，∴6×8＝10CH，∴CH＝ 24 5 又 CH＝HE，∴CE＝2CH＝ 48 5 46．（四川宜宾）如图，⊙O1、⊙O2 相交于 P、Q 两点，其中⊙O1 的半径 r1＝2，⊙O2 的半径 r2＝ 2．过 点 Q 作 CD⊥PQ，分别交⊙O1 和⊙O2 于点 C、D，连接 CP、DP，过点 Q 任作一直线 AB 交⊙O1 和⊙O2 于点 A、B，连接 AP、BP、AC、DB，且 AC 与 DB 的延长线交于点 E． （1）求证： PA PB ＝ 2； （2）若 PQ＝2，试求∠E 度数． （1）证明：∵CD⊥PQ，∴∠PQC＝∠PQD＝90° ∴PC、PD 分别是⊙O1、⊙O2 的直径 在⊙O1 中，∠PAB＝∠PCD 在⊙O2 中，∠PBA＝∠PDC ∴△PAB∽△PCD，∴ PA PB ＝ PC PD ＝ 2r1 r2 ＝ 2 （2）解：在 Rt△PCQ 中，∵PC＝2r1＝4，PQ=2 ∴cos∠CPQ＝ PQ PC ＝ 1 2 ，∴∠CPQ＝60° ∵在 Rt△PDQ 中，PD＝2r2＝2 2，PQ＝2 ∴sin∠PDQ＝ PQ PD ＝ 2 2 ，∴∠PDQ＝45° ∴∠CAQ＝∠CPQ＝60°，∠PBQ＝∠PDQ＝45° 又∵PD 是⊙O2 的直径，∴∠PBD＝90° ∴∠ABE＝90°－∠PBQ＝45° 在△EAB 中，∴∠E＝180°－∠CAQ－∠ABE＝75° 47．（四川资阳）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，过点 B 作 BP∥DE，交⊙O 于点 P，连接 EP、CP、OP． （1）求证：BD＝DC； （2）求∠BOP 的度数； （3）求证：CP 是⊙O 的切线． Q A C B D P E O2O1 A CB D O E P （1）证明：连接 AD ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90° ∵AB＝AC，∴BD＝DC （2）解：∵AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线 ∴∠BAD＝∠CAD，∴BD ︵ ＝DE ︵ ∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE ∵△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30° ∴∠DCE＝∠ABC＝ 1 2 (180°－30°)＝75° ∴∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°－75°－75°＝30° ∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30° ∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝75°－30°＝45° ∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB＝45° ∴∠BOP＝90° （3）过点 C 作 CH⊥AB 于点 H 则∠BHC＝∠BOP＝90°，∴PO∥CH 在 Rt△AHC 中，∵∠HAC＝30°，∴CH＝ 1 2 AC 又∵PO＝ 1 2 AB＝ 1 2 AC，∴PO＝CH ∴四边形 CHOP 是平行四边形 又∵∠BOP＝90°，∴四边形 CHOP 是矩形 ∴∠OPC＝90°，∴CP 是⊙O 的切线 48．（四川某校自主招生）如图，等腰 Rt△ABC 的直角边 AB、AC 分别与⊙O 相切于点 E、D，AD＝ 3， DC＝5，直线 FG 与 AC、BC 分别交于点 F、G，且∠CFG＝60°． （1）求阴影部分的面积； （2）设点 C 到直线 FG 的距离为 d，当 1≤d ≤4 时，试判断直线 FG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 解：（1）连接 OD、OE 则 S 阴影 ＝S 正方形 AEOD － S 扇形 EOD ＝( 3 )2－ 1 4 π( 3 )2＝3－ 3 4 π （2）设直线 FG 与⊙O 相切于点 K，连接 OF、OK ∵∠CFG＝60°，∴∠DFK＝120°，∴∠DFO＝60° ∵OD＝OE＝AD＝ 3，∴DF＝1 ∴CF＝DC－DF＝5－1＝4 过点 C 作 CH⊥FG 于 H，则 CH＝CF·sin60°＝2 3 ∴当 1≤d ＜2 3 时，直线 FG 与⊙O 相离 当 d＝2 3 时，直线 FG 与⊙O 相切 当 2 3＜d ≤4 时，直线 FG 与⊙O 相交 CA B D E F G O A CB D O E P G H CA B D E F GH K O 49．（湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，半径分别为 m、n（0＜m ＜n）的两圆⊙O1 和⊙O2 相交于 P， Q 两点，且点 P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1 与 x 轴、y 轴分别切于点 M、N，⊙O2 与 x 轴、 y 轴分别切于点 R、H． （1）求两圆的圆心 O1、O2 所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心 O1、O2 之间的距离 d； （3）令四边形 PO1QO2 的面积为 S1，四边形 RMO1O2 的面积为 S2．试探究：是否存在一条经过 P、Q 两点、 开口向下，且在 x 轴上截得的线段长为 |S1－S2| 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在， 请说明理由． 解：（1）由题意，O1（m，m），O2（n，n） 设 O1、O2 所在直线的解析式为 y＝kx＋b ∴ mk＋b＝m nk＋b＝n 解得 k＝1 b＝0 ∴所求直线的解析式为 y＝x （2）连接 O1P，∵O1（m，m），P（4，1） ∴O1P 2＝(m－4)2＋(m－1)2＝2m 2－10m＋17 又 O1P 为⊙O1 的半径，即 O1P＝m ∴O1P 2＝m2，即 2m2－10m＋17＝m 2 ∴m 2－10m＋17＝0 同理可得：n2－10n＋17＝0 ∴m、n 是一元二次方程 x 2－10x＋17＝0 的两个根 ∴m＋n＝10，mn＝17 ∵O1（m，m），O2（n，n） ∴d 2＝(m－n)2＋(m－n)2＝2(m－n)2 ＝2(m＋n)2－8mn＝2×10 2－8×17 ＝64 ∴d＝8 （3）连接 PQ 由相交两圆的性质，可知 P、Q 两点关于直线 O1O2 对称 ∴PQ⊥O1O2 ∵P（4，1），直线 O1O2 解析式为 y＝x，∴Q（1，4） ∴PQ＝ (4－1)2＋(1－4)2 ＝3 2 M H O1 R N P O2 Q y x M H O1 R N P O2 Q y x ∴S1＝ 1 2 PQ·O1O2＝ 1 2 ×3 2×8＝12 2 又 S2＝ 1 2 (O1M＋O2R)·MR＝ 1 2 (m＋n)(n－m) ＝ 1 2 (m＋n) (m＋n)2－4mn ＝ 1 2 ×10× 102－4×17 ＝20 2 ∴|S1－S2| 2d ＝|12 2－20 2| 2×8 ＝1，即抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1 假设存在这样的抛物线，其解析式为 y＝ax2＋bx＋c ∵抛物线过点 P（4，1），Q（1，4） ∴ 16a＋4b＋c＝1 a＋b＋c＝4 解得 b＝－(5a＋1) c＝4a＋5 ∴抛物线解析式为 y＝ax2－(5a＋1)x＋4a＋5 令 y＝0，得 ax2－(5a＋1)x＋4a＋5 设两根为 x1，x2，则有：x1＋x2＝5a＋1 a ，x1x2＝4a＋5 a ∵抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1，即|x1－x2|＝1 ∴(x1－x2 )2＝1，∴(x1＋x2 )2－4x1x2＝1 即(5a＋1 a )2－4(4a＋5 a )＝1，化简得：8a 2－10a＋1＝0 设两根为 a1，a2，则有：a1＋a2＝10 8 ，a1a2＝ 1 8 ∴a1＞0，a2＞0，这与抛物线开口向下（即 a ＜0）矛盾 ∴不存在这样的抛物线 50．（湖南怀化）如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点 C 是弦 AB 上任意一点（不与点 A、 B 重合），连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，连接 AD、DB． （1）当∠ADC＝18° 时，求∠DOB 的度数； （2）若 AC＝2 3，求证△ACD∽△OCB． （1）解：连接 AO，则∠OAC＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18° ∴∠DAC＝30°＋18°＝48° ∴ ∠DOB＝2∠DAC＝96° （2）证明：过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 G 在 Rt△OGB 中，OB＝4，∠OBC＝30° ∴OG＝2，GB＝2 3 ∵AC＝2 3，∴点 C 与 G 重合 ∴∠ACD＝∠BCO＝90°，OC＝2，CD＝2＋4＝6 ∴ AC OC ＝ 3＝ CD CB ，∴△ACD∽△OCB A C B D O A C B D O G 51．（湖南湘潭）如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC＝ 1 2 AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点． （1）如图 1，求证：△PCD∽△ABC； （2）当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图 2 中画出△PCD 并说明理由； （3）如图 3，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数． （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° ∵PD⊥CD，∴∠D＝90° ∴∠D＝∠ACB 又∵∠A＝∠P，∴△PCD∽△ABC （2）解：当点 P 运动到 CP 经过圆心时，△PCD≌△ABC 理由如下： 如图，∵AB、PC 是⊙O 的直径，∴AB＝PC ∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC （3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝ 1 2 AB，∴∠ABC＝30° ∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD＝∠ABC＝30° ∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴AC ︵ ＝AP ︵ ∴∠ACP＝∠ABC＝30° ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACP－∠PCD＝90°－30°－30°＝30° 52．（湖南张家界）如图，⊙O 的直径 AB＝4，C 为圆周上一点，AC＝2，过点 C 作⊙O 的切线 DC，点 P 为优弧CBA ︵ 上一动点（不与 A、C 重合）． （1）求∠APC 与∠ACD 的度数； （2）当点 P 移动到CB ︵ 的中点时，证明：四边形 ACPO 是菱形； （3）P 点移动到什么位置时，由点 A、P、C 三点构成的三角形与 △ABC 全等，请说明理由． 解：（1）∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝ 1 2 AB＝2 ∴AC＝OA＝OC，∴△ACO 为等边三角形 ∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60° ∴∠APC＝ 1 2 ∠AOC＝30° 又∵DC 与⊙O 相切于点 C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90° ∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30° A C BO 图 2 A C B D O P 图 1 A C BO 图 3 P D E A C BO D P A C BO P (D) A C BO D P （2）∵AB 为直径，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120° 当点 P 移动到 CB 的中点时，∠COP＝∠POB＝60° ∴△COP 为等边三角形， ∴AC＝CP＝OA＝OP， ∴四边形 ACPO 为菱形 （3）当点 P 与 B 重合时，△ABC 与△APC 重合，∴△ABC≌△APC 当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时，也有△ABC≌△CPA 理由如下： ∵AB、CP 都为⊙O 的直径，∴∠CAP＝∠ACB＝90° 在 Rt△ABC 和 Rt△CPA 中 AB＝CP AC＝AC ∴Rt△ABC≌Rt△CPA 53．（湖北鄂州）如图，梯形 ABCD 是等腰梯形，且 AD∥BC，O 是腰 CD 的中点，以 CD 长为直径作圆， 交 BC 于 E，过 E 作 EH⊥AB 于 H． （1）求证：OE∥AB； （2）若 EH＝ 1 2 CD，求证：AB 是⊙O 的切线； （3）若 BE＝4BH，求 BH CE 的值． （1）证明：∵等腰梯形 ABCD，∴∠B＝∠C 又 OE＝OC ∴∠1＝∠C ∴∠1＝∠B，∴OE∥AB （2）过 O 作 OG⊥AB 于 G ∵EH⊥AB，∴OG∥EH 又 OE∥AB，∴四边形 OGHE 是平行四边形 ∴EH＝OG 又 EH＝ 1 2 CD，∴OG＝ 1 2 CD ∵CD 为⊙O 直径，∴OG 是⊙O 半径 又 OG⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线 （3）连接 DE，∵DC 为直径，∴∠DEC＝90° 设 BH＝x，∵BE＝4BH，∴BE＝4x 在 Rt△BHE 中，由勾股定理得 EH＝ (4x)2－x2＝ 15x 又 EH＝ 1 2 CD，∴CD＝2 15x ∵∠B＝∠C，∴Rt△BEH∽Rt△CDE ∴ BH CE ＝ BE CD ＝ 4x 2 15x ＝ 2 15 15 54．（湖北恩施）如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E，交⊙O 于点 F，且 CE＝CB． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； A CB O D H E A C O D E F A CB O D H E G 1 （2）连接 AF，BF，求∠ABF 的度数； （3）如果 CD＝15，BE＝10，sinA＝ 5 13 ，求⊙O 的半径． （1）证明：连接 OB ∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC 又∵CD⊥OA，∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90° ∴∠OBA＋∠ABC＝90°，∴OB⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 （2）连接 OF ∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF △OAF 是等边三角形，∴∠AOF＝60° ∴∠ABF＝ 1 2 ∠AOF＝30° （3）过点 C 作 CG⊥BE 于点 G， ∵CE＝CB，∴EG＝ 1 2 BE＝5 又 Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG＝sinA＝ 5 13 ∴CE＝ EG sin∠ECG ＝13，∴CG＝ CE 2－EG 2 ＝12 又 CD＝15，CE＝13，∴DE＝2 由 Rt△ADE∽Rt△CGE，得 AD CG ＝ DE GE ∴AD＝ DE GE ·CG＝24 5 ∴⊙O 的半径为 2AD＝48 5 55．（湖北十堰）如图 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD∥AC，且∠CBD＝∠BAC，OD 交⊙O 于点 E． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形； （3）作 CF⊥AB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2）．求 FG FC 的值． （1）证明：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA＝90° ∴∠ABC＋∠BAC＝90° 又∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90° A C B O D E 图 1 A C B O D E 图 2 F G O D E CF B A O D E CF B A G O D E CF B A ∴∠ABD＝90° 又点 B 在⊙O 上，∴BD 为⊙O 的切线． （2）连接 CE、OC ∵OB＝OE＝ED，∴OD＝2OB 又∵∠OBD＝90°，∴∠ODB＝30°，∠BOE＝60° 又 AC∥OD，∴∠OAC＝60° 又 OA＝OC，∴AC＝OA＝OE ∴AC∥OE 且 AC＝OE，∴四边形 OACE 是平行四边形 又 OA＝OE，∴四边形 OACE 是菱形 （3）∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90° 又 AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB ∴△AFC∽△OBD，∴ FG BD ＝ AF AB ∴ FG FC ＝ OB AB ＝ 1 2 56．（湖北襄阳）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线 PO 交⊙于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA， 垂足为点 D，交⊙O 于点 A，延长 AO 与⊙O 交于点 C，连接 BC，AF． （1）求证：直线 PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 BC＝6，tan∠F＝ 1 2 ，求 cos∠ACB 的值和线段 PE 的长． （1）证明：连接 OB ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO＝90° ∵OA＝OB，BA⊥PO 于 D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB 又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴直线 PA 为⊙O 的切线 （2）EF 2＝4OD·OP 证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90° ∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90° ∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA ∴ OD OA ＝ OA OP ，即 OA 2＝OD·OP 又∵EF＝2OA，∴EF 2＝4OD·OP （3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝ 1 2 BC＝3 设 AD＝x，∵tan∠F＝ AD FD ＝ 1 2 ，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32 解得 x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去） ∴AD＝4，OA＝2x－3＝5 ∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC＝90° A C B O D E PF A C B O D E PF 又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝ BC AC ＝ 6 10 ＝ 3 5 ∵OA 2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25，∴PE＝10 3 57．（湖北某校自主招生）已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB ︵ 上一 点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （1）若 OE＝4，求折痕 EF 的长； （2）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长； （3）点 E 可移动的最大距离是多少？ 解：（1）设折叠后的圆弧所在圆心为 O′，连接 O′E、O′O、O′G、O′F，O′O、O′G 分别交 EF 于 M、N 则 EF 垂直平分 O′O，∠1＝∠2，OF＝O′G＝6，O′G⊥OB ∴O′E＝OE＝4，O′N＝ON ∵∠AOB＝90°，∴O′G∥AO，∴∠3＝∠1 又∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4 ∴O′N＝O′E＝4，∴ON＝4，NG＝2 ∴∠5＝60°，四边形 OEO′N 是菱形 ∴∠4＝60°，△O′EN 是等边三角形 ∴EM＝ 1 2 O′E＝2，O′M＝ 3EM＝2 3 在 Rt△O′MF 中，MF＝ O′F 2－O′M 2 ＝ 6 2－(2 3)2 ＝2 6 ∴EF＝EM＋MF＝2＋2 6 （2）若 G 是 OB 中点，则 OG＝BG＝3 设 OE＝x，则 O′N＝x，NG＝6－x 在 Rt△O′MF 中，OG 2＋NG 2＝O′N 2 ∴32＋(6－x)2＝x2，解得 x＝15 4 即 OE 的长为 15 4 过 E 作 EH⊥O′G 与 H，则 GH＝OE＝15 4 ∴O′H＝O′G－GH＝6－15 4 ＝ 9 4 ，NH＝O′N－O′H＝15 4 － 9 4 ＝ 3 2 在 Rt△O′EH 中，EH＝ O′E 2－O′H 2 ＝3 在 Rt△EHN 中，EN＝ EH 2＋NH 2 ＝ 3 2 5 ∴EM＝MN＝ 1 2 EN＝ 3 4 5 由△O′MN∽O′GO，得 O′M＝2MN＝ 3 2 5 O G B F A O′ E M N 1 2 34 5 O G B F A O′ E H N M O BA E F (G) (O′) O G B F A E ∴MF＝ O′F 2－O′M 2 ＝ 3 2 11 ∴EF＝EM＋MF＝ 3 4 5＋ 3 2 11 （3）①当 G 与 O 重合时，OE 最小 此时 O′O⊥OB 且 O′O＝OA＝6，∴O′ 与 A 重合 ∴E 是 OA 中点，OE＝ 1 2 OA＝3 ②当 E 与 A 重合时，F、G 均与 B 重合，OE 最大 此时 OE＝6 ∴点 E 可移动的最大距离为 3 证明如下： 将扇形 AOB 沿 AB 对折（即 E 与 A 重合，F、G 均与 B 重合），连接 O′A、O′B 则∠O′BA＝∠OBA＝45°，∴∠O′BO＝90° ∴OB 与折叠后的圆弧相切 58．（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），以点 A 为圆心，2 为半径 的⊙A 与 x 轴交于 O、B 两点，OC 为弦，∠AOC＝60°，P 是 x 轴上的一动点，直线 CP 交⊙A 于点 Q，连 接 OQ、AQ． （1）当△OCQ 是等腰三角形时，求点 P 的坐标； （2）当△APQ 是等腰三角形时，求∠OCQ 的度数． 解：（1）∵AC＝AO，∠AOC＝60°，∴△AOC 是等边三角形 ①若 OC 为腰，则 OA 垂直平分 CQ ∴OP＝ 1 2 OA＝1，∴P（1，0） ②若 OC 为底 i）当点 P 在直径 OB 上时 过 C 作 CM⊥OA 于 M，则∠OCM＝30° ∵∠OQC＝ 1 2 ∠OAC＝30°，∴∠OCQ＝ 1 2 (180°－30°)＝75° ∴∠PCM＝75°－30°＝45°，∴△PCM 是等腰直角三角形 ∴PM＝CM＝ 3 2 OC＝ 3 ∴OP＝OM＋PM＝1＋ 3，∴P（1＋ 3，0） ii）当点 P 在 BO 的延长线上时，则 AQ 垂直平分 OC ∴∠QOC＝∠QCO＝ 1 2 ∠OAQ＝15° ∴∠CPO＝∠AOC－∠QCO＝60°－15°＝45° 过 C 作 CM⊥OA 于 M，则∠OCM＝30° O BA O′ (E) (F) (G) A B C O xP Q y A B C O x P Q y M A B C O xP Q y M A B C O xP Q y 则△PCM 为等腰直角三角形，∴PM＝CM＝ 3 2 OC＝ 3 ∴OP＝PM－OM＝ 3－1，∴P（1－ 3，0） （2）设∠OCQ＝x，显然 AP≠AQ ①若 PQ＝AQ i）当点 P 在 BO 的延长线上时 则∠ACQ＝60°＋x，∠QPA＝∠QAP＝60°－x ∠AQC＝2∠QPA＝120°－2x ∵AC＝AQ，∴∠ACQ＝∠AQC ∴60°＋x＝120°－2x，∴x＝20° ii）当点 P 在直径 OB 上时 则∠ACQ＝∠AQC＝60°－x ∴∠QPA＝∠QAP＝ 1 2 [180°－(60°－x)]＝60°＋ 1 2 x 又∵∠QPA＝∠CPO＝180°－(60°＋x)＝120°－x ∴60°＋ 1 2 x＝120°－x，∴x＝40° iii）当点 P 在 OB 的延长线上时 则∠AQC＝∠ACQ＝x－60° ∠QPA＝ 1 2 ∠AQC＝ 1 2 x－30° ∵∠OCQ＋∠COA＋∠QPA＝180° ∴x＋60°＋ 1 2 x－30°＝180°，∴x＝100° ②若 PA＝PQ i）当点 P 在 O、A 之间时 则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝60°－x ∠PAQ＝2∠OCQ＝2x ∴60°－x＝2x，∴x＝20° ii）当点 P 在 A、B 之间时 则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝x－60° ∠PAQ＝∠AOQ＋∠AQO ∵∠OCQ＋∠COQ＋∠CQO＝180° ∴x＋60°＋2(x－60°)＝180°，∴x＝80° 59．（湖北模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，且⊙O 内切于△ABC，D、E、F 是切点，CF 交⊙O 于 G， EG 延长线交 BC 于 M，AG 交⊙O 于 K． （1）求证：△MCG∽△MEC； （2）若 EM⊥BC，求 cos∠FAK 的值． （1）证明：连接 EF ∵AE、AF 是⊙O 的切线，E、F 为切点，∴AE＝AF 又 AB＝AC，∴ AF AB ＝ AE AC O B F A CD M G E K O B F A CD M G E K 1 2 3 O B F A CD M G E K A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O x P Q y ∴EF∥BC，∴∠1＝∠2 ∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3 又∠CME 为公共角，∴△MCG∽△MEC （2）解：∵△MCG∽△MEC，∴ MC MG ＝ ME MC ∴MC 2＝MG·ME ∵⊙O 切 BC 于点 D，∴MD 2＝MG·ME ∴MC 2＝MD 2，∴MC＝MD ∴MC＝ 1 2 CD＝ 1 2 CE 又 EM⊥CD，∴在 Rt△EMC 中，∠3＝30°，∠ECM＝60° 又 AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形 ∴D、E、F 为三边中点，且 CF⊥AB 设 CM＝a，则 AF＝CD＝2a，AC＝4a，CF＝2 3a，CG＝2 3 3 a ∴FG＝CF－CG＝2 3a－2 3 3 a＝4 3 3 a ∴在 Rt△AFG 中，AG＝ AF 2＋FG 2 ＝2 21 3 a ∴cos∠FAK＝ AF AG ＝ 2a 2 21 3 a ＝ 21 7 60．（湖北模拟）已知矩形 ABCD 中，半径为 r 的两个等圆⊙O1、⊙O2 外切，且⊙O1 与边 AB、BC 相切， ⊙O2 与边 BC 相切．点 E 是边 CD 上一点，将△ADE 沿 AE 翻折得△AD′E，AD′ 恰好与⊙O2 相切于点 D′．若 AD＝3，折痕 AE 的长为 10． （1）求 r 的值； （2）求证：矩形 ABCD 为正方形． （1）解：过点 D′ 作 AD 的平行线，分别交 AB、CD 于点 F、G 则四边形 AFGD 是矩形，∴FG＝AD＝3 ∵AD＝3，AE＝ 10，∴AD′＝AD＝3 D′E＝DE＝ 10－9 ＝1 ∵∠AD′E＝∠D＝90°，∴∠AD′F＋∠ED′G＝90° ∵∠AD′F＋∠D′AF＝90°，∴∠D′AF＝∠ED′G ∴Rt△AD′F∽Rt△D′EG，∴ D′F EG ＝ AD′ D′E ＝3 设 EG＝x，则 D′F＝3x，D′G＝3－3x 在 Rt△D′EG 中，D′G 2＋EG 2＝D′E 2 ∴(3－3x)2＋x 2＝1，解得 x＝1（舍去）或 x＝ 4 5 D B A C O1 E O2 D′ D B A C O1 E O2 D′ F GH K ∴D′F＝3x＝12 5 ，D′G＝3－3x＝ 3 5 连接 O2D′，作 O2H⊥FG 于 H ∵AD′ 与⊙O2 相切于点 D′，∠AD′O2＝90° ∵∠AD′E＝90°，∴O2、D′、E 三点共线 ∴△D′O2H∽△D′EG，∴ D′H D′G ＝ O2H EG ＝ D′O2 D′E 即 D′H 3 5 ＝ O2H 4 5 ＝ r 1 ，∴D′H＝ 3 5 r，O2H＝ 4 5 r 连接 O2O1 并延长交 AB 于 K，则四边形 FKO2H 是矩形 ∴FK＝O2H＝ 4 5 r，FH＝O2K＝3r ∵FH＋D′H＝D′F，∴3r＋ 3 5 r＝12 5 ，∴r＝ 2 3 （2）证明：∵CD＝DE＋EG＋GC＝1＋ 4 5 ＋ 4 5 × 2 3 ＋ 2 3 ＝3 AD＝3，∴AD＝CD ∴矩形 ABCD 为正方形 61．（湖北模拟）如图，已知直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（0，2），P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP＝45°． （1）求点 P 的坐标； （2）若点 P 在第一象限，连接 BP、AP，在 BP 上任取一点 E，连接 AE．将线段 AE 绕 A 点顺时针旋转 90°到 AF，连接 BF 交 AP 于点 G，当 E 在线段 BP 上运动时，（不与 B、P 重合），求 BE PG 的值； （3）若点 P 在第一象限，点 Q 是弧 AP 上一动点（不与 A、P 重合），连接 PQ、AQ、BQ，求 BQ－AQ PQ 的 值． 解：（1）连接 PA、PB，过 P 作 PM⊥x 轴于 M ∵∠AOB＝90°，∴AB 是△AOB 外接圆的直径，∴∠APB＝90° 在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝2，由勾股定理，得 AB＝2 5 ∵∠AOP＝45°，∴OP 平分∠AOB ∴ PA ︵ ＝PB ︵ ，∴PA＝PB ∴△PAB 是等腰直角三角形，∴PA＝ 2 2 AB＝ 10 在 Rt△POM 中，∠POM＝45°，∴PM＝OM O P1 A B x y M P2 O A B x y O A B x y 备用图 O A B x y 备用图 设 PM＝OM＝x，则 AM＝4－x 在 Rt△PMA 中，x2＋(4－x)2＝( 10)2，解得 x1＝3，x2＝1 当 x＝3 时，点 P 在第一象限，∴P1（3，3） 当 x＝1 时，点 P 在第四象限，∴P2（1，－1） （2）过 F 作 FH⊥PA，则△AFH≌△EAP ∴AH＝EP，FH＝AP＝BP ∵∠FGH＝∠BGP，∴Rt△FGH≌Rt△BGP ∴PG＝GH＝ 1 2 PH ∵PA＝PB，AH＝EP，∴PH＝BE，∴PG＝ 1 2 BE ∴ BE PG ＝2 （3）在 BQ 上取点 C，使∠CPQ＝90°，连接 PC 由（1）知，△PAB 是等腰直角三角形 ∴∠PAB＝45°，∴∠PQB＝45° ∴△PQC 是等腰直角三角形，∴CQ＝ 2PQ，∠PCQ＝45° ∴∠PCB＝135° ∵AB 是△AOB 外接圆的直径，∴∠AQB＝90° 又∠PQB＝45°，∴∠PQA＝135° ∴∠PCB＝∠PQA 又∠PBC＝∠PAQ，PB＝PA ∴△PBC≌△PAQ，∴BC＝AQ ∵BC＋CQ＝BQ，∴AQ＋ 2PQ＝BQ ∴BQ－AQ PQ ＝ 2 62．（广东深圳）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝－2x＋b（b≥0）的位置随 b 的不同取值而变 化． （1）已知⊙M 的圆心坐标为（4，2），半径为 2． 当 b＝____________时，直线 l：y＝－2x＋b（b≥0）经过圆心 M； 当 b＝____________时，直线 l：y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M 相切； （2）若把⊙M 换成矩形 ABCD，如图 2，其三个顶点的坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设 直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系式． （1）b＝10 提示：把 M（4，2）代入 y＝－2x＋b，得 2＝－2×4＋b，∴b＝10 b＝10±2 5 O P A B x y E G F H O l：y＝－2x＋b A x y 图 2 CD BO l：y＝－2x＋b M x y 图 1 O P A B x y Q C 提示：设直线 y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M 相切于点 P（x0，y0） 则 y0＝－2x0＋b (x0－4)2＋(y 0－2)2＝22 消去 y0 并整理得 5x0 2－4bx0＋b2－4b＋16＝0 ∴△＝(－4b)2－4×5×(b2－4b＋16)＝0 即 b2－20b＋80＝0，解得 b＝10±2 5 （2）当直线 y＝－2x＋b（b≥0）过点 A（2，0）时 0＝－2×2＋b，∴b＝4 当直线 y＝－2x＋b（b≥0）过点 D（2，2）时 2＝－2×2＋b，∴b＝6 当直线 y＝－2x＋b（b≥0）过点 B（6，0）时 0＝－2×6＋b，∴b＝12 当直线 y＝－2x＋b（b≥0）过点 C（6，2）时 2＝－2×6＋b，∴b＝14 ①当 0≤b≤4 时，S＝0 ②当 4＜b≤6 时，设直线 y＝－2x＋b 与 AB 边交于点 E，与 AD 边交于点 F 则点 E（ b 2 ，0），F（2，b－4） ∴S＝S△AEF ＝ 1 2 AE·AF＝ 1 2 ( b 2 －2)(b－4) ＝ 1 4 b2－2b＋4 ③当 6＜b≤12 时，设直线 y＝－2x＋b 与 AB 边交于点 E，与 DC 边交于点 F 则 E（ b 2 ，0），F（ b 2 －1，2） ∴S＝S 梯形 AEFD ＝ 1 2 ( b 2 －3＋ b 2 －2)·2＝b－5 ④当 12＜b≤14 时，设直线 y＝－2x＋b 与 BC 边交于点 E，与 DC 边交于点 F 则点 E（6，b－12），F（ b 2 －1，2） ∴S＝S 矩形 ABCD － S△CEF ＝4×2－ 1 2 (14 －b)(7 － b 2 ) ＝－ 1 4 b2＋7b－41 ⑤当 b ＞14 时，S＝S 矩形 ABCD ＝8 综上所述，S 与 b 的函数关系式为： S＝ 0（0≤b≤4） 1 4 b2－2b＋4（4＜b≤6） b－5（6＜b≤12） － 1 4 b2＋7b－41（12＜b≤14） 8（b ＞14） 63．（广东佛山） （1）按语句作图并回答： O A x y CD BE F O A x y CD BE F O A x y CD B E F 作线段 AC（AC＝4），以 A 为圆心，a 为半径作圆，再以 C 为圆心，b 为半径作圆（a＜4，b＜4，圆 A 与圆 C 交于 B、D 两点），连接 AB、BC、CD、DA． 若能作出满足要求的四边形 ABCD，则 a、b 应满足什么条件？ （2）若 a＝2，b＝3，求四边形 ABCD 的面积． （1）解：作图（如图所示） a、b 应满足的条件是 a＋b＞4 （2）解：连接 BD 交 AC 于点 E ∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC ∴△ADC≌△ABC，∴∠DAC＝∠BAC ∴AC⊥BD 设 AE＝x，则 CE＝4－x 在 Rt△ADE 中，DE 2＝22－x2 在 Rt△CDE 中，DE 2＝32－(4－x)2 ∴22－x 2＝32－(4－x)2，解得 x＝11 8 ∴DE＝ 22－x2 ＝3 15 8 ∴S 四边形 ABCD ＝ 1 2 AC·BD＝AC·DE＝4× 3 15 8 ＝3 15 2 64．（广东珠海）已知，AB 是⊙O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B），把△AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在⊙O 上． （1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1），判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果）； （2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3），过 C 点作 CD⊥直线 AP 于 D，且 CD 是⊙O 的切线，证明：AB ＝4PD． 解：（1）PO∥BC （2）PO∥BC 成立 证明：由对折，得∠APO＝∠CPO ∵AO＝PO，∴∠APO＝∠A ∵弧 PB＝弧 PB，∴∠A＝∠PCB ∴∠CPO＝∠PCB，∴PO∥BC （3）∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD 又 CD⊥AP，∴∠OCD＝∠CDP＝90° ∴OC∥AP，∴∠CPD＝∠OCP C OA B P 图 1 C OA B P 图 2 C OA B C 图 3 D P A B D CE 由对折，得∠A＝∠OCP，∴∠CPD＝∠A 又∠A＝∠OPA，∠OPC＝∠OCP，∠APD 是平角 ∴∠CPD＝∠CPO＝∠OPA＝60°，∴CP＝OP＝ 1 2 AB 在 Rt△CPD 中，PD＝CP·cos60°＝ 1 2 CP＝ 1 4 AB ∴AB＝4PD 65．（广西桂林）如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，⊙O1 经过⊙O2 的圆心，顺次连接 A、O1、B、O2． （1）求证：四边形 AO1BO2 是菱形； （2）过直径 AC 的端点 C 作⊙O1 的切线 CE 交 AB 的延长线于 E，连接 CO2 交 AE 于 D，求证：CE＝2DO2； （3）在（2）的条件下，若 S△AO2D ＝1，求 S△O2DB 的值． 证明：（1）∵⊙O1 与⊙O2 是等圆 ∴O1A＝O1B＝O2A＝O2B ∴四边形 AO1BO2 是菱形 （2）∵四边形 AO1BO2 是菱形，∴∠O1AB＝∠O2AB ∵CE 是⊙O1 的切线，AC 是⊙O1 的直径 ∴∠ACE＝∠AO2C＝90°，∴△ACE∽△AO2D ∴ EC DO2 ＝ AC AO2 ＝2，即 CE＝2DO2 （3）∵四边形 AO1BO2 是菱形，∴AC∥O2B ∴△ACD∽△BO2D， AD BD ＝ AC BO2 ＝2，∴AD＝2BD ∵S△AO2D ＝1，∴S△O2DB ＝ 1 2 66．（广西贵港）如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且∠ACB＝90°， AB＝5，BC＝3．点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PH⊥AB，垂足为 H． （1）直接写出线段 AC、AD 及⊙O 半径的长； （2）设 PH＝x，PC＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 PH 与⊙O 相切时，求相应的 y 值． 解：（1）AC＝4，AD＝3，r＝1 （2）∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝900 D O1 A B E C O2 D BHA P F C O ∴△APH∽△ABC，∴ AP AB ＝ PH BC 即 AP 5 ＝ x 3 ，∴AP＝ 5 3 x 当点 P 在 AC 上时，PC＝AC－AP 即 y＝4－ 5 3 x（0＜x ≤ 12 5 ） 当点 P 在 AC 延长线上时，PC＝AP－AC 即 y＝ 5 3 x－4（x ＞ 12 5 ） （3）当点 P 在 AC 上且 PH 与⊙O 相切于 M 时 如图，连接 OM、OD，可得正方形 OMHD ∴HD＝r＝1，AH＝AD－HD＝3－1＝2 由△APH∽△ABC 得： PH BC ＝ AH AC 即 PH 3 ＝ 2 4 ，∴x＝PH＝ 3 2 ∴y＝4－ 5 3 x＝ 3 2 当点 P 在 AC 延长线上且 PH 与⊙O 相切于 M 时 如图，连接 OM、OD，可得正方形 OMHD ∴HD＝r＝1，AH＝AD＋HD＝3＋1＝4 由△APH∽△ABC 得： PH BC ＝ AH AC 即 PH 3 ＝ 4 4 ，∴x＝PH＝3 ∴y＝ 5 3 x－4＝1 67．（广西贺州）如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 为⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 为⊙O 的直径，PO 交⊙O 于点 E． （1）试判断∠APB 与∠BAC 的数量关系，并说明理由． （2）若⊙O 的半径为 4，P 是⊙O 外一动点，是否存在点 P，使四边形 PAOB 为正方形？若存在，请求出 PO 的长，并判断点 P 的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由． 解：（1）∠APB＝2∠BAC 理由：∵PA、PB 为⊙O 的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝ 1 2 ∠APB 在等腰△APB 中，PF 为∠APB 的平分线 ∴∠PFA＝90°，∴∠APO＋∠PAB＝90° B F A P C OE D BHA P F C OM D BHA P F C O M ∵PA 切⊙O 于点 A，∴PA⊥OA 即∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝BAC ∴∠APB＝2∠BAC （2）四边形 PAOB 是正方形时 PA＝AO＝OB＝BP＝4，PO⊥AB 且 PO＝AB ∴ 1 2 PO·AB＝PA·PB，即 1 2 PO 2＝PB 2＝16 ∴PO＝4 2 这样的点 P 有无数个，它们到圆心 O 的距离等于 OP 的长 68．（福建莆田）如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上，延长 BC 到点 D，使得 CD＝BC，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 G 为 DF 的中点，连接 CG、OF、FB． （1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若△AFB 的面积是△DCG 的面积的 2 倍，求证：OF∥BC． 证明：（1）连接 OC ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° 在 Rt△DCF 中，DG＝FG ∴CG＝DG＝FG，∴∠3＝∠4 ∵∠3＝∠5，∴∠4＝∠5 ∵OA＝OC，∴∠1＝∠2 又∵DE⊥AB，∴∠1＋∠5＝90° ∴∠2＋∠4＝90°，即∠GCO＝90° ∴CG 是⊙O 的切线 （2）∵DG＝FG，∴S△DCF ＝2S△DCG ∵CD＝BC，∴S△DCF ＝2S△BCF ，∴S△BCF ＝2S△DCG 又∵S△AFB ＝2S△DCG ，∴S△AFB ＝S△BCF ∴AF＝FC 又∵OA＝OB，∴OF∥BC 69．（福建泉州）已知：A、B、C 三点不在同一直线上． （1）若点 A、B、C 均在半径为 R 的⊙O 上， ⅰ）如图①，当∠A＝45°，R＝1 时，求∠BOC 的度数和 BC 的长； ⅱ）如图②，当∠A 为锐角时，求证：sin∠A＝ BC 2R ； （2）若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边 AM、AN（B、C 均与 A 不重合）滑动，如图③，当 ∠MAN＝60°，BC＝2 时，分别作 BP⊥AM，CP⊥AN，交点为 P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点 间的距离是否保持不变？请说明理由． B F A C O G E D B F A C O G E D 1 23 4 5 O A B O B C P N 解：（1）ⅰ）∵点 A、B、C 均在⊙O 上 ∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90° ∵OB＝OC＝1，∴BC＝ 2 ⅱ）证明：作直径 CE，则∠EBC＝90°，∠E＝∠A，CE＝2R ∴sin∠A＝sin∠E＝ BC 2R （2）保持不变 理由：连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK 在 Rt△APC 中，CK＝ 1 2 AP＝AK＝PK 同理得：BK＝AK＝PK ∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点 A、B、P、C 都在⊙K 上 ∴由（1）ⅱ）可知，sin60°＝ BC AP ∴AP＝ 2 sin60° ＝4 3 3 （定值） 故在整个滑动过程中，P、A 两点间的距离保持不变 70．（福建模拟）如图，在直角坐标系中，已知 A（0，3）、C（6，0），D（3，3）．点 P 从 C 点出发，沿 折线 C－D－A 运动到达点 A 时停止，过 C 点作直线 GC⊥PC，且与过 O、P、C 三点的⊙M 交于 G 点，连 接 OP、PG、OG． （1）直接写出∠DCO 的度数； （2）当点 P 在线段 CD 上运动时，设 P 点运动路线的长为 m，△OPG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系 式； （3）设圆心 M 的纵坐标为 n，试探索：在点 P 运动的整个过程中，n 的取值范围． 解：（1）∠DCO＝45° （2）过点 P 作 PB⊥x 轴于 B G C P O x A D y M C O A B E MA B C P N K C P O x A D y M B 则 PB＝BC＝ 2 2 m 在 Rt△POB 中，OB＝6－ 2 2 m ∴OP 2＝( 2 2 m)2＋(6－ 2 2 m)2 ∵GC⊥PC，∴PG 为⊙M 的直径 ∴∠POG＝90°，∠OGP＝∠PCO＝45° ∴OP＝OG ∴S＝ 1 2 OP·OG＝ 1 2 OP 2＝ 1 2 [( 2 2 m)2＋(6－ 2 2 m)2] 即 S＝ 1 2 m2－3 2m＋18 （3）依题意得，∠ODC＝90°，△OPC 的外心必在 OC 的垂直平分线上 作 MN⊥x 轴于 N，连接 OM 则 ON＝ 1 2 OC＝3，∴直线 MN 经过点 D ①当点 P 在 CD 上时，∠OPC 为钝角或直角 ∴点 M 在 x 轴下方或 x 轴上 由（2）知 OM＝ 2 2 OP，在 Rt△MON 中 MN 2＝OM 2－ON 2＝( 2 2 OP)2－32 ＝ 1 2 m2－3 2m＋18－9＝ 1 2 m2－3 2m＋9 ∵0＜m ≤3 2，∴0≤MN ＜3 即 n 的取值范围是－3＜n ≤0 ①当点 P 在 AD 上时，依题意得，OM＝PM 根据勾股定理，ON 2＋MN 2＝DM 2＋PD 2 ∴32＋n2＝(3－n)2＋(m－3 2)2，∴n＝ 1 6 (m－3 2)2 ∵3 2≤m ≤3 2＋3，∴0≤n ≤ 3 2 综合得，n 的取值范围是－3＜n ≤ 3 2 71．（上海模拟）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PD⊥AB 交 BC 相于点 D，以点 D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形 DEFG，其中 D、E 在边 BC 上，F 在边 AC 上．设 BP 的长为 x，正方形 DEFG 的边长为 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并确定函数的定义域； （2）当 P、G、F 三点共线时，求 x 的值； （3）当△PDG 为等腰三角形时，求 x 的值； （4）记以 PD 为直径的圆为⊙O1，以 GF 为直径的圆为⊙O2． ①当⊙O1 与边 AC 相切时，求 x 的值； ②当⊙O1 经过圆心 O2 时，求 x 的值； ③直接写出⊙O1 与⊙O2 的位置关系及对应的 x 的取值范围． G C P O x A D y M B N G C P O x A D y M N 解：（1）∵△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12 ∴BH＝HC＝6，AH＝ AB 2－BH 2 ＝8 过 A 作 AH⊥BC 于 H，则△DBP∽△ABH ∴ BD AB ＝ PD AH ＝ BP BH ，即 BD 10 ＝ PD 8 ＝ x 6 ∴BD＝ 5 3 x，PD＝ 4 3 x 又∵四边形 DEFG 是正方形，∴EF⊥BC，EF＝DE＝y 由△FCE∽△ABH，得 EC＝ 3 4 y ∴ 5 3 x＋y＋ 3 4 y＝12 ∴y＝－ 20 21 x＋ 48 7 当点 G 落在边 AB 上，易知△AGF∽△ABC 得 y 12 ＝ 8－y 8 ，即 y＝ 24 5 ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 24 5 ，解得 x＝ 54 25 过 C 作 CM⊥AB 于 M 由△CBM∽△ABC，得 BM＝ 36 5 ∴ 54 25 ≤x ＜ 36 5 （2）当 P、G、F 三点共线时，连接 PG 则 PG∥BD，∠PGD＝90°＝∠AHB ∴∠DPG＝∠BDP＝90°－∠BAH ∴△PDG∽△ABH，得 PG＝ 4 3 y 由△APF∽△ABC，得 4 3 y＋y 12 ＝ 8－y 8 ，即 y＝ 72 23 ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 72 23 ，解得 x＝ 90 23 即 BP 的长为 90 23 （3）①若 DP＝DG B C A 备用图 E P DB C A FG B C A 备用图 E P DB C A FG H E P DB C A FG H B C A H M E P DB C A FG H E P DB C A FG 则 4 3 x＝－ 20 21 x＋ 48 7 ，解得 x＝3 ②若 PD＝PG，则∠PDG＝∠PGD ∵∠PDG＋∠PDB＝90°，∠B＋∠PDB＝90°，∠B＝∠C ∴∠PDG＝∠PGD＝∠B＝∠C ∴△PDG∽△ABC，得 PD＝ 5 6 y ∴ 4 3 x＝ 5 6 (－ 20 21 x＋ 48 7 )，解得 x＝ 180 67 ③若 GP＝GD 同理可得△GPD∽△ABC，GD＝ 5 6 PD＝ 10 9 x ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 10 9 x，解得 x＝ 216 65 （4）①连接 AO1 并延长交 BC 于 H 由题意知，此时⊙O1 与边 AB、AC 均相切 ∴∠BAH＝CAH，∴AH⊥BC 易证△AO1P∽△ABH，得 AP＝ 8 9 x ∴x＋ 8 9 x＝10，解得 x＝ 90 17 ②过 O1 作 O1H⊥BC 于 H，过 O2 作 O2I⊥BC 于 I，延长 O2G 交 O1H 于 K，连接 O1O2 则 O1O2＝O1D＝ 1 2 PD＝ 2 3 x，O1H＝ 3 5 O1D＝ 3 10 PD＝ 2 5 x，KH＝O2I＝y KG＝HD＝ 4 5 O1D＝ 2 5 PD＝ 8 15 x 在 Rt△O1KO2 中，( 2 5 x－y)2＋( 8 15 x ＋ 1 2 y)2＝( 2 3 x)2 化简得 y2＝ 16 75 xy ∵y≠0，∴y＝ 16 75 x ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 16 75 x，解得 x＝ 300 51 ③当 54 25 ≤x ＜ 40 11 时，两圆相离；当 x＝ 40 11 时，两圆相切；当 40 11 ＜x ＜ 36 5 时，两圆相交 提示：若两圆外切，作辅助线如图 在 Rt△O2O1K 中，(y－ 2 5 x)2＋( 8 15 x＋ 1 2 y)2＝( 2 3 x＋ 1 2 y)2 化简得 y2＝ 14 15 xy ∵y≠0，∴y＝ 14 15 x ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 14 15 x，解得 x＝ 40 11 E P DB C A FG E P DB C A FG E P DB C A FG O2 O1 I H K E P DB C A FG O1 O2 IH K E P DB C A FGO1 H 若两圆内切，则( 2 5 x－y)2＋( 8 15 x＋ 1 2 y)2＝( 2 3 x－ 1 2 y)2 或(y－ 2 5 x)2＋( 8 15 x＋ 1 2 y)2＝( 1 2 y－ 2 3 x)2 得 y2＝－ 2 5 xy（舍去） ∴两圆不存在内切的情形 72．（湖北模拟）如图，在△ABC 中，I 是内心，O 是 AB 边上一点，⊙O 经过 B 点且与 AI 相切于 I 点． （1）求证：AB＝AC； （2）若 BC＝16，⊙O 的半径是 5，求 AI 的长． （1）证明：连接 OI，延长 AI 交 BC 于 D ∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI ∵OB＝OI，∴∠ABI＝∠CBI＝∠BIO，∴OI∥BC ∵AI 与⊙O 相切，∴OI⊥AI，∴AD⊥BC ∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC （2）解：∵OI∥BC，∴ AO AB ＝ OI BD ＝ AI AD ∴ AB－5 AB ＝ 5 8 ，∴AB＝ 40 3 ，∴AD＝ AB 2－BD 2 ＝ 32 3 ∴AI＝ OI BD · AD＝ 5 8 × 32 3 ＝20 3 73．（安徽某校自主招生）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝7，△ABC 的内切圆⊙O 与边 BC 相切于 点 D，过点 D 作 DE∥AC 交⊙O 于点 E，过点 E 作⊙O 的切线交 BC 于点 F，求 DE 的长． 解：连接 FO 并延长交 AC 于点 G，连接 AD 则 FG⊥DE ∵DE∥AC，∴FG⊥AC，∴G 是切点 ∴CG＝CD，∠C＝∠C，∴Rt△FCG≌Rt△ACD ∴FC＝AC＝5，∴BF＝BC－FC＝7－5＝2 ∴EF＝FD＝BD－BF＝ 7 2 －2＝ 3 2 ∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠C 又 EF＝FD，AB＝AC，∴△FDE∽△ABC A B IO C A B C O D E F G A B C O D E F A B IO CD ∴DE 3 2 ＝ 7 5 ，∴DE＝ 21 10 74．（湖北某校自主招生）如图，半径为 1 的⊙M 和半径为 2 的⊙N 内切于点 A，AB 是⊙N 的直径，CD⊥ AB 分别交两圆于点 C、D，且 C、D 两点在 AB 的同侧，试证明△ACD 的外接圆的面积是定值． 证明：设 AD 与⊙M 相交于 E，过 M 作 MO⊥AC，交 NE 延长线于 O，连接 ND 依题意，AN 是⊙M 的直径，∴∠AEN＝90°，即 NE⊥AD ∵NA＝ND，∴AE＝DE，∴NE 垂直平分 AD 由垂径定理知，MO 垂直平分 AC ∴O 为△ACD 的外接圆圆心 连接 OA，则∠1＝ 1 2 ∠AOC＝∠2 ∵∠2＋∠NAE＝90°，∠3＋∠NAE＝90° ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3 Rt△NAO∽Rt△OAM，∴ NA OA ＝ OA MA ∴OA 2＝MA·NA＝1×2＝2 ∴S⊙O ＝2π，即△ACD 的外接圆的面积是定值 2π 75．（江苏模拟）已知矩形纸片 ABCD，点 E、F 分别在边 AD、AB 上，将△AEF 沿 EF 翻折，使点 A 落在 点 P 处． （1）如图 1，若 E 是 AD 的中点，∠AEF＞60º，连接 DP，则与∠AEF 相等的角有________个； （2）如图 2，若 AB＝5，BC＝4，点 F 与点 B 重合，点 P 在边 CD 上，在折痕 BE 上存在一点 G 到边 CD 的距离与到点 A 的距离相等，求此相等距离； （3）如图 3，若点 P 落在矩形 ABCD 内部，求 PD 的最小值； （4）如图 4，若 AB＝BC＝5，点 F 与点 B 重合，以正方形 ABCD 的中心 O 为圆心的⊙O 恰好与 BE、BP 都相切，求⊙O 的半径． A C D N M B A C D N M O B E 1 2 3 C A B D P E (F) 图 2 C A B D P E 图 3 F E C A F D B P 图 1 A CD E O B(F) 图 4 P 解：（1）3 提示：如图 1，连接 PA 由折叠的性质知，∠PEF＝∠AEF，PE＝AE，PA⊥EF ∵∠AEF＞60°，∴∠AEP＞120° ∴∠DEP＜60°，∴∠DEP≠∠AEF ∵AE＝DE，PE＝AE，∴DE＝PE，∴∠EDP＝∠EPD ∵AE＝PE，∴∠EAP＝∠EPA ∴∠EPD＋∠EPA＝90°，即∠APD＝90° ∴DP∥EF，∴∠EPD＝∠PEF＝∠AEF ∴∠EDP＝∠EPD＝∠PEF＝∠AEF 即与∠AEF 相等的角有 3 个 （2）如图 2，过 P 作 CD 的垂线交 BE 于点 G，连接 AP、AG 由折叠知 BE 是 AP 的垂直平分线，∴GP＝GA ∴G 点即为所求 设 AP 与 BE 相交于点 O ∵GP⊥CD，AD⊥CD，∴GP∥AD ∴∠OPG＝∠OAE 又∵OP＝OA，∠POG＝∠AOE＝90° ∴△POG≌△AOE，∴GP＝AE 在 Rt△PBC 中，PB＝AB＝5，BC＝4 ∴PC＝3，∴DP＝2 设 AE＝x，则 PE＝AE＝x，DE＝4－x 在 Rt△DEP 中，(4－x)2＋22＝x2 解得 x＝ 5 2 ，∴GP＝GA＝AE＝ 5 2 即此相等距离为 5 2 （3）如图 3，以点 F 为圆心，AF 为半径画圆弧，连接 DF 交圆弧于点 P，则点 P 为圆弧上到点 D 距离最 短的点，即 DP 最小 设 AF＝x，则 DF＝ x2＋42 ＝ x2＋16 ∴PD＝ x2＋16 －x，整理得 x＝16－PD2 2PD ∵0＜x ≤5，∴0＜16－PD2 2PD ≤5 解得 41－5≤PD＜4 ∴PD 的最小值为 41－5 或由 PD＝ x2＋16 －x＝ 16 x2＋16 ＋x ∵0＜x ≤5，∴4＜ x2＋16 ＋x≤ 41＋5，∴ 41－5≤ 16 x2＋16 ＋x ＜4 ∴PD 的最小值为 41－5 （4）如图 4，连接 OB，则∠OBA＝∠OBC，∠OBE＝∠OBP ∴∠ABE＝∠PBC 由折叠知∠ABE＝∠PBE ∴∠ABE＝∠PBE＝∠PBC＝ 1 3 ∠ABC＝30° E C A F D B P 图 1 C A B G D P E O (F) 图 2 C A B D P E 图 3 F A CD E O B(F) 图 4 P G H ∴∠OBE＝∠OBP＝15° ∵AB＝BC＝5，∴矩形 ABCD 是正方形，OB＝5 2 2 设 BE 与⊙O 相切于点 G，在 BG 上取点 H，使 BH＝OH，连接 OG、OH 则∠BOH＝∠OBH＝15°，∴∠OHG＝30° 设 OG＝x，则 OH＝2x，GH＝ 3x，BG＝(2＋ 3)x 在 Rt△OBG 中，x2＋[(2＋ 3)x]2＝(5 2 2 )2 解得 x ＝ 5 4 ( 3－1)，即⊙O 的半径为 5 4 ( 3－1) 76．（湖北模拟）已知半圆 O 的直径 AB＝4，沿它的一条弦折叠． （1）如图 1，若折叠后的圆弧与直径 AB 相切于点 D，且 AD :DB＝3 :1，求折痕 EF 的长； （2）如图 2，若折叠后的圆弧与直径 AB 相交于点 B、D 两点，且 AD :DB＝1 :3，求折痕 BC 的长． 解：（1）如图 1，设折叠后的圆弧所对圆心为 O′，连接 O′O、O′D、OE，O′O 与 EF 交于点 M，则 O′O 与 EF 互相垂直平分 ∵AB＝4，∴OA＝OB＝2 ∵AD :DB＝3 :1，∴DB＝ 1 4 AB＝1，∴OD＝1 ∴O′O＝ OD 2＋O′D 2 ＝ 12＋22 ＝ 5，∴OM＝ 5 2 ∴EM＝ OE 2－OM 2 ＝ 22－( 5 2 )2 ＝ 11 2 ∴EF＝2EM＝ 11 即折痕 EF 的长为 11 （2）如图 2，作 DE⊥BC 交⊙O 于 E，连接 AC、AE、BE、DE，设 AE 与 BC 相交于 F ∵AB＝4，AD :DB＝1 :3，∴AD＝1，DB＝3 由折叠的对称性可知 BE＝BD＝3，∠ABC＝∠EBC＝ 1 2 ∠ABE ∴ EF AF ＝ BE AB ＝ 3 4 ，∴EF＝ 3 4 AF＝ 3 7 AE ∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠AEB＝90° ∴AE＝ AB 2－BE 2 ＝ 42－32 ＝ 7，∴EF＝ 3 7 7 ∴BF＝ BE 2＋EF 2 ＝ 6 7 14 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° ∴△ABC∽△FBE，∴ BC AB ＝ BE BF OA B E F D O′ M 图 1 OA B E F D 图 2 C OA BD 图 2 C OA B E F D 图 1 ∴BC＝ BE BF ·AB＝ 3 6 7 14 ×4＝ 14 77．（四川某校自主招生）如图，∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内一点，且点 P 到 OA、OB 的距离分别为 1、 2，以 P 点为圆心的⊙P 分别与 OA、OB 相交于点 M、N，且 MN 恰为⊙P 的直径，求⊙P 的面积． 解：作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，设⊙P 与 OA 的另一交点为 C，与 OB 的另一交点为 D，连接 CN、 MD，则 PE＝1，PF＝2 ∵MN 为⊙P 的直径，∴∠MCN＝∠MDN＝90° ∴PE∥NC，PF∥MD 又∵PM＝PN，∴CN＝2PE＝2，MD＝2PF＝4 ∵∠AOB＝30°，∴ON＝2CN＝4，OD＝ 3MD＝4 3 ∴ND＝4 3－4，∴NF＝2 3－2 ∴PN 2＝PF 2＋NF 2＝22＋(2 3－2)2＝20－8 3 ∴⊙P 的面积为(20－8 3)π 78．（陕西模拟）已知点 P 为⊙O 内一点，EF 为过 P 点的弦，连接 OE、OF． （1）若⊙O 的半径为 5，OP＝4，求△EOF 的最大面积； （2）若⊙O 的半径为 5，OP＝3，求△EOF 的最大面积； （3）若⊙O 的半径为 r，OP＝d，求△EOF 的最大面积． 解：（1）过 O 作 OH⊥EF 于 H，则 EF＝2EH 设 OH＝x，则 0＜x≤4 在 Rt△EOH 中，EH 2＝OE 2－OH 2＝52－x2＝25－x2 ∵S△EOF ＝ 1 2 EF·OH＝EH·OH ∴(S△EOF)2＝EH 2·OH 2＝(25－x2)x2 令 x2＝t，则 0＜t≤16 ∴(S△EOF)2＝(25－t)t＝－(t－12.5)2＋12.5 2 当 t＝12.5 时，(S△EOF)2 取得最大值 12.5 2 ∴△EOF 的最大面积为 12.5 （2）过 O 作 OH⊥EF 于 H，则 EF＝2EH 设 OH＝x，则 0＜x≤3 30°O A B P N M C 30°O A B P N M E F D C G O F E P O F E P H 同理可得(S△EOF)2＝EH 2·OH 2＝(25－x2)x2 令 x2＝t，则 0＜t≤9 ∴(S△EOF)2＝(25－t)t＝－(t－12.5)2＋12.5 2 该函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为 t＝12.5 当 0＜t≤9 时，(S△EOF)2 随 t 的增大而增大 当 t＝9 时，(S△EOF)2 取得最大值(25－9)×9＝144＝12 2 当 t＝12.5 时，(S△EOF)2 取得最大值 12.5 2 ∴△EOF 的最大面积为 12 （3）过 O 作 OH⊥EF 于 H，则 EF＝2EH 设 OH＝x，则 0＜x≤d 同理可得(S△EOF)2＝EH 2·OH 2＝(r2－x2)x2 令 x2＝t，则 0＜t≤d 2 ∴(S△EOF)2＝(r2－t)t＝－(t－ r2 2 )2＋(r2 2 )2 该函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为 t＝ r2 2 当 t＜r2 2 ，即 d＜ 2 2 r 时，(S△EOF)2 随 t 的增大而增大 当 t＝d 2 时，(S△EOF)2 取得最大值(r2－d 2)d 2 ∴△EOF 的最大面积为 d r 2－d 2 当 t≥r2 2 ，即 d≥ 2 2 r 时，(S△EOF)2 随 t 的增大而增大 当 t＝ r2 2 ，即 d＝ 2 2 r 时，(S△EOF)2 取得最大值(r2 2 )2 ∴△EOF 的最大面积为为 r2 2 综上，当 d＜ 2 2 r 时，△EOF 的最大面积为 d r 2－d 2 ；当 d≥ 2 2 r 时，△EOF 的最大面积为 r2 2 79．（北京）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线， 交 OD 的延长线于点 E，连结 BE． （1）求证：BE 与⊙O 相切； （2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB＝9，sin∠ABC＝ 2 3 ，求 BF 的长． （1）证明：连接 OC ∵EC 与⊙O 相切，C 为切点，∴∠ECO＝90° ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC ∵OD⊥BC，∴DB＝DC ∴直线 OE 是线段 BC 的垂直平分线 ∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC ∴∠ECO＝∠EBO，∴∠EBO＝90° ∵AB 是⊙O 的直径，∴BE 与⊙O 相切 （2）解：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，则 DM∥FB O F E P H A B D C E O A B D C E O M F 在 Rt△ODB 中，∵∠ODB＝90°，OB＝9，sin∠ABC＝ 2 3 ∴OD＝OB·sin∠ABC＝9× 2 3 ＝6 由勾股定理得 BD＝ OB 2－OD 2 ＝3 5 在 Rt△DMB 中，同理得 DM＝BD·sin∠ABC＝2 5，BM＝ BD 2－DM 2 ＝5 ∵O 是 AB 的中点，∴AB＝18 ∴AM＝AB－BM＝13 ∵DM∥FB，∴△AMD∽△ABF，∴ MD BF ＝ AM AB ∴BF＝ MD·AB AM ＝ 36 5 13 80．（哈尔滨模拟）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 M 的坐标为（4，3），以 M 为圆心，以 MO 为半径作⊙M，分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点． （1）求直线 AB 的解析式； （2）点 P（x，0）为 x 轴正半轴上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、线段 OM 于点 D、E， 过点 E 作 y 轴的垂线交直线 AB 于点 F．设线段 DF 的长为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在 x 的值，使得经过 D、E、M 三点的圆与△AOB 的一边所在的直线相切．若 存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）过 M 作 MH⊥x 轴于 H，MK⊥y 轴于 K 则 OB＝2OH，OA＝2OK ∵M（4，3），∴OB＝8，OA＝6 ∴B（8，0），A（0，6） 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b ∴ b＝6 8k＋b＝0 解得： b＝6 k＝－ 3 4 ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 3 4 x＋6 （2）∵tan∠MOH＝ MH OH ＝ 3 4 ，OP＝x，∴PE＝ 3 4 x ∴D（x，－ 3 4 x＋6），E（x，3 4 x） A O B M x y 备用图 A O B M x y A O B M x y 备用图 A O BH E M P F x y 图 1 D A D MK GQ y ∴DE＝－ 3 4 x＋6－ 3 4 x＝－ 3 2 x＋6 如图 1，∵EF∥OB，∴∠AFE＝∠ABO ∴tan∠AFE＝tan∠ABO＝ AO OB ＝ 6 8 ＝ 3 4 ∴DF＝ 5 3 DE＝ 5 3 (－ 3 2 x＋6) ∴y＝－ 5 2 x＋10（0＜x＜4） （3）∵∠MDE＝∠MED，∴△DEM 是等腰三角形 设△DEM 的外接圆圆心为 G，过 M 作 MQ⊥DE 于 Q，则点 G 在 MQ 上 ①当⊙G 与 y 轴相切时，如图 2 则⊙G 的直径 KM＝4，∴DM＝KM·cos∠DMQ＝4× 4 5 ＝16 5 ∴QM＝DM·cos∠DMQ＝16 5 × 4 5 ＝ 64 25 ∴x＝KQ＝4－ 64 25 ＝ 36 25 ②当⊙G 与 x 轴相切时，如图 3 则⊙G 的半径 GM＝MH＝3，过 G 作 GT⊥AB 于 T ∴DM＝2TM＝2GM·cos∠DMQ＝2×3× 4 5 ＝24 5 QM＝DM·cos∠DMQ＝24 5 × 4 5 ＝ 96 25 x＝KQ＝4－ 96 25 ＝ 4 25 ③∵∠GTD＝90°，∴DG＞GT ∴⊙G 始终与直线 AB 相交 综上所述，当 x＝ 36 25 或 x＝ 4 25 时，过 D、E、M 三点的圆与△AOB 的一边所在的直线相切 81．（浙江某校自主招生）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，CD∥AB，且 AB 是⊙O 的直径，AE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E，若 AE＝2，CD＝3． （1）求⊙O 的直径； （2）翻折图形，使点 B 与点 E 重合，折痕交⊙O 于 P、Q 两点，求△BPQ 的面积． 解：（1）连接 AC、BD ∵CD∥AB，AE⊥CD，∴AE⊥AB A O D BH E M P K GQ T x y 图 3 A B D O Q E P C B O P C F ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE 是⊙O 的切线 ∴∠DAE＝∠EBA＝∠ACE ∴Rt△DAE∽Rt△ACE，∴ DE AE ＝ AE CE 即 DE 2 ＝ 2 3＋DE ，解得 DE＝－4（舍去）或 DE＝1 ∴CE＝CD＋DE＝3＋1＝4 ∴AC＝ AE 2＋CE 2 ＝2 5，AD＝ AE 2＋DE 2 ＝ 5 ∵∠ABD＝∠ACE，∴Rt△ABD∽Rt△ACE ∴ AB AC ＝ AD AE ，即 AB 2 5 ＝ 5 2 ∴AB＝5，即⊙O 的直径为 5 （2）设 PQ 分别与 BE、AB 交于点 F、G，过 O 作 OH⊥PQ 于 H，连接 OQ ∵AE＝2，AB＝5，∴BE＝ AE 2＋AB 2 ＝ 29 ∴cos∠ABE＝ AB BE ＝ 5 29 ，BF＝ 1 2 BE＝ 29 2 ∴BG＝ BF cos∠ABE ＝ 29 10 ，∴OG＝BG－OB＝ 29 10 － 5 2 ＝ 2 5 由题意 BF⊥PQ，又 OH⊥PQ，∴OH∥BF ∴∠GOH＝∠ABE ∴OH＝OG·cos∠GOH＝OG·cos∠ABE＝ 2 5 × 5 29 ＝ 2 29 ∴HQ＝ OQ 2－OH 2 ＝ (5 2 )2－( 2 29 )2 ＝ 1 2 709 29 ∴S△BPQ ＝ 1 2 PQ·BF＝HQ·BF＝ 1 2 709 29 × 29 2 ＝ 1 4 709 82．（湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的底边 BC 在 x 轴上，以 BC 为直径的⊙O 分别交 AB、AC 于点 D、E．已知 BD＝2，BC＝4，∠ACB＝45°． （1）求∠DEC 的大小； （2）求线段 DE 的长； （3）求点 A 的坐标． 解：（1）连接 OD ∵BD＝2，BC＝4，BC 是⊙O 的直径 ∴OB＝OD＝BD＝2，∴△OBD 是等边三角形 ∴∠DBC＝60°，∴∠DEC＝120° （2）过 D 作 DF⊥EO 于 F 在 Rt△DOF 中，∵DOF＝60°－30°＝30°，OD＝2 ∴DF＝1，OF＝ 3，EF＝2－ 3 A y D E B C xO A y D E B C xO F G 在 Rt△DEF 中，DE＝ DF 2＋EF 2 ＝ 6 － 2 （3）设 A（a，b），过 A 作 AG⊥BC 于 G 在 Rt△ABG 中，AG＝BG·tanABC 在 Rt△AGC 中，∵∠ACG＝45°，∴AG＝GC ∴ 3(2＋a)＝2－a，∴a＝2 3－4 ∴AG＝2－(2 3－4)＝6－2 3 ∴A（2 3－4，6－2 3） 83．（湖北模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，PA、PC 分别切⊙O 于 A、C，CD⊥AB 于 D，PB 交 CD 于 E． （1）求证：CE＝DE； （2）若 AB＝6，∠APC＝120°，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接 OP、OC、BC ∵PA、PC 是⊙O 的切线 ∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90° 又 PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PCO ∴∠POA＝∠POC，∴∠AOC＝2∠POA 又∠AOC＝2∠ABC，∴∠POA＝∠ABC 又∠PAO＝∠CDB＝90°，∴△PAO≌△CDB ∴ PA CD ＝ OA BD ∵∠PAB＝∠EDB＝90°，∠PBA＝∠EBD ∴△PAB≌△EDB，∴ PA ED ＝ BA BD ∵AB＝2OA，∴ PA ED ＝ 2OA BD ＝ 2PA CD ∴CD ＝2ED，∴CE＝DE （2）解：∵∠APC＝120°，∠PAO＝∠PCO＝90° ∴∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30° ∵AB＝6，∴OA＝OC＝3 ∴OD＝OC·sin30°＝ 3 2 ，CD＝OC·cos30°＝3 3 2 ∴S 阴影 ＝S 扇形 AOC － S△DOC ＝60×π×32 360 － 1 2 × 3 2 ×3 3 2 ＝3π 2 －9 3 8 84．（湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为 1 的⊙M 与 x 轴相切于原点 O，点 P（t，0）是 x 轴 上一动点，PA 与⊙M 相切于点 A，过 A 作弦 AB∥x 轴交⊙M 于 B，连接 OA、OB，设 P（t，0）． C A BD O P E C A BD O P E （1）求证：△PAO∽△OAB； （2）当点 P 在 x 轴的正半轴上运动时，若四边形 ABOP 是菱形，求 t 的值； （3）当直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方时，求 t 的取值范围； （4）连接 BP 交⊙M 于点 C，当 t 为何值时，四边形 ABOC 是梯形？ （1）证明：∵PA 是⊙M 的切线，OA 是弦，∴∠PAO＝∠ABO ∵AB∥PO，∴∠BAO＝∠AOP ∴△PAO∽△OAB （2）∵四边形 ABOP 是菱形，∴OB∥PA，∠BOA＝∠POA ∵△PAO∽△OAB，∴∠BOA＝∠OPA ∴∠BOA＝∠POA＝∠OPA ∵OB∥PA，∴∠BOA＋∠OPA＝180° ∴∠POA＝∠OPA＝60°，∴△AOP 是等边三角形 ∴△AOB 是等边三角形 ∵⊙M 的半径为 1，即 MO＝1 ∴OP＝AO＝2MO·cos30°＝2× 3 2 ＝ 3 ∴t＝ 3 （3）由（2）知，当点 P 在 x 轴的正半轴上运动时 当 t＝ 3 时，四边形 ABOP 是菱形，此时 AP∥BO 连接 MP ∵PA、PO 是⊙M 切线，∴MP 平分∠OPA，MP⊥OA 又∵MO⊥OP，∴∠MOA＝∠OPM 当 t＞ 3 时，则∠OPA＜60°，∴∠OPM＜30° ∴∠MOA＜30°，∴∠AOP＞60°，∴∠AOP＞∠OPA ∵AB∥x 轴，∴OM 垂直平分 AB，∴OA＝OB ∴∠BOM＝∠AOM，∴∠1＝∠AOP ∴∠1＞∠OPA ∴直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的上方 同理可证：当 t ＜ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 同理，当点 P 在 x 轴的负半轴上运动时 当 t＞－ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 ∴当－ 3＜t＜ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 （4）显然 OC 与 AB 不平行，所以当 AC∥BO 时，四边形 ABOC 是梯形 延长 AC 交 OP 于 D ∵PA 是⊙M 的切线，AC 是弦，∴∠PAD＝∠ABC ∵AB∥x 轴，∴∠ABC＝∠CPD，∴∠PAD＝∠CPD 又∵∠ADP＝∠PDC，∴△ADP∽△PDC A C B O P y M x AB O P y M x AB O P y M x 1 AB O P y x CM D N AB O P y x M ∴ PD AD ＝ CD PD ，∴PD 2＝AD·CD ∵OD 是⊙M 的切线，OC 是弦，∴∠COD＝∠OAD 又∵∠ODC＝∠ADO，∴△OCD∽△AOD ∴ OD AD ＝ CD OD ，∴OD 2＝AD·CD＝PD 2 ∴OD＝PD＝|t| 2 连接 PM 交 OA 于 N，则 MP 垂直平分 OA 易证△OMN∽△PMO，得 OM ON ＝ PM OP 即 1 ON ＝ 1＋t2 |t| ，∴ON＝ |t| 1＋t2 ，∴OA＝ 2|t| 1＋t2 由△PAO∽△OAB，得 OP OA ＝ OA AB ，∴AB＝ OA2 OP ＝ 4|t| 1＋t2 ∵AB∥OD，AC∥BO，∴四边形 ABOD 是平行四边形 ∴AB＝OD，∴ 4|t| 1＋t2 ＝|t| 2 ∵|t|≠0，∴ 4 1＋t2 ＝ 1 2 ，∴t＝± 7 ∴当 t＝± 7 时，四边形 ABOC 是梯形 85．（辽宁大连）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F． （1）猜想 ED 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想； （2）若 AB＝6，AD＝5，求 AF 的长． 解：（1）猜想：ED 与⊙O 相切 证明：连接 OD，则 OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD＝∠ODA ∴OD∥AE，∴∠AED＋∠ODE＝180° ∵DE⊥AE，即∠AED＝90° ∴∠ODE＝90°，即 OD⊥ED ∴ED 与⊙O 相切 （2）连接 BD ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90° ∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ADB＝∠BDF ∴△DAB∽△DBF，∴ AD BD ＝ BD FD 即 5 62－52 ＝ 62－52 FD ，∴FD＝11 5 BA OP y x C M D N A B D C O E F A B D C O E F ∴AF＝AD－FD＝5－ 11 5 ＝14 5 86．（湖北模拟）如图，点 O′ 是 x 轴负半轴上一点，⊙O′ 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、E 两点， 点 D 是⊙O′ 上一点，且DC ︵ ＝AC ︵ ，已知 A（2，0），C（0，－4）． （1）求圆心 O′ 的坐标； （2）连接 AC、BC，在 BC 上取点 M，使 CM＝AC，连接 DM 并延长线交⊙O′ 于 N，求证：DM＝ 2 5 MN； （3）P 是劣弧BC ︵ 上一动点，Q 为劣弧PC ︵ 的中点，连接 AP、EQ 交于点 F．当点 P 在劣弧BC ︵ 上运动时（不 包括 B、C 两点），线段 AF 的长度是否发生变化？若变化，请指出变化范围，若不变化，请求出其值．（用 备用图作答） （1）解：由题意，AB 是⊙O′ 的直径，∴∠ACB＝90° 又∵∠AOC＝90°，∴△OCA∽△OBC ∴ OA OC ＝ OC OB ，∴ 2 4 ＝ 4 OB ，∴OB＝8 ∴AB＝OA＋OB＝2＋8＝10，∴O′A＝5 ∴OO′＝O′A－OA＝5－2＝3 ∵点 O′ 是 x 轴负半轴上一点，∴O′（－3，0） （2）证明：连接 AD、BD、AN、BN ∵DC ︵ ＝AC ︵ ，∴CD＝AC 又∵CM＝AC，∴CD＝CM ∴∠CDM＝∠CMD ∵DC ︵ ＝AC ︵ ，∴∠DBC＝∠ABC＝∠ADC ∵∠CDM＝∠ADC＋∠ADN，∠CMD＝∠DBC＋∠BDN ∴∠ADN＝∠BDN，∴AN＝BN ∴△ABN 是等腰直角三角形 ∴BN＝AB·cos45°＝5 2 ∵OA＝2，OB＝8，OC＝4，∴CD＝AC＝2 5，BC＝4 5 ∴CM＝CD＝2 5，∴BM＝2 5 ∵∠DCM＝∠BNMN，∠DMC＝∠BMN ∴△DMC∽△BMN，得 MN＝BN＝5 2，DM BM ＝ CD BN ∴ DM 2 5 ＝ 2 5 5 2 ，∴DM＝2 2 AB y N C x E M D O′ O AB y N C x E M D O′ O AB y C x E O′ O 备用图 AB y N x E P O′ OF ∴DM＝ 2 5 MN （3）不变，AF＝2 连接 AC、AE、AQ、PE，则 AC＝AE ∴∠ACE＝∠AEC ∵Q 为劣弧PC ︵ 的中点，∴∠CEQ＝∠PEQ 又∵∠P＝∠ACE，∴∠AEC＋∠CEQ＝∠P＋∠PEQ 即∠AEF=∠AFE，∴AF＝AE＝AC＝2 5 87．（江苏模拟）如图，矩形 ABCD 表示一本书，AB＝12π，AD＝2，当把书卷成半圆状时，每张纸都是以 O 为圆心的同心圆的弧，如第一张纸 AB 对应为AB ︵ ，最后一张纸 DC 对应为DC ︵ ，且DC ︵ 为半圆． （1）求钝角∠AOB 的大小； （2）如果该书共有 100 张纸，那么第 40 张纸对应的弧超出半圆部分的FG ︵ 的长是多少？ 解：（1）∵DC ︵ 为半圆，∴OD＝ 12π π ＝12 ∴OA＝OD－AD＝12－2＝10 ∴钝角∠AOB＝360°－ 12π 10 ×180 π ＝144° （2）∵OF＝OE＋EF＝10＋ 40 100 ×2＝ 54 5 ∴FG ︵ ＝12π－ 54 5 π＝ 6π 5 88．（江苏模拟）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以 OB 为直径作⊙M，过 D 作⊙M 的切线，切点为 N，分别交 AC、BC 于点 E、F．已知 AE＝5，CE＝3，求 BF 和求 DF 的长． 解：∵AE＝5，CE＝3，∴AC＝8 ∴AO＝OC＝4，∴OE＝1 连接 MN，设⊙M 的半径为 r，则 MN＝r，DM＝3r ∵DN 是⊙M 的切线，∴∠DNM＝90°＝∠DOE D A B C D A O B C E F G A B D C M N E F O A B D C M N E F O 又∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO ∴ DE OE ＝ DM MN ＝ 3r r ＝3，∴DE＝3OE＝3 ∴OD 2＝DE 2－OE 2＝8，AD＝ OA 2＋OD 2 ＝2 6 ∵AD∥BC，∴△CFE∽△ADE ∴ CF AD ＝ EF DE ＝ CE AE ＝ 3 5 ，∴CF＝ 3 5 AD，EF＝ 3 5 DE＝ 9 5 ∴BF＝ 2 5 AD＝4 6 5 ，DF＝DE＋EF＝3＋ 9 5 ＝ 24 5 89．（陕西模拟）如图，⊙M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴交于 A（2－ 3，0）、B（2＋ 3，0）两点，D 是 劣弧 AB ︵ 上一点，且AD ︵ ＝ 1 2 BD ︵ ． （1）求⊙M 的半径； （2）P 是⊙M 上一个动点．若以 P、A、D、B 为顶点的四边形是梯形， 求∠PAD 的度数． 解：（1）如图 1，作 ME⊥x 轴于 E，连接 MD ∵A（2－ 3，0）、点 B（2＋ 3，0） ∴E（2，0），AB＝2 3，∴AE＝BE＝ 3 即点 M 的横坐标为 2 ∵⊙M 与 y 轴相切于点 C ∴MC＝2，即⊙M 的半径为 2 （2）连接 MA、MB，则 MA＝MB＝2 ∴在 Rt△MAE 中，∴∠AME＝60° ∴∠AMB＝120° ∵D 是劣弧AB ︵ 上一点，且AD ︵ ＝ 1 2 BD ︵ ∴∠AMD＝40° 若以 P、A、D、B 为顶点的四边形是梯形 ①当 PD∥BA 时，如图 2 则 ME⊥DP，∠DMP＝2∠DME ∵∠AME＝60°，∠AMD＝40° ∴∠DME＝20°，∴∠DMP＝40° ∴∠PAD＝20° ②当 PA∥BD 时，如图 3 则∠PAD＋∠ADB＝180° ∵∠AMB＝120°，∴∠ADB＝120° ∴∠PAD＝60° ③当 PB∥AD 时，如图 4 则∠PAD＋∠APB＝180° ∵∠AMB＝120°，∴∠APB＝60° ∴∠PAD＝120° 综上所述，∠PAD 的度数为 20°或 60°或 120° 90．（四川模拟）如图，Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝2 3，BC＝1．以 AC 为一边，在 AC 的 A C D B M O y x A C D B M O y xE 图 1 A C D B M O y xE 图 2 P A C D B M O y xE 图 3 P A C D B M O y xE 图 4 P 右侧作等边△ACD，连接 BD，交⊙O 于点 E，连接 AE，求 BD 和 AE 的长． 解：过 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于 F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD＝CD＝AC＝2 3，∠ACD＝60° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90° ∴∠DCF＝30°，∴DF＝ 1 2 CD＝ 3，CF＝ 3DF＝3 ∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4 ∴BD＝ BF 2＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝ 19 ∵AC＝2 3，BC＝1，∴AB＝ AC 2＋BC 2 ＝ 13 ∵BE＋DE＝BD，∴ AB 2－AE 2 ＋ AD 2－AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝ 19 ∴ 13－AE 2 ＝ 19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2) 整理得： 19(12－AE 2) ＝9，解得 AE＝ 7 19 57 91．（四川模拟）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点． （1）如图 1，P 为 ABC ︵ 的中点，求证：PA＋PC＝ 3PD； （2）如图 2，P 为 ABC ︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接 AD ∵D 为AC ︵ 的中点，P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD＝90° ∵∠B＝60°，∴∠APC＝60° ∵D 为AC ︵ 的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30° ∴PA＝PD·cos30°＝ 3 2 PD A B D C E O A B D C E O F D A PO C B 图 1 D A P O C B 图 2 D A PO C B ∵P 为 ABC ︵ 的中点，∴PA＝PC ∴PA＋PC＝ 3PD （2）成立 理由如下： 延长 PA 到 E，使 EA＝PC，连接 DE、AD、DC 则∠EAD＋∠PAD＝180° ∵∠PCD＋∠PAD＝180° ∴∠EAD＝∠PCD ∵D 为AC ︵ 的中点，∴AD ︵ ＝CD ︵ ∴AD＝CD ∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD 过 D 作 DH⊥PE 于 H 由（1）知，∠APD＝30° ∴PH＝PD·cos30°＝ 3 2 PD，PE＝2PH＝ 3PD ∵PA＋EA＝PE，∴PA＋PC＝ 3PD 92．（四川模拟）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 在劣弧BC ︵ 上，连接 AE 交 BC 于点 D，经过 B、C 两点的圆弧交 AE 于点 I．已知 BE 2＝AE·DE，BI 平分∠ABC． （1）求证：BE＝EI； （2）若⊙O 的半径为 5，BC＝8，∠BDE＝45°． ①求BIC ︵ 的半径和 AD 的长；②求 sin∠ABC 和 tan∠ABI 的值． （1）证明：∵BE 2＝AE·DE，∴ AE BE ＝ BE DE 又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴∠BAE＝∠EBC ∵BI 平分∠ABC，∴∠ABI＝∠DBI ∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠EBI＝∠EBC＋∠DBI ∴∠BIE＝∠EBI，∴EB＝EI （2）①连接 OC、OE，设 OE 交 BC 于 F ∵∠BAE＝∠EBC，∠EBC＝∠EAC ∴∠BAE＝∠EAC，∴BE ︵ ＝CE ︵ ，∴EB＝EI＝EC ∴点 E 是BIC ︵ 的圆心 ∵BE ︵ ＝CE ︵ ，∴OE 垂直平分 BC，∴BF＝CF＝ 1 2 BC＝4 在 Rt△OFC 中，OC＝5，FC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2 在 Rt△BEF 中，由勾股定理得 BE＝2 5 ∴BIC ︵ 的半径为 2 5 ∵∠BDE＝45°，∴△DEF 是等腰直角三角形 ∴DF＝EF＝2，DE＝ 2EF＝2 2 O A B D I E C O A B D I E CF G D A P O C B E H ∵AE·DE＝BE 2，∴(AD＋2 2)×2 2＝(2 5)2 ∴AD＝3 2 ②∵∠BDE＝45°，∴∠ADG＝45° ∴△ADG 是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝3 ∵BF＝4，DF＝2，∴BD＝6 ∴BG＝BD＋DG＝9，∴AB＝ AG 2＋BG 2 ＝3 10 ∴sin∠ABC＝ AG AB ＝ 3 3 10 ＝ 10 10 过 I 作 IH⊥AB 于 H，IK⊥BC 于 K ∵BI 平分∠ABC，∴IH＝IK ∵S△ABI ＝ 1 2 AB·IH，S△DBI ＝ 1 2 BD·IK， S△ABI S△DBI ＝ AI DI ∴ AI DI ＝ AB BD ，∴3 2－DI DI ＝ 3 10 6 ，∴DI＝2( 5－ 2) ∴DK＝IK＝DI·cos45°＝ 10－2，∴BK＝BD＋DK＝4＋ 10 ∴tan∠ABI＝tan∠IBC＝ IK BK ＝ 10－2 4＋ 10 ＝ 10－3 93．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－ 3 4 x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 在线段 AB 上，以 CA 为直径的⊙D 交 x 轴于另一点 E，连接 BE． （1）设 DA＝x，BE 2＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （2）当⊙D 与直线 BE 相切时，求点 D 的坐标； （3）当△ABE 是等腰三角形时，直接写出点 D 的坐标． 解：（1）连接 DE，过 D 作 DH⊥OA 于 H ∵直线 y＝－ 3 4 x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B ∴A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6 ∴AB＝ OA 2＋OB 2 ＝10，∴cos∠BAO＝ OA AB ＝ 8 10 ＝ 4 5 在 Rt△DHA 中，HA＝DA·cos∠BAO＝ 4 5 x ∴EA＝2HA＝ 8 5 x，OE＝OA－EA＝8－ 8 5 x 在 Rt△BOE 中 BE 2＝OB 2＋OE 2＝6 2＋(8－ 8 5 x)2＝ 64 25 x2－128 5 x＋100 即 y＝ 64 25 x2－128 5 x＋100（0≤x ≤10） （2）连接 CE ∵CA 为⊙D 的直径，∴∠AEC＝90°，即 CE⊥x 轴 当⊙D 与直线 BE 相切时，∠BED＝90° O A B D I E C H K A B C E D y xO A B C E D y xO H ∴∠OBE＝∠DEA＝∠DAE，∴△OBE∽△OAB 得 OE＝ OB2 OA ＝ 9 2 ，∴点 C 的横坐标为 9 2 把 x＝ 9 2 代入 y＝－ 3 4 x＋6，得 y＝21 8 ∴C（ 9 2 ，21 8 ） ∵D 是 AC 的中点 ∴点 D 的横坐标为 9 2 ＋8 2 ＝25 4 ，纵坐标为 21 16 ∴D（25 4 ，21 16 ） （3）D1（39 8 ，75 32 ），D2（3，15 4 ），D1（0，6） 94．（湖北某校自主招生） 在直角坐标系中，已知点 A（－4，0），点 B（2，0），以 OA 为直径作⊙M，直线 BC 切⊙M 于 C，P 是半 径 MC 上一点，连接 PB 交 OC 于 Q． （1）若 S△PCQ ＝S△BOQ ，求点 P 的坐标； （2）若 BP 平分△MCO 的面积，求点 P 的坐标； （3）若 S△PCQ ＝2S△BOQ ，求点 P 的坐标． 解：（1）连接 OP，过 P 作 PD⊥MB 于 D ∵S△PCQ ＝S△BOQ ，∴S△PCO ＝S△BOP ∴OP∥BC ∵A（－4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2 ∴MC＝MO＝2，MB＝4 ∴OP 是△MBC 的中位线，∴PM＝ 1 2 MC＝1 ∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MCB＝90° ∴∠MPO＝90°，∴cos∠PMO＝ PM MO ＝ 1 2 ∴∠PMO＝60° ∴MD＝PM·cos60°＝ 1 2 ，PD＝PM·sin60°＝ 3 2 ∴P（－ 3 2 ，3 2 ） （2）过 P 作 PD⊥MO 于 D，过 Q 作 QE⊥MO 于 E， 设 MD＝x，OE＝y，则 BD＝4－x，BE＝2＋y，PD＝ 3x ∵MC＝MO＝2，∠CMO＝60° M C A BO P x Q y M C A BO P x y Q D M C A BO P x y Q D E ∴△MCO 是等边三角形，∴QE＝ 3y 易证△BQE∽△BPD，∴ QE PD ＝ BE BD ∴ 3y 3x ＝ 2＋y 4－x ，∴y＝ x 2－x ，QE＝ 3x 2－x ∵BP 平分△MCO 的面积，∴S 四边形 PMOQ ＝ 1 2 S△MCO ＝ 1 2 × 1 2 ×2× 3＝ 3 2 又 S 四边形 PMOQ ＝S△PMB － S△BOQ ∴ 1 2 ×4× 3x－ 1 2 ×2× 3x 2－x ＝ 3 2 整理得 4x2－7x＋2＝0，解得 x1＝7＋ 17 8 ＞1（舍去），x2＝7－ 17 8 ∴OD＝2－7－ 17 8 ＝9＋ 17 8 ，PD＝7 3－ 51 8 ∴P（－ 9＋ 17 8 ，7 3－ 51 8 ） （3）∵S△PCQ ＝2S△BOQ ，∴S△MCO － S 四边形 PMOQ ＝2S△BOQ ∴ 1 2 ×2× 3－ 1 2 ×4× 3x＋ 1 2 ×2× 3x 2－x ＝2× 1 2 ×2× 3x 2－x 整理得 x2－3x＋1＝0，解得 x1＝3＋ 5 2 ＞1（舍去），x2＝3－ 5 2 ∴OD＝2－3－ 5 2 ＝1＋ 5 2 ，PD＝3 3－ 15 2 ∴P（－ 1＋ 5 2 ，3 3－ 15 2 ） 95．（江苏模拟）如图，⊙O 内切于正方形 ABCD，以 A 为圆心画弧，交⊙O 于 E、F 两点，已知 AB＝2 2， ∠BAE＝15°． （1）求 AE 的长；（2）求图中阴影部分的面积． 解：（1）作 OH⊥AE 于 H，设 AE 交⊙O 于另一点 G，连接 AC、OG ∵正方形 ABCD，AB＝2 2 ∴∠BAE＝45°，AC＝ 2AB＝4，∴OA＝2 ∵∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30° ∴在 Rt△AOH 中，OH＝ 1 2 OA＝1，AH＝ 3OH＝ 3 在 Rt△OGH 中，∵OG＝ 1 2 AB＝ 2，OH＝1 ∴GH＝1，∴HE＝GH＝1 ∴AE＝AH＋HE＝ 3＋1 M C A BO P x Q y D E A B D C O E F A B D C O E FG H （2）连接 AF 由对称性知∠FAO＝∠EAO＝30°，∴∠EAF＝60° ∵OH⊥AE，OH＝HE＝1，∴∠AEO＝45° ∴∠AOE＝75°，∴∠EOF＝150° ∴S 阴影＝S 扇形 OEF －(S 扇形 AEF －2S△AOE) ＝π×( 2)2×150 360 －π×( 3＋1)2×60 360 ＋( 3＋1)×1 ＝ π 6 (1－2 3)＋ 3＋1 96．（安徽某校自主招生）如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，PCD 为⊙O 一条割线，过 C 作 CF∥PA， 分别交 AB、AD 于点 E、F，求证：E 是 CF 中点． 证明：作 OH⊥CD 于 H，连接 EH、OA、OB、CB 则 H 为 CD 中点 ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B ∴∠PAO＝∠PBO＝90°＝∠PHO ∴P、A、H、O、B 五点都在以 OP 为直径的圆上 ∴∠APH＝∠ABH ∵CF∥PA，∴∠ECH＝∠APH ∴∠ABH＝∠ECH，即∠EBH＝∠ECH ∴B、C、E、H 四点都在同一圆上 ∴∠CHE＝∠CBE＝∠CDA ∴EH∥AD，∴E 是 CF 中点 P A B C F O D E P A B C F O D E H