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- 2021-05-10 发布
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2014中考压轴题专项训练
训练目标
1. 熟悉题型结构,辨识题目类型,调用解题方法;
2. 书写框架明晰,踩点得分(完整、快速、简洁)。
题型结构及解题方法
压轴题综合性强,知识高度融合,侧重考查学生对知识的综合运用能力,对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点
常考类型举例
题型特征
解题方法
问题背景研究
求坐标或函数解析式,求角度或线段长
已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息
研究坐标、解析式,研究边、角,特殊图形。
模型套路调用
求面积、周长的函数关系式,并求最值
速度已知,所求关系式和运动时间相关
① 分段:动点转折分段、图形碰撞分段;
② 利用动点路程表达线段长;
③ 设计方案表达关系式。
坐标系下,所求关系式和坐标相关
① 利用坐标及横平竖直线段长;
② 分类:根据线段表达不同分类;
③ 设计方案表达面积或周长。
求线段和(差)的最值
有定点(线)、不变量或不变关系
利用几何模型、几何定理求解,如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论
点的存在性
点的存在满足某种关系,如满足面积比为9:10
① 抓定量,找特征;
② 确定分类;.
③ 根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性
特殊三角形、特殊四边形的存在性
① 分析动点、定点或不变关系(如平行);
② 根据特殊图形的判定、性质,确定分类;www.12999.com
③ 根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性
① 找定点,分析目标三角形边角关系;
② 根据判定、对应关系确定分类;
③ 根据几何特征建等式求解。
答题规范动作
1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2. 合理规划答题卡的答题区域:两栏书写,先左后右。
作答前根据思路,提前规划,确保在答题区域内写完答案;同时方便修改。
3. 作答要求:框架明晰,结论突出,过程简洁。
23题作答更加注重结论,不同类型的作答要点:
几何推理环节,要突出几何特征及数量关系表达,简化证明过程;
面积问题,要突出面积表达的方案和结论;
几何最值问题,直接确定最值存在状态,再进行求解;
存在性问题,要明确分类,突出总结。
4. 20分钟内完成。www.12999.com
实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中,对老师所讲的套路不熟悉或不知道,需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法,这些训练与真题演练阶段的训练互相补充,帮学生系统解决压轴题,以到中考考场时,不仅题目会做,而且能高效拿分。课程名称:
2013中考数学难点突破之动点
1、图形运动产生的面积问题
2、存在性问题
3、二次函数综合(包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题)
3、2013中考数学压轴题全面突破(包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练)
一、图形运动产生的面积问题
一、 知识点睛
1. 研究_基本_图形
2. 分析运动状态:
①由起点、终点确定t的范围;
②对t分段,根据运动趋势画图,找边与定点,通常是状态转折点相交时的特殊位置.
3. 分段画图,选择适当方法表达面积.
二、精讲精练
1. 已知,等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上,沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其他边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒.
(1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积.
(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
1题图 2题图
2. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=, CD=,高CE=,对角线AC、BD交于点H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发,沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G,当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.
(1)填空:∠AHB=____________;AC=_____________;
(2)若,求x.
3. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ'R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).
(1)t为何值时,点Q' 恰好落在AB上?
(2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
(3)S能否为?若能,求出此时t的值;
若不能,请说明理由.
1. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2.
(1)当t=_____s时,点P与点Q重合;
(2)当t=_____s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,
求S与t之间的函数关系式.
2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、D(-2,0),作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD.
(1)填空:点B的坐标为________,点C的坐标为_________.
(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移,直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为S,求S关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围.
O
M
A
N
B
C
y
x
3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.
(1)求M,N的坐标.
(2)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).求S与自变量t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围.
二、二次函数中的存在性问题
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤:
①画图分析.研究确定图形,先画图解决其中一种情形.
②分类讨论.先验证①的结果是否合理,再找其他分类,类比第一种情形求解.
③验证取舍.结合点的运动范围,画图或推理,对结果取舍.
二、精讲精练www.12999.com
1. 如图,已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似,请求出所有符合条件的点P的坐标.
2. 抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.点P在抛物线上,直线PQ//BC交x轴于点Q,连接BQ.
(1)若含45°角的直角三角板如图所示放置,其中一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式;
(2)若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上(点D不与点Q重合),另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
3. 如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,
OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.
(1)若抛物线经过A、B两点,求该抛物线的解析式:______________;
(2)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,
作MN⊥x轴于点N.是否存在点M,使△AMN
与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标;
若不存在,说明理由.
1. 已知抛物线经过A、B、C三点,点P(1,k)在直线BC:y=x3上,若点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2. 抛物线与y轴交于点C,与直线y=x交于A(-2,-2)、B(2,2)两点.如图,线段MN在直线AB上移动,且,若点M的横坐标为m,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
三、二次函数与几何综合
一、知识点睛
“二次函数与几何综合”思考流程:
关键点坐标
几何特征
转 线段长
几何图形
函数表达式
整合信息时,下面两点可为我们提供便利:
①研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k、b;
②)关键点坐标转线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息.
二、精讲精练
1. 如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
1. 如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴交于A、B两点,点A在点B的右侧,且点B的坐标为(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.连接AC、CD,∠ACD=90°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.
2. 如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l,
点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值.
3. 已知,抛物线经过A(-1,0),C(2,)两点,
与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点 (不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=,求y2与x的函数关系式,
并直接写出自变量x的取值范围.
4. 已知抛物线的对称轴为直线,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A),
①如图1,当△PBC的面积与△ABC的面积相等时,求点P的坐标;
②如图2,当∠PCB =∠BCA时,求直线CP的解析式.
图1 图2
四、中考数学压轴题专项训练
1.如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(00)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.
图1 图2
附:参考答案
一、图形运动产生的面积问题
1. (1)当t=时,四边形MNQP恰为矩形.此时,该矩形的面积为平方厘米.
(2) 当0<t≤1时,;当1<t≤2时,;
当2<t<3时,
2.(1)90°;4 (2)x=2.
3.(1)当t=时,点Q' 恰好落在AB上.
(2)当0<t≤时,;当<t≤6时,
(3)由(2)问可得,当0<t≤时, ;
当<t≤6时,;
解得,或,此时.
4.(1)1 (2)(3)当1<t≤时,;
当<t<2时,.
5.(1)(﹣1,3),(﹣3,2) (2)当0<t≤时,;当<t≤1时,;
当1<t≤时,.
6.(1)M(4,2) N(6,0)(2)当0≤t≤1时,;
当1<t≤4时,;
当4<t≤5时,;
当5<t≤6时,;
当6<t≤7时,
二、二次函数中的存在性问题
1.解:由题意,设OA=m,则OB=2m;当∠BAP=90°时,
△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA;
① 若△BAP∽△AOB,如图1,
可知△PMA∽△AOB,相似比为2:1;则P1(5m,2m),
代入,可知,
② 若△BAP∽△BOA,如图2,
可知△PMA∽△AOB,相似比为1:2;则P2(2m,),
代入,可知,www.12999.com
当∠ABP=90°时,△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA;
③ 若△ABP∽△AOB,如图3,
可知△PMB∽△BOA,相似比为2:1;则P3(4m,4m),
代入,可知,
④ 若△ABP∽△BOA,如图4,
可知△PMB∽△BOA,相似比为1:2;则P4(m,),
代入,可知,
2.解:(1)由抛物线解析式可得B点坐标(1,3).
要求直线BQ的函数解析式,只需求得点Q坐标即可,即求CQ长度.
过点D作DG⊥x轴于点G,过点D作DF⊥QP于点F.
则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF,∴矩形DGQF为正方形.
则∠DQG=45°,则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3,此时,Q点坐标为(4,0)
可得BQ解析式为y=-x+4.
(2)要求P点坐标,只需求得点Q坐标,然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.
而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°,所以分两种情况来讨论.
① 当∠DCE=30°时,
a)过点D作DH⊥x轴于点H,过点D作DK⊥QP于点K.
则可证△DCH∽△DEK.则,
在矩形DHQK中,DK=HQ,则.www.12999.com
在Rt△DHQ中,∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中,∴CQ=,此时,Q点坐标为(1+,0)
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,).
b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为(1-,)
① 当∠DCE=60°时,
a) 过点D作DM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥QP于点N.
则可证△DCM∽△DEN.则,
在矩形DMQN中,DN=MQ,则.
在Rt△DMQ中,∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中,
∴CQ=BC=,此时,Q点坐标为(1+,0)www.12999.com
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,).
b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为(1-,)
综上所述,P点坐标为(1+,),(1-,),(1+,)或(1-,).
3.解:(1)∵AB=BC=10,OB=8 ∴在Rt△OAB中,OA=6 ∴ A(6,0)
将A(6,0),B(0,-8)代入抛物线表达式,得,
(2)存在:
如果△AMN与△ACD相似,则或
设M(00,∴a=1
∴抛物线的解析式为:
(2)当AB为平行四边形的边时,则BA∥EF,并且EF= BA =4
由于对称轴为直线x=1,∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3
将x=5代入得y=12,∴F(5,12).将x=-3代入得y=12,∴F(-3,12).
当AB为平行四边形的对角线时,点F即为点D, ∴F(1,4).
综上所述,点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,4).
3、解:(1)对于,当y=0,x=2;当x=8时,y=.
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为
由抛物线经过A、B两点,得
解得
(2)设直线与y轴交于点M
当x=0时,y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2,∴AM=
∴OM:OA:AM=3:4:5.
由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM ∽△PED.
∴DE:PE:PD=3:4:5
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,
∴PD=
∴
由题意知:
4、解:(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(0,)两点,
∴,∴,∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+
(2)解法一:过点M作MN⊥AB交AB于点N,连接AM
由y1= -x2+x+可知顶点M(1,2) ,A(-1,0),B(3,0),N(1,0)
∴AB=4,MN=BN=AN=2,AM=MB=.
∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.
∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°
∴∠QPB=∠PMA
又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA
∴ 将AM=,AP=x+1,BP=3-x,BQ=代入,
可得,即.
∵点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)∴0£x<3
则y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)
解法二:
过点M作MN⊥AB交AB于点N.
由y1= -x2+x+易得M(1,2),N(1,0),A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,ÐMBN=45°.
根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2. ∴…①,
又ÐMPQ=45°=ÐMBP,∴△MPQ∽△MBP,∴=y2´2
由j、k得y2=x2-x+.
∵0£x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)
5、解:(1)由题意,得,解得
∴抛物线的解析式为.
(2)①令,解得 ∴B(3, 0)
则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时,如图1,
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,∴设直线AP的解析式为,
∵直线AP过点A(1,0),∴直线AP的解析式为,交y轴于点.
解方程组,得 ∴点
当点P在x轴下方时,如图1,
根据点,可知需把直线BC向下平移2个单位,此时交抛物线于点,
得直线的解析式为,
解方程组,得
∴
综上所述,点P的坐标为:
,
②过点B作AB的垂线,交CP于点F.如图2,∵
∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°
又∵∠PCB=∠BCA,BC=BC ∴△ACB≌△FCB
∴BF=BA=2,则点F(3,-2)又∵CP过点F,点C ∴直线CP的解析式为.
四、中考数学压轴题专项训练答案
1.(1);
(2);
(3)t=1或2.
2.(1),;
(2);
(3)存在,点P的坐标为.
3.(1),;
(2);
(3)15.
4.(1);
(2);
(3).
5.(1);
(2)①,当时,;
②.
6.(1);
(2); (3).
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