石牌中学中考专题复习导学案特殊四边形含答案 35页

‎2017年中考数学专题练习23《特殊四边形》‎ ‎【知识归纳】‎ 一、矩形 ‎ ‎1.定义：‎ 有一个角是　 的平行四边形叫做矩形 ‎ ‎2.性质 ‎(1)矩形的四个角都是　 ；‎ ‎(2)矩形的对角线互相平分并且　 ‎ ‎(3)矩形是一个轴对称图形，它有　 条对称轴 ‎ ‎3.判定 ‎(1)根据矩形的定义；‎ ‎(2)有　 个角是直角的平行四边形是矩形；‎ ‎(3)对角线　 的平行四边形是矩形 二．菱形 ‎1.定义 ‎ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ‎ ‎2.性质 ‎(1)菱形的四条边　 ；‎ ‎(2)菱形的对角线互相　 平分；‎ ‎(3)每条对角线平分　 ‎ ‎(4)菱形是　 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 ‎3.判定 ‎(1)根据菱形的定义；‎ ‎(2)四条边　 的四边形是菱形；‎ ‎(3)对角线互相　 的平行四边形是菱形 三．正方形 ‎1.定义 ‎ 有一组邻边相等，且有一个角是直角的　 叫做正方形 ‎ ‎2.性质 ‎①正方形对边平行；‎ ‎②正方形四边　 ；‎ ‎③正方形四个角都是　 ；‎ ‎④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分　 ；‎ ‎⑤正方形既是轴对称图形也是　 图形，对称轴有　 条，对称中心是对角线的交点 ‎3.判定 ‎(1)根据正方形的定义；‎ ‎(2)有一组邻边相等的　 是正方形；‎ ‎(3)有一个角是直角的　 是正方形 ‎【基础检测】‎ ‎1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）‎ A．2B．‎4 C．4D．8‎ ‎3. （2016·云南昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：‎ ‎①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　 使其成为菱形（只填一个即可）．‎ ‎5. (2013山东烟台)如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为___________.‎ ‎6. （2013四川雅安）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．‎ ‎(1)求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．‎ ‎7.（2016·贵州安顺·10分）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．‎ ‎8．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎【达标检测】‎ 一．选择题 ‎1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )‎ A．45° B．55° C．60° D．75°‎ ‎2．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（　　）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 ‎3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎4．（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　）‎ ‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（2016·湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）‎ A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 二．填空题 ‎7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　 　度． ‎ ‎8. （2016·陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　 　．‎ ‎9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．‎ ‎10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 . ‎ ‎11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B‎1C1、C1D1、D‎1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A‎1A2=B1B2=C‎1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．‎ 三．解答题 ‎12.（2016·黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．‎ ‎（1）求证：AP=BQ；‎ ‎（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．‎ ‎13．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎14．（2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．‎ ‎（1）求证：MD=ME；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　　；‎ ‎②连接OD，OE，当∠A的度数为　　时，四边形ODME是菱形．‎ ‎15．（2016·陕西）问题提出 ‎（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．‎ 问题探究 ‎（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 问题解决 ‎（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=‎3米，AD=‎6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．‎ ‎【知识归纳答案】‎ 一、矩形 ‎ ‎1.定义 ‎ 有一个角是　直角 的平行四边形叫做矩形 ‎ ‎2.性质 ‎(1)矩形的四个角都是　直角 ；‎ ‎(2)矩形的对角线互相平分并且　相等 ‎ ‎(3)矩形是一个轴对称图形，它有　2 条对称轴 ‎ ‎3.判定 ‎(1)根据矩形的定义；‎ ‎(2)有　 1 个角是直角的平行四边形是矩形；‎ ‎(3)对角线　相等 的平行四边形是矩形 二．菱形 ‎1.定义 ‎ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ‎ ‎2.性质 ‎(1)菱形的四条边　相等 ；‎ ‎(2)菱形的对角线互相　垂直 平分；‎ ‎(3)每条对角线平分　一组对角 ‎ ‎(4)菱形是　轴 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 ‎3.判定 ‎(1)根据菱形的定义；‎ ‎(2)四条边　相等 的四边形是菱形；‎ ‎(3)对角线互相　垂直 的平行四边形是菱形 三．正方形 ‎1.定义 ‎ 有一组邻边相等，且有一个角是直角的　平行四边形 叫做正方形 ‎ ‎2.性质 ‎①正方形对边平行；‎ ‎②正方形四边　相等 ；‎ ‎③正方形四个角都是　直角 ；‎ ‎④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分　一组对角 ；‎ ‎⑤正方形既是轴对称图形也是　中心 图形，对称轴有　四 条，对称中心是对角线的交点 ‎3.判定 ‎(1)根据正方形的定义；‎ ‎(2)有一组邻边相等的　矩形 是正方形；‎ ‎(3)有一个角是直角的　菱形 是正方形 ‎【基础检测答案】‎ ‎1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过F作FH⊥AE于H，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴AF=CE，‎ ‎∴DE=BF，‎ ‎∴AF=3﹣DE，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，‎ ‎∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，‎ ‎∴∠DAE=∠AFH，‎ ‎∴△ADE∽△AFH，‎ ‎∴，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∴=3﹣DE，‎ ‎∴DE=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．‎ ‎2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）‎ A．2B．‎4 C．4D．8‎ ‎【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．‎ ‎【解答】解：连接OE，与DC交于点F，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，‎ ‎∵OD∥CE，OC∥DE，‎ ‎∴四边形ODEC为平行四边形，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴四边形ODEC为菱形，‎ ‎∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，‎ ‎∵DE∥OA，且DE=OA，‎ ‎∴四边形ADEO为平行四边形，‎ ‎∵AD=2，DE=2，‎ ‎∴OE=2，即OF=EF=，‎ 在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，‎ 则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．‎ 故选A ‎【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．‎ ‎3. （2016·云南省昆明市·4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：‎ ‎①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；‎ ‎②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°； ‎ ‎③同②证明△EHF≌△DHC即可；‎ ‎④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2． ‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，‎ ‎∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形，‎ ‎∴GF=FC，‎ ‎∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，‎ ‎∴EG=DF，故①正确；‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，‎ 在△EHF和△DHC中，，‎ ‎∴△EHF≌△DHC（SAS），‎ ‎∴∠HEF=∠HDC，‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；‎ ‎③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，‎ 在△EHF和△DHC中，，‎ ‎∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；‎ ‎④∵=，‎ ‎∴AE=2BE，‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，‎ ‎∴FH=GH，∠FHG=90°，‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，‎ 在△EGH和△DFH中，，‎ ‎∴△EGH≌△DFH（SAS），‎ ‎∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形，‎ 过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：‎ 设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，‎ 则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，‎ ‎∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；‎ 故选：D．‎ ‎4．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC　使其成为菱形（只填一个即可）．‎ ‎【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．‎ ‎【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．‎ 故答案为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC ‎5. (2013山东烟台)如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为__________________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出 OD、OE+DE的长，即可求解.‎ ‎∵□ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是BD的中点，∴OD=6,又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE+DE=9，∴△DOE的周长=OD+OE+DE ‎=6+9‎ ‎=15‎ ‎【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中，由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所以中位线定理是我们的首选.‎ ‎6. （2013四川雅安）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．‎ ‎(1)求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．‎ ‎【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C，‎ ‎ 又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF．‎ ‎ (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD．‎ ‎ ∵AE＝CF， ∴BE＝DF，BE∥DF，‎ ‎ ∴四边形DEBF是平行四边形，‎ ‎ ∵DF＝BF，∴□DEBF是菱形．‎ ‎【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠A＝∠C，再加上条件AE＝CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）首先证明DF＝BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF＝FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．‎ ‎【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．‎ ‎7.（2016·贵州安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．‎ ‎【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．‎ 第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．‎ ‎【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，‎ ‎∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．‎ 又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．‎ ‎（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．‎ 又∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴BE=EC，即BE=AE．‎ 又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，‎ ‎∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）‎ ‎▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）‎ ‎∴菱形AECF的面积为2．（8分）‎ ‎【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．‎ ‎（1）用SAS证全等；‎ ‎（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．‎ ‎8．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．‎ ‎（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．‎ ‎（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．‎ 理由：如图1中，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，‎ ‎∴△ABC，△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=60°‎ ‎∵BE=EC，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，‎ ‎∵∠EAF=60°，‎ ‎∴∠CAF=∠DAF=30°，‎ ‎∴AF⊥CD，‎ ‎∴AE=AF（菱形的高相等），‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF．‎ ‎（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE，‎ 在△BAE和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAE≌△CAF，‎ ‎∴BE=CF．‎ ‎（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，‎ ‎∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠AEB=45°，‎ 在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，‎ ‎∴BG=2，AG=2，‎ 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，‎ ‎∴AG=GE=2，‎ ‎∴EB=EG﹣BG=2﹣2，‎ ‎∵△AEB≌△AFC，‎ ‎∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，‎ ‎∵∠EAF=60°，AE=AF，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=60°‎ ‎∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，‎ ‎∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，‎ 在RT△EFH中，∠CEF=15°，‎ ‎∴∠EFH=75°，‎ ‎∵∠AFE=60°，‎ ‎∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，‎ ‎∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，‎ 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，‎ ‎∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．‎ ‎∴点F到BC的距离为3﹣．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． ‎ ‎【达标检测答案】‎ 一．选择题（每小题4分，满分40分）‎ ‎1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )‎ A．45° B．55° C．60° D．75°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB= AD，∠ABC=∠BAD=90°，∠BAC=∠BCA=45°．‎ ‎∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠BCA=45°．∴∠BCE=135°，AB=AD.‎ ‎∴∠ABE=15°．∴∠CBF=75°．∴∠BFC=60°．‎ 故选C．‎ ‎2．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（　　）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 ‎【考点】矩形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；‎ B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；‎ C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；‎ D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．‎ ‎3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎[答案]C ‎[考点]特殊四边形的判定。‎ ‎[解析]满足选项A或选项B中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题．由选项D中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题．只有选项C中的命题是真命题．‎ 故选C．‎ ‎4．（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　） ‎ ‎ ‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案． ‎ ‎【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°， ‎ 则NG=AM，故AN=NG， ‎ 则∠2=∠4， ‎ ‎∵EF∥AB， ‎ ‎∴∠4=∠3， ‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=1/3×90°=30°， ‎ ‎∴∠DAG=60°． ‎ 故选：C． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．‎ ‎5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．‎ ‎【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2‎ ‎∵BF=2FC，BC=AD=3，‎ ‎∴BF=AH=2，FC=HD=1，‎ ‎∴AF===2，‎ ‎∵OH∥AE，‎ ‎∴==，‎ ‎∴OH=AE=，‎ ‎∴OF=FH﹣OH=2﹣=，‎ ‎∵AE∥FO，‎ ‎∴△AME∽FMO，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AM=AF=，‎ ‎∵AD∥BF，‎ ‎∴△AND∽△FNB，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AN=AF=，‎ ‎∴MN=AN﹣AM=﹣=，‎ 故选B．‎ ‎6．（2016·湖北荆门·3分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）‎ A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．‎ ‎【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． ‎ ‎【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠ADF=∠DEC．‎ 又∵DE=AD，‎ ‎∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；‎ ‎（B）∵∠ADF不一定等于30°，‎ ‎∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；‎ ‎（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，‎ 由矩形ABCD，可得AB=CD，‎ ‎∴AB=AF，故（C）正确；‎ ‎（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，‎ 由矩形ABCD，可得BC=AD，‎ 又∵BE=BC﹣EC，‎ ‎∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；‎ 故选（B）‎ 二．填空题 ‎7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　22.5　度．‎ ‎【考点】矩形的性质．‎ ‎【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴OA=OB═OC，‎ ‎∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，‎ ‎∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，‎ ‎∵∠EAC=2∠CAD，‎ ‎∴∠EAO=∠AOE，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴∠AEO=90°，‎ ‎∴∠AOE=45°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA==67.5°，‎ ‎∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．‎ 故答案为22.5°．‎ ‎8. （2016·陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　2﹣2　．‎ ‎【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，求出BD即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．‎ 此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ADC是等边三角形，‎ ‎∴BO=DO=×2=，‎ ‎∴BD=2BO=2，‎ ‎∴PD最小值=BD﹣BP=2﹣2．‎ 故答案为2﹣2．‎ ‎9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．‎ ‎【答案】（4，4）．‎ ‎【解析】连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴点C的坐标为：（4，4）；故答案为：（4，4）．‎ ‎10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 . ‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】如答图，连接B D'，过D'作MN⊥AB，交AB于点N，交DC于点M，过D'作D'G⊥BC于点G，‎ ‎∵点D'落在∠ABC的角平分线上，∴D'N= D'G.‎ 又∵∠NBG=900，∴四边形D'NBG是正方形，△D'NB是等腰直角三角形.‎ 设BN=D'N=x，则 ‎∵AD=5，AB=7，△AD'E是△ADE沿AE折叠得到，∴AD'=5，.‎ 在Rt△D'NA中，由勾股定理得，即，解得.‎ 易证，△EM D'∽△D'NA，∴.‎ 当BN=D'N=3时，，∴；‎ 当BN=D'N=4时，，∴.‎ ‎∵DE= D'E，∴DE的长为或.‎ ‎11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B‎1C1、C1D1、D‎1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A‎1A2=B1B2=C‎1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知；==，即正方形A1B‎1C1D1的面积=；在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知：==；即正方形A2B‎2C2D2的面积=，…，∴正方形AnBnCnDn的面积=．故答案为：．‎ 三．解答题 ‎12.（2016·黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．‎ ‎（1）求证：AP=BQ；‎ ‎（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD ‎∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°‎ ‎∵DP⊥AQ ‎∴∠ADP+∠DAP=90°‎ ‎∴∠BAQ=∠ADP ‎∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ‎∴∠AQB=∠DPA=90°‎ ‎∴△AQB≌△DPA（AAS）‎ ‎∴AP=BQ ‎（2）①AQ﹣AP=PQ ‎②AQ﹣BQ=PQ ‎③DP﹣AP=PQ ‎④DP﹣BQ=PQ ‎13．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．‎ ‎（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．‎ ‎（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．‎ 理由：如图1中，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，‎ ‎∴△ABC，△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=60°‎ ‎∵BE=EC，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，‎ ‎∵∠EAF=60°，‎ ‎∴∠CAF=∠DAF=30°，‎ ‎∴AF⊥CD，‎ ‎∴AE=AF（菱形的高相等），‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF．‎ ‎（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE，‎ 在△BAE和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAE≌△CAF，‎ ‎∴BE=CF．‎ ‎（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，‎ ‎∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠AEB=45°，‎ 在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，‎ ‎∴BG=2，AG=2，‎ 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，‎ ‎∴AG=GE=2，‎ ‎∴EB=EG﹣BG=2﹣2，‎ ‎∵△AEB≌△AFC，‎ ‎∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，‎ ‎∵∠EAF=60°，AE=AF，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=60°‎ ‎∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，‎ ‎∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，‎ 在RT△EFH中，∠CEF=15°，‎ ‎∴∠EFH=75°，‎ ‎∵∠AFE=60°，‎ ‎∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，‎ ‎∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，‎ 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，‎ ‎∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．‎ ‎∴点F到BC的距离为3﹣．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． ‎ ‎14．（2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．‎ ‎（1）求证：MD=ME；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　2　；‎ ‎②连接OD，OE，当∠A的度数为　60°　时，四边形ODME是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）先证明∠A=∠ABM，再证明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解决问题．‎ ‎（2）①由DE∥AB，得=即可解决问题．‎ ‎②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明△ODE，△DEM都是等边三角形即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，‎ ‎∴BM=AM=MC，‎ ‎∴∠A=∠ABM，‎ ‎∵四边形ABED是圆内接四边形，‎ ‎∴∠ADE+∠ABE=180°，‎ 又∠ADE+∠MDE=180°，‎ ‎∴∠MDE=∠MBA，‎ 同理证明：∠MED=∠A，‎ ‎∴∠MDE=∠MED，‎ ‎∴MD=ME．‎ ‎（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD=2DM，‎ ‎∴DM：MA=1：3，‎ ‎∴DE=AB=×6=2．‎ 故答案为2．‎ ‎②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．‎ 理由：连接OD、OE，‎ ‎∵OA=OD，∠A=60°，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∴∠AOD=60°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，‎ ‎∴△ODE，△DEM都是等边三角形，‎ ‎∴OD=OE=EM=DM，‎ ‎∴四边形OEMD是菱形．‎ 故答案为60°．‎ ‎【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．‎ ‎15．（2016·陕西）问题提出 ‎（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．‎ 问题探究 ‎（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 问题解决 ‎（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=‎3米，AD=‎6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；‎ ‎（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；‎ ‎（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求；‎ ‎（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，‎ 作F关于BC的对称点F′，‎ 连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，‎ 则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，‎ 由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，‎ ‎∴AF′=6，AE′=8，‎ ‎∴E′F′=10，EF=2，‎ ‎∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，‎ ‎∴在边BC、CD上分别存在点G、H，‎ 使得四边形EFGH的周长最小，‎ 最小值为2+10；‎ ‎（3）能裁得，‎ 理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△AEF与△BGF中，，‎ ‎∴△AEF≌△BGF，‎ ‎∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，‎ ‎∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），‎ ‎∴AF=BG=1，BF=AE=2，‎ ‎∴DE=4，CG=5，‎ 连接EG，‎ 作△EFG关于EG的对称△EOG，‎ 则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，‎ 以O为圆心，以EG为半径作⊙O，‎ 则∠EHG=45°的点在⊙O上，‎ 连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，‎ 连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，‎ 此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，‎ ‎∴C在线段EG的垂直平分线设，‎ ‎∴点F，O，H′，C在一条直线上，‎ ‎∵EG=，‎ ‎∴OF=EG=，‎ ‎∵CF=2，‎ ‎∴OC=，‎ ‎∵OH′=OE=FG=，‎ ‎∴OH′＜OC，‎ ‎∴点H′在矩形ABCD的内部，‎ ‎∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，‎ 这个部件的面积=EG•FH′=××（+）=5+，‎ ‎∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2． ‎ ‎　‎