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- 2021-05-10 发布
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2020年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共30分.
1.(3分)计算(﹣3)×2的结果是( )
A.﹣6 B.﹣1 C.1 D.6
2.(3分)下列4个袋子中,装有除颜色外完全相同的10个小球,任意摸出一个球,摸到红球可能性最大的是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)2020年为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以便有针对性进行防疫,一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄(单位:岁)数据如下:62,63,75,79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是( )
A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量
4.(3分)如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠3是( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
5.(3分)当x=1时,下列分式没有意义的是( )
第28页(共28页)
A.x+1x B.xx-1 C.x-1x D.xx+1
6.(3分)下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
A. B.
C. D.
7.(3分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是( )
A.5 B.20 C.24 D.32
8.(3分)已知a<b,下列式子不一定成立的是( )
A.a﹣1<b﹣1 B.﹣2a>﹣2b
C.12a+1<12b+1 D.ma>mb
9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为( )
A.无法确定 B.12 C.1 D.2
10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( )
A.﹣2或0 B.﹣4或2 C.﹣5或3 D.﹣6或4
二、填空题:每小题4分,共20分
第28页(共28页)
11.(4分)化简x(x﹣1)+x的结果是 .
12.(4分)如图,点A是反比例函数y=3x图象上任意一点,过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,则四边形OBAC的面积为 .
13.(4分)在“抛掷正六面体”的试验中,正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”,在试验次数很大时,数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 .
14.(4分)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是 度.
15.(4分)如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为 .
三、解答题:本大题10小题,共100分.
16.(8分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
第28页(共28页)
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
17.(10分)2020年2月,贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召,推出了“空中黔课”.为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间,随机调查了该校部分初三学生.根据调查结果,绘制出了如图统计图表(不完整),请根据相关信息,解答下列问题:
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
2
6
6
10
m
4
(1)本次共调查的学生人数为 ,在表格中,m= ;
(2)统计的这组数据中,每天听空中黔课时间的中位数是 ,众数是 ;
(3)请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法.
18.(10分)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
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19.(10分)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交,其中一个交点的横坐标是2.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位,求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标;
(3)直接写出一个一次函数,使其过点(0,5),且与反比例函数y=kx的图象没有公共点.
20.(10分)“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动,规则是:准备3张大小一样,背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》,将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张,抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍.
(1)在上面的活动中,如果从中随机抽出一张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率;
(2)再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为57,那么应添加多少张《消防知识手册》卡片?请说明理由.
21.(8分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面上C点、屋檐
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上E点、屋顶上A点三点恰好共线,继续向房屋方向走8m到达点D时,又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的顶层横梁EF=12m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB(结果精确到1m).
22.(10分)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下:
(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;
(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元?
23.(10分)如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.
(1)求证:AD=CD;
(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.
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24.(12分)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9<x≤15)
时间x(分钟)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数y(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;
(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?
(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
25.(12分)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC的中点.
(1)问题解决:如图①,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)问题探究:如图②,△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形,连接CE,点P,Q分别为CE,BO'的中点,连接PQ,PB.判断△PQB的形状,并证明你的结论;
(3)拓展延伸:如图③,△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形,连接BO',点P,Q分别为CE,BO'的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD的边长为1,求△PQB的面积.
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2020年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置作答,每小题3分,共30分.
1.(3分)计算(﹣3)×2的结果是( )
A.﹣6 B.﹣1 C.1 D.6
【解答】解:原式=﹣3×2
=﹣6.
故选:A.
2.(3分)下列4个袋子中,装有除颜色外完全相同的10个小球,任意摸出一个球,摸到红球可能性最大的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:在四个选项中,D选项袋子中红球的个数最多,
所以从D选项袋子中任意摸出一个球,摸到红球可能性最大,
故选:D.
3.(3分)2020年为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以便有针对性进行防疫,一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄(单位:岁)数据如下:62,63,75,79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是( )
A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量
【解答】解:一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄(单位:岁)数据如下:62,63,75,79,68,85,82,69,70.
获得这组数据的方法是:调查.
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故选:C.
4.(3分)如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠3是( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
【解答】解:∵∠1+∠2=60°,∠1=∠2(对顶角相等),
∴∠1=30°,
∵∠1与∠3互为邻补角,
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°.
故选:A.
5.(3分)当x=1时,下列分式没有意义的是( )
A.x+1x B.xx-1 C.x-1x D.xx+1
【解答】解:A、x+1x,当x=1时,分式有意义不合题意;
B、xx-1,当x=1时,x﹣1=0,分式无意义符合题意;
C、x-1x,当x=1时,分式有意义不合题意;
D、xx+1,当x=1时,分式有意义不合题意;
故选:B.
6.(3分)下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
A. B.
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C. D.
【解答】解:A、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以A选项错误;
B、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以B选项错误;
C、在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以C选项正确.
D、图中树高与影子成反比,而在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以D选项错误;
故选:C.
7.(3分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是( )
A.5 B.20 C.24 D.32
【解答】解:如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AB=BC=CD=AD,OA=12AC=4,OB=12BD=3,AC⊥BD,
∴AB=OA2+OB2=42+32=5,
∴此菱形的周长=4×5=20;
故选:B.
8.(3分)已知a<b,下列式子不一定成立的是( )
A.a﹣1<b﹣1 B.﹣2a>﹣2b
C.12a+1<12b+1 D.ma>mb
【解答】解:A、在不等式a<b的两边同时减去1,不等号的方向不变,即a﹣1<b﹣1,原变形正确,故此选项不符合题意;
B、在不等式a<b的两边同时乘以﹣2,不等号方向改变,即﹣2a>﹣2b,原变形正确,故此选项不符合题意;
第28页(共28页)
C、在不等式a<b的两边同时乘以12,不等号的方向不变,即12a<12b,不等式12a<12b的两边同时加上1,不等号的方向不变,即12a+1<12b+1,原变形正确,故此选项不符合题意;
D、在不等式a<b的两边同时乘以m,不等式不一定成立,即ma>mb,或ma<mb,或ma=mb,原变形不正确,故此选项符合题意.
故选:D.
9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为( )
A.无法确定 B.12 C.1 D.2
【解答】解:如图,过点G作GH⊥AB于H.
由作图可知,GB平分∠ABC,
∵GH⊥BA,GC⊥BC,
∴GH=GC=1,
根据垂线段最短可知,GP的最小值为1,
故选:C.
10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( )
A.﹣2或0 B.﹣4或2 C.﹣5或3 D.﹣6或4
第28页(共28页)
【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣3,0)与(1,0)两点,
∴当y=0时,0=ax2+bx+c的两个根为﹣3和1,函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1,
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.
∴方程ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个根为﹣5,函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0<n<m)有两个整数根,
∴这两个整数根是﹣4或2,
故选:B.
二、填空题:每小题4分,共20分
11.(4分)化简x(x﹣1)+x的结果是 x2 .
【解答】解:x(x﹣1)+x
=x2﹣x+x
=x2,
故答案为:x2.
12.(4分)如图,点A是反比例函数y=3x图象上任意一点,过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,则四边形OBAC的面积为 3 .
【解答】解:∵过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,
∴AB×AC=|k|=3,
则四边形OBAC的面积为:3.
故答案为:3.
13.(4分)在“抛掷正六面体”的试验中,正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”,在试验次数很大时,数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 16 .
第28页(共28页)
【解答】解:在试验次数很大时,数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是16.
故答案为:16.
14.(4分)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是 120 度.
【解答】解:连接OA,OB,
∵△ABC是⊙O的内接正三角形,
∴∠AOB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠OAD=30°,
∴∠OAD=∠OBE,
∵AD=BE,
∴△OAD≌△OBE(SAS),
∴∠DOA=∠BOE,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOB=∠AOE+∠BOD=120°,
故答案为:120.
15.(4分)如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为 45 .
第28页(共28页)
【解答】解:延长BD到F,使得DF=BD,
∵CD⊥BF,
∴△BCF是等腰三角形,
∴BC=CF,
过点C点作CH∥AB,交BF于点H
∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F,
∴HF=HC,
∵BD=8,AC=11,
∴DH=BH﹣BD=AC﹣BD=3,
∴HF=HC=8﹣3=5,
在Rt△CDH,
∴由勾股定理可知:CD=4,
在Rt△BCD中,
∴BC=82+42=45,
故答案为:45
三、解答题:本大题10小题,共100分.
第28页(共28页)
16.(8分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
【解答】解:(1)如图①中,△ABC即为所求.
(2)如图②中,△ABC即为所求.
(3)△ABC即为所求.
17.(10分)2020年2月,贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召,推出了“空中黔课”.为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间,随机调查了该校部分初三学生.根据调查结果,绘制出了如图统计图表(不完整),请根据相关信息,解答下列问题:
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
2
6
6
10
m
4
(1)本次共调查的学生人数为 50 ,在表格中,m= 22 ;
(2)统计的这组数据中,每天听空中黔课时间的中位数是 3.5h ,众数是 3.5h ;
(3)请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法.
第28页(共28页)
【解答】解:(1)本次共调查的学生人数为:6÷12%=50(人),
m=50×44%=22,
故答案为:50,22;
(2)由条形统计图得,2个1.5,6个2,6个2.5,10个3,22个3.5,4个4,
∵第25个数和第26个数都是3.5h,
∴中位数是3.5h;
∵3.5h出现了22次,出现的次数最多,
∴众数是3.5h,
故答案为:3.5h,3.5h;
(3)就疫情期间如何学习的问题,我的看法是:认真听课,独立思考(答案不唯一).
18.(10分)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
【解答】(1)证明:∵∠四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BE=CF,
第28页(共28页)
∴BE+EC=EC+EF,即BC=EF,
∴AD=EF,
∴四边形AEFD是平行四边形;
(2)解:连接DE,如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
在Rt△ABE中,AE=42+22=25,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD,
∵∠B=∠AED=90°,
∴△ABE∽△DEA,
∴AE:AD=BE:AE,
∴AD=25×252=10,
∴四边形AEFD的面积=AB×AD=2×10=20.
19.(10分)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交,其中一个交点的横坐标是2.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位,求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标;
(3)直接写出一个一次函数,使其过点(0,5),且与反比例函数y=kx的图象没有公共点.
第28页(共28页)
【解答】解:(1)将x=2代入y=x+1=3,故其中交点的坐标为(2,3),
将(2,3)代入反比例函数表达式并解得:k=2×3=6,
故反比例函数表达式为:y=6x①;
(2)一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位得到y=x﹣1②,
联立①②并解得:x=-2y=-3或x=3y=2,
故交点坐标为(﹣2,﹣3)或(3,2);
(3)设一次函数的表达式为:y=kx+5③,
联立①③并整理得:kx2+5x﹣6﹣0,
∵两个函数没有公共点,故△=25+24k<0,解得:k<-2524,
故可以取k=﹣2(答案不唯一),
故一次函数表达式为:y=﹣2x+5(答案不唯一).
20.(10分)“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动,规则是:准备3张大小一样,背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》,将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张,抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍.
(1)在上面的活动中,如果从中随机抽出一张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率;
(2)再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为57,那么应添加多少张《消防知识手册》卡片?请说明理由.
【解答】解:(1)把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为A、B、C,
第28页(共28页)
画树状图如图:
共有6个等可能的结果,恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个,
∴恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为26=13;
(2)设应添加x张《消防知识手册》卡片,
由题意得:1+x3+x=57,
解得:x=4,
经检验,x=4是原方程的解;
答:应添加4张《消防知识手册》卡片.
21.(8分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,为了测量房屋的高度,在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线,继续向房屋方向走8m到达点D时,又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的顶层横梁EF=12m,EF∥CB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,3≈1.7)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB(结果精确到1m).
【解答】解:(1)∵房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线,EF∥BC,
∴AG⊥EF,EG=12∠AEG=∠ACB=35°,
第28页(共28页)
在Rt△AGE中,∠AGE=90°,∠AEG=35°,
∵tan∠AEG=tan35°=AGEG,EG=6,
∴AG=6×0.7=4.2(米);
答:屋顶到横梁的距离AG为4.2米;
(2)过E作EH⊥CB于H,
设EH=x,
在Rt△EDH中,∠EHD=90°,∠EDH=60°,
∵tan∠EDH=EHDH,
∴DH=xtan60°,
在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=35°,
∵tan∠ECH=EHCH,
∴CH=xtan35°,
∵CH﹣DH=CD=8,
∴xtan35°-xtan60=8,
解得:x≈9.52,
∴AB=AG+BG=13.72≈14(米),
答:房屋的高AB为14米.
22.(10分)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下:
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(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;
(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元?
【解答】解:(1)设单价为6元的钢笔买了x支,则单价为10元的钢笔买了(100﹣x)支,根据题意,得:
6x+10(100﹣x)=1300﹣378,
解得x=19.5,
因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错了;
(2)设笔记本的单价为a元,根据题意,得:
6x+10(100﹣x)+a=1300﹣378,
整理,得:x=14a+392,
因为0<a<10,x随a的增大而增大,所以19.5<x<22,
∵x取整数,
∴x=20,21.
当x=20时,a=4×20﹣78=2;
当x=21时,a=4×21﹣78=6,
所以笔记本的单价可能是2元或6元.
23.(10分)如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.
(1)求证:AD=CD;
(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.
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【解答】解:(1)证明:∵∠CAD=∠ABD,
又∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ACD=∠CAD,
∴AD=CD;
(2)∵AF是⊙O的切线,
∴∠FAB=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°,
∴∠ABD=∠FAD,
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠FAD=∠EAD,
∵AD=AD,
∴△ADF≌△ADE(ASA),
∴AF=AE,DF=DE,
∵AB=4,BF=5,
∴AF=BF2-AB2=3,
∴AE=AF=3,
∵S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AD,
∴AD=AB⋅AFBF=4×35=125,
∴DE=AE2-AD2=32-(245)2=95,
∴BE=BF﹣2DE=75,
∵∠AED=∠BED,∠ADE=∠BCE=90°,
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∴△BEC∽△AED,
∴BEAE=BCAD,
∴BC=BE⋅ADAE=2825,
∴sin∠BAC=BCAB=725,
∵∠BDC=∠BAC,
∴sin∠BDC=725.
24.(12分)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9<x≤15)
时间x(分钟)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数y(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;
(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?
(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
【解答】解:(1)由表格中数据的变化趋势可知,
①当0≤x≤9时,y是x的二次函数,
∵当x=0时,y=0,
∴二次函数的关系式可设为:y=ax2+bx,
由题意可得:170=a+b450=9a+3b,
解得:a=-10b=180,
∴二次函数关系式为:y=﹣10x2+180x,
②当9<x≤15时,y=180,
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∴y与x之间的函数关系式为:y=-10x2+180x(0≤x≤9)180(9<x≤15);
(2)设第x分钟时的排队人数为w人,
由题意可得:w=y﹣40x=-10x2+140x(0≤x≤9)810-40x(9<x≤15),
①当0≤x≤9时,w=﹣10x2+140x=﹣10(x﹣7)2+490,
∴当x=7时,w的最大值=490,
②当9<x≤15时,w=810﹣40x,w随x的增大而减小,
∴210≤w<450,
∴排队人数最多时是490人,
要全部考生都完成体温检测,根据题意得:810﹣40x=0,
解得:x=20.25,
答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟;
(3)设从一开始就应该增加m个检测点,由题意得:12×20(m+2)≥810,
解得m≥118,
∵m是整数,
∴m≥118的最小整数是2,
∴一开始就应该至少增加2个检测点.
25.(12分)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC的中点.
(1)问题解决:如图①,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是 PQ=12BO ,位置关系是 PQ⊥BO ;
(2)问题探究:如图②,△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形,连接CE,点P,Q分别为CE,BO'的中点,连接PQ,PB.判断△PQB的形状,并证明你的结论;
(3)拓展延伸:如图③,△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形,连接BO',点P,Q分别为CE,BO'的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD的边长为1,求△PQB的面积.
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【解答】解:(1)∵点O为对角线AC的中点,
∴BO⊥AC,BO=CO,
∵P为BC的中点,Q为BO的中点,
∴PQ∥OC,PQ=12OC,
∴PQ⊥BO,PQ=12BO;
故答案为:PQ=12BO,PQ⊥BO.
(2)△PQB的形状是等腰直角三角形.理由如下:
连接O'P并延长交BC于点F,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E,
∴△AO'E是等腰直角三角形,O'E∥BC,O'E=O'A,
∴∠O'EP=∠FCP,∠PO'E=∠PFC,
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又∵点P是CE的中点,
∴CP=EP,
∴△O'PE≌△FPC(AAS),
∴O'E=FC=O'A,O'P=FP,
∴AB﹣O'A=CB﹣FC,
∴BO'=BF,
∴△O'BF为等腰直角三角形.
∴BP⊥O'F,O'P=BP,
∴△BPO'也为等腰直角三角形.
又∵点Q为O'B的中点,
∴PQ⊥O'B,且PQ=BQ,
∴△PQB的形状是等腰直角三角形;
(3)延长O'E交BC边于点G,连接PG,O'P.
∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴∠ECG=45°,
由旋转得,四边形O'ABG是矩形,
∴O'G=AB=BC,∠EGC=90°,
∴△EGC为等腰直角三角形.
∵点P是CE的中点,
∴PC=PG=PE,∠CPG=90°,∠EGP=45°,
∴△O'GP≌△BCP(SAS),
∴∠O'PG=∠BPC,O'P=BP,
∴∠O'PG﹣∠GPB=∠BPC﹣∠GPB=90°,
∴∠O'PB=90°,
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∴△O'PB为等腰直角三角形,
∵点Q是O'B的中点,
∴PQ=12O'B=BQ,PQ⊥O'B,
∵AB=1,
∴O'A=22,
∴O'B=O'A2+AB2=(22)2+12=62,
∴BQ=64.
∴S△PQB=12BQ•PQ=12×64×64=316.
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